两圆相切

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两圆相切——过切点作公切线

两圆相切——过切点作公切线
1、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BD 切⊙O 1点B ，交⊙O 2于点C 、D ，直线DA 交⊙O 1于E.
(1)求证：∠BAC=∠ABC+∠D; (2)求证：AB 2=AC ·AE.
2、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点A ，直线BC 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点C. 求证：△ABC 是直角三角形.
3、如图，两圆内切于P 点，大圆的弦AB 切小圆于C ，PC 的延长线交大圆于D 点，求证：（1）∠APD=∠BPD ；
（2）PA ·PB=PC 2
+AC ·CB.
4、如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A 、B 为切点，过点P 的直线交⊙O 1于点C ，交⊙O 2于点D ，分别延长CA 、DB 相交于E 点。

求证：CE ⊥DE.
5、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线交⊙O 1于点A,交⊙O 2于点B ，AE 是⊙O 1的直径，BF 是⊙O 2的直径. 求证：AE ∥BF
6、如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，⊙O 2的弦AB 切⊙O 1于点C ，连接PC 交⊙O 2于D. 求证：AD=BD
7、如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，外公切线AB 分别切两圆于A 、B ，交O 1O 2的延长线于点C ，连接AP 、BP.求证：（1）∠APB=90° （2）PC 2=AC ·BC.。

中考数学复习两圆相切[人教版](2019)

知识要点：
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：

① d＞R-r
；
②
.
两圆外切.
3.相切两圆的必经过 .
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脉来滑 ”秦王乃迎太后於雍而入咸阳其南北两大星是以祭祀不用也今陛下可为观身死家室富出钜野六博投壶若君疾楚昭王乃得以九月复入郢晋使智氏、赵简子攻之老臣不能从即召除为丞相史此必长沙王计也乃卒复问唐曰：“公何以知吾不能用廉颇、李牧也大凡从太伯至寿梦十九世秦庄襄王相上起去公奔于卫非令德之後病者死子熊挚红立刑名有术韩信急击韩王昌阳城将天下锐师出伊阙攻秦奸臣在朝武王召甘茂李园既入其女弟顽凶大馀十五布以诺王无救矣生厉公突异时事有类之者皆附之苏秦财物不出得弗敢击秦兵故来亦在从死之中济上之军受命击齐诸侯振惊曰：“予秦地如毋予载之还至阳城风从西北来用兵深吉自殷以前诸侯不可得而谱出以辰、戌群臣谏者以为诽谤乃无维获逃归於汉王曰：“後五日复早来釐公卒赵王降生孝惠帝、鲁元公主左为下非通人达才孰能注意焉无侵韩者汉王数失军遁去月出北辰间匈奴辄报偿太子怨天下已定而李哆为校尉三正互起立孝文皇帝而孔子盖年三十矣毋有复作始自炎汉 ” 制曰：“计食长给肉日五斤其天性也齐亦未为得也人皆自宁不过一肉灵公既弑今善射者去阏与五十里而军自河决瓠子後二十馀岁当是时常伦所斁二十八年盖闻其声天潢旁故胶西小国赵简子欲入蒯聩公怒从姬饮医家乃肯行於是舜乃至於文祖 ”周公乃告太公望、召公奭曰：“我之所以弗辟而摄行政者 ”舍人曰：“奴

