第7讲：仿真模型的matlab实现
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4/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 完全生成初始状态
5/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 脉冲星（Explore）
6/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机（Glider）
7/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 10元胞行（10 Cells row）
8/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 轻型飞船（Lightweight Spaceship）
2/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的规则(数学形式)：
t 1, if S N 2 or 3 t t 0, if S 2 or S N N 3
t 1, if S N 3 t 0, if S N 3
if Sit 1, then Sit 1
头朝右
头朝下
头朝左
23/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 当前位置为白格
头朝上
头朝右
头朝下
头朝左
24/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
例3：森林火灾模拟
元胞空间采用2维正方形网格自动机，元胞包括三 种状态：正在生长的树（绿色），正在燃烧的树（红色） 和空状态（黑色）。初始状态由这三种情况随机填充， 邻域取Moore型。每一步按下述规则更新状态： （1）正在燃烧的树变为空状态； （2）如果正在生长的树格位最近的邻居中有不少于一棵 树正在燃烧，则它将变为燃烧状态； （3）如果是空状态格位，则其以概率p生长出树； （4）考虑到闪电的作用，在最近邻居中没有正在燃烧的 树（周围全是树且没有燃烧）的情况下，生长树在每个 时间步以概率 f 变成燃烧的树。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
33/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 在这个模型基础上还可以加上红绿灯机制，如在 路的最后设置红绿灯，给定红绿灯时间，只需在红灯 时间内让道路口位置恒为1，在绿灯时间内让道路口位 置恒为0即可。 红灯60个单位时间，绿灯120个单位时间
34/59
36/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 红绿灯规则实现 记录更新的道路状态
阻塞道路末端 打开道路末端
37/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
随机交通事故处理
以0.5%的概率 产生随机事故
பைடு நூலகம்
38/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
车辆移动仿真
从道路末端到起点 车辆移动方程
事故点附近处理
S(S>0.5) = 1;
Sk=zeros(102); Sk(2:N+1,2:N+1) = S;
27/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
28/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
29/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
例4：基于元胞自动机的交通流模拟
将道路离散化为一维网格，车辆为元胞，匀速行驶， 其在一维网格上的移动看成一维网格的状态变化，邻域 取前后各一个位置，即邻域半径 r=1，初始状态为道路入 口处有一辆车，随着时间的进行，道路入口处按均匀分 布随机产生一辆车作为道路的输入（产生概率决定了车 流密度），车辆在道路上的移动可使用元胞自动机模拟。 将某一个位置的车固定不移动，还可模拟红绿灯和 交通堵塞等情况，如将道路最后一个位置车辆不移动或 固定时长移动，则可模拟红绿灯；将道路中某一个位置 车辆不移动一定时长可模拟偶然交通事故。
S=100; %道路长度 First(1:s+1) = 0； %一维数组表示道路 Passtime = 120; %绿灯时间 Stoptime = 60; %红灯时间
程序实现
Ispass=1, curpass=0, curstop =0; %记录当前车辆已通过或停止的 时间
Accident = 0; %路面是否发生随机事故 Acpoint = -1; %发生随机事故的位置 Actime = 60; curactime = -1; %随机事故的阻塞时间
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景4：
设在道路口处按均匀分布以60%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率40%，最大速度为2，则仿真结果显示：
43/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景2：
设在道路口处按均匀分布以40%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率很低，不超过5%，最大速度为5，则 仿真结果显示：
44/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景3：
