3.3.1几何概型教案1

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《3.3.1几何概型》教学设计

《3一．教材分析几何概型是人教版《一般高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修3第三章第三节的内容。

几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节为第一课时。

本节课是继古典概型之后学习的另一类等可能概型，是古典概型的拓广，起到了承上的作用。

在选修模块的系列2中还将连续学习概率的其他内容，因此，本课内容也起到了启下的作用。

教材第一以生活中的转盘游戏为例，对该问题进行抽象、建模转化为数学问题，总结归纳出几何概率模型的概念，并在此基础上得到几何概型的概率运算公式。

然后教材又给出一个例题，加深对概念和公式的明白得及应用。

这节内容中的例题既通俗易明白，又具有代表性，有利于教师的教和学生的学。

二．学情分析在知识上，差不多有初中学习过的统计概率作为基础，又有了学习古典概型的经历，这为学习几何概型在知识和方法上做好了预备。

在能力上，学生差不多具备了一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。

关于进入高中一个学期的学生来说，逻辑思维初步形成，不够严谨，容易对几何概型的概念明白得不清。

在古典概型向几何概型过渡的过程中，有些困难。

在探究问题和应用数学知识解决实际问题等方面进展不够均衡，有待加强。

但只要引导得当，明白得几何概型，是切实可行的。

三．教学目标知识与技能：通过实例，学生能够明白得几何概型的概念及其与古典概型的联系和区别；把握古典概型的概率公式并能解决实际问题。

过程与方法：学生通过对实际问题的抽象、建模的过程，体会数学知识的形成，能应用数学知识来解决实际问题。

情感、态度价值观：通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值增强学生学习数学的自信心，提高学习数学的爱好。

四．教学重点、难点重点：正确明白得几何概型的定义、特点；把握几何概型概率的运算公式，会用公式运算几何概率。

难点：将实际问题转化为几何概型并能从实际问题的背景中找几何度量。

五．教学策略教学顺序：情境引入→概念形成→实际应用→课堂反馈→归纳小结→布置作业。

人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》(1)教案

河北省武邑中学高中数学 3．3．1几何概型（1）教案新人教A版必修3备课人授课时间课题3．3．1几何概型（1）课标要求（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式教学目标知识目标（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式；技能目标会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型情感态度价值观本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率难点等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一．导入新课1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二．研探新知探究（一）：几何概型的概念提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑1河北武邑中学教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,于是事件A发生的概率P(A)=31.第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.2河北武邑中学教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型的概念.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.注：几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P（A）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A.(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.探究二、几何概型的应用例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 3河北武邑中学教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动区域长度有关。

教学设计6：3.3.1 几何概型

3.3.1几何概型[课标解读]1.理解几何概型的定义及特点．(重点)2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)3.与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)知识点几何概型[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①、②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．问题3：如可计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．[导入新知]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[化解疑难]理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件．(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．题型一与长度有关的几何概型[例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．【解析】∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.【答案】23(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．解设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[类题通法]1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.题型二与面积有关的几何概型[例2] (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )(2)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8【解析】(1)根据几何概型的面积比，A 中中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.【答案】(1)A (2)B[类题通法]1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：试验的全部结果所构成的区域面积2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．【解析】如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.【答案】π16题型三与角度有关的几何概率[例3] 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.[类题通法]与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为试验的全部结果构成的区域角度(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． [活学活用]如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160【解析】如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.【答案】A题型四与体积有关的几何概型[例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π【解析】由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 【答案】D(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．【解析】设正方体的棱长为2.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.【答案】π6[类题通法]与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “P到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.多维探究几何概型中的交汇性问题[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数， b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解题指导] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0”有实根．则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．所以，P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[多维探究]几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中． [角度一] 几何概型与集合的交汇问题已知集合M ＝{}x ，y |x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝{}x ，y |x －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为( )A.13 B.12C.38D.316【解析】根据题设中的集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M 和N ，可分别计算区域M 和N 的面积，进而求解．将集合M 和N 所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M 的面积S ＝12×8×8＝32，区域N 的面积S ′＝12×6×2＝6，所以点P 落入区域N 的概率为P ＝632＝316，故选D.【答案】D[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离．(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率．解 (1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5. (2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.故所求概率为P ＝π32π＝16.[随堂即时演练]1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．【答案】B2．如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712【解析】S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.【答案】C3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________【解析】由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.【答案】144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.【答案】0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－ 3 π24.。

