新课改高二数学选修2-2模块综合测试题!(含答案)
高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)
选修2-2 期中测试卷（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级 姓名第I 卷一．选择题1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 （ ） (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．设*211111()()123S n n n n n n n =+++++∈+++N L ，当2n =时，(2)S =（ C ） Ａ．12 Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ B ）A 、假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．给出以下命题： ⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( B )A.1B.2C.3D.06．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ B ）A ．3-B ． 12-C ．9-D ．6- 7.已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ D ）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+8. 定积分π220sin 2xdx ⎰的值等于（ A ） A ．π142- B ．π142+ C ．1π24- D ．π12-【第9题2选1】9.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．,)3+∞ B. ,)3+∞ C. ()+∞ D. [)+∞ 9.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2016a ＝（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0 11. 已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（D ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A12. 平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ B ）Ａ．3a 第Ⅱ卷二．填空题13．若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= 14．已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z【15题2选1】15.已知可导函数))((R x x f ∈的导函数)('x f 满足)()('x f x f >，则当0>a 时，)(a f 和)0(f e a （e 是自然对数的底数）大小关系为15.若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ． 答案：10m -<≤16.仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 91三 解答题（本大题共5小题，共54分） 17（本小题满分10分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值； 【2选1】(2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z （2）已知复数z 满足()iii z z z +-=++232，求z ． 由已知得()i i z z z -=++12，设()R y x yi x z ∈+=,,代人上式得i xi y x -=++1222所以⎩⎨⎧-==+12122x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=2321y x故i z 2321±-=18.【3选1】（1）已知a ，b 是正实数，求证：b a ab ba +≥+只需证)(b a ab b b a a +≥+即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+即证ab ab b a ≥-+即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a该式显然成立，所以b a ab ba +≥+（2）求证：(1)223)a b ab a b ++≥++; 证明：（1） ∵222a b ab +≥,23a +≥, 23b +≥ ;将此三式相加得222(3)2a b ab ++≥++,∴223)a b ab a b ++≥+.（3）已知c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ++=++=++=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于0. 证明：（反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则0≤++c b a ， 因为62,32,22222πx z c πz y b πy x a ++=++=++= 03)1()1()1()62()32()22(222222>-++++++=++++++++=++∴πz y x πx z πz y πy x c b a 即0>++c b a ，与0≤++c b a 矛盾，故假设错误，原命题成立.19.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++； （2）依题意，得221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，1t ∴=20.已知函数11()ln()xf x x x =+-+（1）求()f x 的单调区间； （2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln ba b a-≥-．21.已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯，3111234a ==⨯，4112045a ==⨯；（2）猜想：1(1)n a n n =+．证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1(1)k a k k =+．那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．21（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211123,,,,,n n n a a na n +=-+=L（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++L18、设函数32()33(0)3x f x x x a a =--->（12分） （1）如果1a =，点P 为曲线()y f x =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程； （2）若[,3]x a a ∈时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
高二数学选修2-2综合测试卷新课标人教版
