311倾斜角与斜率教案
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教师课时教案教师课时教案问题与情境及教师活动当直线1与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线1 向上方向Z间所成的角a叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与X轴平行或重合时，规定a二0° .问：倾斜角a的取值范围是什么？0° Wa <180。
.当直线1与x轴垂直时，a二90°・因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.学生活动教学过程及方法如图，直线d〃b〃c,的倾斜角a相等吗？答案是肯定的•所以一个倾斜角a不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角a .(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角a (aH90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k = tan a⑴当直线1与x轴平行或重合时，a=0° , k = tan0° =0;⑵当直线1与x轴垂直时，a= 90° , k不存在.由此可知，一条直线1的倾斜角a 一定存在，但是斜率k不一定存在.例如：a =45°时，k = tan45° = 1;a =135°吋，k = tanl35° = tan(180°一45° )二- tan45° = - 1.学生完成学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三)直线的斜率公式：给定两点Pl(xl, yl), P2(x2, y2), xlHx2,如何用两点的坐标来表示 直线P1P2的斜率？ 可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何 作辅助线， 共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当xl=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a =90° ,直线与x 轴垂直；(2) k 与Pl 、P2的顺序无关,即yl,y2和xl, x2在公式中的前后次 序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接市直线上两点的坐标求得；(4) 当yl 二y2时，斜率k 二0,直线的倾斜角□二0° ,直线与% 轴平行或重合.(5) 求肓线的倾斜角可以由肓线上两点的坐标先求斜率而得到.(四)例题:例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线 AB, BC, CA 的 斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析：已知两点坐标，而且xlHx2,由斜率公式代入即可求得k 的值；教 学 过程 及 方法学生完成课后反田亲爱的同学:经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的, 在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧!怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。
倾斜角与斜率 说课稿 教案 教学设计
倾斜角与斜率●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？⇒引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.直线的倾斜角【问题导思】1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？【提示】不能．2．在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？【提示】不同．1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？ 【提示】 不同，因为32≠22.2．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？【提示】 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角 (范围) α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率 (范围) 0k >0不存在 k <0过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).直线的倾斜角的理解设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135° 【思路探究】 画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．【自主解答】 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α＜180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α＜135°，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】 D1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．求直线的斜率求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)； (3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．【思路探究】 依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件． 【自主解答】 (1)直线的斜率k ＝3－0－2－(－3)＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求直线AB 斜率和倾斜角的步骤：(1)当x 1＝x 2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；(2)当x 1≠x 2时，直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，倾斜角α利用k ＝tan α求得．