计量经济学第四章经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
4.1 多重共线性(计量经济学)
放宽基本假定的模型
说明
• 经典多元线性模型在满足若干基本假定的条件下， 应用普通最小二乘法得到了无偏、有效且一致的 参数估计量。
• 在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本 假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况， 称为基本假定违背。
• 对截面数据模型来说，违背基本假定的情形主要 包括：
•逐步回归法（Stepwise forward Regression）
– 以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归 模型，进行模型估计。
– 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。 • 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是 一个独立解释变量；
• 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变 量与其它变量之间存在共线性关系。
§4.1 多重共线性 Multicollinearity
一、多重共线性 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
Yi 0 1Xi1 2 Xi2 k Xik i i 1, 2, , n
实际上：正态性假设的违背
• 李子奈（2011）：计量经济学模型方法论 – 当存在模型关系误差时，如果解释变量是随机的，随 机误差项的正态性将得不到保证。 – 当模型遗漏了显著的变量，如果遗漏的变量是非正态 的随机变量，随机误差项将不具有正态性。 – 如果待估计的模型是原模型经过函数变换得到的，随 机误差项将不再服从正态分布。 – 当模型存在被解释变量的观测误差，如果观测误差相 对于随机误差项的标准差特别大、样本长度又特别小， 随机误差项的正态性假设会导致显著性水平产生一定 程度的扭曲。 – 当模型存在解释变量观测误差时，一般情况下，随机 误差项的正态性假设都是不能成立的；只有在回归函 数是线性的，且观测误差分布是正态的特殊情形下， 随机误差项的正态性才成立。
计量经济学放宽基本假定的模型总结
近似随机误差项的方差 V ar (μ i ) = E (μ i ) ≈ e i异方差性1 定 义 ： 对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不一样。
则认为出现 了异方差性。
2 影响：① OLS 参数估计量非有效：具有：线性性、无偏性 不具有：有效性（大样本下）具有：一致性不具有：渐进有效性②变量的显著性检验失去意义关于变量的显著性检验中，构造了 t 统计量，他是建立在随机干扰项共同的方差σ2不变，而 真确地估计了参数方差 S ∧ 的基础之上的。
如果出现了异方差性其估计值会偏大或偏小。
tB j 检验失去意义。
③ 模型的预测失效预测值的置信区间中也包含有参数的方差的估计量 S ∧ 。
所以当模型出现异方差性是，任然B j 使用 ols 估计量，将导致预测区间篇大或小，预测功能失效。
3 判断：假设 4：Var (μi | xi ) = σ2由于异方差性是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。
那么检验异方 差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性与其相关的“形式”。
随机误差项方差的表示！一般的处理方法：首先采用 OLS 估计，得到残差估计值。
用它的平方近似随机误差项的方差。
~^残差估计值 e i = Y - Y (OLS )~ 2ji ) +εie i e i 2由度为辅助回归中解释变量个数的χ 分布，即 nR ~ χ 2 。
nR 2 >χ a (辅助回归中解释变量个数) 拒绝同方差性假设，表明存在异方差。
选择关于变量 X 的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种 函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
GQ 检验：适合样本容量大，异方差为单调增或单调减的函数形式。
Step1 将样本观测值按照有可能引起异方差的解释变量观测值排序Step2 除去 c=0.25n 观测值，讲剩下的观测值分为两组，每个子样样本容量为 0.5（n-c ） Step3 对每个子样做 OLS ，计算出两个残差平方和， 自由度为 0.5（n-c ）-k-1 Step4 构建 F 分布F>F a (v1,v2) 拒绝同方差性假设，表明存在异方差。
第4章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Serial Autocorrelation。
习惯上统称为序列相关性（Serial Correlation or Autocorrelation）。
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2、实际经济问题中的序列相关性
• 没有包含在解释变量中的经济变量固有的惯性。
异方差：i2 = f(Xi)，与解释变量观测值Xi有关。 • 异方差一般可归结为三种类型：
– 单调递增型： i2随X的增大而增大 – 单调递减型： i2随X的增大而减小 –复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
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3、实际经济问题中的异方差性
例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大； 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。
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§4.4 随机解释变量问题 Random Explanatory Variables
一、随机解释变量问题 二、随机解释变量的后果 三、工具变量法 四、解释变量的内生性检验 五、例题
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一、随机解释变量问题
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实际经济问题中的随机解释变量问题 • 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。