高二数学选修2-2综合测试卷一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--®xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为 （ ））A 2B -1C 1D -22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 1或2B 21-或2 C 21-D 23、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（的导数是（ ））A )(3bx a -B 2)(32bx a b -- C 2)(3bx a b - D 2)(3bx a b --4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（的切线的倾斜角的取值范围是（ ）） A ],0[p B ),43[)2,0(p p pÈ C ]43,2[]2,0[p ppÈ D ),43[]2,0[p p pÈ 5、已知0,,¹Îb a R b a 且，则在①ab b a ³+222；②2³+ba ab ；③2)2(b a a b +£；④2)2(222b a ba +£+这四个式子中，恒成立的个数是（这四个式子中，恒成立的个数是（ ））A 1个B 2个C 3个D 4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n nÎ-´×××´´´=+×××++ ”时，从“k n =”变到”变到 ““1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（”时，左边应增乘的因式是（ ）） A 12+k B112++k k C1)22)(12(+++k k k D132++k k7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+¥内是增函数，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A ),3(+¥ B ),3[+¥- C ),3(+¥- D )3,(--¥ 8、当n 取遍正整数时，nnii -+表示不同值得个数是A 1B 2C 3D 49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3[-3，，2]2]上有最大值上有最大值4。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)
高二数学第七周周考试题（理科）——选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 （ ） (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ ）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是 （ ）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－25．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在7.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ） A.24 B.22 C.20 D.128.已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．b>c>a9.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值围是（ ） A．[)3+∞B. )3+∞C. ()+∞D. [)+∞ 10. 已知数列{}n a 满足12a =，23a =，21||n n n a a a ++=-，则2009a ＝（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0 11. 函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）12. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）AB ．1C ．0 D第Ⅱ卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 13．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ．14．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似辉三角,记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系,可以求得当2n 时,()f n = ．15.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝_____________16.若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___CD12 234 3 4 7 7 4 … … …A 1三 解答题（本大题共5小题，共54分） 17（本小题满分10分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值； (2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12zz 为纯虚数，求1z18（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为l ，要使其体积最大，求高为多少？19（本小题满分12分）已知函数11()ln()xf x x x =+-+（1）求()f x 的单调区间； （2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln ba b a-≥-．20（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准） （1） 设i a R +∈，i b R +∈，12,,i n =，且12122n n a a a b b b ++=++=求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设i a R +∈（12,,i n =）求证：21212222122334122()()n nn a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++21（本小题满分12分）设数列{}n a 满足211123,,,,,n n n a a na n +=-+=（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}n a 的一个通项公式； （2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一 选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B 7D 8C 9 D 10 A 11A 12 C二 填空题13 1-i 14 222n n -+ 15 -2 16 -1三 解答题17(1) 1823+ （2）10318 当高3h l =时，323max V l π= 19 （1）单调增区间0(,)+∞ ，单调减区间10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-= （3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥ 而1111()ln()f x x x =++-+，设1,t x =+则11()ln F t t t=+-，由（1）结论可得，011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，由此10min ()()F t F ==，所以10()()F t F ≥=即110()ln F t t t =+-≥，记at b=代入得证。
(完整版)新课改高二数学选修2-2模块综合测试题(含答案)
