量子力学经典练习题及答案解析

1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=
πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密
度最大的位置（最概然半径）。

解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 230
10021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 01120300
2=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得
0=r ， ∞→r ， 0a r =
2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和z
L ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。

( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθ
θ L )
解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθ
θ L 将2ˆL
作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222
sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []
ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=
ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=
ϕθ332sin )(12i e r f =
上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL
的本征函数，本征值为212 。

又ϕ
∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f i
e r
f i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=
可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是z
L ˆ的本征函数，本征值为 3。

3. 如果1ˆL 和2ˆL 是线性算符，证明它们的和1
ˆL +2ˆL 及解
解根据线性算符的定义
22112211ˆˆ)(ˆψψψψL C L C C C L +=+
设1
ˆL 、2ˆL 是线性算符，则 ))(ˆˆ(2
21121ψψC C L L ++ )(ˆ)(ˆ2
211222111ψψψψC C L C C L +++= （分配律） )ˆˆˆˆ222121212111ψψψψL C L C L C L C +++= （定义） 2
2121211)ˆˆ()ˆˆ(ψψL L C L L C +++= （分配律） 显然，1ˆL +2ˆL 满足线性算符的定义，故1
ˆL +2ˆL 是线性算符。

)](ˆ[ˆ)(ˆˆ221121221121ψψψψC C L L C C L L +=+ （结合律）
)ˆˆ(ˆ2221211ψψL C L C L += （定义）
22121211ˆˆˆˆψψL L C L L C += （定义）
显然，1ˆL 2ˆL 满足线性算符的定义，故1
ˆL 2ˆL 是线性算符。

积1
ˆL 2ˆL 也是线性算符。