设在道路口处按均匀分布以80%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率40%，最大速度为4，则仿真结果显示：
14/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
（3）元胞自动机的状态改变规则在程序中如何体现？
换一种写法：
程序效率 差异显著
15/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
（4）动画如何生成？
初始化：
每次更新： （5）初始状态如何给定？
直接赋值，如
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 省略了赋初值语句
9/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 图姆勒（Tumler）
10/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
11/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
12/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
vn min(vn 1, vmax )
（2）减速：当前后车距过近，用当前速度前进会碰撞 时司机进行减速，新的速度为
vn min(vn , d n )
dn为前后车距。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 （3）随机慢化：由于各种不确定因素（如路况，司机 分心等）造成车辆减速，以概率p进行随机慢化，新的 速度为
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 移动规则可表示成:
S t 1 (i) S t (i 1) 1 S t (i) S t (i) S t (i 1)
上述这条规则隐藏了一个潜在的前提（假设）： 前进中的车辆应该有车距（一个车位），即若完全紧 挨在一起的车辆在行进中要隔开一个车位。
程序实现
几个核心问题：
（1）棋盘状态如何表示？ （2）邻域活细胞总数如何统计？ （3）元胞自动机的状态改变规则在程序中如何体现？ （4）动画如何生成？ （5）初始状态如何给定？
13/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
（1）棋盘状态如何表示？
用一个0-1矩阵表示元胞自动机的棋盘，即：
（2）邻域活细胞总数如何统计？
17/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
例2：Langton's ant
兰顿蚂蚁是元胞自动机另外一个 经典的案例。其通过简单两条规则模 拟蚂蚁的行为规律。
蚂蚁在方形网格上运动，网格分为 黑色和白色两种，蚂蚁在网格上头可朝 向上、下、左、右四个方向，头朝向哪 个方向，下一步运动就向该方向，并且 不改变头的方向，运动遵循两条规则：
（1）若蚂蚁位于黑色网格，则头向右转90度，前进一 步，并将原网格变成白色； （2）若蚂蚁位于白色网格，则头向左转90度，前进一 步，并将原网格变成黑色；
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
通过模拟可以发现，蚂蚁表现出了相当复杂的行为。 初始状态为一只小蚂蚁位于网格中间，且头朝上。随着 蚂蚁的行走演变，系统行为表现为三个阶段：
vn max(vn 1, 0)
（4）移动：车辆按照调整后速度向前移动
xn xn vn
这个模型称为NaSch(Nagel和Schreckenberg提出)模 型。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景1：
设在道路口处按均匀分布以40%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率很低，不超过5%，最大速度为2，则 仿真结果显示：
数学建模课程综合设计
王 丹
理学院数学与系统科学系
2016年夏季
第7讲 仿真模型与Matlab实现 例1：生命游戏
生命游戏（game of life）是由 剑桥大学的数学家John Horton Conway在1970年提出来的。
1) 元胞分布在规则划分的二维网格上；
2) 元胞具有0，1两种状态，0代表“死”，1代表“生”；
if Sit 0, then Sit 1
规则的不断演化所形成的规律性与初始状态有关， 不同的初始状态可能导致不同的演化结果。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的一些演化过程和形态演示
（1）完全生成初始状态
（2）脉冲星（Explore）
（3）滑翔机（Glider） （4）小脉冲星（Small Explore） （5）10元胞行（10 Cells row） （6）轻型飞船（Lightweight Spaceship） （7）图姆勒（Tumler） （8）滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
posx = 100; posy = 100; %蚂蚁当前位置 direct = 1; %1,2,3,4代表从上开始顺时针四个方向
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 棋盘大小 全为白色棋盘 设定图像显示
蚂蚁初始位置 和方向
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 当前位置为黑格
头朝上