人教A版必修三3.3.1几何概型教案(1)

------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------课题：几何概型教课目的：1.经过师生共同研究 , 领会数学知识的形成 , 正确理解几何概型的观点；掌握几何概型的概率公式：组成事件 A的地区长度 (面积或体积 ), 学会应用数学知识来解决P（A）=试验的所有结果所组成的地区长度 (面积或体积 )问题 , 领会数学知识与现实世界的联系, 培育逻辑推理能力 .2. 本节课的主要特色是随机试验多, 学习时养成好学谨慎的学习习惯, 会依据古典概型与几何概型的差别与联系来鉴别某种概型是古典概型仍是几何概型, 会进行简单的几何概率计算 , 培育学生从有限向无穷研究的意识.教课要点：理解几何概型的定义、特色, 会用公式计算几何概率.教课难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的差别.教课方法：解说法课时安排：1课时教课过程：一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特色：（ 1）所有的基本领件只有有限个；（2）每个基本领件发生都是等可能的. 那么关于有无穷多个试验结果的状况相应的概率应怎样求呢?2、在概率论发展的初期 , 人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的 , 还一定考虑有无穷多个试验结果的状况. 比如一个人到单位的时间可能是8：00至 9 ： 00 之间的任何一个时辰；往一个方格中投一个石子, 石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无穷多个. 这就是我们要学习的几何概型.二、新课解说：提出问题(1)任意投掷一枚平均硬币两次 , 求两次出现同样面的概率？(2) 试验 1. 取一根长度为 3 m 的绳索 , 拉直后在任意地点剪断 . 问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？试验 2. 射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环. 从外向内为白色, 黑色 , 蓝色 , 红色 , 靶心是金色. 金色靶心叫“黄心”. 奥运会的竞赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm. 运动员在70 m 外射箭 . 假定射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的. 问射中黄心的概率为多少？(3)问题 (1)(2) 中的基本领件有什么特色 ?两事件的实质差别是什么 ?(4)什么是几何概型 ?它有什么特色 ?(5)怎样计算几何概型的概率 ?有什么样的公式 ?(6)古典概型和几何概型有什么差别和联系?活动：学生依据问题思虑议论 , 回首古典概型的特色 , 把问题转变为学过的知识解决 , 教师指引学生比较归纳 .议论结果： (1) 硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正, 正）、（正 , 反）、（反 , 正）、（反 ,------------------------- 天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳 ------------------------------1 1 1出现同样面的概率为4 .42(2) 经剖析 , 第一个试验 , 从每一个地点剪断都是一个基本领件 , 剪断地点能够是长度为3 m的绳索上的任意一点 .第二个试验中 , 射中靶面上每一点都是一个基本领件, 这一点能够是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点 .在这两个问题中 , 基本领件有无穷多个 , 固然近似于古典概型的“等可能性”, 可是明显不可以用古典概型的方法求解 .考虑第一个问题 , 如右图 , 记“剪得两段的长都不小于 1 m ”为事件 A. 把绳索三平分 , 于是当剪断地点处在中间一段上时, 事件 A 发生 . 