备战中考数学一元二次方程综合题附答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--．

2．解下列方程：

（1）x 2﹣3x=1．

（2）12

（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-=

= ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，

∵b 2﹣4ac=13＞0

∴

． ∴12313313,22

x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，

∴12223,223y y =-+=--

3． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;

或( x≥m) ；

4．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使得x 1·

x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.

试题解析：

（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14

k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-

+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+

代入得：22364410k k k k +---≥，

化简得：()210k -≤，

得1k =.

由于k 的取值范围为14

k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．

5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400，

解得 x 1=20，x 2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去． 即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

6．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.

（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.

【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.

【解析】

【分析】

（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把

2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】

证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，

x 2﹣5x+6﹣p 2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，

∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，

∴1+4p 2＞0，

∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，

∵2212

123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，

∴52=5（6﹣p 2），

∴p=±1．

考点：根的判别式；根与系数的关系．

7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折.

【解析】

【详解】

解：（1）设每千克核桃应降价x 元.