曾量子力学练习题答案

曾量子力学练习题答案
【篇一：量子力学曾谨言第八章第九章习题详解】
表象中，求??x的本征态 [1]在?
（解）设泡利算符?，?x，的共同本征函数组是： x1?sz? 和x
2
?1
2
2
?sz? （1）
?x的本征函数，但它们构成一个完整或者简单地记作?和?，因为这两个波函数并不是?
?x的本征函数可表系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），?
示：
??c1??c2?
(2)
?x的本征值?，则??x的本征方程式是： c1,c2待定常数，又设? ?x???? (3)?
将（2）代入（3）：
?x?c1??c2?????c1??c2?? (4)?
?z表象基矢的运算法则是： ?x对?根据本章问题6（p．264），? ?x??? ?x?????
?x的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）此外又假设?： c1??c1???c1???c2?
比较?,?的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ?c1??c2????????????(6a)
?
????????????(6b)?c2??c1
?c2?c2?1????????????(6c)
2?1
2
前二式得??1，即??1，或???1
当时??1，代入（6a）得c1?c2,再代入(6c)，得：c1?
12
ei? c2?
12
ei?
? 是任意的相位因子。

当时???1，代入（6a）得
c1??c2
代入(6c)，得：
c1?
12
ei?c2??
12
ei?
?x的本征函数：最后得?
x1?
ei?2ei?2
(???)对应本征值1
x2?
(???)对应本征值-1
?x??2共同表象中，采用sz作自变量时，既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法，但在?
象，同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

?c1??1??0?
?? ???? ???? ?c?（7）
01?2?????
?x的矩阵已证明是 ?
?01??x?? ??
10??
?x的矩阵式本征方程式是：因此?
?
?c1??01??c1?
（8） ???????cc?01??2??2?
?x本征矢的矩阵形式是：其余步骤与坐标表象的方法相
同，?ei??1?ei??1?
x1??1? x2???1?
2??2??
???
[2]在?z表象中，求??n的本征态，n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?)
方向的单位矢。

??
（解）方法类似前题，设??n算符的本征矢是：
x?c1??c2?(1)
它的本征值是?。

又将题给的算符展开：
?x?sin?y?co??z(2) ??n?sin?co?s??sin??s?
?y?cos???z??c1??c2?????c1??c2??(3) ?sin?sin??
??
写出本征方程式：
??sin?cos??
x
?z??2的共同本征矢?，?，运算法则是 ?x,??y对?根据问题（6）
的结论，?
?x?? ??x???， ??y??i?， ? ， ?
?z??? ， ??z???? （4） ?y??i? ， ? ?
将这些代入（3），集项后，对此两边?，?的系数：
?
?cos?c1?(sin?cos??isin?sin?)??c1
（5）
?(sin?cos??isin?sin?)?cos?c2??c2
?(cos???)c1?sin?e?i??c2?0
或 ?（6） i?
?sin?e?c1?(cos???)c2?0
（6）具有非平凡解（平凡解c1?0 ，c2?0）条件是久期方程式为零，即
co?s??sin?e?i?2
??1 （7）它的解?0i?
sin?e?co?s??
??1 时，代入（6）得：
c2?tg
?
2
ei??c1 （8）
（1）的归一化条件是： c1将（8）代入（9），得： c1?e
i(???)
2
?c2
2
?1
cos
?
2
c2?esin
i?
?
2
归一化本征函数是：
????
?1?e?i??e?i?co??si??（10）
?
2
2?
???1时，c1,c2的关系是：
c2??ctg
?
2
e?i??c1
归一化本征函数是：
????
?2?ei???e?i?sin??cos?? （11）
?
2
2?
?是任意的相位因子。

本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：
?01??0?i??10?
?y???z???x???? ，??，?? （12）
10i00?1??????
???cos???n??i?
?sin?e
本征方程式是：
sin?e?i??
? (13)
?cos??
?co?ssin?e?i???c2??c2????????? (14) i? ?e?co?s??c2??c2??sin??
??n的本征矢是：
??i(???)???i(???)?coesine????22 1?? , (15) 2???i???i???sie???cose?
22????
补白：本征矢包含一个不定的相位因式e，由于?可以取任意值，因此?1,?2的形
式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

