5 角的分类和计算
苏教新课标小学数学四年级上册《八、垂线与平行线4、角分类和画角》5
角的分类和画角教课内容：苏教版义务教育教科书《数学》四年级上册第84－86页例4.例5和练一练，练习十四1—3题。
教课目的：1．让学生经历角的分类过程，认识锐角、直角、钝角、平角和周角，知道直角、平角、周角的大小关系，能判断已知角是哪一类的角；掌握用量角器画角的方法，会用量角器画指定度数的角。
2．让学生在实质操作中认识角的分类标准和分类结果，进一步感觉分类的思想，发展空间观点；利用量角的经验主动学会画指定度数的角，培育用量角器画角的技术。
3．经过学生主动操作和比较，领会与别人合作、沟通的作用，激发学习数学的兴趣。
教课要点：认识角的分类结果和掌握角的画法。
教课难点：理解、认识平角和周角。
教具学具：三角尺、折扇、活动角、量角器、练习纸。
板书设计：角的分类和画角锐角﹤90°直角=90°90°﹤钝角﹤180°平角=180°周角=360°1平角=2直角 1 周角=2平角=4直角锐角﹤直角﹤钝角﹤平角﹤周角教课过程：一、复习旧知，预设生疑：1．激活已有认识。
激活：上边画的都是什么图形?这些各是什么角？划分锐角和钝角的标准是什么？（和直角比较）（出示一个直角）那你能用什么方法知道这个角不是直角？（老师演示用三角尺比一比确认直角）2．引入新课。
在二年级我们已经认识了锐角、直角和钝角，以直角为标准，小于直角的是锐角，大于直角的是钝角。
那么角究竟有几种？今日这节课我们持续深入学习角的分类。
（板书课题），除此以外，我们这节课还利用量角的经验，学习画已知度数的角，画角。
（和画角）二、研究相助（一）角的分类认识直角。
指引：（出示一个直角）方才我们考证了这个角是直角，你知道直角是多少度吗？请你用量角度量一量课本84页例4上的那个直角，看看等于多少度？学生操作量，老师板书：直角=90度。
（齐读）注意：直角是一种特别角，它的度数是固定不变的，是90°。
学生操作做一个活动直角：把两根硬纸条钉在一同，使它们构成的角是直角。
四年级下册数学奥数讲义-角的分类和角的计算 含答案
角 角，既可以用静止的眼光来观察，也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形，称为角．角也是几何学的基本图形之一，与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题，类似于解与线段相关的问题，常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律，关键是对图形进行恰当的处理．【例2】 如图．A 、O 、B 在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是( )．A ．21∠2一∠lB ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1，化简这个代数式，直至与选择项相符为止．注：概念是数学的基础与出发点，几何的学习贯彻着丰富的概念，为掌握重要的几何概念，应注意以下几点：(1)重视概念的图化，即用田来反映出概念，做到图意相通．(2)图文互译，由图说出概念，由概念的文字叙述画出图，做到会说、会写、会画．(3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】 已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3=21 (∠l 一∠2)．思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式，盯住所要达到的目的，恰当处理两个等式．31【例4】 如图，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=21∠EOC ，∠DOE= 72°，求∠EOC 的度数．思路点拨 设∠AOB=x 度，∠BOC= y 度，建立x 、y 的方程组，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分之∠BOC ，求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α，其他条件不求，求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不求，求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律，并给出解答．思路点拨 本例层层设问，由易到难，从特殊入手，观察归纳，发现一般规律，并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题，是一个从模仿到创造的过程，根据条件，结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位，由这两个概念得到的两个等式，是几何问题代数化的桥梁，方程(组)的应用，可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系。
06四上一对一第五次课角分类、画角
角的分类和画角（一）、角的分类锐角（大于0°，小于90°）直角（等于90°）钝角（大于90°，小于180°）平角（等于180°）周角（等于360°）小结：以90°的直角为标准，来判断锐角、钝角，所以直角很重要。
1周角＝2个平角＝4个直角练习：(1)角的两边在--条直线上,这样的角是( )角，它是（）°，它等于（）个直角。
(2)四个角的度数分别是89°、108°、150°、192° ,其中有( )个钝角。
(3)一个角比平角小91° ,则这个角是( )角。
(4)4直角=( )平角=( )周角=( ）°。
（5）时钟在5时整的时候，它的时针和分针成( )角，（）度。
（6）时针5小时走了（）度，8小时走了（）度。
2.我是聪明的小法官。
(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角。
（）(2)平角是一一条直线。
（）(3)(易错题)12时15分,时针和分针的夹角是直角。
（）3.求出角的度数。
4.下面是一张长方形纸折起来形成的图形。
已知∠1=30°,∠2是多小度？（二）、画角【教学分析】本节教材是在学习了有关线段、角的概念、公理、性质，以及线段的画法之后学习的，角的画法是学习几何的基础知识，为后继学习中能正确合理的画出角，能根据角的关系解决几何问题，并解决实际问题都有十分重要的作用。
【学情分析】学生在日常生活中接触了很多的大小不同的角，但对于常见的角的分类的知识生活中接触很少，显得比较抽象。
小学四年级的学生的抽象思维虽然有一定的发展，但依然以形象具体思维为主，分析、综合、归纳、概括能力较弱，有待进一步培养。
【教学目标】知识与技能：使学生会用量角器按指定度数画角，并通过练习进一步巩固角的有关知识。
二年级数学角的初步认识知识点
二年级数学角的初步认识知识点1. 什么是角2. 角的基本要素：顶点、边、角度3. 如何用基本要素表示角4. 角的度数的含义5. 如何用360度表示一个圆周6. 直角、钝角和锐角的概念及特点7. 角的分类及命名方法8. 角的加减法原理9. 各种角度量的换算方法10. 角对图形的作用及应用举例1. 什么是角角是由两条线或线段或射线所围成的图形，它们的交点叫做角的顶点。
简单来说，角就是由两条线或线段或射线组成的图形。
2. 角的基本要素：顶点、边、角度角的基本要素有三个，分别是：顶点、边、角度。
其中，顶点是角的交点，边则是构成角的两个线或线段，角度则是用来表示角大小的单位。
3. 如何用基本要素表示角用基本要素表示角有多种方法，比如可以用三个字母表示角的顶点和两个端点，或者用一个小圆圈表示角的顶点，两条线或线段或射线分别从小圆圈的两个点出发。
4. 角的度数的含义角的度数表示角大小的单位，通常用“度”作为表示。
1°等于1/360的圆周角，也就是把一个圆分成360份，每一份就是1°。