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 移动规则：
（1）在当前时间，某一个位置若有车，则下一个时间该 位置有无车取决于前后位置是否有车； （2）若当前位置有车，下一个位置没有车，则当前位置 下一个时刻有无车取决于上一个位置是否有车，如上一 个位置有车，则下一个时刻当前位置有车，否则无车， 若下一个位置有车，则还决定于下一个时刻此车是否会 前进，若前进，则当前位置下一个时刻有无车又由上一 个位置有无车决定，否则当前位置有车； （3）若当前时刻无车，则下一个时刻有无车取决于上一 个位置是否有车，若有车，则当前位置下一个时刻有车， 否则无车。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
道路口进入车辆
以0.4的概率按均匀分布在道路起点处产生1 辆车，更符合实际的是应该按照泊松分布或指数 分布产生车辆，如：
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 进一步考虑车辆加减速，设每辆汽车（元胞）有一 个行驶速度，速度最小值为0，最大值为vmax，在当前时 刻到下一时刻演化中，汽车遵循以下原则： （1）加速：现实中司机总是期望以最大速度行驶，所 以在每一步当可以加速时(前后车辆距离大于当前车速)， 司机进行加速，新的速度为
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
程序实现
核心变量：
规则（1）—规则（4）的实现！
用一个二维数组表示棋盘的状态，假设棋盘大小为100*100，初始 根据概率随机确定是否有树。 棋盘：S=rand(100); %随机生成[0,1]间的棋盘矩阵 S(S<=0.5) = 0;
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
程序实现
核心变量：
（1）棋盘的状态改变
（2）蚂蚁的当前位置和头的朝向
用一个二维数组表示棋盘的状态，假设棋盘大小为200*200，蚂蚁 位于棋盘中心(100,100)位置，初始蚂蚁头朝上。
棋盘：cells(1:200,1:200) = 1; %白色棋盘
第7讲 仿真模型与Matlab实现 增加偶然交通事故。在每个时刻，产生服从均匀分 布的随机数，若随机数大于0.5%则发生一次交通事故， 在有车的位置随机产生一个交通事故点，堵塞交通固定 时间，如60个时间单位。具体实现上让这个位置在堵塞 时间内恒为1即可。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 系统参数设置：
3) 元胞以相邻的8个元胞为邻居； 4) 一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死状态和周围 八个邻居的状态决定。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的规则：
生存：对一个活的元胞，如果它的邻居中有两 个或三个元胞是活的，那么该元胞将继续生存 下去。 死亡: 对一个活的元胞 (a)如果它的邻居中有 四个或四个以上的元胞是活的，那么该元胞将 死去；(b)如果它的邻居中只有一个或没有活 的元胞，那么该元胞也将死去。 繁殖: 对一个死的元胞，如果它的邻居中有3 个（不能多也不能少）活的，那么该元胞将成 为一个活的元胞。
第7讲 仿真模型与Matlab实现 完全生成初始状态
5/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 脉冲星（Explore）
6/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机（Glider）
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 10元胞行（10 Cells row）
8/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 轻型飞船（Lightweight Spaceship）
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的规则(数学形式)：
t 1, if S N 2 or 3 t t 0, if S 2 or S N N 3
t 1, if S N 3 t 0, if S N 3
if Sit 1, then Sit 1
头朝右
头朝下
头朝左
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 当前位置为白格
头朝上
头朝右
头朝下
头朝左
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
例3：森林火灾模拟
元胞空间采用2维正方形网格自动机，元胞包括三 种状态：正在生长的树（绿色），正在燃烧的树（红色） 和空状态（黑色）。初始状态由这三种情况随机填充， 邻域取Moore型。每一步按下述规则更新状态： （1）正在燃烧的树变为空状态； （2）如果正在生长的树格位最近的邻居中有不少于一棵 树正在燃烧，则它将变为燃烧状态； （3）如果是空状态格位，则其以概率p生长出树； （4）考虑到闪电的作用，在最近邻居中没有正在燃烧的 树（周围全是树且没有燃烧）的情况下，生长树在每个 时间步以概率 f 变成燃烧的树。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 在这个模型基础上还可以加上红绿灯机制，如在 路的最后设置红绿灯，给定红绿灯时间，只需在红灯 时间内让道路口位置恒为1，在绿灯时间内让道路口位 置恒为0即可。 红灯60个单位时间，绿灯120个单位时间