2
[3]在自旋态下?1(sz)???，求?sx和?sy
2
i?
?1?
?0?
2
22
?x（解）?sx是s的均方偏差
22
?sx?sx?(sx)2 22?sy?y是，s的均方偏差 222
?sy?sy?(sy)
?2
??1(sz)?s?1(sz)
422
2
x
?2
??1(sz)? s??1(sz)s
422
2
x
2x
?
?x?1(sz)??1(sz)?1(sz)sx??1(sz)s
2?2
222?
?
?1(sz)?1(sz)?0
?22
2
?2
?x,s?y对称，因而因此?s?在?1(sz)态下，s
42
2
x
?2
?s?
4
2y
[4]求在下列状态下?j2和?jz的可能测值。

（1）?1?
?1(sz)?11(?,?) (1)
2
（2）?2?
?1?
2?(s)?(?,?)??(s)?(?,?)??(2) 1z101z11
??22??1?
?(s)?(?,?)?2?(s)?(?,?)?1z1?1?(3) 1z10
?3?22?
?1
2
（3）?3?
（4）?4??(sz)?1?1(?,?) (4)
（解）依8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数?l,m?表示，在考虑到自
?2,?旋的情形下，若用(lj2,?jz)共同表象，则电子的态可有四种；若l?m，有以下二态： ?l?m?1?
?l,m(?,?)??12l?1?（5） j?l?,?(?,?,sz)??
2?l?m?
?(?,?)l,m?1???2l?1???l?m
?l,m(?,?)???12l?1?（6）j?l?,?(?,?,sz)??
2?l?m?1?
?(?,?)l,m?1???2l?1?
若l?m，有以下的二态：
??l,l(?,?)?1
j?l?,?(?,?,sz)??? （7）
02??
j?l?
0??1
,?(?,?,sz)??? （8）
?(?,?)2?l,?l?
【篇二：量子力学习题集及答案】
xt>一、填空题
1． 2．
设电子能量为4。

索末菲的量子化条件为（ pdq?nh ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?。

3．
德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍
??
射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ e??? ）和（ p??k。

?
??r?=（三维空间自由粒子的归一化波函数为?p
p?r1?
e ）， 3/2
(2??)
i??
?
4．
?
5．
??
??
???r?d??（ ?(p??p)）。

???pp??r?
p?r?1*???(r)?(r)d??e ），??p?p?
(2??)3/2
?
i??
????
??(r)?动量算符的归一化本征态?p（??
（ ?(p??p)）。

6．
t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)e
i
??t2
?2?2(x)e
5i??t2
2
）。

7
．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=），几率流密度=
i?。

?*??????* ）
2?
?2???的设?(r)描写粒子的状态，(r)是（），在?(r)中f
??dx?*?dx ）平均值为=（ ?*f。

（
8．
??
??
9．
波函数?和c?是描写（同一）状态，?ei?中的ei?称为（相因子），
ei?不影响波函数?i??1）。

10． 11．
定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为
零）的状态。

ee
?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是
??
（ e1?e2），这时几率密度和（）都与时间无关。

（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。

（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。

3．t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?，其中?n?x?为一维线性谐振
12． 13． 14．
15．
??3(x)e子的定态波函数，则??x,t??（ 0(x)e。

粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
i??t2
?
7i?t2
2?2?2?2
x ）（）。

2
a?a
16．基态是指（能量最低）的状态，写出一维线性谐振子的基态
波函数：（ n0e??
22
x/2
）。

17．
3
一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ?? ）、第一激发态的波
函数
2
为（ n12?xe??
18． 19． 20． 21． 22．
22
x/2
）。

（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子
自旋
时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。

一维无限深势阱第
n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原
2
子的第n个能级的简并度为（ n ）。