斜率与倾斜角的应用已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角已知可以求出其斜率且P 1、P 2、P 3均在直线l 上，故任两点的斜率均等于直线l 的斜率，从而可以解出x 2，y 1的值．【自主解答】 ∵α＝45°， ∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上， ∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k . ∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1， 解之得：x 2＝7，y 1＝0.用斜率公式可解决三点共线问题：如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 【解】 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74.∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .即1－m 4＝74， ∴m ＝－6.因忽略直线斜率不存在的情况致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在． 【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.。
倾斜角与斜率教案
倾斜角与斜率教案教案：倾斜角与斜率教学目标：1. 理解倾斜角和斜率的概念和定义；2. 掌握计算直线斜率和倾斜角的方法；3. 能够应用斜率和倾斜角解决实际问题。
教学准备：1. 教材：含有直线斜率和倾斜角概念和计算方法的教材或课本；2. 教具：黑板、白板、笔、直尺等。
教学过程：Step 1: 引入概念介绍直线的斜率和倾斜角的概念，以及它们之间的关系。
Step 2: 斜率的计算方法1. 解释斜率的定义：直线的斜率是直线上任意两点之间的高度差与水平距离之比。
2. 讲解斜率的计算方法：使用点斜式、两点式或截距式等方法计算直线的斜率。
Step 3: 倾斜角的计算方法1. 解释倾斜角的定义：直线的倾斜角是直线与水平线之间的夹角。
2. 说明倾斜角和斜率的关系：斜率等于倾斜角的正切值。
Step 4: 实例演练通过多个实例演示如何计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。
Step 5: 讲解斜率和倾斜角的应用介绍斜率和倾斜角在实际问题中的应用，如在工程、物理和几何等领域。
Step 6: 练习与巩固提供一些相关的练习题，让学生进行计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。
Step 7: 总结和评价总结斜率和倾斜角的计算方法和应用，并进行综合评价。
教学提示：1. 强调斜率和倾斜角的定义和计算方法的记忆和理解，以便学生能够运用到实际问题中；2. 鼓励学生主动思考和提问，加深对斜率和倾斜角概念的理解；3. 配合实例演练和练习题，让学生在思考和解答问题中巩固知识点。
教学延伸：1. 扩展学生的思维，让他们能够利用斜率和倾斜角的概念和计算方法解决更复杂的问题；2. 让学生观察和探索其他图形的倾斜角和斜率，拓宽对斜率和倾斜角的应用范围；3. 引导学生进行实地考察和调查，了解斜率和倾斜角在实际中的应用情况。
倾斜角与斜率 优秀教案
倾斜角与斜率【教学目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题。
【教学重难点】重点：倾斜角与斜率的概念难点：直线的斜率与倾斜角的关系【教学过程】一、课前准备复习 1：在直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不 能确定一条直线呢？复习 2：在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭， 有时也说坡度，这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢？二、新课导学探究点一：①倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination ）。
发现：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角。
注意：当直线与轴x 平行或重合时，我们规定它的倾 斜角为 0 度。
思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系一条直线的倾斜角 α （ ） 的正切值叫做这条直线的斜率（slope ）。
记为k= tan 。
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为（1）α=0°时，则k（2）0°<α< 90°，则k（3）α= 90°，，则k（4）90 °<α< 180°，则k③ 已知直线上两点1p （),11y x ，),(222y x p （21x x ≠）的直线的斜率公式：1212x x y y k --= 。
探究任务二：1．已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A 、B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？三、典型例题分析例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：30a =。
； 135a =。
； 60a =。
高中数学_3.1 直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思
直线的倾斜角与斜率一、教学内容与目标1、内容：直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、目标：①初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想②理解直线倾斜角与斜率的概念③掌握过两点的直线的斜率公式二、知识背景与内容引导1、情境引入：以“爱心”曲线r=a(1-sinθ)为引子，介绍解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想。
进一步了解解析几何的基本内涵和方法，设计意图：感悟本章的“灵魂”，打好开章之局，统领全局。
为后续的学习探究“埋好暗线”。
2、明确目标：以思想方法为指引，明确本节课的学习目标，开启本节课的探索学习。