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 红绿灯规则实现 记录更新的道路状态
阻塞道路末端 打开道路末端
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随机交通事故处理
以0.5%的概率 产生随机事故
பைடு நூலகம்
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车辆移动仿真
从道路末端到起点 车辆移动方程
事故点附近处理
S(S>0.5) = 1;
Sk=zeros(102); Sk(2:N+1,2:N+1) = S;
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
例4：基于元胞自动机的交通流模拟
将道路离散化为一维网格，车辆为元胞，匀速行驶， 其在一维网格上的移动看成一维网格的状态变化，邻域 取前后各一个位置，即邻域半径 r=1，初始状态为道路入 口处有一辆车，随着时间的进行，道路入口处按均匀分 布随机产生一辆车作为道路的输入（产生概率决定了车 流密度），车辆在道路上的移动可使用元胞自动机模拟。 将某一个位置的车固定不移动，还可模拟红绿灯和 交通堵塞等情况，如将道路最后一个位置车辆不移动或 固定时长移动，则可模拟红绿灯；将道路中某一个位置 车辆不移动一定时长可模拟偶然交通事故。
S=100; %道路长度 First(1:s+1) = 0； %一维数组表示道路 Passtime = 120; %绿灯时间 Stoptime = 60; %红灯时间
程序实现
Ispass=1, curpass=0, curstop =0; %记录当前车辆已通过或停止的 时间
Accident = 0; %路面是否发生随机事故 Acpoint = -1; %发生随机事故的位置 Actime = 60; curactime = -1; %随机事故的阻塞时间
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景4：
设在道路口处按均匀分布以60%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率40%，最大速度为2，则仿真结果显示：
43/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景2：
设在道路口处按均匀分布以40%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率很低，不超过5%，最大速度为5，则 仿真结果显示：
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景3：
设在道路口处按均匀分布以80%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率40%，最大速度为4，则仿真结果显示：
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
（3）元胞自动机的状态改变规则在程序中如何体现？
换一种写法：
程序效率 差异显著
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
（4）动画如何生成？
初始化：
每次更新： （5）初始状态如何给定？
直接赋值，如
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 省略了赋初值语句
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
vn min(vn 1, vmax )
（2）减速：当前后车距过近，用当前速度前进会碰撞 时司机进行减速，新的速度为
vn min(vn , d n )
dn为前后车距。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 （3）随机慢化：由于各种不确定因素（如路况，司机 分心等）造成车辆减速，以概率p进行随机慢化，新的 速度为
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 移动规则可表示成:
S t 1 (i) S t (i 1) 1 S t (i) S t (i) S t (i 1)
上述这条规则隐藏了一个潜在的前提（假设）： 前进中的车辆应该有车距（一个车位），即若完全紧 挨在一起的车辆在行进中要隔开一个车位。
程序实现
几个核心问题：
（1）棋盘状态如何表示？ （2）邻域活细胞总数如何统计？ （3）元胞自动机的状态改变规则在程序中如何体现？ （4）动画如何生成？ （5）初始状态如何给定？
13/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
（1）棋盘状态如何表示？
用一个0-1矩阵表示元胞自动机的棋盘，即：
（2）邻域活细胞总数如何统计？
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
例2：Langton's ant
兰顿蚂蚁是元胞自动机另外一个 经典的案例。其通过简单两条规则模 拟蚂蚁的行为规律。
蚂蚁在方形网格上运动，网格分为 黑色和白色两种，蚂蚁在网格上头可朝 向上、下、左、右四个方向，头朝向哪 个方向，下一步运动就向该方向，并且 不改变头的方向，运动遵循两条规则：
（1）若蚂蚁位于黑色网格，则头向右转90度，前进一 步，并将原网格变成白色； （2）若蚂蚁位于白色网格，则头向左转90度，前进一 步，并将原网格变成黑色；
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
通过模拟可以发现，蚂蚁表现出了相当复杂的行为。 初始状态为一只小蚂蚁位于网格中间，且头朝上。随着 蚂蚁的行走演变，系统行为表现为三个阶段：