5. 如何用360度表示一个圆周一个圆的圆周角是360度，因为一个圆的周长是一条无限长的曲线，如果把它分成很多很多份，每一份都是一个圆周角的话，总共就是360份。
6. 直角、钝角和锐角的概念及特点直角是指两条线或线段或射线垂直相交的角，度数是90°；钝角是大于90°的角；锐角是小于90°的角。
7. 角的分类及命名方法角可以按照大小、形状等方式进行分类，常见的分类有直角、钝角、锐角、相邻角、对顶角等。
角的命名方法通常是用它的几何图形的名称来表示，比如A、B、C三点所围成的角可以表示为∠ABC。
8. 角的加减法原理对于相邻角，它们的角度相加等于它们共同构成的角的角度。
例如两个相邻角分别是60°和30°，那么它们的和等于它们共同构成的直角的角度，也就是90°；对于补角，它们的角度加起来等于90°，补角是指两个角的角度加起来等于90°。
小学数学四年级角的度量知识点总结梳理汇总附练习题
小学数学四年级角的度量知识点总结梳理汇总附练习题文章目录四年级数学角的度量知识点整理一、本节学习指导本节学习角的相关知识，同学们可以先回忆一下直线、斜线相关知识。
本节中我们要掌握角的表示、量角器的使用。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、直线、射线、角直线：向两端无限延伸的线，直线无端点。
射线：能像一个方向延伸的线，射线有一个端点。
线段：不能延伸的线，线段有两个端点。
角：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。
（1）、直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。
（2）、线段可以量出长度。
（3）、线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。
3、角的特征角有一个顶点，两条边，如下图角通常用符号“∠”来表示上图中的两个角表示为：∠1 ，∠2；读作：角 1 ，角24、角的大小比较：角的计量单位是“度”，符号“°”，把半圆平分成180等份，每一份所对的角的大小是l 度。
记做1°。
角大小的测量借助量角器，如下图。
测量方法：量角注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐。
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度。
看刻度要分清内外圈。
这里我教大家一个小窍门：分清内外圈，紧跟0刻度；0刻度在外圈就看外圈的刻度。
0刻度在内圈就看内圈的刻度。
牢牢记住不忘记。
注意：角的大小与角的两边画出的长短没关系。
角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。
5、角的分类：锐角＜90°，直角=90°，90°＜钝角＜180°，平角=180°=2个直角，周角=360°=2个平角=4个平角6、画角步骤：以画65°的角为例（1）画一条射线，使量角器的中心和封线的端点重合，0 刻度线和射线重合。
（2）在量角器65°刻度线的地方点一个点。
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。
苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》说课稿1
苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》说课稿1一. 教材分析苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》这一章节，是在学生已经掌握了角的概念的基础上进行学习的。
本章节主要让学生进一步认识角的分类，学会用工具画角，并通过练习来巩固所学的知识。
教材通过生动的图片和实例，引导学生理解锐角、直角、钝角的概念，并能够正确地进行分类。
同时，教材还介绍了画角的方法，让学生能够独立地进行角的绘制。
这一章节的内容对于学生来说，既是对角的概念的深化，又是培养学生的观察能力、操作能力和思维能力的重要环节。
二. 学情分析在四年级的学生中，大部分已经对角的概念有了初步的认识，但角的具体分类和画角的方法可能还不够清晰。
学生在日常生活中对于角的存在有所感知，但如何用数学的语言和工具来准确地描述和绘制角，对学生来说是一个挑战。
此外，学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力也在逐步发展中，需要通过适当的教学方法来引导和培养。
三. 说教学目标1.让学生掌握锐角、直角、钝角的定义，能够正确地进行分类。
2.学会使用工具（如量角器）来画角，并能准确地读取角的大小。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
4.通过对角的概念的学习，培养学生的空间观念和几何思维。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握锐角、直角、钝角的定义，学会用工具画角，并能准确地读取角的大小。
2.教学难点：对角的概念的理解，特别是钝角和锐角的区分，以及画角的方法的掌握。
五. 说教学方法与手段1.采用直观演示法，通过实物和图片，让学生直观地感受角的存在和分类。
2.采用操作实践法，让学生动手用工具画角，培养学生的动手操作能力。
3.采用引导发现法，引导学生通过观察、思考、讨论，自主地探索角的分类和画角的方法。
4.利用多媒体教学手段，展示角的分类和画角的动画，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中常见的角，引导学生回顾角的概念，为新课的学习做好铺垫。
四年级数学上册课件-3.4 角的分类(5)-人教版
首先本人说明，课件中除几个素材图外均为本人设计，包括矢量图。
第一教材分析与PPT设计思路分析
《角的分类》是义务教育五省（区）协作教材教科书（藏文版）四年级 上册第三单元《角的度量》内容是学生已经学习了有关角的知识，有了度量 角的简单基础。学习锐角直角、钝角、平角、周角关于它们的定义。后分类、 比较、推理后更为抽象的叙述出来视觉角度分析
此课件主要有 蓝、白、橙色为主的颜色，使学生感受一种清 洁、优雅、明快外遵循一定的艺术规律。矢量图方面来说根据课文 特征，做出三角形、矩形、圆形的设计思维来创造学生的平面图形 的发展空间。另外在第一页面插入轻音乐，播放在上课之前，让所 有的旋律都在为这节课而准备，让学生体会到学习中的乐趣与快感。 我的作品解说完毕。叙述的有点啰嗦了，定有很多不足之处，望各 位专家评委提出宝贵的意见和建议。为谢！
PPT设计主要以动画形式，从第三个版面开始复习上节课讲的角的度量， 以及怎样量角的方法。第五版面开始导入新课，从直角到锐角、钝角、平角 到周角都与孩子生活充分的融合起来，让学生们在生活中找数学、发现数学、 探究数学。讲到平角与周角时切换到几何画板软件来讲解。另外还利用3D视 图效果提出总结性问题。并把剩下的时间留给实践操作与合作探究中。
人教五年级数学上册《角的分类》课件PPT(最新)
(1) 平角就是一条直线。( × ) 时针和分针成直角。
(2) 时钟在9点整时,时针和分针几乎成直角。( × )
(3) 两个锐角的和一定比直角大。( × ) 30°＋ 20°＝50°
课堂练习 选择。
角的度量
(1）从3:00走到3:15，分针转动了（ C ）度。
A.15
B.60
C.90
(2）1周角等于（ A ）。
… … …
… … …
总 单数 价 价量
总 单数 价 价量
总价÷单价=数量
探究新知
角的度量
做一做：标出算式中的单价、数量、总价。你发现了什么？
（1）
（2）
240元买了3个篮球， 一个篮球多少元？
240÷3＝ 80（元）
40元可以买4千克鱼， 1千克鱼多少元？
40÷4＝ 10（元）
… … …
… … …
－2 9 8
67
答:三年级比二年级多回收了67节废电池。
课堂小结
角的度量
这节课你们都学会了哪些知识？
