控制系统的频域稳定判据
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为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
14
Re 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由０ →＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的正负 穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
0+
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
柯西幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
闭环右极点 个数
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
开环系统的特征方程式 D'(s) N (s)
闭环系统的特征方程式 D(s) N(s) M(s)
特征函数
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
n
N (s)
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
2
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s) N (s)
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
(２) 特征函数F(s)的特点：
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
(1) F(s)的零点、极点分别为系统的闭环极点、开环极点； (2) F(s)的零点和极点个数相同(均为n)； (3) F(s)平面的坐标原点就是G(s)H(s)平面的点(-1，j0)。
3
二、幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
5.4控制系统的频域稳定判据
一、特征函数F(s)=1+G(s)H(s)
基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 (1)开环频率特性和闭环频率特性之间的关系
1
开环传递函数
M (s) G(s)H(s)
N (s)
闭环传递函数 (s) G(s) G(s)N (s)
1 G(s)H(s) N(s) M(s)
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
(s zj)
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
F(s)
j 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3
vF
F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
R=P -Z
6
三、奈奎斯特稳定性判据
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
14
Re 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由０ →＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的正负 穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
0+
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
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e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
柯西幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
闭环右极点 个数
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
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(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
开环系统的特征方程式 D'(s) N (s)
闭环系统的特征方程式 D(s) N(s) M(s)
特征函数
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
n
N (s)
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
2
F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s) N (s)
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
(２) 特征函数F(s)的特点：
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
(1) F(s)的零点、极点分别为系统的闭环极点、开环极点； (2) F(s)的零点和极点个数相同(均为n)； (3) F(s)平面的坐标原点就是G(s)H(s)平面的点(-1，j0)。
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二、幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
5.4控制系统的频域稳定判据
一、特征函数F(s)=1+G(s)H(s)
基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 (1)开环频率特性和闭环频率特性之间的关系
1
开环传递函数
M (s) G(s)H(s)
N (s)
闭环传递函数 (s) G(s) G(s)N (s)
1 G(s)H(s) N(s) M(s)
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
(s zj)
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
F(s)
j 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3
vF
F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
R=P -Z
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三、奈奎斯特稳定性判据
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
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(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)