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• 与异方差性引起的后果相同： –参数估计量非有效 – 变量的显著性检验失去意义 –模型的预测失效
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三、序列相关性的检验 Detecting Autocorrelation
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型前两章计量经济学模型的回归基于若干基本假设，应用普通最小二乘法得到了线性、无偏、有效的参数估计量。
但实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假定的情况不多。
称不满足基本假定的情况为基本假定违背。
以一元为例，重述基本假定：① i X 为确定性变量，非随机的（i X 确定，且j X 间互不相关；若多元回归时相关，称为多重共线性：()1rk X k <+； 若存在一个或多个解释变量是随机变量，称为随机解释变量问题）；② 随机干扰项具有0均值，同方差：20,i i D E μμμσ==（2i i D μσ=即所谓异方差）③ cov(,)0,i j i j μμ=∀≠，随机干扰项互相独立，无序列相关（()cov ,0i j μμ≠，序列相关）。
④ ()cov ,0,1,2,...,,1,2,...,ji i X j k i n μ===，解释变量与随机误差项间不相关，这样将j i X ，i μ对Y 的影响分开。
⑤ ()20,,1,2,...,iN i n μμσ=，由中心极限定理保证。
而①―④需要作出计量经济学意义的检验。
基于此，基本假定违背主要包括以下几种情况：1）随机干扰项序列存在异方差性（同方差）；2）随机干扰项序列存在序列相关性（序列不相关）；3）解释变量之间存在多重共线性（不相关）；4）解释变量是随机变量，且与随机干扰项相关（解释变量确定，与随机干扰项不相关）；5）模型设定有偏误（模型设定正确）；6）解释变量的方差随着样本容量的增加而不断增加（方差趋于常值）。
在对计量经济学模型进行回归分析时，必须要进行计量经济学检验：检验是否存在一种或多种违背基本假定的情况。
若有违背情况，应用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，OLS法失效，这就需要发展新的方法估计模型。
本章主要讨论前四种，后两种将在第五四章、第九章讨论。
4.1 异方差性（93页）一、异方差性（主要以一元为例，多元类似）1．异方差性概念（Heteroskedasticity）：同方差性是指每个i 围绕其零平均值的方差，并不随解释变量X 的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个i μ的方差保持相同，即 2i const σ=。
计量经济学》第三版课后题答案李子奈
第一章绪论参考重点：计量经济学的一般建模过程第一章课后题（1.4.5）1.什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。
4.建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下：(1)设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；(2)收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和—致性；(3)估计模型参数；(4)检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
5.模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。
在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型参考重点：1.相关分析与回归分析的概念、联系以及区别？2.总体随机项与样本随机项的区别与联系？3.为什么需要进行拟合优度检验？4．如何缩小置信区间？（P46）由上式可以看出（1）.增大样本容量。
样本容量变大，可使样本参数估计量的标准差减小；同时，在同样置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小。
放宽基本假定的模型
实际经济问题中的异方差性总结
1. 现实社会经济中异方差是很常见的，处理截 面数据时，尤应注意。
2. 一般地，大多数异方差是有规律的：随机误 差项的方差随着解释变量观测值的变化而呈 现出规律性的变化。当然也有例外。
3. 经济问题的异方差性较多是递增性的。 本节主要考虑有规律可循的异方差问题。
思考
一旦所建立的计量经济学模型存在异 方差性，如果不做处理，会产生什么后 果呢？
四、异方差性的检验
1.检验思路
由于异方差性说明对于不同的样本点，即相对于 不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方 差。
即随机误差项的方差与解释变量的观测值之间存 在着某种联系。
检验思路为： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与 解释变量观测值之间是否存在联系。
•用什么来表示随机误差项的方差？
异方差性：如果出现
Var(i
X1,
X2K
,
Xk
)
2 i
常数=f(Xi )
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同,会随X的变化而变化，是 X的一个函数，则认为出现了异方差性，或称 为非同方差、非常量方差。
异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
第四章
经典单方程计量经济学模型：放宽基 本假定的模型
问题的提出
• 在模型满足所有基本假定的前提下， OLS估计具有BLUE的优良性，而且可以 顺利的进行关于模型的若干检验，检验 结果准确可靠。
• 在实际经济问题中，关于模型的基本假 定往往不能完全得到满足。
• 如果所研究问题或模型出现了基本假定不成立 的情况，称违背了基本假定。
《计量经济学》第三版课后习题答案李子奈
欢迎阅读第一章绪论参考重点：计量经济学的一般建模过程第一章课后题（1.4.5）1.什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
一4.5.性，1.2.3.4．如何缩小置信区间？（P46）由上式可以看出（1）.增大样本容量。
样本容量变大，可使样本参数估计量的标准差减小；同时，在同样置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小。