因为中间一段的长度等于绳长的1 , 于是事件 A 发生的概率 P(A)= 1.331×π×第二个问题 , 如右图 , 记“射中黄心”为事件B, 因为中靶心随机地落在面积为1×π× 12.2 241222cm 2的大圆内 , 而中间靶点落在面积为cm 2 的黄心内时 , 事件 B 发生 , 于是142事件 B 发生的概率 P(B)=4=0.01.112224(3) 硬币落地后会出现四种结果（正 , 正）、（正 , 反）、（反 , 正）、（反 , 反）是等可能的 , 绳索从每一个地点剪断都是一个基本领件 , 剪断地点能够是长度为 3 m 的绳索上的任意一点 , 也是等可能的 , 射中靶面内任何一点都是等可能的 , 可是硬币落地后只出现四种结果 , 是有限的 ; 而剪断绳索的点和射中靶面的点是无穷的 ; 即一个基本领件是有限的, 而另一个基本领件是无限的 . (4) 几何概型 .关于一个随机试验 , 我们将每个基本领件理解为从某个特定的几何地区内随机地取一点,该地区中的每一个点被取到的时机都同样 , 而一个随机事件的发生则理解为恰巧取到上述区域内的某个指定地区中的点 . 这里的地区能够是线段、平面图形、立体图形等 . 用这类方法办理随机试验 , 称为几何概型 .假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度( 面积或体积 ) 成比率 , 则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability） , 简称几何概型 .几何概型的基本特色： a. 试验中所有可能出现的结果 ( 基本领件 ) 有无穷多个；b. 每个基本领件出现的可能性相等.(5) 几何概型的概率公式：-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------组成事件 A的地区长度 (面积或体积 ).P （A）=试验的所有结果所组成的地区长度 (面积或体积 )(6) 古典概型和几何概型的联系是每个基本领件的发生都是等可能的; 差别是古典概型的基本领件是有限的 , 而几何概型的基本领件是无穷的, 此外两种概型的概率计算公式的含义也不一样 .三、例题解说：例 1 判断以下试验中事件 A 发生的概率是古典概型, 仍是几何概型 .（1）投掷两颗骰子 , 求出现两个“ 4 点”的概率 ;（2）以以下图所示 , 图中有一个转盘 , 甲、乙两人玩转盘游戏 , 规定当指针指向 B 地区时 , 甲获胜, 不然乙获胜 , 求甲获胜的概率 .活动：学生牢牢抓住古典概型和几何概型的差别和联系, 而后判断 .解：（ 1）投掷两颗骰子 , 出现的可能结果有 6× 6=36 种 , 且它们都是等可能的 , 所以属于古典概型 ;（2）游戏中指针指向 B 地区时有无穷多个结果 , 并且不难发现“指针落在暗影部分”, 概率能够用暗影部分的面积与总面积的比来权衡, 即与地区长度相关 , 所以属于几何概型 .评论：此题考察的是几何概型与古典概型的特色, 古典概型拥有有限性和等可能性. 而几何概型则是在试验中出现无穷多个结果, 且与事件的地区长度相关.例 2某人午睡醒来, 觉察表停了 , 他翻开收音机想听电台整点报时, 求他等候的时间短于10 分钟的概率 .剖析：赐教材 136 页解：（略）变式训练1 、某路公共汽车 5 分钟一班准时抵达某车站, 求任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：能够以为人在任一时辰到站是等可能的. 设上一班车离站时辰为a, 则某人到站的全部可能时辰为Ω =(a,a+5),记A g={等车时间少于 3 分钟 }, 则他到站的时辰只好为g=(a+2,a+5)中g的长度 3的任一时辰 , 故 P(A g)= .的长度 5评论：经过实例初步领会几何概型的意义.2 、在 1 万平方千米的海疆中有40 平方千米的大陆架储蓄着石油, 假定在海疆中任意一点钻探 , 钻到油层面的概率是多少？-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤劳------------------------------剖析：石油在 1 万平方千米的海疆大陆架的散布能够看作是随机的，而40 平方千米可看作组成事件的地区面积, 由几何概型公式能够求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A, 则 P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.四、讲堂小结：几何概型是差别于古典概型的又一概率模型, 使用几何概型的概率计算公式时, 必定要注意其合用条件：每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度成比率.五、课后作业：课本习题 3.3A 组 1、 2、3.板书设计几何概型1、几何概型的观点2、几何概型的基本特色课后反省：。