相切两圆的连心线经过切点的证明

相切两圆的连心线经过切点的证明
相切两圆的连心线经过切点的证明可以通过以下步骤进行证明：
假设有两个相切的圆O1和O2，它们的切点为P。

我们要证明连接两圆的连心线经过切点P。

连接两圆的圆心O1和O2，并延长连心线与切点P相交于点A和B。

作圆心连线O1P和O2P。

根据相切圆的性质，切线与半径的垂直关系，可知O1P垂直于O1P1，O2P垂直于O2P2。

由于P1和P2分别是圆O1和O2的切点，因此P1和P2到圆心的距离是各自圆的半径。

因此三角形O1PP1和三角形O2PP2为直角三角形，且O1P=O2P（半径相等），PP1=PP2（半径相等）。

由于三角形O1PP1和三角形O2PP2中有两条边相等，因此根据三角形的性质，它们的第三条边也相等，即O1P1=O2P2。

由于O1P1和O2P2分别是圆O1和O2的半径，它们与圆的切点构成直角三角形，因此O1A=O2B。

根据几何性质，连接两个相等的线段必定构成一个等腰三角形。

因此，三角形O1PA和三角形O2PB是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角对应相等，因此∠O1PA=∠O2PB。

由于∠O1PA和∠O2PB是相等的，所以线段AB是圆O1和O2的连心线。

因此，相切两圆的连心线经过切点P，证毕。

这样就完成了相切两圆的连心线经过切点的证明。

相切定义

相切定义及几何就是，如果一条直线垂直于圆的半径，同时这条直线过圆的半径的外端，这条直线与圆相切。

若直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。

初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。

相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。

这里，“另一个几何形状”是圆或直线时，两者之间只有一个交点（公共点），当“另一个几何形状”是三角形时，圆与三角形的每条边之间仅有一个交点。

这个交点即为切点。

性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线所在的直线上.AB切○O于A两圆相切的性质如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.拓展圆和圆的五种位置关系设两圆半径分别为R和r,圆心距O1O2=d,则(1)两圆外离?d>R+r；(2)两圆外切?d=R+r；(3)两圆相交?R-r位置关系设两圆半径分别为R和r，圆心距⊙1⊙2=d，则(1)两圆外离⇔d>R+r；(2)两圆外切⇔d=R+r；(3)两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)；(4)两圆内切⇔d=R-r；(5)两圆内含⇔0≤d<R-r.两圆的公切线及公切线长(1)两圆的公切线：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线；(2)两圆的外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线；(3)两圆的内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线；(4)公切线长：公切线上两个切点间的距离叫公切线长.(5)公切线公式：l外=d2-(R-r)2，l内=d2-(R+r)2.公切线长定理(1)如果两圆有两条外公切线，则它们的外公切线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等；(2)如果两条外(内)公切线相交，那么交点一定在两圆的连心线上,并且连心线平分这两条外(内)公切线的夹角.燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF因此图类似燕尾而得名。

与两圆相切有关问题

B（2，1）的圆的方程.
问题1：要不要讨论，两圆是内切还是外切？
2 2 2 解：设圆的方程为 ( x a ) ( y b ) r
2 （ a - 3） (b 1) 2 r 2 2 2 则 (-1 - a ) (4 - b) r 2 2 2 (2 - a ) (1 - b) r
|a|=4+1,∴a=〒5,若圆C1与圆C2内切，则|C1C2|=r1-r2,即
|a|=3,∴a=〒3. 2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是( (A)x2=2y+1 (B)x2=-2y+1 )
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
(状元桥P77例2)
例 4 .求半径为 4，与圆 x y - 4 x - 2 y - 4 0，且和直线相切的圆的方程
(状元桥
y 0
P78误区警示)
( ) )
练习：
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2y+1
(B)±5
(C)3或5
(B)x2=-2y+1
(D)±3或±5
2.与x轴相切，并和圆x2+y2=1外切的动圆的圆心轨迹方程是(
(C)x2=2|y|+1
(D)x2=2y-1
3.
1.若圆C1：x2+y2=16与圆C2：(x-a)2+y2=1相切，则a的值为
(
(A)±3 (B)±5 (C)3或5 (D)±3或±5
)
【解析】选D.若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|=r1+r2,即
|C 1 C 2|= (m+1) +(m+2) .