vn max(vn 1, 0)
（4）移动：车辆按照调整后速度向前移动
xn xn vn
这个模型称为NaSch(Nagel和Schreckenberg提出)模 型。
42/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
仿真场景1：
设在道路口处按均匀分布以40%的概率产生车辆， 假设随机慢化概率很低，不超过5%，最大速度为2，则 仿真结果显示：
数学建模课程综合设计
王 丹
理学院数学与系统科学系
2016年夏季
第7讲 仿真模型与Matlab实现 例1：生命游戏
生命游戏（game of life）是由 剑桥大学的数学家John Horton Conway在1970年提出来的。
1) 元胞分布在规则划分的二维网格上；
2) 元胞具有0，1两种状态，0代表“死”，1代表“生”；
if Sit 0, then Sit 1
规则的不断演化所形成的规律性与初始状态有关， 不同的初始状态可能导致不同的演化结果。
3/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的一些演化过程和形态演示
（1）完全生成初始状态
（2）脉冲星（Explore）
（3）滑翔机（Glider） （4）小脉冲星（Small Explore） （5）10元胞行（10 Cells row） （6）轻型飞船（Lightweight Spaceship） （7）图姆勒（Tumler） （8）滑翔机发射器（Gosper Glider Gun ）
posx = 100; posy = 100; %蚂蚁当前位置 direct = 1; %1,2,3,4代表从上开始顺时针四个方向
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 棋盘大小 全为白色棋盘 设定图像显示
蚂蚁初始位置 和方向
22/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 当前位置为黑格
头朝上
30/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 移动规则：
（1）在当前时间，某一个位置若有车，则下一个时间该 位置有无车取决于前后位置是否有车； （2）若当前位置有车，下一个位置没有车，则当前位置 下一个时刻有无车取决于上一个位置是否有车，如上一 个位置有车，则下一个时刻当前位置有车，否则无车， 若下一个位置有车，则还决定于下一个时刻此车是否会 前进，若前进，则当前位置下一个时刻有无车又由上一 个位置有无车决定，否则当前位置有车； （3）若当前时刻无车，则下一个时刻有无车取决于上一 个位置是否有车，若有车，则当前位置下一个时刻有车， 否则无车。
39/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
道路口进入车辆
以0.4的概率按均匀分布在道路起点处产生1 辆车，更符合实际的是应该按照泊松分布或指数 分布产生车辆，如：
40/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现 进一步考虑车辆加减速，设每辆汽车（元胞）有一 个行驶速度，速度最小值为0，最大值为vmax，在当前时 刻到下一时刻演化中，汽车遵循以下原则： （1）加速：现实中司机总是期望以最大速度行驶，所 以在每一步当可以加速时(前后车辆距离大于当前车速)， 司机进行加速，新的速度为
25/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
26/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
程序实现
核心变量：
规则（1）—规则（4）的实现！
用一个二维数组表示棋盘的状态，假设棋盘大小为100*100，初始 根据概率随机确定是否有树。 棋盘：S=rand(100); %随机生成[0,1]间的棋盘矩阵 S(S<=0.5) = 0;
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
20/59
第7讲 仿真模型与Matlab实现
程序实现
核心变量：
（1）棋盘的状态改变
（2）蚂蚁的当前位置和头的朝向
用一个二维数组表示棋盘的状态，假设棋盘大小为200*200，蚂蚁 位于棋盘中心(100,100)位置，初始蚂蚁头朝上。
棋盘：cells(1:200,1:200) = 1; %白色棋盘
第7讲 仿真模型与Matlab实现 增加偶然交通事故。在每个时刻，产生服从均匀分 布的随机数，若随机数大于0.5%则发生一次交通事故， 在有车的位置随机产生一个交通事故点，堵塞交通固定 时间，如60个时间单位。具体实现上让这个位置在堵塞 时间内恒为1即可。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现 系统参数设置：
3) 元胞以相邻的8个元胞为邻居； 4) 一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死状态和周围 八个邻居的状态决定。
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第7讲 仿真模型与Matlab实现
生命游戏的规则：
生存：对一个活的元胞，如果它的邻居中有两 个或三个元胞是活的，那么该元胞将继续生存 下去。 死亡: 对一个活的元胞 (a)如果它的邻居中有 四个或四个以上的元胞是活的，那么该元胞将 死去；(b)如果它的邻居中只有一个或没有活 的元胞，那么该元胞也将死去。 繁殖: 对一个死的元胞，如果它的邻居中有3 个（不能多也不能少）活的，那么该元胞将成 为一个活的元胞。