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，以实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的。
问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？设计意图：明确几何与解析几何研究内容的一致，方法的区别。
三、知识探究【一】用倾斜角刻画直线的位置问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？（预设，还有没有其他确定一条直线的方法？）问题3：我们利用直角坐标系进一步确定直线位置的几何要素。
观察下图中经过定点p的直线束，他们的区别是什么？你能利用直角坐标系中的一些元素讲这些直线区分开么？追问：如何表示这些直线的方向？能否利用图中的元素确定它的方向？生成：构建概念倾斜角：追问：你认为直线的倾斜角在什么范围：规定：自主测试1.下列图中表示直线倾斜角为( )3.如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在3.已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°,则直线l 的倾斜角为__________ 设计意图：正确理解应用倾斜角，明确倾斜角对直线方向的刻画。
【二】推导直线的斜率公式问题4：直线l 的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？探究：直线l 可由其上任意两点)(),(),,(21222111x x y x P y x P ≠其中唯一确定，可以推断，直线l 的倾斜角一定与21,P P 两点的坐标有内在联系。
3、1、1倾斜角与斜率教案.doc
3、1、1 倾斜角与斜率学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】 1、 拿握直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式；2、 了解斜率公式的推导过程，会运用斜率公式解决简单的题口，通过斜率 公式的推导过程培养学生数形结合的解题能力，止了生有运用图形的意识.【教学效果】：教学tl 标的给出，有利于学牛整体上把握课堂.二、【口学内容和要求及口学过程】1、阅读教材第82页内容，然后回答问题（倾斜角）〈1＞如图所示，在直角朋标系中，过点P 的一条直线绕P 点 旋转，不管旋转多少周，它对龙轴的相对位置有儿种情形？〈2＞过一点P 可以做无数条直线，它们能组成一个直线朿, 这些直线区别在哪里呢？也就是说怎样描述直线的倾斜 程度呢？〈3＞直线的倾斜角是怎么规定的呢？它的范围是多少?结论:＜1＞引入倾斜角和斜率；＜2＞用倾斜角；＜3＞当直线/与兀轴相交 时，我们取X 轴作为基准，无轴巫向与直线/向上方向之间所形成的角Q, 叫做直线/的倾斜角.倾斜角的范围是：0°5兀＜180°,规定当直线与x 轴 重合或平行时，倾斜角为0°.练习一:①我们引入倾斜角的意义是什么？②引入倾斜角以后，确定 平面直角处标系中一条直线位置的儿何要素是什么？（除了两点确定一条 直线）.【教7效杲】：倾斜角的范围以及意义，要理解清楚.2、阅读教材第83页内容，然后回答问题（斜率的概念）＜4＞日常牛活中还有没有表示倾斜程度的量？〈5〉联系问题〈4＞,你能给出斜率的概念吗？〈6〉请同学们回忆一卞初中学习过的知识，tan90°存在吗？也就是说若一 条直线的倾斜角是直角，那么它的斜率存在吗?结论:＜4＞日常生活中，我们经常用“升高量与前 进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即“坡 度比=升高量/前进量”，如图所示；＜5＞如果我们使用“倾斜角”这个槪念，那么这里的“坡度比”实际就是“倾斜角Q 的正切”. 升 A我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母R来表示，即：k = tan a;＜6＞因为直角的正切不存在，所以倾斜角是直角的直线斜率不存在，或者说没有斜率.练习二:①联想一下坡度比的概念，说一说为什么倾斜角是直和的直线的斜率不存在，你能明口其中蕴含的道理吗？②倾斜角为下列角度吋，直线的斜率是多少? ^ = 30°、45°、60°、120°、135、°150°・③若倾斜角非特殊角，譬如a =41°时，直线的斜率怎么表示？【教学效果人每一条直线都有一个固定的倾斜介，但并不是每一条直线都有斜率.3、阅读教材第84—85页内容，回答问题；（斜率公式及推导）〈7＞如果给定两点片（兀］,必）,马（兀2，乃），兀1工兀2,你能求出直线片£的斜率k吗?请你分类讨论一下，并请你写出求解过程过程；结论＜7＞我们可以很容易得到斜率公式为k = y2 - x /勺-兀|，求解过程见教材84页.练习三:①当直线与兀轴平行或重合时，斜率公式还成立吗？为什么？当立线与y轴平行或重合时，上述公式还成立吗？为什么？②已知直线上两点A （“,°2）,〃（勺,$），运用上述公式计算直线的斜率时，与A、3两点的处标的顺序有关吗？为什么？④请同学们自学教材第85页例1、例2,体会例1、例2中间所蕴含的知识点；⑤请同学们完成教材第86页练习2、3、4.【教学效果】：要理解斜率公式以及其推导公式，要会运用斜率公式.三、【作业】1、必做题:习题3. 1A组1、2、3、4、5；2、选做题:习题3. 1B组1、5.四、【小结】本节课主要学习了三个内容，倾斜角、斜率、斜率公式及推导过程. 要求学牛能熟练的背诵特殊角的三角函数值，了解止切函数的简单性质，能理解正切公式的推导过程，解决简单的关丁斜率的问题，以及三点共线的证明题.五、【教学反思】本节课知识点比较碎，要求学生能做好总结.总体上说，这节课内容比较简单，是学生初中已经接触过的内容，所以要提醍学生不要以为知识简单就掉以轻心，耍养成严谨、严肃的学习习惯.【数学教陈景润】陈景润(1933年5月22日〜1996年3月19 H),汉族,福建福州人, 中国著名数学家，厦门大学数学系毕业.1953年〜1954年在北京四中任教, 因口齿不淸，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，后被“停职冋乡养病”, 调回厦门人学任资料员，同时研究数论，对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类牛活的密切关系等问题也作了研究.1956年调入中国科学院数学研究所.1980年当选中科院物理学数学部委员.他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先，被称为哥徳巴赫猜想第一人.I比界级的数学大师、美国学者安徳烈•韦伊(AndrQ Weil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走•”历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职.。
