高考阶段滚动检测3

一、选择题1．集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg(x ＋1)－1}，B ＝{(x ，y )|x ＝m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1]2．(2015·厦门质检)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移φ个单位，得到偶函数g (x )的图象，则φ的最小正值为( ) A.π12B.5π12C.π3D.π64．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5B ．3C ．5D ．75.(2015·杭州二检)设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及y 2＝log 2x＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，若△ABC 为正三角形，则m ·2n等于( ) A ．8 3 B ．12 C ．12 3D ．156．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1,2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( )A ．24B ．25C ．23D ．267．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6 8．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝⎛⎭⎪⎫110，1D ．(10，＋∞)二、填空题9．(2015·贵阳二检)如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．10．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为“高斯函数”或“取整函数”．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝________. 11．若关于x 的方程22x－2xa ＋a ＋1＝0有两个不同的正实根，则实数a 的取值范围为________．12．(2015·苏锡常镇一调)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．13．已知关于x 的方程2sin(x ＋π4)＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是________．14．定义f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意的m ，n ∈N *，都有f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2.给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________． 三、解答题16．(2015·杭州一检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．17．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋a －1x. (1)若a ＝4，求f (x )的极值；(2)若f (x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．18．(2015·长春三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1＋12S2＋13S3＋…＋1nS n<32.19．(2015·湖州期末)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(－1)＝f(2)，且不等式x≤f(x)≤2|x－1|＋1对x∈[0,2]恒成立，求函数f(x)的解析式；(2)若c<0，且函数f(x)在[－1,1]上有两个零点，求2b＋c的取值范围．20．(2015·河南高考适应性测试)已知数列{a n}的各项均为正数,且a1＝2，a n＝a2n＋1＋4a n＋1＋2.(1)令b n＝log2(a n＋2)，证明：数列{b n}是等比数列；(2)设c n＝nb n，求数列{c n}的前n项和S n.答案解析1．D [由A ∩B ＝∅，知⎩⎪⎨⎪⎧y ＝lg(x ＋1)－1，x ＝m ，无解，即y ＋1＝lg(m ＋1)无解，则m ＋1≤0，得m ≤－1，故选D.]2．C [由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]3．A [由题意得：g (x )＝sin[2(x ＋φ)＋π3]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π3，则2φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可得φ的最小正值为π12，故选A.]4．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图，知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0，1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a＝7.]5．B [由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又根据函数解析式可知BC ＝2，所以可知B (m＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n＝43，所以m ＝3，所以m ·2n＝3×43＝12.故选B.]6．A [把P ，Q 的坐标代入一次函数的解析式得k ＝2，b ＝0，故f (x )＝2x .a n ＝2n ·2(n ＋1)， 1a n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)，令S n ＝625，解得n ＝24.] 7．C [x ＋3y ＝5xy ，即x ＋3y 5xy ＝1，即15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＝1， 故3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15(13＋236)＝5，当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时等号成立．]8．C [方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，等价于0<1＋lg a 1－lg a <1，解1＋lg a 1－lg a >0，得－1<lg a <1；解1＋lg a 1－lg a <1，得2lg a 1－lg a <0，得lg a <0或lg a >1.所以0<1＋lg a1－lg a<1等价于－1<lg a <0，即实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1.] 9.562解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，又因为∠ADC ∈(0°，180°)，所以∠ADC ＝120°， 所以∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin 60°＝ADsin 45°， 所以AB ＝562.10.32n 2－12n 解析 当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时，均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3，所以S 3n ＝0＋0＋1＋1＋13个＋2＋2＋23个＋…＋(n －1)＋(n －1)＋(n －1,3个)＋n ＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n . 11．(2＋22，＋∞)解析 从方程中分离a ，得a ＝22x＋12x －1，设t ＝2x，则a ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2.因为原方程有两个不同的正实根，所以t ＝2x >20＝1，即t －1>0. 所以t －1＋2t －1≥2(t －1)·2t －1＝22，当且仅当t －1＝2，即t ＝1＋2时取等号，但此时t 只有一个解，不满足题意，所以不能取等号．所以a ＝t －1＋2t －1＋2>22＋2.故填(2＋22，＋∞)． 12.3＋224解析 由题意可得x －y >0，14(2x ＋2y )≤1，所以2x ＋3y ＋1x －y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×14[(x ＋3y )＋(x －y )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y＝x ＋3yx －y ，即⎩⎨⎧x ＝22－1y ＝3－22时取等号，所以2x ＋3y ＋1x －y的最小值为3＋224. 13．1≤k < 2解析 令f (x )＝2sin(x ＋π4)(0≤x ≤π)，作出函数f (x )的图象如图中实线部分．则当1≤k <2时，直线y ＝k 与函数f (x )＝2sin(x ＋π4)(0≤x ≤π)的图象有两个公共点，即当1≤k <2时，原方程有两解． 14．3 解析 由f (m ＋1，1)f (m ，1)＝2，得f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，由f (m ，n ＋1)－f (m ，n )＝2，得f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)，∴f (m ，n )＝2m －1＋2(n －1)．∴f (1,5)＝21－1＋2×(5－1)＝9，f (5,1)＝25－1＋2×(1－1)＝16， f (5,6)＝25－1＋2×(6－1)＝26.故正确结论的个数为3.15．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析 如图，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或者k <－2.16．解 (1)根据二倍角公式：cos2x ＝2cos 2x －1， 得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，又a ＝1，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )．因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23[sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ]＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．17．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝4ln x －x ＋3x(x >0)，f ′(x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当0<x <1或x >3时，f ′(x )<0， 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (1)＝2，f (3)＝4ln3－2，所以f (x )的极小值为2，极大值为4ln3－2.(2)f (x )＝a ln x －x ＋a －1x(x >0)， f ′(x )＝a x －1－a －1x 2＝－x2＋ax －(a －1)x 2，f (x )在定义域内无极值，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域上恒成立．即方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上无变号零点． 设g (x )＝－x 2＋ax －(a －1)，则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g (0)≤0，解得a ＝2，所以实数a 的取值范围为{2}．18．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1， ∴当n ≥2时，1nS n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝32－12n <32.19．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为f (x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0， 通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2. 20．(1)证明 由a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2得a n ＋2＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋4＝(a n ＋1＋2)2.因为a n >0，所以a n ＋2＝a n ＋1＋2.因为b n ＋1b n ＝log 2(a n ＋1＋2)log 2(a n ＋2)＝log 2a n ＋2log 2(a n ＋2)＝12， 又b 1＝log 2(a 1＋2)＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为12的等比数列． (2)解 由(1)知，b n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，则c n ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋…＋2(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，① 12S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得 12S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 所以S n ＝8－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.。