三位数减三位数（不退位）减法的计算方法：
①相同数位对齐， ②从个位减起。
435 －322
113
课堂小结
角的度量
这节课你们都学会了哪些知识？
三位数减两位数（连续退位）减法的计算方法：
①相同数位对齐， ②从个位减起，
每台复读机多少元？ 求单价 总价
总价÷数量＝单价
课堂练习
角的度量
解答下面的问题。 （1）每套校服120元，买5套要用多少钱？
120×5= 600(元) 答：买5套要用600元。
（2）学校买了3台同样的复读机，花了420元， 每台复读机多少元？ 420÷3= 140(元) 答：每台复读机140元。
苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》教案1
苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》教案1一. 教材分析苏教版数学四年级上册《5、角的分类和画角练习》这一章节主要让学生掌握角的分类以及如何用工具画角。
教材通过生动的图片和生活实例，引导学生认识和理解锐角、直角、钝角、周角等概念，同时学会用量角器画角。
这一章节既是对之前所学角的知识的巩固，又是为后面学习几何图形打下基础。
二. 学情分析四年级的学生已经对角有了初步的认识，他们能够识别一些基本的角，但是对角的分类和用工具画角还需要进一步的指导和练习。
他们在学习过程中需要直观的实物和图片来帮助理解，同时也需要通过动手操作来巩固所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解并区分锐角、直角、钝角、周角，学会用量角器画角。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、交流、实践等活动，培养观察能力、动手能力、表达能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解角的分类，会用量角器画角。
2.教学难点：学生能够准确地区分锐角、直角、钝角、周角，并熟练地用工具画角。
五. 教学方法采用情境教学法、观察操作法、小组合作法等方法，引导学生通过观察、操作、交流、实践等活动，自主学习，合作学习，探究学习。
六. 教学准备量角器、三角板、多媒体课件等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示图片和生活实例，如红领巾、钟表、房屋建筑等，引导学生观察并说出其中的角。
让学生体会到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
呈现（10分钟）教师通过课件呈现锐角、直角、钝角、周角的定义和图片，让学生观察并说出它们的特点。
然后教师讲解角的分类，让学生理解和记忆。
操练（10分钟）学生分组进行操作，使用量角器画出锐角、直角、钝角、周角，并互相交换检查。
教师巡回指导，纠正学生的错误。
巩固（10分钟）教师设计一些有关角的练习题，让学生独立完成，检查学生对角的分类和画角的掌握情况。
苏教版四年级数学上册第八单元第5课《角的分类和画角练习》教案
苏教版四年级数学上册第八单元第5课《角的分类和画角练习》教案一. 教材分析《角的分类和画角练习》是苏教版四年级数学上册第八单元第5课的内容。
本节课主要让学生认识和理解锐角、直角、钝角的概念，学会用量角器画角，并通过练习巩固所学知识。
教材内容由浅入深，从角的定义到角的分类，再到画角练习，旨在让学生在掌握知识的同时，提高动手操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的观察、思考和动手操作能力。
他们在之前的学习中已经接触过角的概念，对角有了一定的认识。
但是，对于角的分类和画角的方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从实际操作中掌握知识，提高他们的学习兴趣和积极性。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生认识和理解锐角、直角、钝角的概念，学会用量角器画角。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于尝试、积极思考的良好学习态度。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握锐角、直角、钝角的定义，学会用量角器画角。
2.难点：让学生能够运用所学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境导入，让学生在实际情境中感受和理解角的概念。
2.互动教学法：引导学生通过观察、操作、交流等活动，主动探索和学习。
3.实践教学法：让学生动手操作，提高他们的实践能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：量角器、三角板、图片等。
2.学具：量角器、练习本、彩笔等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示图片，让学生观察并说出图片中的角。
引导学生发现角的大小和边的长短有关系，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）教师讲解锐角、直角、钝角的定义，并通过实物演示让学生直观地感受各种角的特点。
同时，教师讲解用量角器画角的方法，让学生初步掌握画角技巧。
3. 操练（10分钟）学生分组进行实践操作，用量角器画出各种不同的角，并互相检查、纠正。
四年级奥数：角的分类和角的计算(含答案)
四年级奥数：角的分类和角的计算（含答案）角,既可以用静止的眼光来观察,也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形,称为角．角也是几何学的基本图形之一,与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题,类似于解与线段相关的问题,常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外,其他各角的度数无法求出,故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律,关键是对图形进行恰当的处理．【例2】 如图．A 、O 、B 在一条直线上,∠1是锐角,则∠1的余角是( )． A ．21∠2一∠l B ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1,化简这个代数式,直至与选择项相符为止．31注：概念是数学的基础与出发点,几何的学习贯彻着丰富的概念,为掌握重要的几何概念,应注意以下几点：(1)重视概念的图化,即用田来反映出概念,做到图意相通．(2)图文互译,由图说出概念,由概念的文字叙述画出图,做到会说、会写、会画． (3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】 已知∠1和∠2互补,∠3和∠2互余,求证∠3=21(∠l 一∠2)．思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式,盯住所要达到的目的,恰当处理两个等式．【例4】 如图,已知∠AOB 与∠BOC 互为补角,OD 是∠AOB 的平分线,OE 在∠BOC 内,∠BOE=21∠EOC,∠DOE= 72°,求∠EOC 的度数．思路点拨 设∠AOB=x 度,∠BOC= y 度,建立x 、y 的方程组,用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM 平分∠AOC,ON 平分之∠BOC,求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α,其他条件不求,求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角）,其他条件不求,求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律,并给出解答．