新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为 （ ）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是 （ ）1,1x y <<（A ） （B ） （C ） （D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（ ）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（ ）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ） 或 （D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（ ）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （ ）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三 解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一 选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二 填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三 解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间 ，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。
(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案).docx
高二数学选修2-2 综合测试题f xg ′ x)>0 ，且 g ( 3) 0 ， 不等式 f x g x)<0的解集是（）( ) ( ( ) (一、 ：A. ( －3，0) ∪(3 ，+∞)B. ( －3，0) ∪(0 ， 3)1、 i 是虚数 位。
已知复数 Z1 3i (1i )4 ， 复数 Z 点落在（）C.( －∞，－ 3) ∪(3 ，+∞)D. (－∞，－ 3) ∪(0 ， 3)3 iA ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限12、在古希腊， 达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10，15，21，28，⋯ 些数叫做三角形数， 8、已知函数 f ( x) x 2bx 的 象在点 A(1, f (1)) 的切 的斜率 3，数列因 些数 的点可以排成一个正三角形f (n)的前 n 和 S n ,S 2011 的 （）200820092010 2011A.B.C .D .200920102011201213610159、 函数 f(x) ＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 k 2 ＋ 1在区 （ ， ）上是减函数， k 的取 范 是第 n 个三角形数 （( )0 4）A ． nB ．n(n 1)C ． n21D ．n( n 1)1B. 0 k1C. 0 k1122A. k3 3D. k333、求由曲 yx ，直 yx 2 及 y 所 成的 形的面 的 （）10、函数 yf ( x) 在定 域 ( 3内可 ，其 象如 所示， yf ( x) 的 函数,3)．．24x ) dx B.4xdx C.20 2)dyyf ( x) ， 不等式 f ( x)0 的解集（）A.(2 x0 (2 y y 2 )dy D.(4 y 0224、 复数 z 的共 复数是 z , 且 z1, 又 A( 1,0) 与 B(0,1) 定点 , 函数f ( z)( z1)A ．1 U 2,3,13( z i ) ︱取最大 在复平面上以 z ,A,B 三点 点的 形是C ．3 , 1 U 1,2 A,等 三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三2 2角形11、 已知函数 f (x)5、函数 f(x) 的定义域为 R ，f(-1)=2,对任意 xR ， f ' ( x) 2 , 则 f ( x)2x4 的解集为小 是(A)(-1 ， 1)(B)(-1，+∞ )(c)(-∞， -l)(D)(-∞,+ ∞ )A.24n 12 n 14( k1) 12( k 1) 13用数学归纳法证明整除时， 当 nk1时，对于 335(n N) 能被 85可变形为6、Ａ． 56·3 4k 14k 152k 1) Ｂ．4 4 k 12 2k4k 12 k 14 k 15 2k 1)12、函数 f ( x)x325(3 3 ·35 ·5 Ｃ． 35Ｄ． 25(3、 f x g x 分 是定 在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x <0， f ′ x g x ＋的取 范 （7( ) ，( )( ) ( )A ．（-24,8）B ．1,2 U 4 , 83 3D ．3, 1 U 1 , 4U 8,322 331 x 3 ax2 bx 1( a 、 bR) 在区 [-1,3] 上是减函数， ab 的最3B. 3C.2D. 323x 29x 3, 若函数 g( x) f ( x) m 在 x [ 2,5] 上有 3 个零点， m）B ．（ -24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2 综合测试题（答题卡）三、解答题：（70 分）一、选择题（ 60分）。
高中数学_选修2-2模块测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ） A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________． 15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小． 又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得3((02)m ∈，．综上，m的取值范围是(．。
高二数学人教版选修2-2模块综合测试题(含答案)
高二数学选修2-2模块综合测试题(本科考试时间为120分钟，满分为150分)•选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50 分)1 .在“近似替代”中，函数f (x)在区间[x i, x i 1]上的近似值((A)只能是左端点的函数值 f (x i)(B)只能是右端点的函数值f(Xn)(C)可以是该区间内的任一函数值 f i ([X i,X i 1] ) ( D)以上答案均正确2.已知z123m m i, z 4 (5m 6)i，其中m为实数, 为虚数单位，若Z1z20,贝U m的值为((A) 4 (B)1 (C) (D) 03.已知x1,y 1,下列各式成立的是(A) x 2 (B) (C) x (D) xy 1 x y4.设f ( x)为可导函数，且满足lfx 0f(12xx)=—1,则曲线y=f (x)在点(1, f(1)) 处的切线的斜率(A) 2 (B)_ (0 (D)—25.若a、b、c是常数, 的 ( )(A)充分不必要条件则“ a>0 且b2—4ac v 0”2是“对任意x € R,有ax2+bx+c >0”(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)必要条件6.函数f (x) x3ax2 bx a2在x 1处有极值10,贝U点(a, b)为(A) (3, 3) (B) ( 4,11) (0 (3, 3)或( 4,11) (D)不存在7. x y 1，则2x2 2 23y z的最小值为(A)1 (B) (C) 611(D)& 曲线和直线x1围成的图形面积是(A) e e (B) 1 c(C) e e 2 (D)9.点P是曲线x2In x上任意一点，则点P到直线y2的距离的最小值是((A) 1(B) (C) (D) 2.210 .设f(x) x2ax b ( a,b R )，当x 1,1 时, f (x)的最大值为m，贝ym的最小值为( )(A)1 2(B) 1 (C)3 2(D)2填空题 (本大题有 4小题，每小题 5分，共20分)12,其中i 为虚数单位，则复数 zi12.如图，数表满足：⑴第n 行首尾两数均为n ；⑵表中递推关系类似杨辉三角 记第n(n 1)行第2个数为f(n).根据表中上下两行数据关系, 可以求得当n …2时，f(n)13.设函数f (x )=n 2x 2(1 — x )n (n 为正整数)，则f (x )在］0,1 ］上的最大值为 ________________ 14 .设 a iR , x i R , i1,2,L n ,且 a ； a ； La ： 1 , x ； x ； Lx ； 1，则勺,邑丄 △的X 2 x n值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 _________ .