3.3.1几何概型教案

《3.3.1几何概型》教学设计一、教学目标1.知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式并能进行简单的计算与应用：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.2.过程与方法（1）通过经历提出问题、收集、处理数据和预测的过程，使学生将实际生活中的概率模型转化为应用数学来解决问题，发展学生的抽象思维和应用意识；（2）通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用几何概型来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3.情感态度与价值观（1）通过活动参与，使学生积极参与数学学习活动，让学生在数学活动中获得成功的体验，建立自信心；（2）通过对实例和习题的学习，使学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生学习数学的兴趣，并能从中感受数学的严谨性，形成实事求是的态度.二、教学重难点1.重点：几何概型概念的形成及其公式的应用.2.难点：几何概型的应用，如何把实际问题转化为几何概型.三、教材分析学习几何概型之前学生学习了概率的统计定义以及古典概型的定义和计算公式，这些内容虽然可以帮助学生解决一些实际生活中的概率问题，可是古典概型的使用是有限的，它只能解决等可能事件只有有限个时的概率，而对于生活中同样也比较常见的无限个等可能事件的情况却束手无策.几何概型正是古典概型的拓展和延伸，这样才能使学生形成完整的知识网络体系，使数学学习更加紧密结合学生的实际生活，体现了学习数学的价值，同时又可以培养学生学习数学的兴趣和积极性.几何概型是将古典概型从点到线、面、体的拓展，是从有限到无限的延伸，这体现了知识的连续性和层次性，同时也为后续内容做好铺垫，因此本节内容在单元中起到了承上启下的作用. 例题的选择采用长度、面积、体积的三维梯度设计，便于学生对常见题型的归纳总结.四、教学过程1.创设情境，引入新课情境1：（幻灯片）“双旦节”活动细则：从12月20日起，凡在本超市当天购物累计满100元的顾客可以按照以下方案抽奖.方案1：同时掷两枚骰子一次，两枚骰子的点数之和等于7，即可获得价值50元的精美礼品一个.问题1：方案1中获得精美礼品的概率是多少？师生互动：教师以生活中的实例来创设情境，让学生去选择自己认为适合的方法. 学生通过独立思考、自主学习，计算方案获得奖品的概率. 引导学生复习古典概型的计算公式和两个特征.情境2：将抽奖方式换成转盘游戏，如图1所示，按照以下方式抽奖：方案2：随意转动转盘甲，转到蓝色区域，即可获得价值50元的精美礼品一个.问：如果让你来玩这个游戏，你获得奖品的概率？甲问题2：这个游戏中可不可以像上一个游戏一样，用古典概型的计算方法算出赢的概率呢？为什么？【设计意图】这两个情境不仅使学生复习了古典概型，更使学生加深对随机现象的理解，消除日常生活中的一些错误认识，体会用科学的方法去观察世界和认识世界，同时也为几何概型的引入做好铺垫. 采用启发式学习法，让学生自己去发现问题所在，这样可以激发学生学习数学的求知欲.2．初步探索，展示内涵探究1：（幻灯片）将一根长度为20 cm 的线绳AB ，从中任取一点剪断，求使剪开的两段线绳长度都不小于5 cm 的概率.问题1：同学们将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？分析：可以用线段长度的比值来求这个概率，即记“剪开的两段线绳长度都不小于5 cm ”为事件W ，C 、D 分别为AB 的四等分点，如图2所示，虽然剪刀于每一个位置都是等可能的，可是基本事件是无限个，所以这个例子不属于古典概型.A C D B图2所以P （W ）=212010==的长度的线段长度AB CD 【设计意图】教师提出问题，使学生通过合作交流的学习方式动手实践，在实践中探索解题的方法. 虽然学生没学过几何概型的计算公式，但是可以用与之相关的几何量—线段长度的比值来描述所求事件的概率. 借此为几何概型定义和特点的引出作铺垫.这与古典概型的解题思路是相同的. 只不过在古典概型中概率的比是个数的比，而对于这类题型，可以把线段看成是无限个点组成的集合，学生就更容易理解了.探究2：在情境2的转盘游戏中，指针落在蓝色区域的概率是如何计算的？你将用怎样的几何量来描述这个事件的基本事件空间呢？法1：利用红色区域所占的弧长的比值求解， P=21=整个圆的弧长红色区域的弧长法2：利用红色区域所占的角度的比值求解，P=21=整个圆的圆周角红色区域的圆周角. 【设计意图】教师组织学生分组讨论，提高学生自主探究问题、解决问题的能力，使学生积极参与数学学习活动，在数学活动中获得成功的体验，建立自信心. 使学生体会几何概型与古典概型“比例解法”的相同之处，为归纳出几何概型的概念作铺垫. 通过学生的求解，发现指针落在红色区域的概率是相等的.变式探究：若将同样的圆像（图3）一样八等分，那么请同学们计算一下，转动转盘而指针落在在深色区域的概率.图3根据前面的比例关系，不难求出图2中，指针落在深色区域的概率同样也是21. 【设计意图】这个例子说明利用比例关系求解概率的方法与几何图形的形状无关，只与几何度量的大小有关.探究3：四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为多少？记“取到的点到O 的距离大于1”为事件A ，则该事件发生的概率等于半圆面积与长方形总面积的比值，即422A )(ππ===的面积试验的全部结果所构成的区域面积构成事件A P 探究4：在一个器皿中装有500 ml 的水，水中有一只草履虫，现在从中随即取出2 ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.分析：草履虫在水中的位置是任意的，因此虽然是等可能事件，可是草履虫的位置有无限多个，故也不属于古典概型.记“在取出的2 ml 水样中有草履虫”为事件E ，则该事件发生的概率等于取出水的体积与器皿中水的总体积的比值，即P(E)=004.05002=. 探究3中设计了三维空间的体积的实例让学生观察和分析，使学生体会事件的概率只与水这个几何量的体积比例有关，而与几何量的位置和形状无关. 变式探究：若将题设中的“器皿”改为“正方体器皿”或是“圆柱体水杯”，那么发现草履虫的概率是多少？为什么？概率仍然0.004．只要体积不变，概率就不变.（1）几何概型的定义：事件A 理解为区域的某一子区间A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.（2）几何概型的概率公式：P(A)=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等． BD C3．循序渐进，延伸拓展例1 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。