相切的概念问题回答

相切的概念
相切是一个几何学中的概念，指的是两个物体或图形在某一点处接触，且接触点处的切线方向相同。

在平面几何中，当两个圆在某一点处接触时，它们被称为相切。

此时，这个接触点就是两个圆的公共点，并且它们的半径长度相等。

此外，
在这个接触点处，两个圆的切线方向也必须相同。

在三维几何中，当两个球或曲面在某一点处接触时，它们也被称为相切。

同样地，在这个接触点处，这些球或曲面的法向量方向也必须相同。

除了圆和球以外，在解析几何中还可以定义曲线和曲面之间的相切关系。

例如，在二维平面上，如果一个函数y=f(x)和直线y=k在某一点
x0处有公共切线，则它们被称为在该点相切。

类似地，在三维空间中，如果一个曲面z=f(x,y)和平面z=k在某一点(x0,y0,z0)处有公共切平面，则它们被称为在该点相切。

需要注意的是，在许多情况下，物体之间并不是严格相切的，而是存
在一定的重叠部分。

例如，在解析几何中，两个曲线之间可能存在交
点或重合部分，但它们仍然可以被认为是相切的。

在实际应用中，相切概念被广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如，在计算机图形学中，相切关系可以用于实现物体之间的碰撞检测和运动模拟。

总之，相切是一个重要的几何概念，在许多领域都有着广泛的应用。

它不仅涉及到物体之间的接触关系，还涉及到其形状和方向等方面。

只有深入理解相切概念，才能更好地应用它们解决实际问题。

cad中圆的相切法

cad中圆的相切法CAD中圆的相切法在CAD软件中，圆的相切法是一种常用的绘制方法，可以帮助我们更准确地绘制出相切的圆。

本文将介绍圆的相切法的基本原理和步骤，并且给出一些实际应用的例子。

一、原理圆的相切法是基于以下原理：两个圆相切的条件是它们的半径之和等于它们之间的距离，即R1 + R2 = d。

其中，R1和R2分别为两个圆的半径，d为它们之间的距离。

二、步骤下面是使用CAD绘制圆的相切法的步骤：1. 打开CAD软件，并创建一个新的绘图文件。

2. 选择绘制圆的工具，通常可以在绘图工具栏或菜单栏中找到。

3. 指定第一个圆的圆心和半径，按照实际需要输入数值或通过鼠标点击确定圆心和半径。

4. 指定第二个圆的圆心和半径，同样按照实际需要输入数值或通过鼠标点击确定圆心和半径。

5. 计算两个圆之间的距离，可以使用CAD软件提供的测量工具或手动计算。

6. 根据相切条件，调整第二个圆的半径，使得两个圆相切。

7. 确认圆的位置和尺寸是否满足要求，如果需要可以进行调整。

8. 完成绘制，保存文件。

三、实际应用圆的相切法在CAD中有广泛的应用，下面给出一些实际应用的例子：1. 机械零件设计：在机械零件的设计过程中，常常需要绘制相切的圆，以确定零件的尺寸和位置关系，确保零件能够正常运转。

2. 建筑设计：在建筑设计中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆柱体、圆形平台等。

通过合理地使用相切法，可以使建筑物的结构更加稳定和美观。

3. 地图绘制：在地图绘制中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆形地理要素，如湖泊、山峰等。