一维线性谐振子第n个能级的简并度为（1 ），考虑电子自旋以后，氢原
2
子的第n个能级的简并度为（ 2n ）。

氢原子的状态为r32(r)y21(?,?)，角动量平方是2、角动量z分量。

?的定义是：对于两任意函数?和?, 等式厄密算符f
??dx?(f??)*?dx ）成立。

（ ??*f?
23． 24．
25． 26．
27． 28．
力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属于两个不同本
征值的本征态必（相互正交）。

力学量算符的属于（不同本征值）的本征函数必相互（正交）。

量子力学中，力学量算符都是（厄米）算符，力学量算符的本征函数组成（完全）系。

?z=算符在其自身表象中的矩阵为（对角）矩阵，例如在?z表象中? ?10?（ ?。

?0?1?? ）
??
?]=0，?存在组成?，g?，g?2，l?的如果[f则f（完全）系的共同本征态，l
z
共同本征态是（ ylm(?,?)）。

?存在有组成（完全）系的共同本征态，则[f?]=（ 0 ）?，g?，g
如果f，
?2，l?的共同本征态是（ y(?,?) ）l。

lmz
29． 30． 31． 32．
对易子[
dx
?,l?]?（?i?l?），[l。

,e]?xyxz
dx
?,l?]?（i?l?）?y]??x]?[x,p，[x,p，[l。

xyz
d?x
?y]??x]?（）。

[y,p，[y,p。

,e]??xdx
，x和px的测不准关系是[
?2（ ?x??p?）。

4
____
2
____
2x
33．在一维情况下，若粒子处于状态?(x,t)中，则在动量表象中的
波函数为
??
c(p,t)?（??(x,t)e
??
i?px?
dx）。

34．
35．
36． 37． 38． 39． 40．
?的本征态?(x)的迭加态?(x)?3?(x)?4?(x)一维线性谐振子处在
hn24
55
?表象中一维线性谐振子的波函数为??=（中，则在h
-4/5，0,…））。

斯特恩—革拉赫证实电子具有（自旋）角动量，它在任何方向上投
影只
??
能取两个值（）和（ ?）。

22
??????
?x??y???y??x=（2i??z）?，s?s=。

?2,l?]=
（ 0 ）?x??y???y??x=（）?，[l。

z
?cos???
?s在sz表象中，粒子处在自旋态???中，=（。

cos2? ）
z?sin??2???cos??
在?z表象中，粒子处在自旋态???。

?sin???中，?x=??
??01?2?1??
????s??，则在状态中，=（）。

x????2?1?2?10?2
41．全同性原理的内容是：（在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换
不引起物理状态的改变）。

42．泡里原理的内容是：（不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态）。

43．描写电子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而电子体系的自
旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

44．电子是（费密）子，服从（费密-狄拉克）统计，描写电子
体系的波
函数只能是（反对称）波函数。

45．描写玻色子体系的波函数只能是（对称）波函数，而玻色子
体系的自旋
波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

46．描写费密子体系的波函数只能是（反对称）波函数，而费密
子体系的自
旋波函数则可以是（对称）或者（反对称）的。

47．光子是（玻色）子，服从（玻色-爱因斯坦）统计，描写光子体系的
波函数只能是（对称）波函数。

――――――――――――――――――――――――――――――
在sz表象中，sx?
二、计算、证明题
?0,0?x?a
1．粒子在一维势场u(x)??中运动，试从薛定谔方程出发求出 ??,x?a,x?0?
粒子的定态能级和归一化波函数.
解：当x?0,x?a,u??,?(0)?0
22?d???e?????e?. 当0?x?a,h22?dx
2?ed22
令k? 得 ??k??0 22
?dx
?(x)?c1sinkx?c2coskx
??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3 ,?)
n?n2?2?2
?(x)?csinx,en?,1
a2?a2
a
2
(n?1,2,?)
?nd??1?c1?
2
a
2．一粒子在一维势场u?x??
1
??2x2?bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2
波函数（准确解）。