人教版高中必修3(B版)3.3.1几何概型教学设计

人教版高中必修3(B版)3.3.1几何概型教学设计
一、教学目的
1.理解几何概型的概念和性质。

2.掌握分段讨论和间断函数的求解方法。

3.能够解决常见的几何问题，如角平分线、垂心、垂线等问题。

4.培养学生的逻辑思维和推理能力。

二、教学重点
1.了解几何概型的性质。

2.学会运用几何概型的思想解决几何问题。

三、教学难点
1.掌握分段讨论和间断函数的求解方法。

2.学会几何问题中常用的一些策略和方法。

四、教学资源
1.人教版高中数学(B版)教材。

2.电脑和投影仪。

3.黑板、彩色粉笔。

五、教学过程设计
1. 导入环节
引导学生回忆上一节学习的内容，如线段平分线、角平分线等概念，以及它们的性质和应用。

2. 理论讲解
1.讲解几何概型的概念和性质。

2.介绍分段讨论和间断函数的求解方法。

3.讲解如何运用几何概型的思想解决几何问题。

3. 练习环节
1.给学生提供一些几何问题，引导他们通过分析和运用几何概型的思想
来解决问题。

2.带着学生复习之前学过的几何知识，解决一些常见问题。

4. 总结反思
让学生回顾本节课学到的内容，提出问题、分享经验，帮助大家理解几何概型和解题思路。

同时告诉学生，几何问题虽然看似简单，但需要不断地练习和思考。

六、教学评价
1.在练习环节中观察学生的解题方法和策略，以及对几何概型的掌握程
度。

2.根据课堂互动、讨论和回答问题的表现，对学生进行评价。

3.希望学生课后主动做一些练习，加深对几何概型的理解和应用。

3.3.1 几何概型教案教案

3.3.1《几何概型》教学目标知识与技能目标：（1）通过对本节内容的学习，正确理解几何概型的意义、特点；掌握几何概型的概率公式：，会用公式计算几何概型。

（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。

感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。

过程与方法目标：（1）通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建造这一过程，感受数学的拓展过程。

（2）发现法教学，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法和动手尝试相结合体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。