（2）提高模型的拟合优度。
因为样本参数估计量的标准差和残差平方和呈正比，模型的拟合优度越高，残差平方和应越小。
5．以一元线性回归为例，写出β的假设检验1）.对总体参数提出假设H 0：?=0， H1：??02）以原假设H0构造t统计量，3）由样本计算其值4）给定显着性水平?，查t分布表得临界值t ?/2(n-2)5）比较，判断若 |t|> t ?/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1；若 |t|? t ?/2(n-2)，则拒绝H1，接受H；上届重点：一元线性回归模型的基本假设、随机误差项产生的原因、最小二乘法、参数经济意义、决定系数、第二章PPT里的表（中国居民人均消费支出对人均GDP的回归）、t检验（△（平方）代表意义；△（平方）的认识）、能够读懂Eviews输出的估计结果第二章课后题（1.3.9.10）1.为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？3.假设6. 回归模型是正确设定的9、10题为计算题，见课本P52，答案见P17第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型上届重点：F检验、t检验调整的样本决定系数、“多元”里为什么要对△（平方）系数进行调整？第三章课后题（1.2.7.9.10）1.多元线性回归模型的基本假设是什么？在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？答：多元线性回归模型的基本假定仍然是针对随机干扰项与针对解释变量两大类的假设。
经典计量经济学模型(放宽基本假定的问题)
先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增
的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方
差）、或小于1（递减方差）。
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G-Q检验的步骤：
型趋势（即不在一个固定的带型域中）
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使用X—e的散点图看．是否形成一斜率为零
的直线
e~i 2
e~i 2
X 同方差
X 递增异方差
e~i 2
e~i 2
X 2020/5/13 递减异方差
X
复杂型异方差
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2、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排 队
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
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④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
例3 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模 型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
《计量经济学》第三版课后题答案李子奈
封面作者：Pan Hongliang仅供个人学习第一章绪论参考重点：计量经济学的一般建模过程第一章课后题（1.4.5）1.什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。
4.建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下：(1)设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；(2)收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和—致性；(3)估计模型参数；(4)检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
5.模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。
在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型参考重点：1.相关分析与回归分析的概念、联系以及区别？2.总体随机项与样本随机项的区别与联系？3.为什么需要进行拟合优度检验？4．如何缩小置信区间？（P46）由上式可以看出（1）.增大样本容量。
《计量经济学》第三版课后题答案解析李子奈
第一章绪论参考重点：计量经济学的一般建模过程第一章课后题（1.4.5）1.什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。
4.建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下：(1)设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；(2)收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和—致性；(3)估计模型参数；(4)检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
5.模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验。
在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性，即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度，以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型参考重点：1.相关分析与回归分析的概念、联系以及区别？2.总体随机项与样本随机项的区别与联系？3.为什么需要进行拟合优度检验？4．如何缩小置信区间？（P46）由上式可以看出（1）.增大样本容量。
样本容量变大，可使样本参数估计量的标准差减小；同时，在同样置信水平下，n 越大，t 分布表中的临界值越小。
经典单方程模型
1、序列相关性
• 模型随机项之间不存在相关性，称为：No Autocorrelation。 以截面数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Spatial Autocorrelation。