高中数学必修2：3.1 直线的倾斜角与斜率 教案2
直线的倾斜角和斜率一、教学目标1、 知识目标：掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围和斜率的坐标公式，并能应用概念及公式解决相关题目。
2、 能力目标：培养学生运用代数方法解决几何问题，通过学生在学习过程中自我探索斜率坐标公式培养学生发现问题，解决问题的自学能力。
3、 情感目标：从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。
二、教学重、难点1、 教学重点：倾斜角以及斜率的定义。
2、 教学难点：怎样理解求解直线斜率的坐标公式的推导。
三、教学过程1、 设置悬念，给出一道思考题（写在小黑板上）（这是一道需运用本节课所学内容才能最终确定的题目。
题目设置上不会太难，运用数形结合的方式给出题目同时与实际生活相连。
让同学能够对题目答案进行猜测。
）同学们只要学习了本节内容，就能对问题有更好的理解，到时我们再看还会不会出现分歧。
现在，就让我们一起进入新课的学习。
2、 引入新课，从确定一条直线的要素开始前面，我们学习了一点不能唯一确定一条直线，但在一点基础上再加一点就可以了（两点确定一条直线）。
那么现在我想请同学们思考一个问题：除了加多一个点外，在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线？老师指导：我们在已经学习的坐标平面上来讨论这一点。
（板书，画坐标平面以及一条直线，点出直线上一点。
）学生讨论，老师提问并点评，最后指出所加的条件为直线与x 轴的夹角。
3、 新课讲授，按部就班，逐步深入1） 倾斜角定义我们在数学上称这个角为倾斜角，现在给出准确的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角A 叫做直线l 的倾斜角。
对定义进行三方面的诠释 ：1、直线的向上方向，2、x 轴的正方向，3、倾斜角是小于180°的正角。
最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角。
（这是对教学重点的突破）这样，用小黑板将直线倾斜角的可能情况显示出来（共四种情况：平行于x 轴，经过一、三象限，垂直于x 轴，经过二、四象限）注明倾斜角的大小范围是[0°，180°）。
3.1直线的倾斜角与斜率教案3
3.1直线的倾斜角与斜率教案3第一篇：3.1 直线的倾斜角与斜率教案3直线的倾斜角和斜率知识和技能目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．过程和方法目标：通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。
掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。
情感价值观目标：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。
（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学过程：（一）直线方程的概念一般地，满足函数式的每一对,的值，都是直线上的点的坐标（，因此，一次函数）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式的图象是一条直线，它是以满足从方程的角度看，函数次函数的每一对,的每一对x，y 的值为坐标的点构成的．也可以看作是二元一次方程的值“变成了”二元一次方程，这样满足一的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30° ß--à45° ß--à135°ß--à＝＝＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系(1)直线变化→α变化→(2)中的系数变化（同时注意α的变化）．α的变化）．中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1)＝-(2)＝tg60°(3)＝tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．结合图3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0°ß—à0°＜α＜90° ß—à＝0 ＞0α＝90°ß--à不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：（首先由学生提出思路，教师启发、引导）运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？)直线的倾斜角和斜率．(4)求经过两点(0，0)、(-1，(5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．(3)＝（），没有．【作业】1.书上（略）2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？3.直线的倾斜角和斜率搜集整理.第二篇：直线的倾斜角与斜率教案8.1.2倾斜角与斜率张汉雷一、教学目标1、知识技能目标：(1)初步了解直线倾斜角的概念，并会判直线的倾斜角。
高中数学必修2：3.1 直线的倾斜角与斜率 教案4
直线的倾斜角和斜率一、素质教育目标1、知识教学点⑴“直线的方程”和“方程的直线”的概念⑵直线的倾斜角和斜率⑶斜率公式2、能力训练点（1） 了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念（2） 理解直线的倾斜角和斜率的概念公式（3） 掌握过两点的直线的斜率。
（4） 培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力二、学法指导本节主要学习直线的方程和方程的直线间与的关系，直线的倾斜角和斜率的联系与区别，斜率的两个公式：k=tan α,k=2121x x y y --及注意务必倾斜角不等于90º；并要会逆用公式求倾斜角。
明白方向向量与斜率的关系。
请沿着以下的脉络学习，学习过程中要注意概念的理解、辨析和公式的记忆以及有关思想方法的领会与把握。