思路点拨 本例层层设问,由易到难,从特殊入手,观察归纳,发现一般规律,并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题,是一个从模仿到创造的过程,根据条件,结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位,由这两个概念得到的两个等式,是几何问题代数化的桥梁,方程(组)的应用,可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系.探索是数学发现的先导,探索性数学问题是近年出现在中考竞赛中的新题型,解答这类问题,有一个探索发现结论的过程,要对结论论作出判断,这就需要展开观察.试验、类比、归纳、猜测等探索活动,有启迪科学方法的作用,具有创速发现的意义,具有较高层次的训练价值． 【例6】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分? 思路点拨 第一次正好为两点整；第二次设为两点x 分时,时针与分针的夹角为60°,则x=10+12x +10,解之得x=21119(分)；第三次设为两点y 分时,时针与分针的夹角为60°,则y+10=12y +15,解之得y=5115 (分)； 第四次设为3点z 分,时针与分针的夹角为60°,则z=15+12z +10,解之得z=27113(分)．注：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为0.5°／分,分针为6°／分,秒针为360°／分．学力训练1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l,则这个角是 度． 2．钟表时间是2时15分时,时针与分针的夹角是 ．3．由O 点引出的7条射线如图,若OA ⊥OE,OC ⊥OC,∠BOC>∠FOC,则图中以O 为顶角的锐角共有 个．4．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOD ＝120°,∠AOC=90°,OE 平分∠BOD,则图中彼此互补的角有 对．5．如图,∠AOB=180°,OD 是∠COB 的平分线,OE 是∠AOC 的平分线,设∠BOD=α,则与α的余角相等的角是( )．A ．∠OODB ．∠ODEC ．∠DOAD ．∠COA6．如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．135°注：解钟表上的问题,常用到以下知识：(1)钟表上相邻两个数宇之间有5个小格,每个小格表示1分钟,如与角度联系起来,每小格对应6°．(2)秒钟每分钟转运360°,分针每分钟转过6°,时钟每分钟特过0.5°． (3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．7．将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC 、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°8．如图,∠1>∠2,那么∠2与21(∠1一∠2)之间的关系是( )． A ．互补 B ．互余 C ．和为45° D ．和为22．5°9．如图,已知A 、O 、E 三点在一条直线上,OB 平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问：∠COD与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由．10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法．(2)一个长方形和一个正方形摆放如图,试找出除直角外的互余的角和互补的角． 11．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算)(151γβα++的值 时,有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果,其中确有一个是正确的答案,则γβα++ ．12．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOE=∠FOD ＝90°,OB 平分∠COD,图中与∠DOE 互余的是 ,与∠DOE 互补的角是 ．13．以∠AOB 的顶点O 为端点引射线OC,使∠AOC ：∠BOC=5：4,若∠AOB=15°,则∠AOC 的度数是 ．14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I 上,然后在乎面镜I 、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=60°,∠β=50°,则∠γ＝ ．14．若∠β与∠α互补,∠γ与∠α互余,且∠β与∠γ的和是34个平角,则∠β是∠α的( )．A ．251倍 B ．5倍 C ．11倍 D ．无法确定倍数15．4点钟后,从时针到分针第二次成90°角,共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．A．60 B．30 C．40 D．3317．如图,从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF,且∠AOB＝100°,OF平分∠BOC,∠AOE ＝∠DOE,∠EOF=140°,求∠COD的度数．18．过点O任作7条直线,求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．19．钟面上从2点到4点有几次时钟与分针夹成60°的角?分别是几点几分?20．(1)现有一个19°的“模板”(如图),请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．(2)现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?(3)用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?对于(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤；如果不能,请你说明理由．参考答案。
小学四年级数学 角度的计算教案 例题+练习+作业+答案
角度的计算知识点1：角的分类1.锐角：小于 90°的角2.直角：等于 90°的角3.钝角：大于 90°小于 180°的角4.平角：等于 180°的角5.周角：等于 360°的角知识点2:角度的计算1.对顶角相等2.三角形内角和为180°3.多边形内角和：（边数﹣2）×180°知识点3:特殊角度1.一个锐角为30°的直角三角形，斜边的长度是较短直角边的2倍；2.一个角为45°的直角三角形为等腰直角三角形；3.正三角形（等边三角形）的三个内角均为 60°【例题精讲】例题1.（1）三角形的内角和是多少度？（2）四边形的内角和是多少度？（3）五边形的内角和是多少度？【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°。
【解析】根据画图的方法，分析出来三角形，四边形，五边形的内角和，（1）如下图三角形中，内角和=平角=180 °（2）我们可以发现，任意四边形都可以被分成两个三角形，利用三角形的内角和180°，那么两个三角形的内角和就是2×180° = 360°。
（3）如上图得知：任意五边形都可以被分成三个三角形，利用三角形的内角和180°，那么三个三角形的内角和就是3×180°= 540°。