（3）通过试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

情感态度与价值观目标：本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发学生提出问题和解决问题的勇气，培养积极探究的精神。

同时，随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。

教学重点：理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率。

教学难点：等可能性的判断几何概型与古典概型的联系和区别。

教学过程师生活动设计意图（一）知识链接，复习提问老师：前面，我们共同研究了古典概型，请大家回忆：古典概型有哪些特点？学生：1.基本事件的个数为有限个；2.每一个基本事件发生的可能性都相等。

老师：古典概型的概率计算公式是什么形式？学生：。

老师：可见，求古典概型中事件A的概率，实际上就是要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数，它们的比值就是这个事件的概率。

接下来，我们共同研究几个问题，看看它们还是不是古典概型。

温故而知新，通过复习旧知加强学生对以往知识的掌握，为后面总结古典概型与几何概型之间的区别与联系做好铺垫。

高中人教A版数学(必修3)3.3.1《几何概型》教案

高中人教A版数学（必修3）3.3.1《几何概型》教案一、教学目标知识与技能1.初步体会几何概型的概念；2.会区别古典概型与几何概型；3.会使用几何概型的概率公式计算简单的几何概率.过程与方法1.运用启发式和发现法教学，通过一系列的试验和问题，师生共同探究，让学生体会探索新知的过程，培养其逻辑推理能力；通过实际例子，让学生学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系.2.通过游戏转盘的制作和两次模拟试验，让学生自己动手，培养学生自主学习的能力和创新能力.情感态度与价值观1.通过源于生活的丰富实例和多媒体教学培养学生的学习兴趣；2.通过类题对比与变式练习培养学生严密的逻辑思维习惯.二、教学重点、难点教学重点几何概型的概念教学难点简单的几何概率的计算三、教具与学具准备教具准备用来做游戏的两个转盘、多媒体学具准备两人一枚用来做游戏的同规格的钢针和一张画了一些等距平行线的大纸（钢针的长度等于两平行线间距离的一半）、两人一个用来做游戏的转盘（提前布置，让学生自己制作，为培养学生的创新能力转盘可随意制作）四、教学过程（一）课程引入（通过学生做“布丰投针试验”引入课题）让学生动手把钢针投到纸上，并记录投针的总次数N和针落到纸上与平行线中的某一条相交的次数n，计算针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率及频率的倒数，师生共同（把学生分成8组，每做1分钟，每一小组先对实验总次数和针落到纸上与平行线中的某一条相交的总次数n作以汇总并把数据上报给老师，由老师利用多媒体现场完成全班数据的汇总）引导学生去发现问题—针落到纸上与平行线中的某一条相交的频率的倒数越来越接近于圆周率π.告诉学生，这就是简单化了的著名的“布丰投针试验”.向学生简单介绍一下“布丰投针试验”以及历史上几次有名的“布丰投针试验”（见下表），利用学生的好奇心激“布丰投针实验”是第一个用几何形式表达概率问题的例子，它所反映的一种概率模型我们称之为几何概型.“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值呢？它的原理是什么？为了弄清这一问题，我们就来研究一下几何概型，请同学们阅读教材第129页和130页的内容，并拿出转盘，实际操作一下，验证你所得的频率与通过计算得到的概率是否相差不大. （二）新知讲解１.几何概型的概念对于一个随机试验，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.例如：模型1. 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，求取出的种子中含有麦诱病的种子的概率.模型2.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断.求剪得两段的长都不小于1m 的概率.上面这两个模型都属于几何概型.２.几何概型的基本特点（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（实验结果在一个区域内均匀分布）.3.几何概型与古典概型的联系与区别（1）联系：几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，即满足等可能性.（2）区别：①古典概型中的基本事件有有限个，而几何概型则要求基本事件有无限个；②判断一个试验是否是古典概型即看它是否满足古典概型的两个特征，而对于几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征—能进行几何度量.思考1.随机事件A“从正整数中任取两个数，其和是偶数”是否是几何概型？（尽管这里事件A满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的本质特征—能进行几何度量.故事件A不是几何概型.）4.几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：()AP A构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.思考2.通过对几何概型的学习，不难发现：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件.试举例说明.（在几何概型中，如果随机事件所在区域的是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.）（三）例与练例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.（分析及解答见教材第130~131页）练习1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，在斜边AB 上等可能地取点M ，则AM AC <的概率为（）A．2 B ．56 C ．34 D ．16解析：如图，在斜边AB 上取一点D 使得AD AC =.当点M 落在线段AD 上时，有AM AC <.故所求概率为cos302AD AC P AB AB ===︒=故选A. 点评：此处基本事件所“占据”的区域为线段，所求概率即为对应线段的长度之比.值得注意的是若将原题换一种说法则结论迥异.变式1 在Rt △ABC 中，∠A =30°，若过直角顶点C 作射线CM ，交线段AB 于M ，则AM AC <的概率为多少？解析：此时的概率应转化为ACD ∠与ACB ∠的度数之比，即为56.其原因是问题变为射线CM 在内等可能地选取.变式2 在长为10 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率是多少？解析：此题有一个典型错解，即把把所求概率转化成面积比，得出错解4925610025-=. 实则不然，此变式实质应为“长度型”几何概型.在线段AB 上取两点12,P P ，使得125,7.AP AP ==所以122PP =.由于点P 等可能地在线段AB 上取得，当点P 落在线段12PP 上时，所作正方形的面积即介于25与49之间.故所求概率为21105=. （四）作业教材第137页习题3.3 A 组 1，2，3MAB CD思考题：“布丰投针试验”为什么能算出圆周率π的近似值？拓展题：什么是“贝特朗奇论”（可利用工具书以及电脑等多种手段查找）？通过思考题和拓展题培养学生自己动手解决问题的能力.五、课后反思总体效果不错，基本完成了教学目标.需要注意的是引入时应更简洁些，时间占用的稍多了点.。