1、重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式2、难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式四、课时安排本课题安排2课时五、教与学过程设计第一课时 直线的倾斜角和斜率学习目标：（1） 了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念（2） 理解直线的倾斜角和斜率的定义（3） 已知直线的倾斜角，会求直线的斜率（4） 已知直线的斜率，会求直线的倾斜角教学过程直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。
初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。
本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。
1、复习回顾⑴回顾一次函数的图象及性质形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。
⑵画出下列一次函数的图象① y = 2x + 4 ② y = －2x + 2小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。
3.1.1《倾斜角与斜率》教案(精品)
1、通过简单练习引导学生有目的地自主学习.
2、让学生初步了解倾斜角和斜率的概念以及须注意的问题。
3、初步了解斜率公式.
学生自主完成练习，教师在课堂上轻声走动，对个别学生进行有必要的指导。
新
知
探
究
1.在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，这些直线的区别在哪里？
教学重、难点
重点：直线的倾斜角和斜率的式的建立。
教学方法
本节课主要是教给学生“动眼看、动脑想、动口说、动手算、勤钻研”的研究式学习方法，这样增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，让学生产生一种成就感，激发学生的学习兴趣.
教师引导
学生学习
巩
固
练
习
1．直线 经过原点和点 ，则它的倾斜角是，它的斜率是。
2．已知点 ，坐标轴上有一点 ，若 ，则 点的坐标为。
3.已知 三点在一条直线上，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.如右下图中直线 、 、 的斜率分别为k1、k2、k3。则( )
A、k1＜k2＜k3B、k3＜k1＜k2
C、k3＜k2＜k1D、k 1＜k3＜k2
直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。
学生独立完成，教师点评。
拓
展
提
高
过点 作直线 ，若直线 与连结 的线段总有公共点，求直线 的倾斜角 与斜率 的取值范围。
体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。
学生自主完成，教师分析讲解。
教案
《3.1.1倾斜角与斜率》 教学设计
《3.1.1倾斜角与斜率》教学设计安阳市第二中学杨卫娟教学《3.1.1倾斜角与斜率》课题课程新授课类型课时一课时直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，担负着开启教材分析全章的重任。
本节课涉及了两个概念――倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续微积分的学习奠定了基础。
我个人认为，新教材把本节课作为解析几何的入门课是因为解析几何的本质是几何问题代数化，而最简单的几何图形就是直线，新教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用代数法研究几何问题的思想。
因此在本课的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更要落实一种思想――几何问题代数化。
学情分析高一学生经历了函数的学习，初步形成了数形结合的能力，另外通过初中的学习，已经具备了直角坐标系的相关知识，这些都为本节课知识的生长点奠定了基础。
但根据高一普通班学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。
所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。
教学重点直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。
教学难点直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。
教学目标（1）知识与技能理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。
（2）方法与过程通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。
（3）情感态度与价值观体会几何问题代数化的思想，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜悦。
教学方法启发引导，动态演示，讲练结合学法渗透情景观察、活动探究，小组讨论教学手段多媒体辅助教学教学过程设计教学步骤教师活动学生活动（一）指明方向课题引入向学生提出，在平面直角坐标系中点可以用坐标表示，那直线如何表示呢？生活中一些优美的曲线呢？17世纪法国数学家笛卡尔和费马对这个问题进行了深入的思考，创立了解析几何，探索怎样以坐标系为桥梁，把几何问题代数化。
高中数学3.1 3.1.1 倾斜角与斜率优秀教案
3．1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率考点学习目标核心素养直线的倾斜角理解直线的倾斜角的概念数学抽象、直观想象直线的斜率理解直线的斜率的概念，理解倾斜角与斜率的对应关系掌握过两点的直线的斜率公式数学抽象、直观想象、数学运算问题导学预习教材P82－P86的内容，思考以下问题：1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是什么？4．直线的斜率与倾斜角之间有什么关系？1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．■名师点拨(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan α取值范围当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，斜率不存在过两点的直线的斜率公式直线经过两点P 1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1■名师点拨(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任意一条直线都有倾斜角．