以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Serial Autocorrelation。
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、怀特（White）检验
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
建立辅助 回归模型
以二元模型为例
2 2 2 ~ ei 0 1 X1i 2 X 2i 3 X1i 4 X 2i 5 X1i X 2i i
地区城镇居民消费模型—WLS
地区城镇居民消费模型—WLS—Weighted
地区城镇居民消费模型—WLS—Weighted
地区城镇居民消费模型—WLS—HCCC
地区城镇居民消费模型—WLS—HCCC
5、在实际操作中通常采用的经验方法
• 采用截面数据作样本时，不对原模型进行异方 差性检验，而是直接选择加权最小二乘法。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Heteroskedasticity
1、参数估计量非有效
• OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。
• 因为在有效性证明中利用了E(’)=2I
• 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有 一致性，但仍然不具有渐近有效性。
2、变量的显著性检验失去意义
• 变量的显著性检验中，构造了t统计量
• 其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具 有良好的统计性质；
经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型重点
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型一、典型例题分析1、下列哪种情况是异方差性造成的结果？ （1）OLS 估计量是有偏的（2）通常的t 检验不再服从t 分布。
（3）OLS 估计量不再具有最佳线性无偏性。
解答： 第（2）与（3）种情况可能由于异方差性造成。
异方差性并不会引起OLS 估计量出现偏误。
2、已知模型t t t t u X X Y +++=22110βββ222)(t t t Z u Var σσ==式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使的该式最小2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑（1）求RSS 对β1、β2和β2的偏微分并写出正规方程。
（2）用Z 去除原模型，写出所得新模型的正规方程组。
（3）把t t Z w /1=带入（1）中的正规方程，并证明它们和在（2）中推导的结果一样。
解答： （1）由2221102)()(t t t t t t t tt X w X w w Y w u w R S S βββ---==∑∑对各β求偏导得如下正规方程组：∑=---0)(2211t t t ttttt w X w Xw w Y w βββ ∑=---0)(12211t t t t ttttt X w X w Xw w Y w βββ ∑=---0)(12211t t t t ttttt X w X w Xw w Y w βββ（2）用Z 去除原模型，得如下新模型tt t t t t t t t Z uZ X Z X Z Z Y +++=22110βββ 对应的正规方程组如下所示：01)(22110=---∑t t t t t t t t Z Z X Z X Z Z Y βββ 0)(122110=---∑t t t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ 0)(222110=---∑tt t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ （3）如果用1tZ 代替（1）中的t w ，则容易看到与（2）中的正规方程组是一样的。
(NEW)李子奈《计量经济学》(第3版)课后习题详解
目 录第1章 绪 论第2章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型第3章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型第4章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型第5章 经典单方程计量经济学模型：专门问题第6章 联立方程计量经济学模型：理论与方法第7章 扩展的单方程计量经济学模型第8章 时间序列计量经济学模型第9章 计量经济学应用模型第1章 绪 论1什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：（1）计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容，是由经济理论、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
（2）计量经济学方法通过建立随机的数学方程来描述经济活动，并通过对模型中参数的估计来揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，是对经济理论赋予经验内容；而一般经济数学方法是以确定性的数学方程来描述经济活动，揭示的是经济活动中各个因素之间的理论关系。
2计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？答：（1）计量经济学的研究对象是经济现象，主要研究的是经济现象中的具体数量规律，即是利用数学方法，依据统计方法所收集和整理到的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究。
（2）计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用计量经济学。
任何一项计量经济学研究和任何一个计量经济学模型赖以成功的三要素是理论、方法和数据。
（3）计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。
3为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？答：（1）计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其在经济学科占据重要的地位，主要表现在：①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表中最具有权威的一部分；②从1969～2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位是与研究和应用计量经济学有关；③计量经济学方法与其他经济数学方法结合应用得到了长足的发展。