解：
22222
?d1bb?d12222??????(x?)?h???x?bx??
2?dx222?dx22??22??2
d2d2
令x??x? 则 2?22
??dxdx?
b
?2d21b222
h??????x??
2?dx222??2?2d21b222
???(??x??)??e? 222?dx22???2d21b222?????x???e??,e??e? 2?dx222??2
?x?21
????(n?),?n(x?)?nne2hn(?x?),en
21b2
????(n?)?en,
22??2
?2
(n?0,1,2,?)
??2?b???b
????n(x)?nnexp??x?h(?x?),(n?0,1,2,?)n2??2?2????????
3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
?0,r?r0;
u?r???
???,r?r0.
试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数（不必归
一化）。

1d22
(rf) } { 提示：在s态中?f?2
rdr
解：
当r?r0,u??,?(r)?0
222??d2???e????r???e?. ???e???当r?r0,h22?2?rdr
2?ed22
令k? 得 (r?)?k(r?)?0 22
?dr
?(r)?(c1coskr?c2sinkr)r
c
??(0)有限，?c1?0,?(r)?2sinkr
r
??(r0)?0,?si0k?0,r0k?n?,(n?1,2,3,?)en?
n2?2?22?r0
2
,?n(r)?
c2n?si,rr0
(n?1,2,?)
?u0?0?当0?x?a??u0
4．粒子在一维势场u?x???中运动，试从薛定
??当x?0,x?a?
谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解：1．当x?0,x?a,u??,?(0)?0
22?d???e?????u0??e?. 当0?x?a,h
2?dx2
2(e?u0)d22
令k? 得 ??k??022
?dx
?(x)?c1sinkx?c2coskx
??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3, ?)
n?n2?2?2
?(x)?csinx,en??u,10
a2?a2
a
2
(n?1,2,?)
?nd??1?c1?
2
a
?本征函数?(x)的正交归一完全性，证明5．利用力学量算符fn
*?本征值。

??(x)dx??c2式中，?为f?(x)f?nnn?
n
解： ?????,fnnn
???cn?n
n
**?c?(x)dx c?nn??m?m(x)fm
n
*??(x)dx???(x)f
**=??cmcn?n??m(x)?n(x)dxm
n
*=??cmcn?n?mn m
n
???ncn
n
2
?有一组共同本征态?，?和g?和6．求证：如果算符f而且?n组成
完全系，则算符fn?对易。

g
?????,解：设fnnn
?????,gnnn
任一波函数?可展开为 ???cn?n
n
【篇三：量子力学试题附答案】
程名称量子力学适用时间试卷类别适用专业 05级物理学1、2、3
班本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！
填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。

１、玻尔原子模型的三个假设是（）。

２、波函数的标准条件为（）。

３、正交归一方程umund???mn的狄拉克表示为（）。

4、动量表象下的坐标算符表示形式（）。

?*
?2和l?的共同本征函数为（）5、l。

z
选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。

１、?与?对易，则两算符：
(1)有组成完全系的共同本征函数；（2）没有组成完全系的共同本
征函数；
(3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：
（1）1(2) 2(3) 3 (4)4
3、设线性谐振子处于?(x)??0(x)??1(x)描述的状态时，则该态中能
量的平均值为
（1）0 ;（2）123275? (3)?；（4）5? 52
4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合
（1）一定是定态 ; （2）不是定态
(3) 不能确定
5、对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现
的跃迁是：
就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。

1、光电效应实验的规律
2、量子力学中态的叠加原理
3、希尔伯特空间
4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则
第2题，厄米算符的这个证明熟悉
1、求证在l?z的本征态下lx?0。

?是厄米算符，若f?也是厄米算府。

?和g?g??0，证明f?,g2、设f??
计算题中，第1、3题是典型计算，针对性强，求考！！！
下附试题答案！！！
五、计算题（40分）
?2和l?的共同表象中，算符l?的矩阵分别为 1.（15分）设已知在
lzx
?010????lx??101? 2???010?
求它的本征值和归一化的本征函数。