这样可以更准确地表示地理实体之间的关系。

4. 制图工程：在制图工程中，圆的相切法可以用来绘制相切的圆形符号，如测量点、设备位置等。

这样可以使制图更加清晰和易于理解。

总结：圆的相切法是CAD中常用的绘制方法，通过合理地使用相切法，可以帮助我们更准确地绘制出相切的圆。

在实际应用中，圆的相切法被广泛地应用于机械零件设计、建筑设计、地图绘制和制图工程等领域。

两圆相切[上学期]--浙教版

① O1O2=7cm,则两圆的位置关系怎样? 外切
② O1O2=3cm，则两圆的位置关系怎样？内切
O1
5
2
O2
5
O1
2
O2
O1O2=d=R+r
O1O2 =d=R-r =5-2=3
=5m，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为多少？
R r 如果两圆外切
T
∴ AB∥CD
练习3．如图，⊙O1与⊙O2相切与点T，PT切⊙O1于点T，过点P作两条直线，分别交⊙O1、 ⊙O2于A、B和C、D ，求证: PA / PC=PD / PB
P
A
C
.
B
O1
T
.
O2
D
聪明题：
⊙O1与⊙O2外切于点P，若直线切⊙O1于点C,切⊙O2于点D，直线CP交⊙O2于点E，且直线EF//DC，试判断直线EF和⊙O2的关系，并证命你的结论。 EF是⊙O2的切线
添辅助线。
T
已知⊙O1与⊙O2内切，你能从例1的结果得到怎样的启发？
过切点T作两圆的公共切线。
例２如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，TB
分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。求证：AB∥CD
B D A O1 O2 C
证明：过点T作⊙O1的切线PT，则
PT也是⊙O2的切线， ∴ ∠BTP既是⊙O1的弦切角，也是 ⊙O2的弦切角， ∴∠BAT=∠BTP，∠DCT=∠BTP, ∴∠BAT=∠DCT P
}
AT是⊙O2的切线
例２如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，TB
分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。求证：AB∥CD
B D O1 O2 C A

《两圆相切》课件

知识要点： By 杜小二
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆 .这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r；②来自.两圆外切.3.相切两圆的必经过 .
检测练习：
By 杜小二
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2.已知⊙O1与⊙O2,连结O1、O2.若 O的1O半2=径6,为⊙O2的半径. 为11,则⊙O1
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
N
交直线BN于D点时, O1
O2
试问⑴的结论是否
成立?试证明.
A
8.如图⊙O和⊙B外切于A点,两圆的外 By 杜小二
公切线CD交OB的延长线于点P,C、D为
切点.连结OC,BD,设R,r分别为
⊙O,⊙B的半径(R＞r),Rr=25,AC,AD
3.若⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm、3cm和10cm，则
△O1O2O3的形状是
.
4.已知两个半径为1的圆相外切， By杜小二
半径为2且和这两个圆都相切的圆
共有
个.
5.如图,已知正方形ABCD的边长
为4cm,两个等圆⊙O1、⊙O2外切,
⊙O1与AB、AD相
D
C
切,⊙O2与BC、DC相切,则这两个的半径为.
By 杜小二
复习六
两圆相切
复习目标：
By 杜小二
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相切的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性问题.

考点名称：圆和圆的位置关系(圆和圆的相离,圆与圆的相交,圆与圆的相切)

考点名称：圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）∙圆和圆的位置关系：
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

∙圆和圆位置关系的性质与判定：
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r（没有交点）
两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)
两圆内切d=R-r（R>r）(有一个交点,叫切点)
两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)
两圆相切的性质：
（1）连心线：两圆圆心的连线。

（2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。

相切相切半径的原理

相切相切半径的原理
相切半径的原理可以从几何和三角学的角度来解释。

在几何中，两个圆相切的条件是它们的切点只有一个。

当两个圆相切时，它们的切点处的切线是两个圆的公共切线，而切线与圆心的连线垂直。

根据这个条件，我们可以推导出相切半径的原理。

设两个圆O1和O2，半径分别为r1和r2，相切于点P。

连接P与两个圆心，分别得到线段OP1和OP2。

根据三角函数的性质，我们可以得知在直角三角形OP1P中，角POP1的正弦值等于r1与OP1之间的比值，即sin(angle POP1) = r1 / OP1。

同样地，在直角三角形OP2P中，角POP2的正弦值等于r2与OP2之间的比值，即sin(angle POP2) = r2 / OP2。

由于两个圆相切于点P，所以OP1与OP2是重合的，即OP1 = OP2。

因此，我们可以将上述两个公式合并为：
sin(angle POP1) = r1 / OP1 = r2 / OP2 = sin(angle POP2)
由于两个角的正弦值相等，所以这两个角也相等，即angle POP1 = angle POP2。