从而得到内角和与边数的关系式，内角和公式：（边数－2）×180°＝540°【铺垫或引入】利用三角形纸片证明三角形内角和为180°，利用三角形内角和进而推导出四边形内角和、五边形内角和，得出结论：多边形内角和＝（边数－2）×180°【拓展或总结】拓展：八边形内角和多少度？已知一多边形内角和1800°，是几边形？ 【小结】多边形内角和：（边数﹣2）×180°练习1. 一个六边形的内角和是多少度？【答案】720°。
四年级上册数学教案-8.5角的分类和画角练习 ｜苏教版
四年级上册数学教案－8.5角的分类和画角练习教材版本：苏教版课时：1课时教学目标：1. 让学生掌握角的分类方法，能够正确判断和分类不同类型的角。
2. 培养学生画角的能力，能够准确地画出指定度数的角。
3. 培养学生的观察能力和动手操作能力，提高他们对角的认识和运用。
教学重点：1. 角的分类方法。
2. 画角的方法和技巧。
教学难点：1. 角的分类方法的掌握。
2. 准确地画出指定度数的角。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 画角工具（如量角器、直尺等）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾角的定义和性质，复习角的度量单位。
2. 提问：同学们，我们已经学习了角的度量单位，那么你们知道角可以分为哪几种类型吗？二、新课导入（10分钟）1. 讲解角的分类方法，包括锐角、直角、钝角、平角和周角。
2. 通过示例和练习，让学生掌握角的分类方法，并能够正确判断和分类不同类型的角。
三、画角练习（15分钟）1. 讲解画角的方法和技巧，包括使用量角器和直尺。
2. 通过示例和练习，让学生学会准确地画出指定度数的角。
四、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成教材上的练习题，巩固角的分类和画角的知识。
2. 老师可以挑选一些学生的作业进行点评和讲解，指出其中的错误和不足。
五、拓展延伸（5分钟）1. 引导学生思考：除了教材上的角的分类，你们还能想到其他的角的分类方法吗？2. 学生可以自由发挥，提出自己的分类方法，并进行讨论和分享。
六、总结（5分钟）1. 老师对本节课的内容进行总结，强调角的分类和画角的方法和技巧。
2. 提问：同学们，你们今天学习了角的分类和画角，那么你们对角有了更深入的认识吗？七、作业布置（5分钟）1. 让学生完成教材上的课后习题，巩固本节课的知识。
2. 布置一道思考题：如何用直尺和圆规画出指定度数的角？教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了角的分类和画角的方法和技巧。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养他们的观察能力和动手操作能力。
苏教版四年级数学上册第八单元第5课《角的分类和画角练习》教学设计
苏教版四年级数学上册第八单元第5课《角的分类和画角练习》教学设计一. 教材分析《角的分类和画角练习》这一课是苏教版四年级数学上册第八单元的一部分。
在此之前，学生已经学习了角的概念和分类，本课将进一步深化学生对角的认识，学会用工具画角，并进行角的练习。
教材通过生动的图片和实际操作，引导学生探索角的分类和画角的方法，提高学生的观察能力和动手能力。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的观察和动手能力，对角的概念和分类有一定的了解。
但部分学生可能对角的度量概念和画角的方法还不够清晰。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习情况，通过生动有趣的教学活动，激发学生的学习兴趣，帮助他们巩固知识。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够认识锐角、直角、钝角，并能用工具画出各种类型的角。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、交流，培养观察能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，增强团队协作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够认识并分类各种类型的角，学会用工具画角。
2.教学难点：学生对角的概念的深化理解，以及画角的方法的掌握。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的图片和实际操作，引导学生探索角的分类和画角的方法。
2.小组合作学习：学生分组进行讨论和实践，培养团队协作能力。
3.问答法：教师提问，学生回答，激发学生的思维和兴趣。
六. 教学准备1.教具准备：角的模型、量角器、直尺、画纸等。
2.教学多媒体：课件、图片等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些生活中常见的角，如钟表、三角形等，引导学生回顾角的概念。
然后提问：“你们知道角可以分为哪些类型吗？”让学生思考，为后续的学习打下基础。
2.呈现（10分钟）教师向学生介绍锐角、直角、钝角的定义和特点，通过实物演示和多媒体展示，让学生直观地感受各种类型的角。
在此过程中，教师引导学生观察和讨论，加深学生对角的理解。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，使用量角器和直尺，尝试画出各种类型的角。
高中数学必修一第五章讲义
5.1 任意角和弧度制知识点一 任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB ”，始边： ，终边： ，顶点 .3．角的分类：名称 定义图示正角一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角零角一条射线 做任何旋转形成的角设α，β是任意两个角， 为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的 旋转角β. (2)α－β：α－β＝ ．知识点三 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∠Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五 度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角 1度的角等于周角的1360弧度制定义 以 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角长度等于 的圆弧所对的圆心角知识点六 弧度数的计算 （1）弧度数正角的弧度数是一个 数. 负角的弧度数是一个 数. （2）零角的弧度数是 （3）弧度数的计算 公式：rl =α知识点七 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad ＝ 180°＝ rad π rad ＝ 1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.1．与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒ 2．135-的角化为弧度制的结果为（ ） A ．32π-B ．35π-C ．34π-D ．34π 3．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角相等 B ．相等的角终边相同 C ．小于90︒的角是锐角 D ．第一象限的角是正角4．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为(0).ααπ<≤则α=（ ）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈3 1.73≈）A ．0.01B ．