①都大于1②都小于1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1 三 解答题(本大题共 6小题，共80分)15、(本小题12分)已知等腰梯形 OABC 的顶点A , B 在复平面上对应的复数分别为 1 2i 、 2 6i , 且O 是坐标原点，OA // BC .求顶点C 所对应的复数z .16 (本小题满分14分)1 o(1)求定积分x 2 2 dx 的值；2⑵(2)若复数z 1 a 2i(a R) , z 2 3 4i ，且弓_为纯虚数，求z , Z 217 （本小题满分12分）11 .定义运算1ad be ,若复数z 满足z某宾馆有5 0个房间供游客居住，当每个房间定价为每天18 0元时，房间会全部住满；房间单价增加1 0元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费2 0元的各种维护费用。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4； 由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)， 单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16． 证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ， 右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。
【高二数学】选修2-2综合测试含答案解析
选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i －2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i－2i ＝＋2＝－1＋12i.2．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除[答案] B[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] [答案] B[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.4．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] B[解析] 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近于0时，y 趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5，故D 成立．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．eB ．1e C ．2e D ．12e[答案] B[解析] 由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛01e －x d x ＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e .7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y x的最大值是( ) A ．32B ．33C. 3 D ．12[答案] C[解析] 由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3， 此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率． 由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为3，故选C.8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )[答案] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在－2的左侧f ′(x )<0，而－2的右侧f ′(x )>0，所以C 项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n ＋2B ．14，n ＋n ＋2C ．28，n 2D ．12，n 2＋n2[答案] A [解析]根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.10.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x[答案] D[解析] 若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ， 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x e －x，则f ″(x )＝2e －x－x e －x＝(2－x )e －x. 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1 [解析] 复数1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ， 故(1＋i 1－i )2＝i 2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． [答案] 34·34k ＋1＋52·52k ＋1[解析] n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1能被14整除，因此，我们需要将n ＝k ＋1时的式子构造为能利用n ＝k 的假设的形式.34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＋34·52k ＋1－34·52k ＋1＝34(34k ＋1＋52k ＋1)＋(52－34)52k ＋1，便可得证．13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．[答案] (－∞，0)∪(9，＋∞)[解析] 由题意得y ′＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a )2－4×3×3a >0，解得a <0或a >9.15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[答案] (－3，－1)∪(0,1)[解析] x ·f ′(x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x∵(－3，－1)是f (x )的递增区间， ∴f ′(x )>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f (x )的递减区间， ∴f ′(x )<0的解集为(0,1)．故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015·山东青岛)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|.(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|i－1|3＝2 2. (2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆．而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.17．设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围． [解析] (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)． 当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值． 当k >0时，由(1)知f (x )的极小值为f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0，即k 2>4， 又k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.19.