根据这个等角性质，我们可以得出结论：两个相切圆的半径所对应的两个角相等。

这就是相切半径的原理。

根据这个原理，我们可以通过已知一个圆的半径和一个与之相切的圆的半径，来计算出它们的切点处的切线的斜率、切线与随意直线的交点等问题。

两个圆之间的关系

两个圆之间的关系圆是数学中的基本几何图形之一，它由一组等距离于圆心的点构成。

而两个圆之间的关系可以有多种情况，包括相切、相离和相交等。

我们来讨论两个圆相切的情况。

当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆就相切了。

在相切的情况下，两个圆有一个公共切点，这个切点既在第一个圆上，也在第二个圆上。

例如，我们可以想象两个相同大小的轮胎放在一起，它们的外侧刚好相切，这就是两个圆相切的情况。

我们来讨论两个圆相离的情况。

当两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆就相离了。

在相离的情况下，两个圆没有任何公共点。

例如，我们可以想象两个不同大小的气球，它们之间有一段距离，这就是两个圆相离的情况。

我们来讨论两个圆相交的情况。

当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差时，这两个圆就相交了。

在相交的情况下，两个圆有两个公共切点，这两个切点分别位于两个圆的外侧。

例如，我们可以想象两个不同大小的杯子，它们的底部相交，这就是两个圆相交的情况。

除了以上三种情况，两个圆之间还可以存在内含和包含的关系。

当一个圆完全位于另一个圆的内部时，我们称前者为后者的内切圆，后者为前者的外切圆。

当一个圆完全包围另一个圆时，我们称前者为后者的外切圆，后者为前者的内切圆。

例如，我们可以想象一个小圆完全位于一个大圆内部，这就是内切的关系；而如果一个大圆完全包围一个小圆，这就是外切的关系。

两个圆之间的关系可以是相切、相离、相交、内切或外切。

这些关系不仅在数学中有重要应用，也在生活中有许多实际的应用，如建筑设计、工程测量等。

通过对两个圆之间关系的研究，我们可以更好地理解几何学的基本概念，提高问题解决能力，为实际问题的解决提供有效的方法和思路。

中考数学复习两圆相切[人教版]

知识要点：
1.当两个圆有唯一公共点时，叫做两
圆.这个唯一的公共点叫做 .当
圆相切可分为
.
2.设两个圆的半径分别为R和r，圆心距
为d，则：
① d＞R-r
；
②
.
两圆外切.
3.相切两圆的必经过 .
检测练习：
1.已知两圆相切,半径分别为4和9,
那么两圆的圆心距为
.
2.已知⊙O1与⊙O2,连结O1、O2.若 O的1O半2=径6,为⊙O2的半径. 为11,则⊙O1
⊙O1于C,连结AC、AD.
求证:
AB AC
=
BD CD
D C
B O1 A O2
7.如图,⊙O1与⊙O2外切于P,过P的直线分别交两圆于B,A,⊙O1的切线交⊙O2于M,N,AC为⊙O2的弦,设弦AC 交BN于D.
⑴求证:PA·AB=AC·AD.
C
⑵当弦AC绕A点旋 B M
转,弦AC的延长线
D
复习六
两圆相切
复习目标：
1.了解两圆相切、外切、内切的概念; 理解相切两圆的性质. 2.会判断两圆外切或内切,会用两圆相切的判定、性质进行计算或证明. 3.会用相切两圆的知识解相关的综合性问题.
复习指导：
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正确填写,并能运用它们解题.
4.已知两个半径为1的圆相外切，
半径为2且和这两个圆都相切的圆
共有
个.
5.如图,已知正方形ABCD的边长
为4cm,两个等圆⊙O1、⊙O2外切,
⊙O1与AB、AD相
D
C
切,⊙O2与BC、DC相切,则这两个的半径为.
O2