()(2)任意一条直线都有斜率．()(3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．()答案：(1)√(2)×(3)×如下图，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对解析：选C．根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.直线l经过原点和点(－1，－1)，则它的斜率是()A．1 B．－1C．－1或1 D．以上都不对解析：选A ．k ＝－1－0－1－0＝1.假设A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C ．由于A ，B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．经过两点A (－1，3)，B (2，43)的直线的倾斜角为__________．解析：设此直线的倾斜角为α，则tan α＝k ＝43－32－〔－1〕＝ 3.因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案：60°直线的倾斜角(1)设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° (2)直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，直线l 1和l 2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l 2的倾斜角为________．【解析】 (1)根据题意，画出图形，如下图：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.应选D．(2)设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.【答案】(1)D(2)135°求直线的倾斜角的关注点(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．1．直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为()A．90°－αB．90°＋α90°－αD．180°－αC．||解析：选D．(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°，(如图1)(2)当0°<α<90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图2)(3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图3)(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°解析：选C．直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角的范围是90°<α<180°.直线斜率的计算经过以下两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2，3)，B (4，5)； (2)C (－2，3)，D (2，－1)； (3)P (－3，1)，Q (－3，10)．【解】 (1)存在，直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－〔－2〕＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.应用斜率公式求斜率应注意的问题(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．1．假设直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选A ．因为直线的斜率k 和倾斜角α的关系是：k ＝tan α(α≠90°)， 所以当倾斜角为60°时，对应的斜率k ＝tan 60°＝ 3.2．(20xx·江门检测)经过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A ．由题意得m －4－2－m ＝1，解得m ＝ 1.3．求经过两点A (2，3)，B (m ，4)的直线的斜率． 解：当m ＝2时，直线AB 的斜率不存在； 当m ≠2时，直线AB 的斜率k AB ＝4－3m －2＝1m －2.直线的倾斜角及斜率的应用 角度一 三点共线问题如果A ⎝⎛⎭⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．【解】 由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ．由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝74m －8， k BC ＝－1＋m 4＋4＝m －18.因为点A ，B ，C 在同一条直线上，所以k AB ＝k BC ．所以74m －8＝m －18，即m 2－3m －12＝0，解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.所以m 的值是3＋572或3－572.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x 轴，当任意两点的连线垂直于x 轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．角度二 求参数的范围假设经过两点A (2，1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 因为直线l 的倾斜角为锐角，所以斜率k ＝m 2－11－2>0，所以－1<m <1.【答案】 C解与斜率、倾斜角有关的参数问题时应牢记斜率公式． 角度三 数形结合法求倾斜角或斜率范围直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率的范围和倾斜角的范围．【解】 如下图．因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以45°≤α≤120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．1．A (2，3)，B (－3，－2)，假设直线l 过点P (1，1)与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．k ≥34B ．34≤k ≤2C ．k ≤34或k ≥2D ．