设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点． [解析] (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝A ． ①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20.(2014·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)a 1＝S 1＝2a 2－3×12－4×1＝2a 2－7①a 1＋a 2＝S 2＝4a 3－3×22－4×2＝4(S 3－a 1－a 2)－20＝4(15－a 1－a 2)－20，∴a 1＋a 2＝8②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 2＝5，∴a 3＝S 3－a 1－a 2＝15－8＝7，综上a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n ＝1时，a 1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －12k a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ·(2k ＋1)＋3＋12k＝4k 2－12k ＋3＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1这就是说n ＝k ＋1时，猜想也成立，从而对一切n ∈N *，a n ＝2n ＋1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)设∠BAO ＝θrad ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小．[解析] (1)延长PO 交AB 于点Q ，则PQ 垂直平分AB .若∠BAO ＝θrad ，则OA ＝AQcos ∠BAO ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ.故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10(0≤θ≤π4)．(2)y ′＝－10cos θ·cos θ－－10sin θ－sinθcos 2θ＝θ－cos 2θ.令y ′＝0，得sin θ＝12.因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6.当θ∈[0，π6)时，y ′<0，则y 是关于θ的减函数；当θ∈(π6，π4]时，y ′>0，则y 是关于θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10)．故当点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处时，三条排污管道的总长度最小．。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限解析：∵z＝2－i＝(2.-1)，在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。
答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A。
10B。
5/3C。
－1D。
－7/3解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝7(x－1)+10时，x＝7/3.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。
A。
①②③B。
①③C。
①D。
②③解析：类比①的结论为：平行于同一个空间的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个空间如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个空间与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。
答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A。
极大值5，极小值－27B。
极大值5，极小值－11C。
极大值5，无极小值D。
极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。
答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A。
(0，＋∞)B。
(－∞，1)C。
(1，2)D。
(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，即x＝1/2，y′(x)＝8x－1/x^2＞0，所以y＝4x^2＋1/x在(0，＋∞)上单调递增。
高中数学-选修2-2模块测试卷（含详细答案）
高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y 是增函数（大前提）,而xy)31(是指数函数（小前提），所以xy )31(是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB u u u r u u u r，对应的复数分别为2332i i ，，那么向量BA u u u r对应的复数是（）A ．55iB ．55iC ．55iD ．55i3．函数x x x f ln )(，则（）A ．在(0)，上递增B ．在(0)，上递减C ．在1(0)e，上递增D ．在1(0)e，上递减4．如右图，阴影部分面积为（）A ．[()()]ba f x g x dxB ．[()()][()()]c ba c g x f x dx f x g x dx C ．[()()][()()]c b acf xg x dx g x f x dxD ．[()()]b ag x f x dx 5．证明：2111111(1)22342n n nnL ，当2n 时，中间式子等于（）A ．1B ．112C ．11123D ．11112346．42xe dx 的值等于（）A ．42e eB ．42eeC ．422eeD ．422ee7．函数2sin(2)y xx 导数是（）A ．2cos(2)x x B ．22sin(2)x xx C ．2(41)cos(2)xx x D ．24cos(2)xx8．抛物线2yxbxc 在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c间的距离是（）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x ，则必有（）A ．(0)(2)2(1)f f f B ．(0)(2)2(1)f f f C ．(0)(2)2(1)f f f D ．(0)(2)2(1)f f f 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数22563m m mm i 是纯虚数，则实数m _________．12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232sttt ，那么速度为零的时刻是_________．13．若函数()y f x 的图象在4x 处的切线方程是29yx ，则(4)(4)f f _________．14．已知2()ln(22)(0)f x xax a a，若()f x 在[1)，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz，若21i()zaz b a b R ，，求a b 的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)xx f x x x≤，，试求π21()f x dx ．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab ．求证：log log 4lg a b c c c ≥．19．