02．（10分）设体系未受微扰时只有二个能级e10及e2，现在受
到微扰h作用,微扰矩阵元为/
////h12?h21?a,h11?h22?b; a,b都是实数，用微扰公式计算能量到
二级修正。

3. （15分）设氢原子处于
?(r,?,?)?1r21(r)y10(?,?)?r31(r)y10(?,?)r21(r)y1?1(?,?) 2的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取
值概率，进而求出它们的平均值。

宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称量子力学适用时间试卷类别 a适用专业05级物理学1、2、3班
1．定态假设，频率条件（或h??en?em），角动量量子化（或
l?n?）；
2．单值，有限，连续
4．i? 3．mn??mn? 5．ylm （球谐函数） ?px
1、光电效应： (1) ???0时，不能发射光电子…………………….……………..……..(２分)
(2) 最大初动能与入射的光强度无关…………..…………………………(２分)
(3) 驰豫时间很短…..……….……………………………..…………………(1分)
2、如果?1和?2是体系的可能状态，那么它们的线性叠
加??c1?1?c2?2也是这个体系的一个
可能状态…..……….……………………………..…………………(5分) 3、量子力学中，厄米算符的本征函数{un}组成正交归一完全系，
以{un}为基函数的空间叫希尔
伯特空
间………………………………….. ……………………..………………..……..…(5分)
4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则：
(1) ?l?l??l??1………………..……………..……..(２分)
(2) ?m?m??m?0,?1…………………………..…(3分)
1．角动量分量算符满足对易关系：
?l??l?l???il?……………..………………………………………..………………..…(3分)lyzzyx
两边取平均值，设ylm是lz本征态波函数，用标乘积运算符号：l,m[l?yl?z?l?zl?y]l,m?il,ml?xl,m……………..……………………………..…(3分)
?l??l?l?]l,m 而： ,m[lyzzy
?l?l,m?,ml?l?l,m..……………………………………………(2
分) ?l,mlyzzy
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称量子力学适用时间2008-7-7试卷类别a适用专业05级物理学1、2、3班
?ml,ml?yl,m?ml,ml?yl,m……..……………………………………..…….... (1分) ＝0……..…………………………………………………………………..…….... (1分)
前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符l?x的厄密性，这样证明lx?0
??d??(f??f???)?d?…………….………….…………………………….………..………(１
分) ??d??(g??g???)?d?…………………………………………………………....………(１分) ???d? ??fg
??d? ....................................................(2分）??)g =?(f ???)?d? ....................................................(2分） =?(gf ???)?d?.....................................................(2分） =?(fg******** ??是厄米算符…………………………………………………(2分)? 由厄米算符的定义知： fg
五、计算题（40分）
１、(15分) lx的久期方程为：
??
?2??
?0?2?0?
??3??2??0……………..……………….………………..…(3
分) ?20??2
??1?0，?2??，?3???
?的本征值为
0，?，??…………………. …..………………..………………………..…(2分) ∴lx
?的本征方程： lx
?a1??010??a1?????????101??a2????a2?…………. …..………………..………………………..…(1分) 2??a?????010??a3??3?当?1?0时，有
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称量子力学适用时间2008-7-7试卷类别 a 适用专业05级物理学1、2、3班
?010??a1??0???????? ?101??a2???0?
2???????010??a3??0?
?a2??0?????? ?a1?a3???0? ?a3??a1，a2?0 2???0??a2??? ?a1???∴ ?0??0?
??a??1?
由归一化条件
?a1???2??0?(a1*,0,?a1*)?0??2a11??0??a??1?
取 a1?1
2
?1????2??的本征值
0 。

…………………. …..……………….……..…(3分) ?对应于
l ?0??0x????1???2??
?1???2???1?同理当?2??时，有?????……………………………. …..……………….……..…(3分) ?2??1????2?
?1???2???1?当?2???时，有???????……………………………. …..……………….……..…(3分) 2???1????2?
2、(10分)。