曾量子力学练习题答案
曾谨严量子力学习题解答2
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。
曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。
在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。
1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。
如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。
这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。
而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。
2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。
3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。
即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。
这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。
4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。
这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。
5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。
与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。
以上是曾谨言量子力学练习题的答案。
量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。
希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。
曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。
以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。
求波函数的归一化常数 \( A \)。
答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。
将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。
求粒子的能级。
答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。
量子力学——第二章作业参考答案
+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3） （4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下： 由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t
曾量子力学练习题答案
曾量子力学练习题答案曾量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支，涉及到微观世界中微粒的行为和性质。
它的理论体系由一系列基本原理和数学工具构成，为解释和预测微观粒子的行为提供了有效的方法。
在学习量子力学的过程中，练习题是巩固和应用知识的重要方式。
下面我将为大家提供一些曾量子力学练习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于自旋上态，经过一个自旋测量仪器后，测量结果为自旋向上。
求此时粒子的自旋态。
答案：根据量子力学的原理，自旋态可以用Dirac符号表示，自旋向上的态记作|↑⟩，自旋向下的态记作|↓⟩。
在这个问题中，自旋测量结果为自旋向上，即测量结果为|↑⟩。
因此，此时粒子的自旋态为|↑⟩。
2. 问题：一个电子处于自由状态，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-α|x|)，其中A和α为常数。
求该电子的概率密度分布。
答案：概率密度分布可以通过波函数的模的平方来计算。
在这个问题中，波函数的模的平方为|Ψ(x)|^2 = |Ae^(-α|x|)|^2 = A^2e^(-2α|x|)。
因此，该电子的概率密度分布为A^2e^(-2α|x|)。
3. 问题：一个处于束缚态的粒子，其波函数为Ψ(x) = Csin(kx)，其中C和k为常数。
求该粒子的能量。
答案：根据量子力学的原理，能量可以通过波函数的哈密顿量来计算。
在这个问题中，波函数的哈密顿量为HΨ(x) = EΨ(x)，其中E为能量。
将波函数代入哈密顿量的表达式中，得到-HCsin(kx) = ECsin(kx)。
两边同时除以sin(kx)，得到-HC = EC。
因此，该粒子的能量为E = -H/C。
4. 问题：一个自由粒子的波函数为Ψ(x) = Ae^(i kx) + Be^(-ikx)，其中A和B为常数。
求该粒子的动量。
答案：根据量子力学的原理，动量可以通过波函数的波矢来计算。
在这个问题中，波函数的波矢为k。
根据动量的定义，动量p = hk，其中h为普朗克常数。
曾谨严量子力学习题解答7
(
)
（8）
t = 0 时，体系的初始状态为
ψ (t = 0 ) = ψ 1 =
Ω ω Ω +ω ψ E+ + ψ E 2Ω 2Ω
（9） （10）
其中 Ω = ω 2 + 4γ 2 h 2 . 因此， t
≥ 0 时波函数为
Ω ω Ω +ω ψ E+ eiE+t h + ψ E e iEt 2Ω 2Ω
h
1 3 2 1 1 1 2 1 1 2 = 1 1 + 1 0 Y11β + Y10α 2 2 3 2 3 3 3
（2）
1
3 1 2 1 1 1 2 1 1 0 + 1 1 = Y10 β + Y11α 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 1 1 = 1 1 Y11β 2 2 2
r
r
r
r
（6）
3 1 2 3 1 2
3 r r ε r i 2 1 r r ε r i 2
2
=
2
1 2 2 2 r (ε x + ε y ) 6 2 2 2 r εz 9
=
2
1
3 2
1 r r ε r i 2
=
2
1 2 2 2 r (ε x + ε y ) 18
3 1 2
1 1 2
3 r r ε r i 2
(
)
(
)
初态： l = m = 0 , j =
i = 0 1 2
1 1 , m j = sz = 2 2 1 1 = 0 0 Y00α 2 2
（1）
终态： l = 1, j = l ±
1 3 1 3 1 = , ,mj = ± ,± . 2 2 2 2 2