经济学模型放宽基本假定的模型
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和
④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量
一、序列相关性概念二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果四、序列相关性的检验五、具有序列相关性模型的估计六、案例
§4.2 序列相关性
一、序列相关性概念
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性。
对于模型 Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i i=1,2, …,n
或
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
3、戈德菲尔德-匡（夸）特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的思想： 先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。 由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。
子样本2：
(0.43) (0.73) (6.53) R2=0.8339， RSS2=0.2729
计算F统计量： F= RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31
查表 给定=5%，查得临界值 F0.05(9,9)=2.97判断 F> F0.05(9,9) 否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。
用D-1左乘 Y=X+两边，得到一个新的模型：
李子奈《计量经济学》课后习题详解(经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型)【圣才出品】
估计可以写成
1
y1 xi1
xi22
yi xi2
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
4 / 31
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2
y2 xi2
xi21
yi xi1
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
其中，r 为 X1 不 X2 的相关系数。讨论 r 等于或接近 1 时，该模型的估计问题。
∧
∧
证明：可以将原模型记为：yi＝β1Xi1＋β2Xi2＋ei。
＿
＿
e ˆ ˆ 其中，yi＝Yi－Y，xi＝Xi－X， i
E 1 E 1
xi xi2
E i
1
Var
ˆ1
Var 1 Var
xi i xi 2
0
xi
xi2
2 Var
i
i j
xi xi2
x j Cov
x2 ，显然，当 Ki＞1 时则该乘子大于 1，则有 i
Var 1 Var ˆ1
当 0＜Ki＜1 时，则有
Var 1 Var ˆ1
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2．对习题 1 中的一元线性回归模型，如果已知 Var（μi）＝σi2，则可对原模型以权 1/σi
i1 i1
i1
n
xi12
n
xi
2 2
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第四章经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型一、内容提要本章主要介绍计量经济模型的二级检检验问题，即计量经济检验。
主要讨论对回归模型的若干基本经典假定是否成立进行检验、当检验发现不成立时继续采用OLS估计模型所带来的不良后果以及如何修正等问题。
具体包括异方差性问题、序列相关性问题、多重共线性问题以及随机解释变量这四大类问题。
异方差是模型随机扰动项的方差不同时产生的一类现象。
在异方差存在的情况下，OLS 估计尽管是无偏、一致的，但通常的假设检验却不再可靠，这时仍采用通常的t检验和F 检验，则有可能导致出现错误的结论。
同样地，由于随机项异方差的存在而导致的参数估计值的标准差的偏误，也会使采用模型的预测变得无效。
对模型的异方差性有若干种检测方法，如图示法、Park与Gleiser检验法、Goldfeld-Quandt检验法以及White检验法等。
而当检测出模型确实存在异方差性时，通过采用加权最小二乘法进行修正的估计。
序列相关性也是模型随机扰动项出现序列相关时产生的一类现象。
与异方差的情形相类似，在序列相关存在的情况下，OLS估计量仍具无偏性与一致性，但通常的假设检验不再可靠，预测也变得无效。
序列相关性的检测方法也有若干种，如图示法、回归检验法、Durbin-Watson检验法以及Lagrange 乘子检验法等。
存在序列相关性时，修正的估计方法有广义最小二乘法（GLS）以及广义差分法。
多重共线性是多元回归模型可能存在的一类现象，分为完全共线与近似共线两类。
模型的多个解释变量间出现完全共线性时，模型的参数无法估计。
更多的情况则是近似共线性，这时，由于并不违背所有的基本假定，模型参数的估计仍是无偏、一致且有效的，但估计的参数的标准差往往较大，从而使得t-统计值减小，参数的显著性下降，导致某些本应存在于模型中的变量被排除，甚至出现参数正负号方面的一些混乱。
显然，近似多重共线性使得模型偏回归系数的特征不再明显，从而很难对单个系数的经济含义进行解释。
多重共线性的检验包括检验多重共线性是否存在以及估计多重共线性的范围两层递进的检验。
而解决多重共线性的办法通常有逐步回归法、差分法以及使用额外信息、增大样本容量等方法。
当模型中的解释变量是随机解释变量时，需要区分三种类型：随机解释变量与随机扰动项独立，随机解释变量与随机扰动项同期无关、但异期相关，随机解释变量与随机扰动项同期相关。
第一种类型不会对OLS估计带来任何问题。
第二种类型则往往导致模型估计的有偏性，但随着样本容量的增大，偏误会逐渐减小，因而具有一致性。
所以，扩大样本容量是克服偏误的有效途径。
第三种类型的OLS估计则既是有偏、也是非一致的，需要采用工具变量法来加以克服。
二、典型例题分析1、下列哪种情况是异方差性造成的结果？（1）OLS 估计量是有偏的（2）通常的t 检验不再服从t 分布。
（3）OLS 估计量不再具有最佳线性无偏性。
解答：第（2）与（3）种情况可能由于异方差性造成。
异方差性并不会引起OLS 估计量出现偏误。