k ≤2解析：选C ．k P A ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34.因为直线l 过点P (1，1)与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是：k ≤34或k ≥2.应选C ．2．经过两点A (m ，2)，B (－m ，2m －1)的直线的倾斜角为45°.假设点C (m ＋1，n )在直线AB 上，求m ，n 的值．解：k ＝tan 45°＝2m －1－2－m －m，解得m ＝34.所以A ⎝⎛⎭⎫34，2，C ⎝⎛⎭⎫74，n .又A ，B ，C 三点共线，所以k AC ＝tan 45°＝n －274－34＝nnm 与n 的值分别为34和3.1．给出以下说法，其中正确的个数是( )①假设两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ．假设两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错； 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错； 所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错； 不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)解析：选D ．两点横坐标相同时，直线与x 轴垂直，此时斜率不存在．3．图中α能表示直线l 的倾斜角的是______．解析：结合直线l 的倾斜角的定义可知①可以． 答案：①4．过点(－3，0)和点(－4，3)的直线的倾斜角是________． 解析：设直线的倾斜角为α，直线的斜率k ＝tan α＝3－0－4－〔－3〕＝－ 3.所以直线的倾斜角α＝120°.答案：120°5．A (1，1)，B (3，5)，C (a ，7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．解：由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2.因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。
高中数学 3.1.1直线的倾斜角与斜率教案 新人教A版必修
直线的倾斜角与斜率教学目标:（一）知识与技能1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2、掌握直线的斜率、倾斜角之间的转化关系3、通过学习直线倾斜角与斜率关系，培养学生观察、探索数学能力。
（二）情感态度与价值观1、通过探究直线斜率与倾斜角，初步体验“数形结合”2、通过师生、生生的合作交流，激发其求知欲，培养探索精神.教学重点、难点：重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求过两点的直线的斜率公式.难点：理解倾斜角和斜率之间的关系教学工具：计算机多媒体、实物投影仪教学过程：（一）提出问题：1：怎样确定一条直线？（两点？）2：过一点P ，加一个方向可以吗？（二）探究直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.看一看：（1） 如图三条直线的倾斜角分别是锐角、直角还是钝角？（2）直线的倾斜角的取值范围是什么？画一画：分别画出过点（1，0），(2,0)倾斜角都是4π的直线a 、b. 指出：倾斜角相等两直线平行；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等（三）探究直线斜率1．回顾坡度的含义 =αi tan2:斜率的概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是090的直线没有斜率（为什么？）.斜率常用k 来表示，公式1：tan k =α（090α≠）.巩固定义：（1）倾斜角是045、030、060、090、0120、0135的直线斜率分别是多少？(2) 由上计算探究:直线的斜率k 与倾斜角α的关系？)())()090090180009090180o o o o o o o o k k kαααααα⎡∈⎣↑+∞∈-∞↑⎡∈⋃⎣当，时，随的不断增大，直线的斜率不断增大，由。
当，时，随的不断增大，直线的斜率不断增大，由。
但当，，时，随的增大，无单调性！所以：()()0090090180o o o o k k αααα>∈<∈当时，，即为锐角。
数学《倾斜角和斜率》教案
数学《倾斜角和斜率》教案【教学目标】1.理解倾斜角和斜率的意义及其相互转换关系。
2.掌握通过坐标计算倾斜角和斜率的方法。
3.应用倾斜角和斜率解决实际问题。
【教学重点】1.理解倾斜角和斜率的概念并能相互转换。
2.能应用倾斜角和斜率解决实际问题。
【教学难点】1.能在实际问题中应用斜率和倾斜角进行解题。
2.能根据图像特征确定斜率和倾斜角的符号。
【教学方法】理论讲解、示范演示、问题引导、归纳总结。
【教学工具】黑板、白板、PPT、直尺、量角器、教学实例。
【教学过程】一、导入（5分钟）1.以一幅直线图形为例，问学生直线与坐标轴之间有何关系？其间的概念是什么？2.提问：横坐标变化一定的直线与垂直于x轴的直线之间的关系是什么？请举出一些实际例子。
二、新知呈现（25分钟）1.让学生通过观察图片认知倾斜角和斜率这两个概念。
2.讲解斜率和倾斜角的公式。
3.通过例子演示斜率和倾斜角的计算方法。
4.通过实例分析斜率和倾斜角对于解决实际问题的作用。
三、巩固与练习（20分钟）1.布置练习，要求学生分别通过斜率和倾斜角计算直线的倾斜情况，并应用斜率和倾斜角解决实际问题。
2.教师对学生的练习做出指导及纠正，引导学生加深认识。
四、课堂小结（10分钟）1.通过教师总结，让学生回顾课堂学习内容。
2.发现学生容易出现的问题及疑惑，决定下节课的重点和难点。
【板书设计】倾斜角和斜率斜率k = tanα = （y2 - y1）/（x2 - x1）倾斜角α = arctan k【教学反思】1.本课是数学中的一堂基础性课程，加深了学生对于倾斜角和斜率的概念与应用。
但是在教学过程中，需要考虑学生个体化的差异，对于不同层次的学生需给予不同的细致讲解及巩固练习。
2.教学中落实了以问题为导向的教学理念，让学生在认知之余也能进行实际问题的应用。
从而深入理解倾斜角和斜率的意义及作用，提高数学运用能力。
高一数学(311 倾斜角与斜率)学案2 学案