曾谨言--量子力学习题及解答
dv ， 1
（1） （2） （3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c
8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零， 由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2
k
2 E
2
k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E
k
这里 =2θ，这样，就有
2
A B E
k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2） ，便有
A E
这样，便有
k n h 2
E
k
E
n h 2 k
nh
其中 h
k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
R p qBR
2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐 E
p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ） ，那么
曾谨严量子力学习题解答4
=
∫
dpϕ
∗
(
p
)
p2 2m
ϕ
(
p
)
（坐标表象） （动量表象）
证明： （1） 求解势能的平均值。在坐标表象中，有：
V = ψVψ
= ∫∫ dxdx′ ψ x x V (x) x′ x′ ψ = ∫∫ dxdx′ψ ∗(x)V (x)δ (x − x′)ψ (x′) = ∫ dxψ ∗(x)V (x)ψ (x)
+V
( x)⎥⎤
⎦
=
⎡ ⎢ x, ⎣
prˆ 2 ⎤
2m
⎥ ⎦
=
ih m
prˆ
∴
prˆ
=
m ih
⎡⎣ x,
Hˆ
⎤⎦
因此，
p = φn
prˆ φn
= φn
m ih
[
x,
H
]
φn
=m ih
φn
( xH − Hx)
φn
=0
证毕。
3.《曾 P.220练习1》
根据谐振子的能量表象中 x 的矩阵，用矩阵乘法求出 x2 的矩阵。
⎛ ⎜⎝
ih
∂ ∂x
⎞2 ⎟⎠
δ
(
x
−
x′)ψ
(
x′)
1 2m
=
∫
dxψ
∗
(
x
)
⎛ ⎜
⎝
−
h2 2m
∂2 ∂x2
⎞⎟ψ
⎠
(
x)
在动量表象中，有：
T=ψ Tψ
= ∫∫ dpdp′ ψ p p T p′ p′ ψ
= ∫∫ dpdp′ϕ∗ ( p)
p
p2 2m
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曾量子力学练习题答案【篇一：量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】表象中，求??x的本征态 [1]在?（解）设泡利算符?，?x，的共同本征函数组是： x1?sz? 和x2?122?sz? （1）?x的本征函数，但它们构成一个完整或者简单地记作?和?，因为这两个波函数并不是??x的本征函数可表系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），?示：??c1??c2?(2)?x的本征值?，则??x的本征方程式是： c1,c2待定常数，又设? ?x???? (3)?将（2）代入（3）：?x?c1??c2?????c1??c2?? (4)??z表象基矢的运算法则是： ?x对?根据本章问题6（p．264），? ?x??? ?x??????x的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）此外又假设?： c1??c1???c1???c2?比较?,?的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ?c1??c2????????????(6a)?????????????(6b)?c2??c1?c2?c2?1????????????(6c)2?12前二式得??1，即??1，或???1当时??1，代入（6a）得c1?c2,再代入(6c)，得：c1?12ei? c2?12ei?? 是任意的相位因子。
当时???1，代入（6a）得c1??c2代入(6c)，得：c1?12ei?c2??12ei??x的本征函数：最后得?x1?ei?2ei?2(???)对应本征值1x2?(???)对应本征值-1?x??2共同表象中，采用sz作自变量时，既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法，但在?象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
?c1??1??0??? ???? ???? ?c?（7）01?2??????x的矩阵已证明是 ??01??x?? ??10???x的矩阵式本征方程式是：因此???c1??01??c1?（8） ???????cc?01??2??2??x本征矢的矩阵形式是：其余步骤与坐标表象的方法相同，?ei??1?ei??1?x1??1? x2???1?2??2?????[2]在?z表象中，求??n的本征态，n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?)方向的单位矢。
??（解）方法类似前题，设??n算符的本征矢是：x?c1??c2?(1)它的本征值是?。
又将题给的算符展开：?x?sin?y?co??z(2) ??n?sin?co?s??sin??s??y?cos???z??c1??c2?????c1??c2??(3) ?sin?sin????写出本征方程式：??sin?cos??x?z??2的共同本征矢?，?，运算法则是 ?x,??y对?根据问题（6）的结论，??x?? ??x???， ??y??i?， ? ， ??z??? ， ??z???? （4） ?y??i? ， ? ?将这些代入（3），集项后，对此两边?，?的系数：??cos?c1?(sin?cos??isin?sin?)??c1（5）?(sin?cos??isin?sin?)?cos?c2??c2?(cos???)c1?sin?e?i??c2?0或 ?（6） i??sin?e?c1?(cos???)c2?0（6）具有非平凡解（平凡解c1?0 ，c2?0）条件是久期方程式为零，即co?s??sin?e?i?2??1 （7）它的解?0i?sin?e?co?s????1 时，代入（6）得：c2?tg?2ei??c1 （8）（1）的归一化条件是： c1将（8）代入（9），得： c1?ei(???)2?c22?1cos?2c2?esini??2归一化本征函数是：?????1?e?i??e?i?co??si??（10）?22????1时，c1,c2的关系是：c2??ctg?2e?i??c1归一化本征函数是：?????2?ei???e?i?sin??cos?? （11）?22??是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：?01??0?i??10??y???z???x???? ，??，?? （12）10i00?1?????????cos???n??i??sin?e本征方程式是：sin?e?i??? (13)?cos???co?ssin?e?i???c2??c2????????? (14) i? ?e?co?s??c2??c2??sin????n的本征矢是：??i(???)???i(???)?coesine????22 1?? , (15) 2???i???i???sie???cose?22????补白：本征矢包含一个不定的相位因式e，由于?可以取任意值，因此?1,?2的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