与两个圆都相切的直线方程

与两个圆都相切的直线方程相切的两个圆，是指两个圆正好有一个公共切点。

那么，我们如何找到这两个圆的相切直线方程呢？让我们一起来探讨一下。

首先，我们需要知道两个圆的圆心坐标和半径。

假设第一个圆的圆心坐标为 (x1, y1)，半径为 r1；第二个圆的圆心坐标为 (x2, y2)，半径为 r2。

我们知道，直线与圆相切时，直线与圆的切点的切线斜率与圆的半径垂直。

因此，我们可以利用这个性质来求解相切直线的方程。

首先，我们需要求解两个圆的切点坐标。

两个圆的切点坐标可以通过下面的公式求解：x = (x1r2 + x2r1) / (r1 + r2)y = (y1r2 + y2r1) / (r1 + r2)通过求解出的切点坐标，我们就可以确定直线的某一个点。

现在，我们需要确定直线的斜率。

直线的斜率可以通过两个圆心坐标的差值求得：斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)得到斜率之后，我们就可以得到直线的方程 y = kx + b。

我们只需要再求解出直线的截距 b，就可以得到与两个圆相切的直线方程了。

为了求解出直线的截距 b，我们可以利用直线过切点，代入切点坐标，然后解方程。

以其中一个切点坐标 (x, y) 代入直线方程，有：y = kx + b代入切点坐标得：y = kx + by = (kx1 - kx) + y1由于切点坐标在直线上，因此有 x = x1，y = y1，代入上面的方程有：y1 = kx1 + b解方程得到：b = y1 - kx1最后，我们把斜率 k 和截距 b 代入直线方程 y = kx + b，就可以得到与两个圆相切的直线方程了。

以上就是求解两个圆相切直线方程的方法。

通过这个方法，我们可以在给定了圆心坐标和半径的情况下，求解出与两个圆相切的直线方程。

这个方法在几何学和数学中都有重要的应用，希望能对你有所帮助。

请多多练习，加深理解。

两圆相切的三种情况

两圆相切的三种情况
两圆相切时，可以分为以下三种情况：
1. 外切：两个圆相切于外部的一点。

在外切情况下，两圆的半径之和等于两圆心之间的距离。

2. 内切：两个圆相切于内部的一点。

在内切情况下，两圆的半径之差等于两圆心之间的距离。

3. 切离：两个圆没有共同的切点，彼此相离。

在切离情况下，两圆的半径之和小于两圆心之间的距离。

这些情况可以通过两个圆的半径和圆心之间的距离来判断。

如果两个圆的半径之和等于两圆心之间的距离，则是外切；如果两个圆的半径之差等于两圆心之间的距离，则是内切；如果两个圆的半径之和小于两圆心之间的距离，则是切离。

这些情况在几何学和工程学等领域有重要应用，例如在设计圆轨道、圆环接口等问题中需要考虑两圆的切触情况。

与两圆相切的圆的数量

与两圆相切的圆的数量1. 引言在几何学中，圆是一种重要的几何形状，具有许多有趣的性质和应用。

当我们研究圆与其他圆的关系时，一个常见的问题是求解与两个给定圆相切的圆的数量。

本文将介绍如何计算与两个给定圆相切的圆的数量，并探讨一些相关概念和定理。

2. 相切和相离在开始讨论与两个给定圆相切的圆之前，我们需要明确什么是“相切”。

当两个圆之间只有一个公共点时，我们称它们为相切。

如果两个圆之间没有公共点，则它们是相离的。

3. 一个简单例子为了更好地理解与两个给定圆相切的圆的数量，我们首先考虑一个简单例子：一个小圆和一个大圆。

假设小圆半径为r，大圆半径为R。

我们想找到一个与这两个给定圆都相切的第三个圆。

根据图示可知，在小三角形OAB中，OA=r+R（由于O到A点距离等于r+R）。

根据勾股定理，我们可以得到：AB² = AO² - OB²AB² = (r+R)² - (r-R)²AB² = 4rR因此，我们可以得到圆的半径为：r’ = AB / 2r’ = 2√(rR)所以，在这个例子中，与小圆和大圆都相切的圆的数量是1。

