立体几何综合大题20道

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,,

.

(Ⅰ)求证:⊥平面；

(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线

AC PA ,都垂直，

故⊥平面。 (Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=

∆π

BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331

31=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：4

1

32813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-

=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，

90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD

的中点．

（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P

∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF P 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面

ABCD AD =，

所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高．

O

由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =⋅⋅=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，

E PC 为的中点，45DAC ∠=o ，AC =

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面Θ PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥Θ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面Θ

∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ∆的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ∆∆+=222

3

22122221=⨯⨯+⨯⨯=

．

的中点，

为线段点PC E Θ 11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算. 4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．

(1) 求证：AD PQB ⊥平面；

(2) 若平面平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【答案】

（1）PA PD =Q ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，，

ABD ∴∆为等边三角形，为的中点，

AD BQ ∴⊥,

PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .

（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

Q PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,

平面PAD ⋂平面ABCD AD =, 平面平面ABCD ，

PQ ABCD ∴⊥平面 ,

QC ⊂ABCD 平面 ,

PQ QC ∴⊥

//PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面,

又12PM PC =,11222MH PQ ∴=

==. 在菱形ABCD 中，2BD =,

01

sin 602

ABD S AB AD Λ=⨯⨯⨯1=222⨯⨯

∴2ABD ABCD S S ∆==菱形

M ABCD V -1

3

ABCD S MH =⨯⨯菱形13=⨯1=．

5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.

【答案】(1) 证明：由题可知，

(2) ，则 .