（本小题满分14分）在数列n a 中，113a ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n 倍*()nN ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x xx ．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x 的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x xax ，()()5g x f x ax ，其中()f x 是()f x 的导函数．（1）对满足11a ≤≤的一切a 的值，都有()0g x ，求实数x 的取值范围；（2）设2am ，当实数m 在什么范围内变化时，函数()yf x 的图象与直线3y只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．212．1秒或2秒13．3 14．12a ≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S 三、解答题16．解：2i 33i 3i 1i 2i2iz，2(1i)(1i)1i a b，()(22i)1i ab ，1a b ．17．解：ππ02211()()()f x dxf x dxf x dxπ221(cos 1)x dx x dxπ20201(sin )3xxx 1π4π13232．18．证明：由于1a ，1b ，故要证明log log lg a b c c c ≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c c c ab ≥，又1c ，lg 0c，所以只需证明11lg lg ab≥，即lg lg 4lg lg a ba b≥．因为10ab ，所以lg lg 1a b ，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a ，1b ，所以lg 0a ，lg 0b ，所以2lg lg 10lg lg 24a ba b ≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a ，123(21)n n a a a a n a nL ，分别取2345n ，，，，得2111153515a a ，312111()145735a a a ，4123111()277963a a a a ，51234111()4491199a a a a a ，所以数列的前5项是113a ，2115a ，3135a ，4163a ，5199a ；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)na n n ．下面用数学归纳法证明：①当1n 时，猜想显然成立．②假设当nk 时猜想成立，即1(21)(21)k a k k ．那么由已知，得12311(21)1kkk a a a a a k a k L，即21231(23)kk a a a a kk a L．所以221(2)(23)kkkk a kk a ，即1(21)(23)kkka k a ，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k ka k k ，所以11(21)(23)ka k k，即当1n k 时，公式也成立．由①和②知，对一切*nN ，都有1(21)(21)na n n 成立．20．（1）解：由已知1()f x xx，当[1e]x ，时，()0f x ，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e(e)12f ，1(1)2f ，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e12，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x xxx ，则221(1)(12)()2x x x F x xxxx．因为1x ，所以()0F x ，所以函数()F x 在区间(1)，上单调递减，又1(1)06F ，所以在区间(1)，上，()0F x ，即2312ln 23xxx ，所以在区间(1)，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x 图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x xax a x ax，设2()(3)35a x a x ，11a ≤≤．对11a ≤≤中任意a 值，恒有()0g x ，即()0a ，(1)0(1)0，，即2232080x x xx ，，解得213x ．故213x，时，对满足11a ≤≤的一切a 的值，都有()0g x ．（2）22()33f x x m ，①当0m 时，3()1f x x的图象与直线3y 只有一个公共点．②当0m时，列表：()()f x f m 极小．又()f x Q 的值域是R ，且在()m ，上单调递增，当x m 时，函数()y f x 的图象与直线3y只有一个公共点；当x m 时，恒有()()f x f m ≤．由题意，得()3f m ，即3221213m m m，解得33(20)(02)m U ，，．综上，m 的取值范围是33(22)，．x ()m ，m ()m m ，m ()m ，()f x 0()f x Z极大值]最小值Z。
高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥． 19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明． 20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值； （2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得33(20)(02)m ∈-，，．综上，m 的取值范围是33(22)-，．极大值最小值。
高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)
高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)2高二数学第七周周考试题（理科）——选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
班级 姓名第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i ix x 上的近似值（ ）（A ）只能是左端点的函数值)(ix f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f（C ）可以是该区间内的任一函数值()∈iif ξξ(],[1+i ix x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)izm m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若12z z-=，则m 的值为 （ ）(A) 4 (B) 1- (C) 6 (D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是（ ）（A ）2x y x y ++->（B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x →--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（ ）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－25．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（ ）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ）)3,3(-或)11,4(-3（D ）不存在7.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（ ） A.24B.22C.20D.12 8. 已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>c B ．