0.05C ．0.13D ．0.536．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-7．角76π所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知一扇形的周长为6(0)a a >，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．1 D ．2二、多选题9．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角10．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()(),0m m m >的角的集合是2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D ．{}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆12．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪ C ．B A B = D ．A B C ==三、填空题13．写出两个与6π终边相同的角______．14．半径为2cm ，中心角为30的扇形的弧长为______cm ．15．如图，扇环ABCD 中，弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==，则扇环ABCD 的面积S =__________．16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43___________.四、解答题17．已知1690α=．(1)把α表示成2k πβ+的形式，其中k ∈Z ，[)0,2βπ∈； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且[)4,2θππ∈--．18．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．19．已知1570α=-︒，2750α=︒，135rad πβ=，23rad πβ=-．(1)将1α，2α用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1β，2β用角度制表示出来，并在{}720180ββ-︒≤≤-︒内找出与它们终边相同的所有角．5.2 三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∠R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝余弦点P的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝三角函数正弦函数y＝sin x，x∠R余弦函数y＝cos x，x∠R正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∠Z知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值．即=+)2sin(παk=+)2cos(παk=+)2tan(παk其中Zk∈知识点四 同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin 2α＋cos 2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于 商数关系sin αcos α＝ ⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∠Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的一、单选题1．已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．122．已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．523．已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22B ．225C ．434D 4344．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-5．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45-D ．456．已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α<B ．tan 0α>C ．cos 0α<D ．sin cos 0αα>7．已知P 是半径为3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为πrad/s 2.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若0π3P Ox ∠=，则点P 到x轴的距离d 关于时间t （单位：s ）的函数关系为（ ）A ．π3sin 43d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π3sin 43d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是6πB ．若角2rad α=，则α角为第二象限角C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数tan y x =与sin y x =的图象有3个交点10．已知角α的终边与单位圆交于点3,55m P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值可能是（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．3511．已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=- B ．α为钝角C ．27cos 7α=-D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ） A ．tan 2α B ．5cos 5α=C ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα>三、填空题13．已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________．14．已知角2022α= ， 则sin cos tan sin cos tan αααααα++= _______________________． 15．若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为_________．16．已知1sin cos 52παααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则11sin cos αα-的值为___________.四、解答题17．已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1P m m +,，且3cos 5α=． (1)求m 及tan α的值； (2)求()sin sin cos ααα+的值．18．已知tan 2α=，求下列各式的值. (1)1sin cos αα； (2)111sin 1sin αα+-+. 19．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-． (1)求tan α的值； (2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值．