2[3]在自旋态下?1(sz)???，求?sx和?sy2i??1??0?222?x（解）?sx是s的均方偏差22?sx?sx?(sx)2 22?sy?y是，s的均方偏差 222?sy?sy?(sy)?2??1(sz)?s?1(sz)4222x?2??1(sz)? s??1(sz)s4222x2x??x?1(sz)??1(sz)?1(sz)sx??1(sz)s2?2222???1(sz)?1(sz)?0?222?2?x,s?y对称，因而因此?s?在?1(sz)态下，s422x?2?s?42y[4]求在下列状态下?j2和?jz的可能测值。
（1）?1??1(sz)?11(?,?) (1)2（2）?2??1?2?(s)?(?,?)??(s)?(?,?)??(2) 1z101z11??22??1??(s)?(?,?)?2?(s)?(?,?)?1z1?1?(3) 1z10?3?22??12（3）?3?（4）?4??(sz)?1?1(?,?) (4)（解）依8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数?l,m?表示，在考虑到自?2,?旋的情形下，若用(lj2,?jz)共同表象，则电子的态可有四种；若l?m，有以下二态： ?l?m?1??l,m(?,?)??12l?1?（5） j?l?,?(?,?,sz)??2?l?m??(?,?)l,m?1???2l?1???l?m?l,m(?,?)???12l?1?（6）j?l?,?(?,?,sz)??2?l?m?1??(?,?)l,m?1???2l?1?若l?m，有以下的二态：??l,l(?,?)?1j?l?,?(?,?,sz)??? （7）02??j?l?0??1,?(?,?,sz)??? （8）?(?,?)2?l,?l?【篇二：量子力学习题集及答案】xt>一、填空题1． 2．设电子能量为4。
索末菲的量子化条件为（ pdq?nh ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍??射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ e??? ）和（ p??k。
???r?=（三维空间自由粒子的归一化波函数为?pp?r1?e ）， 3/2(2??)i???4．?5．???????r?d??（ ?(p??p)）。
???pp??r?p?r?1*???(r)?(r)d??e ），??p?p?(2??)3/2?i????????(r)?动量算符的归一化本征态?p（??（ ?(p??p)）。
6．t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)ei??t2?2?2(x)e5i??t22）。
7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=），几率流密度=i?。
?*??????* ）2??2???的设?(r)描写粒子的状态，(r)是（），在?(r)中f??dx?*?dx ）平均值为=（ ?*f。
（8．????9．波函数?和c?是描写（同一）状态，?ei?中的ei?称为（相因子），ei?不影响波函数?i??1）。
10． 11．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
ee?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是??（ e1?e2），这时几率密度和（）都与时间无关。
（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。
（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。
3．t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?，其中?n?x?为一维线性谐振12． 13． 14．15．??3(x)e子的定态波函数，则??x,t??（ 0(x)e。
粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为i??t2?7i?t22?2?2?2x ）（）。
2a?a16．基态是指（能量最低）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ n0e??22x/2）。
17．3一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ?? ）、第一激发态的波函数2为（ n12?xe??18． 19． 20． 21． 22．22x/2）。
（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。
一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原2子的第n个能级的简并度为（ n ）。
一维线性谐振子第n个能级的简并度为（1 ），考虑电子自旋以后，氢原2子的第n个能级的简并度为（ 2n ）。
氢原子的状态为r32(r)y21(?,?)，角动量平方是2、角动量z分量。
?的定义是：对于两任意函数?和?, 等式厄密算符f??dx?(f??)*?dx ）成立。
（ ??*f?23． 24．25． 26．27． 28．力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。
力学量算符的属于（不同本征值）的本征函数必相互（正交）。
量子力学中，力学量算符都是（厄米）算符，力学量算符的本征函数组成（完全）系。
?z=算符在其自身表象中的矩阵为（对角）矩阵，例如在?z表象中? ?10?（ ?。
?0?1?? ）???]=0，?存在组成?，g?，g?2，l?的如果[f则f（完全）系的共同本征态，lz共同本征态是（ ylm(?,?)）。
?存在有组成（完全）系的共同本征态，则[f?]=（ 0 ）?，g?，g如果f，?2，l?的共同本征态是（ y(?,?) ）l。
lmz29． 30． 31． 32．对易子[dx?,l?]?（?i?l?），[l。
,e]?xyxzdx?,l?]?（i?l?）?y]??x]?[x,p，[x,p，[l。
xyzd?x?y]??x]?（）。
[y,p，[y,p。