(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练

第3讲 圆锥曲线中的综合问题

专题强化训练

1．已知方程x 2

2－k ＋y 2

2k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)

C ．(1，2)

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1

＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA →·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO 和△AFO 的面积之和的最小值为( )

A.18

B.52

C.54

D.65

2 解析：选D.设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，

⎩

⎪⎨⎪⎧4y 2

＝x x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0， 根据根与系数的关系有y 1·y 2＝－m

4，

因为OA →·OB →

＝15，

所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝15，从而16(y 1·y 2)2

＋y 1·y 2－15＝0， 因为点A ，B 位于x 轴的两侧， 所以y 1·y 2＝－1，故m ＝4.

不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，如图所示．又F (

1

16

，0)， 所以S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2

y 1≥2

65y 132×2

y 1

＝65

2

， 当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝865

65时，取“＝”号，所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值

是

65

2

，故选D.

3．(2019·绍兴市柯桥区高考数学二模)已知l 是经过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)

的焦点F 且与实轴垂直的直线，A ，B 是双曲线C 的两个顶点，若在l 上存在一点P ，使∠APB ＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )

A.

23

3

B. 3 C ．2 D ．3 解析：选A.设双曲线的焦点F (c ，0)，直线l ：x ＝c ， 可设点P (c ，n )，A (－a ，0)，B (a ，0)， 由两直线的夹角公式可得

tan ∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k PA

－k PB

1＋k PA ·k PB

＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪n c ＋a －n c －a 1＋n 2

c 2－a 2

＝

2a |n |n 2

＋（c 2－a 2

）＝2a

|n |＋

c 2－a 2

|n |

＝tan 60°＝3，

由|n |＋c 2－a 2

|n |

≥2

|n |·c 2－a 2|n |

＝2c 2－a 2

，

可得3≤

a c 2

－a

2

，

化简可得3c 2≤4a 2

，即c ≤233a ，

即有e ＝c a ≤

23

3

.

当且仅当n ＝±c 2－a 2，即P (c ，±c 2－a 2

)，离心率取得最大值233.

故选A.

4．(2019·福州质量检测)已知抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ |

|PF |

＝( )

A. 2 B ．2 C. 5 D ．5

解析：选C.由题意知，抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点F (1，0)，准线l ：x ＝－1与x 轴的交点

为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－1

y ＝2（x －1），x ≤1，得点Q 的坐标为(－1，－

4)，所以|FQ |＝2 5.

又|PF |＝|PP 1|，

所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|QF ||FF 1|＝252

＝5，故选C.

5．(2019·鄞州中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2

b 22

＝1(a 2

＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF 1⊥PF 2，e 1，e 2分别是两曲线C 1，C 2的离心率，则9e 2

1＋e 2

2的最小值是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．16

解析：选C.设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴长为2a 2，取椭圆与双曲线在一象限内的交点为P ，由椭圆和双曲线的定义分别有|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1①，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2②，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝4c 2

③，

①2

＋②2

，得|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝2a 2

1＋2a 2

2④，

将④代入③得a 2

1

＋a 22

＝2c 2

，则9e 21

＋e 22

＝9c 2

a 21＋c 2

a 22＝5＋9a 2

22a 21＋a 2

1

2a 22

≥8，

故9e 21＋e 2

2的最小值为8.

6．(2019·金华十校二模)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一

个端点与抛物线x 2

＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：选A.抛物线x 2

＝2py 的焦点为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

0，p 2，所以可得b ＝p

2，因为2a ＝42⇒a ＝22，

所以双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，可求得渐近线方程为y ＝±p 42x ，不妨设y ＝kx －1与y ＝

p

42x 平行，则有k ＝p 42.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1x 2＝2py

⇒x 2－p 222x ＋2p ＝0，所以Δ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，

解得p ＝4.

7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知椭圆的方程为x 29＋y 2

4＝1，过椭圆中心的

直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．

解析：连接AF 1，BF 1，则由椭圆的中心对称性可得C △ABF 2＝AF 2

＋BF 2＋AB ＝AF 1＋AF 2＋AB ＝6＋AB ≥6＋4＝10，

S △ABF 2＝S △AF 1F 2≤12

·25·2＝2 5.

答案：10 2 5