大学物理第12章第3节

NΦ N0 a d b M ln 2 b I
o
dx
I
x
x
a
b
线圈关于直导线对称, 载流直导线产生的磁场在 矩形线圈的磁通量为0.
NΦ 0 M I
d
b 2 b 2
I

a
小结
自感系数
Φ N匝线圈 Ψ NΦ L L I I I
自感电动势
dI i L dt
dΦ Φ LI d(LI ) i dt dt dI d L ( d L dt ) 0 dI L I L dt dt dt dI i L dt
负号表示自感电动势产生的感应电流 的方向总是阻碍线圈回路中电流 I 的变化.
例12.7 有一空心长直密绕螺线管, 长度 为 l , 横截面积为 S , 在单位长度上绕有线 圈匝数为 n , 求线圈的自感系数 L . 解 设长直载流螺线管通有电流 I , 螺 线管内的磁场

1 2
I1
S
I2
B1 n1 I1 , B2 n2 I 2
线圈 2 在线圈 1 的磁场中的磁通链
n l , B n I n1n2 I1lS Ψ 2 1 N 2 B1 S N
2 2 1 1 1
线圈 2 的互感系数
M 21 Ψ 21 I1 n1n2 lS
Ψ 21 Ψ12 M I1 I2
互感系数与线圈的几何形状、线圈的 相对位置及线圈周围的磁介质有关. 互感电动势
dΦ dI 2 dI1 i 21 M , 12 M dt dt dt dI M M dt
互感系数的计算比较困难, 通常用实验 来测定.
对 L2 自感: 2 L2 (dI dt )
互感: 21 M (dI dt ) 2 和 2 1 指向相同
2 21 2
dI dI L2 M dt dt
I
a
L1
L2
b
c
d
总的感应电动势
dI L1 L2 2M 1 2 dt
x dx ar x
0r
二. 互感
Ψ 21 B21, B2 1 I1 Ψ 21 I1 Ψ 21 M 21I1
I1
1
2
B2 1
I2 Ψ 21 21
B1 2
同理: Ψ 1 2 M 1 2I 2
Ψ12 12
M 2 1, M 1 2 : 互感系数 M M 21 M12
L1 和 L2 等效于一个线圈, 复合线圈的自
感系数
dI L dt
L L1 L2 2M
I
a
L1
L2
b
c
d
自感电动势与互感电动势的指向相反, L L 类似的分析得复合线圈 的自感系数
1 2
L L1 L2 2M
I
a
b
d
c
例12.11 一长直载流导线旁放置一长为 a 、宽为 b 的 N 匝矩形导线框, 矩形导线框 与长直导线的位置为如图所示的两种情况, 求矩形导线框与长直导线间的互感系数 M.
互感系数
Ψ 21 Ψ12 M I1 I2
互感电动势
dI1 dI 2 21 M , 12 M dt dt
自感系数与互感系数的关系
M k L1 L2 , (0 k 1)
作业: (P. 113) 12.10 习题册: (P. 2) 8; (P. 7) 5; (P. 9) 6; (P. 12) 6.
这是两个线圈之间没有漏磁的情况.
一般情况
M k L1 L2 , (0 k 1)
复合线圈的自感系数 对 L1 自感: 1 L1 (dI dt ) 互感: 12 M (dI dt )
1 和 1 2 指向相同
L1
L2
I
a
b
c
d
dI dI 1 1 1 2 L1 M dt dt
b 2 b 2
a
d
b
a
解 载流直导线的磁场
0 I B 2 x
I
o x
dx
x
a
b
面元的磁通量
0 I ad x dΦ B dS 2 x
d
矩形线圈上的磁通量
0 Ia Φ 2
d b

d
d x 0 Ia d b ln 2 d x
线圈与直导线的互感 系数
下次上课带习题册来
I
I
l

r
x dx ar x
0 Il a r ln 2 r
0r
导线 2 的磁通量
0 Il a r Φ2 ln 2 r
Φ Φ1 Φ2 0 Il a r ln r
1
a

2
总磁通量
I I
l
(1)
r
自感系数
Φ (1) 0l a r L ln r I
Φ B dS Φ B 0 Idl r0 BI B 2 4 r


匝线圈 Ψ NΦ LI Φ I Φ LI N
L : 自感系数
-1 (1H 1Wb A ) 单位: H (亨利)
自感系数只与线圈本身的大小、形状 及除铁磁质以外的磁导率有关, 与电流无关.
例12.8 如图所示, 两根距离较近的长直 平行导线, 横截面的半径均 a 为 r , 中心相距为 a , 载有 大小相等、方向相反的电 流. 设 a r , 且两导线内部 l I I 的磁通量可略去不计. 证明 这一对导线长度为 l 的一 段的自感系数为 r
0l a r L ln r
例 12. 10 在上例中, 若线圈 1 和线圈 2 的自感系数分别为 L1 和 L2 , 试证明两线圈的 互感系数为 M L1 L2 . 证 长直螺线管的自感系数为
L n 2 lS
2 L1 n12lS, L2 n2 lS
2 L1 L2 n12lS n2 lS n1 n2 lS M
线圈 1 在线圈 2 的 磁场中的磁通链
Ψ 1 2 N1 B2 S
n l , B n I N n1n2 I 2lS
1 1 2 2 2

1 2
I1
S
I2
线圈 1 的互感系数
M 1 2 Ψ 1 2 I 2 n1n2 lS M M12 M 21
例 12.9 如图所示, 一长为 l 、横截面为 S 并绕有 1 和 2 的长直螺线管, 管内充满磁 导率为 的磁介质, 两个线圈的线圈密度分 别为 n1 和 n 2 , 且两线圈完全重叠. 求两线圈 的互感系数 M .

1 2
S
解 设两个线圈中 的电流分别为 I 1 和 I 2 . 线圈 1 和线圈 2 产生的磁场
12.3 自感与互感
通有变化电流的线圈会在线圈本身产 生感应电动势的现象称为自感现象. 相应的感应电动势称为自感电动势. 一个通有变化的电流的线圈会在另一 个线圈上产生感应电动势的现象称为互感 现象. 相应的感应电动势称为互感电动势.
一. 自感 a L 电阻 R 的阻值与 电感 L 的阻值相等. b R 开关 K 闭合瞬间, K b 瞬间达到最大亮度, a 逐渐达到最大亮度. 当达到稳定后断开开关, a 和 b 逐渐熄 灭.
证 两载流导线产 的磁场在两导线外的 区域方向相反, 基本 抵消; 在两导线间的 区域方向相同. 磁场近似在两 载流导线之间.
a

I Nhomakorabea
I
l

r
导线 1 的磁场
B1 0 I 2 x
1
a

2
导线1的磁场在面 元的磁通量
0 I dΦ1 ld x 2 x ar 0 I Φ1 ld x 2 x r
B 0 nI (1)
螺线管内的磁通链
(1) Ψ NBS N0 nIS
(2)
长直螺线管的自感系数
Ψ ( 2) 2 n N l N nS n lS L 0 0 I
如在螺线管内充满各向同性的均匀磁 介质, 则自感系数为
L 0 r n 2lS n 2lS