倾斜角与斜率（学案）一、学习目标：思考题1：如图，直线l 的倾斜角为多少?2. 掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法思考题2：若直线l 上两点分别为（1,2）、（-2,5）则直线l 的倾斜角及斜率分别是多少？二、问题与例题 （一）引言在几何问题研究中，我们往往通过几何图形来研究其性质，本章起我们将学习一种新的研究几何图形性质的方法——坐标法，这种方法以坐标系为桥梁，先把几何问题转化为代数问题，再通过代数运算来研究几何图形的性质，用坐标法研究几何图形性质的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。
大家知道图形可由点构成，平面直角坐标系中的一个点可用一对有序实数对来表示，那么如何用代数的方法表示一个图形呢？（二）课题引入我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。
首先请大家想一想哪些条件可确定直线的位置？如何在坐标系中用代数的方法把这些条件表示出来？（三）新课 1．倾斜角概念问题1：过1p 与2p 两点的直线有几条？过点1p 的直线又有几条？问题2：在直角坐标系中，过点1p 的不同直线的区别在哪里？p的不同直线间的差别呢？问题3：在直角坐标系中，可以用一个什么几何量来反映过点1问题4：根据倾斜角的定义，你认为倾斜角的X围是什么？问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为平面直角坐标系中那些条件可以确定一条直线的位置？2．斜率概念我们已经得到确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？问题7：观察下面一组图形你认为对于斜坡而言，坡的陡峭程度与坡面跟地平面所成角的大小有何关系，这个角的变化又与哪些数量变化有关？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？Array问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？3．斜率公式问题10：我们知道两点可确定一条直线，直线一旦确定，其倾斜角及斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)（其中x 1≠x 2）的坐标来表示吗？如果能请导出它们的关系。
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(4)当y1=y2时,斜率k = 0,直线的倾斜角
α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求
斜率而得到．
(四)例题:
例1已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
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备课人
授课时间
课题
§3．1．1直线的倾斜角和斜率
教
学
目
标
知识与技能
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
过程与方法
启发引导，合作讨论，探究归纳
情感态度价值观
培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α= 90°, k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如：α=45°时, k = tan45°= 1;
河北武邑中学课堂教学设计教学内容教学环节与活动设计
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程
及
方
法
教学内容
教学环节与活动设计
(用计算机作直线,图略)分析:已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时,倾斜角α是钝角;当k = tanα>0时,倾斜角α是锐角;当k = tanα=0时,倾斜角α是0°.
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.
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学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三)直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图,直线a∥b∥c,那么它们YXcbaO
的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P．和一个倾斜角α. (二)直线的斜率:
略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)，所以x = y。
M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1.2. 3. 4.
教
学
小
结
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2)直线的斜率公式.
课后
重点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
难点
斜率的概念和公式.
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）直线的倾斜角的概念
我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
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可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°,直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;
略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1, 2,及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.
反思
河北武邑中学课堂教学设#39;不同.怎样描述这种‘倾斜程度'的不同?
引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
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教学环节与活动设计
特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α= 0°.问:倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α= 90°.