人教版高中数学必修三第三章3.3.1几何概型教学设计

【设计意图】学生自己梳理本节所学知识，以便于对知识有一个系统的理解与认识;同时让学生学会反思,是一个非常良好的学习习惯的养成,也是学生将来处理工作生活问题的一个很好的习惯．
课时尾页第4页
达标检测设计
1.某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率.
2．如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
3．在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
作业设计
1、课时练P31 1题——9题
2、思考：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
3、通过创设情境激发学生学习数学的情趣，培养其积极探索的精神．通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值增强了学生学习数学的自信心．
数学核心素养：直观想象数学运算数学建模
教学重点和难点
教学重点：理解几何概型的定义、特点、及几何度量的寻找，会用公式计算几何概率
教学难点：从实际问题的背景中找几何度量．
打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内则事件A发生.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，
法一：利用【50,60】时间段所占的面积
法二：利用【50,60】时间段所占的弧长。事件A恰好是打开收音机的时刻位【50，,60】时间段内发生
法三：利用【50,60】时间段所占的圆心角。事件A恰好是打开收音机的时刻位【50，,60】时间段内发生
问题3:古典概型与几何概型的区别和联系是什么？
古典概型

3.3.1几何概型教案

§3.3.1几何概型（第一课时）（人教A 版〃必修3）教学目标1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点几何概型的概念、公式教学难点几何概型的应用教辅手段投灯片，计算机及多媒体教学．教学过程一、情景设置——温故知新处理方式借助课件，提出问题，引导学生回顾1、现实生活中有的古典概型的问题2、古典概型的特点二、新知探究（一）创设情境：处理方式1、引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

（1）回顾已学的计算随机事件的概率的方法，引导学生选择解决此问题的方法。

（2）引导学生思考讨论得出结果。

2、几何概型的概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A三、即时体验处理方式1、以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。