20．已知第二象限角α满足sin ,cos αα是关于x 的方程2255120x x --=的两个实根. (1)求1tan tan αα+的值； (2)求()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-的值.5.3 诱导公式知识点一 公式二～四终边关系 图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于 对称sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ 公式三角－α与角α的终边关于 轴对称sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ 公式四角π－α与角α的终边关于 轴对称sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝知识点二 诱导公式五、六 （1）公式五=-)2sin(απ=-)2cos(απ（2）公式六=+)2sin(απ=+)2cos(απ一、单选题1．cos210︒的值等于（ ） A ．12 B ．32C ．32-D ．22-2．已知5sin 5α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．55B ．55-C ．255-D ．2553．3cos()sin 2x x ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ） A ．2cos x -B ．0C ．2sin x -D ．cos sin x x -4．已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．2D ．22-5．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（ ） A ．52B ．52-C ．14-D ．146．若()1sin 2π3α+=，tan 0α<，则cos α=（ ）A ．22B ．13-C ．13D 227．已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110 B ．32C 3D ．28．若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列转化结果正确的有（ ） A ．171sin62π= B ．113tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成度是15 10．在∠ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ） A ．()sin sin A B C += B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin απβ+= B ．()sin sin απβ-= C ．()sin 2sin παβ-=- D ．()sin 2sin παβ+=12．下列说法正确的有（ ） A ．3sin 600tan 240︒+︒=B ．若已知cos31m ︒=，则2sin 239tan1491m =-︒︒C ．已知()1cos 753α︒+=，且18090α-︒<<-︒，则()22cos 15α︒-=D ．函数()1f x ax =+在区间()1,1-上存在一个零点的充分必要条件是1a <-或1a > 三、填空题13．172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．14．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒__________． 15．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．16．若tan()2πα-=-，则3cos(2)2cos 2sin()sin 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭__________.四、解答题17．已知()4cos 5πα+=，且tan 0α>. (1)求tan α的值； (2)()()()2sin sin 22ππααπ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'的值.18．已知角α终边上一点()43P ,-，求下列各式的值．(1)sin cos sin cos αααα+- (2)()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知正弦三倍角公式：3sin 33sin 4sin x x x =-∠（1）试用公式∠推导余弦三倍角公式（仅用cos x 表示cos3x ）； （2）若角α满足sin 33sin 2αα=，求cos3cos αα的值.5.4 三角函数的图象与性质知识点一正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点，⎝⎛⎭⎫π2，1，，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的叫做正(余)弦曲线知识点二函数的周期性1．函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∠D都有x＋T∠D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．知识点三正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R周期2kπ(k∠Z且k≠0)2kπ(k∠Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性知识点四正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数 余弦函数图象定义域 RR值域单调性在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∠Z )上都单调递减在每一个闭区间[2k π－π，2k π](k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间[2k π，2k π＋π] (k ∠Z )上都单调递减最值x ＝π2＋2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∠Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∠Z )时，y min ＝－1知识点五 正切函数的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∠Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∠Z )上都单调递增 对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∠Z )一、单选题1．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．图像关于直线12x π=-成轴对称2．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-3．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 4．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（ ） A ．π2-B ．πC ．π3D ．05．