c>a>b C ．c>b>a D ．b>c>a9.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．)3+∞ B.)3+∞ C.()+∞ [)+∞10. 已知数列{}na 满足12a=，23a=，21||n n n aa a ++=-，则2009a＝（ ） A ．1 B.2 C.3D.011. 函数()ln f x x x =的大致图像为（ ）12. ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（ ）A B ．1 C ．0 D 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）13．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ． 14．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角,记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系,可以求得当2n …时,()f n = ． 15.已知向量(,1,0),(1,2,3),a xb ==r r若a b⊥r r ，则x ＝_____________A B C D 12 2 1416.若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___ 三 解答题（本大题共5小题，共54分）17（本小题满分10分）(1) 求定积分1222x dx --⎰ 的值； (2)若复数12()z a i a R =+∈，234zi=-，且12z z 为纯虚数，求1z18（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为l ，要使其体积最大，求高为多少？19（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求()f x 的单调区间； （2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b a b a -≥-．520（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准） （1） 设ia R +∈，ib R +∈，12,,i n =L ，且12122n n a aa b b b ++=++=L L求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++L（2）设ia R +∈（12,,i n =L ）求证：21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++L L L21（本小题满分12分）设数列{}na 满足211123,,,,,n n n aa na n +=-+=L（1） 当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出{}na 的一个通项公式；（2） 当13a ≥时，证明对所有1n ≥，有 ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++L6新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一 选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B 7D 8C 9 D 10 A 11A 12 C二 填空题13 1-i 14 222n n -+ 15 -2 16 -1 三 解答题 17(1)1823+ （2）10318 当高33h l =时，32327maxVl π=19 （1）单调增区间0(,)+∞ ，单调减区间10(,)- （2）切线方程为44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥ 而1111()ln()f x x x =++-+，设1,t x =+则11()ln F t t t=+-，由（1）结论可得，011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，由此10min()()F t F ==，所以10()()F t F ≥=即110()ln F t t t=+-≥，记a t b=代入得证。
高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23， 只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立． 由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。
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（1）求 的单调区间；
（2）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数 与 ，恒有 ．
18、已知 ， （ ），求证：
19、设数列 满足
（1）当 时，求 ，并由此猜想出 的一个通项公式；
（2）当 时，证明对所有 ，有
1 ②
新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案
一 选择题
18 （选做题：从两个不等式任选一个证明，当两个同时证明的以第一个为准）
（1）证：左式=
=
=
（2）证：由排序不等式，得：
，
两式相加： ，从而
，即证。
19
6．函数 在 处有极值10, 则点 为（ ）
（A） （B） （C） 或 （D）不存在
7． ，则 的最小值为 （ ）
(A)1(B) (C) (D)
8．曲线 ， 和直线 围成的图形面积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
9．点 是曲线 上任意一点, 则点 到直线 的距离的最小值是（ ）
(A)１(B) (C)２(D)
高二数学选修2-2模块综合测试题
班级
一．选择题：
1．在“近似替代”中，函数 在区间 上的近似值（ ）
（A）只能是左端点的函数值 （B）只能是右端点的函数值
（C）可以是该区间的任一函数值 ）（D）以上答案均正确
2． ，m为实数，若 ，则m的值为 （ ）
(A)4(B) (C)6(D)0
3．已知 ,下列各式成立的是（ ）
1 C 2 B 3 D 4 D 5 A 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A
二 填空题
11 1-i 12 13 14 ③⑤
三 解答题
15 (1) （2）
16 当高 时，
17 （1）单调增区间 ，单调减区间
（2）切线方程为
（3）所证不等式等价为
而 ，设 则 ，由（1）结论可得， 由此 ，所以 即 ，记 代入得证。
13．设函数f(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则f(x)在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0,1］上的最大值为．
14．设 ， ， ，且 ， ，则 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1
三 解答题
15、若复数 ， ，且 为纯虚数，求
16、现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为 ，要使其体积最大，求高为多少？
10． （ ），当 时， 的最大值为 ，则 最小值为（ ）
(A) (B)１(C) (D)２
二．填空题
11．定义运算 ,若复数 满足 ,其中 为虚数单位,则复数 ．
12．如图,数表满足:⑴第 行首尾两数均为 ;⑵表中递推关系类似辉三角,
记第 行第2个数为 .根据表中上下两行数据关系,
可以求得当 时, ．
（A） （B） （C） （D）
4．设f(x)为可导函数， =－1，则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是（ ）
（A）2 （B）－1（C） （D）－2
5．若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）必要条件