人教A版数学必修3第三章3.3.1 几何概型(1)教案

3.3.1 几何概型（1）三维目标1．知识与技能(1)了解几何概型的概念．(2)会用公式求解随机事件的概率．2．过程与方法通过试验，将已学过计算概率的方法做对比，提出新问题，师生共同探究，引导学生继续对概率的另一类问题进行思考、分析，进而提出可行性解决问题的建议或想法．3．情感、态度与价值观通过试验，感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理性的理解世界，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．●重点难点重点：(1)了解几何概型的概念、特点；(2)会用几何概型概率公式求解随机事件的概率．难点：如何判断一个试验是否为几何概型，弄清在一个几何概型中构成事件A 的区域和试验的全部结果所构成的区域及度量．一、复习：古典概型的两个基本特点:（1）所有的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件发生都是等可能的.问：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?二、问题情境1.取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？基本事件: 从30cm 的绳子上的任意一点剪断.2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?基本事件:射中靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点.问：这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢? 对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm ”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长31A)事件A发生的概率P(度等于绳长的1/3.建构数学：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的.一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率:注:（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；(2)D 的测度不为0,当D 分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积.（3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．三、典型例题：题型一：长度型的几何概型：事件B发生.的黄心内时,cm 12.2π41而当中靶点落在面积为的大圆内,cm 122π41为面积由于中靶点随机地落在黄心”为事件B,对于问题2.记“射中2222⨯⨯⨯⨯0.01122π4112.2π41(B)事件B发生的概率为P 22=⨯⨯⨯⨯=例 1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.题型二：面积型的几何概型例2：ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )题型三：体积型的几何概型例3.在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?总结：用几何概型解简单试验问题的方法：1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2、把基本事件转化为与之对应的区域D ；3、把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4、利用几何概型概率公式计算。

3.3.1几何概型教案

人教B版必修三“3.3.1几何概型”教案《几何概型》教案一．课题：几何概型二．课型：新授课三．课时：一课时四．教学内容分析：几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。

几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。

几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。

课本从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

五．学情分析：学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。

现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型。

六．教学目标：1．知识与技能：（1）通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。

（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。

2．过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3．情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。

七．教学重点与难点：重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。

（ 2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

难点：正确判断几何概型并求出概率。

八．教学策略与方法1教学方法：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。

九．教学资源与教学手段：1．教学资源：计算机及多媒体教学．2．教学手段：（1）发现教学法，通过师生共同研究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系。

人教版数学必修三第三章3.3.1 几何概型(一)表格教案

几何概型教案课题§3.3.1几何概型（一）课型新课教学目标（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型.教学过程教学内容备注一、自主学习自主预习阅读教材P135－136，回答下列问题：1．几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何模型．(2)计算公式．在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：P(A)＝.二、质疑提问数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！三、问题探究知识探究（一）：几何概型的概念思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11:30～12:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？思考3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.思考4：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.知识探究（二）：几何概型的概率对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.思考1：有一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？你是怎样计算的？思考3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？思考4：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？思考5：一般地，在几何概型中事件A发生的概率有何计算公式？P(A)=例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.(假设电台整点报时)例2例 2.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?例3假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?例4.例4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.四、课堂检测1．有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?3. 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.4.甲、乙二人约定在0点到5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

高中数学新人教版B版精品教案《3.3.1 几何概型》

几何概型教学设计一、教学内容分析1教材的内容及地位“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

2教学重点1理解几何概型的定义、特点。

2会用公式计算几何概型概率。

3理解几何概型和古典概型的区别。

3教学难点在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度，通过数学建模解决实际问题。

二、教学目标分析1通过师生共同试验探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别概率模型。

2会利用公式求简单的几何概型的概率问题，体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理。

3会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力，培养学生从有限向无限探究的意识。

三、学生学情分析学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但不会很成熟，学生在学习本节课时容易对几何概型概念理解不清，与古典概型相混淆。

另外，在解决几何概型问题时，几何概型的判别问题应该不大，但几何度量的选择需要特别重视，在教学中，应引导学生发现其中的规律特征，找出正确的几何测度方式去分析解决问题。

另外，授课班级为理科宏志班，但了解到本班数学成绩偏差，因此选题均为中档题，适宜学生自己分析解决，实现学生主体地位。

四、教学策略分析1、教学方法：本节课采用贯穿类比思想，以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式2、学法指导：通过小组合作试验、交流，类比归纳，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

3、板书设计（一）知识回顾：问题1：古典概型的两个特点是什么？问题2：计算公式是什么？古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。