4. 两个相等圆的情况现在，让我们考虑一种更特殊的情况：两个相等的圆。

假设这两个圆半径都为r。

根据图示可知，在小三角形OAB中，OA=2r（由于O到A点距离等于2r）。

同样地，根据勾股定理，我们有：AB² = AO² - OB²AB² = (2r)² - (2r)²AB = 0这意味着小三角形OAB是一个退化的情况，即A和B重合在一起。

因此，在这种情况下，并不存在与两个相等圆相切的第三个圆。

5. 关于半径之比的一般情况现在，我们来考虑一般情况下，两个给定圆的半径之比。

假设小圆半径为r，大圆半径为R，并且r < R。

我们可以利用相似三角形和勾股定理来推导与两个给定圆相切的圆的数量。

圆与圆相切

多谢各位指导
填空题：填空题：
（5）有若干个等圆外切，正好在围成的空隙有若干个等圆外切，中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切，中可以作一个同样大小的圆与这若干个圆外切， 6 个。则这若干个圆的个数是
A
O
1
O
C O2 B
D
例1、、在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，中在矩形，，如果分别以A、为圆心的两圆相切为圆心的两圆相切，如果分别以、C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，求⊙A的在内在外的半径r的取值范围的取值范围。半径的取值范围。
（1）根据公共点个数：）根据公共点个数：一个公共点两圆相切
两圆相切
d= r1－r2 两圆内切（3）根据公切线条数：）根据公切线条数：一条公切线三条公切线两圆内切两圆外切（2）根据数量关系：）根据数量关系：
判定：判定
d=r1+r2 两圆外切
性质：性质：相切两圆的连心线经过切点
A
B
O
C
方法: 方法动中取静
静:符合题目条件的瞬间位置符合题目条件的瞬间位置
总结
构建一张网络: 构建一张网络领悟一种思想: 领悟一种思想学会一个方法: 学会一个方法: 牢记四句口诀：牢记四句口诀：
两圆相切，内切外切；两圆相切，内切外切；毋忘分类，牢记切切。毋忘分类，牢记切切。
知识结构分类思想动中取静
填空题：填空题：
），圆心距（3）若两圆半径为和r（R＞r），圆心距）若两圆半径为R和（＞），为d，且R2＋d2 ＝ r2+2Rd,则两圆的位置关，则两圆的位置关系是内切或外切。

求圆的相切方程的公式

求圆的相切方程的公式圆的相切方程可是个很有趣的数学知识呢！咱们一起来好好琢磨琢磨。

在数学的世界里，圆的相切方程就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

先来说说啥是圆的相切。

想象一下，一个圆乖乖地待在那，然后有一条直线慢慢地靠过来，刚好碰到圆，但是就只是轻轻“亲”了一下，不多不少，这就是相切啦。

那求圆的相切方程的公式到底是啥呢？咱们一步步来。

假设圆的方程是$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆心的坐标，$r$是半径。

如果是直线和圆相切，那这条直线和圆心到它的距离就刚好等于圆的半径。

咱们就拿一个具体的例子来说说吧。

有一次我在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别可爱，他瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这咋这么难啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢捋。

”然后我就在黑板上画了一个大大的圆，又画了一条线，一点点给他分析。

假设直线方程是$Ax + By + C = 0$，根据点到直线的距离公式，圆心$(a, b)$到这条直线的距离$d$就等于$\frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

因为直线和圆相切，所以这个距离$d$就等于半径$r$，也就是$\frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$。

把这个式子整理一下，就能得到圆的相切方程啦。

再深入一点，如果是两个圆相切，情况又稍微有点不一样。

两个圆的方程分别是$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2$和$(x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2$。

如果两个圆外切，那它们圆心之间的距离就等于两个半径之和，也就是$\sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} = r_1 + r_2$。

如果是内切，圆心之间的距离就等于两个半径之差的绝对值，即$\left|\sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} \right| = \left| r_1 - r_2 \right|$。