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）∠函数()f x 最小正周期为2π； ∠定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭∠()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ∠函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．函数()()sin 2,0,6f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若方程()2f x =的解为()1212,0x x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．23-B ．33-C ．73-D ．26-7．记函数()sin()f x x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若2()2f T =，3π4x =为()f x 的零点，则T的最大值为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π8．已知函数π()cos 22cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，给出下列结论：∠()f x 的最小正周期为2π： ∠()f x 是奇函数：∠()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ∠()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ．∠∠∠ D ．∠∠∠二、多选题9．下列函数以π02⎛⎫⎪⎝⎭,为对称中心的有（ ） A ．sin y x = B ．tan y x = C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x =10．函数()π3sin 334g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的最小正周期为6πB ．()g x 的图像关于直线π4x =对称 C ．()g x 的图像关于点5π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称；C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．该图象向右平移3π个单位可得2sin2y x =的图象. 12．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x 2在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题13．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____________14．已知函数()(25sin π,0,4f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，设方程(),(01)f x m m =<<的根从小到大依次为123,,x x x ，且2132x x x =，则m =___________.15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是__________．16．设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______________.四、解答题17．已知函数()sin 62f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.18．已知函数()sin()(R,0,0,0)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><<的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()1f x >的解集.19．已知函数2π()sin(2)3f x x =+. (1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,]2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，π<ϕ），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．∠函数()f x 向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称且()00f <．∠函数()f x 的一条对称轴为π3x =-且()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭；(1)求函数()f x 的解析式；(2)若π17π,212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．勉，学习需坚持。
5、角的分类
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
锐角
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
钝角
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
直角
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
平角
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
周角
时针与分针组成的是什么角？
12
9
• •
3
6
Hale Waihona Puke 钝角时针与分针组成的是什么角？
边
顶点
边
分一分，填一填： 5º 45º 105º 180º
20º
39º
90º 150º
89º 360º
91º
179º
锐角
钝角
直角
平角
周角
你会将这些角按从大到小排队吗？
周角>平角>钝角>直角>锐角
> <
(1)直角总是90°。 （ √ ） (2) 平角是一条直线。（ × ） (3)锐角都小于90°。（ √ ） (4)大于90°的角叫钝角。 （× ） （5）周角就是一条射线。（ × ）
周角包含了2个平角。 周角包含了4个直角。
直角、平角和周角的大小有什么关系？。
1周角=2平角=4直角
3600
＞
1800
＞ 900
直 锐 钝 平 周
角是
90 小于90
度的角。
角是
度的角。
角是 大于90度而小于180 度的角。 角是
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5 角的分类和计算知识要点
角的分类
1.分一分：
65
度 90
度 180
度 70度 120度 170度 1度360度 45度 125度 60度
锐角直角钝角平角周角
2.判断。
（1）平角就是一条直线，周角就是一条射线。
（）
（2）一条直线长1200米。
（）
（3）两个锐角的和一定比直角大。
（）
（4）时钟在9时整时，时针和分针成直角。
（）
（5）把一个钝角平角成两个角，则这两个角都是锐角。
（）
（6）两条垂直线相交可以成4个直角。
（）
3.已知∠1=60度，求∠2的度数。
图形定义
小于
等于
大于
钝角
角的两条边成一条直线的角叫做
平角
一条射线绕着它的端点旋转一周
成的角叫做周角
4.已知∠1=60度，∠2=55度，求∠3的度数。
5.如图，求∠1的度数。
6.已知∠1=60度，求∠2、∠3、∠4的度数。
思维训练
7.如图，已知∠1=∠2=20度，求∠3、∠4、∠5的度数。
8.已知∠1=140度，你能求∠2、∠3、∠4是多少度吗？。