2、已知模型t t t t u X X Y +++=22110βββ222)(t t t Z u Var σσ==式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使的该式最小2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑（1）求RSS 对1、2和2的偏微分并写出正规方程。
（2）用Z 去除原模型，写出所得新模型的正规方程组。
（3）把t t Z w /1=带入（1）中的正规方程，并证明它们和在（2）中推导的结果一样。
解答：（1）由2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑对各β求偏导得如下正规方程组：∑=---0)(22110t t t t t t t t w X w X w w Y w βββ ∑=---0)(122110t t t t t t t t t X w X w X w w Y w βββ∑=---0)(122110t t t t t t tt t X w X w X w w Y w βββ（2）用Z 去除原模型，得如下新模型tt t t t t t t t Z u Z X Z X Z Z Y +++=22110βββ 对应的正规方程组如下所示：01)(22110=---∑t t t t t t t t Z Z X Z X Z Z Y βββ 0)(122110=---∑t t t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ 0)(222110=---∑tt t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ （3）如果用1tZ 代替（1）中的t w ，则容易看到与（2）中的正规方程组是一样的。
3、已知模型 i i i i u X X Y +++=22110βββ式中，i Y 为某公司在第i 个地区的销售额；i X 1为该地区的总收入；i X 2为该公司在该地区投入的广告费用（i=0,1,2……,50）。
（1）由于不同地区人口规模i P 可能影响着该公司在该地区的销售，因此有理由怀疑随机误差项u i 是异方差的。
假设i σ依赖于总体i P 的容量，请逐步描述你如何对此进行检验。
需说明：1）零假设和备择假设；2）要进行的回归；3）要计算的检验统计值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒绝零假设的标准。
（2）假设i i P σσ=。
逐步描述如何求得BLUE 并给出理论依据。
解答：（1）如果i σ依赖于总体i P 的容量，则随机扰动项的方差2i σ依赖于2i P 。
因此，要进行的回归的一种形式为i i i P εαασ++=2102。
于是，要检验的零假设H0：10α=，备择假设H1：01≠α。
检验步骤如下：第一步：使用OLS 方法估计模型，并保存残差平方项2~i e ； 第二步：做2~i e 对常数项C 和2i P 的回归 第三步：考察估计的参数1α的t 统计量，它在零假设下服从自由度为2的t 分布。
第四步：给定显著性水平面0.05（或其他），查相应的自由度为2的t 分布的临界值，如果估计的参数1ˆα的t 统计值大于该临界值，则拒绝同方差的零假设。
（2）假设i i P σσ=时，模型除以i P 有：i i i i i i i i i P u P X P X P P Y +++=221101βββ 由于222/)/(σσ==i i i i P P u Var ，所以在该变换模型中可以使用OLS 方法，得出BLUE 估计值。
方法是对i i P Y /关于i P /1、i i P X /1、i i P X /2做回归，不包括常数项。
4、以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业回归方程321ln 62.0ln 25.0ln 51.089.3X X X Y +-+-=（-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8)20.996R = 147.1=DW式中，Y 为总就业量；X1为总收入；X2为平均月工资率；X3为地方政府的总支出。
（1）试证明：一阶自相关的DW 检验是无定论的。
（2）逐步描述如何使用LM 检验解答：（1）由于样本容量n=22，解释变量个数为k=3，在5%在显著性水平下，相应的上下临界值为664.1=U d 、503.1=L d 。
由于DW=1.147位于这两个值之间，所以DW 检验是无定论的。
（2）进行LM 检验： 第一步，做Y 关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3的回归并保存残差te ~； 第二步，做t e ~关于常数项、lnX1、lnX2和lnX3和1~-t e 的回归并计算2R ； 第三步，计算检验统计值(n-1)2R =210.996=20.916；第四步，由于在不存在一阶序列相关的零假设下(n-1)2R 呈自由度为1的2χ分布。
在5%的显著性水平下，该分布的相应临界值为3.841。
由于20.916>3.841，因此拒绝零假设，意味着原模型随机扰动项存在一阶序列相关。
5、某地区供水部门利用最近15年的用水年度数据得出如下估计模型：rain price pcy pop house water 123.187.17005.0363.0305.09.326---++-=（-1.7） (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)93.02=R F=38.9式中，water ——用水总量（百万立方米）,house ——住户总数（千户）,pop ——总人口（千人）,pcy——人均收入（元）,price ——价格（元/100立方米）,rain ——降雨量（毫米）。
（1）根据经济理论和直觉,请计回归系数的符号是什么(不包括常量)，为什么？观察符号与你的直觉相符吗？（2）在10%的显著性水平下，请进行变量的t-检验与方程的F-检验。
T 检验与F 检验结果有相矛盾的现象吗？（3）你认为估计值是（1）有偏的；（2）无效的或（3）不一致的吗？详细阐述理由。
解答：（1）在其他变量不变的情况下，一城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高。
所以可期望house 和pop 的符号为正；收入较高的个人可能用水较多，因此pcy 的预期符号为正，但它可能是不显著的。
如果水价上涨，则用户会节约用水，所以可预期price 的系数为负。
显然如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，所以可以期望rain 的系数符号为负。
从估计的模型看，除了pcy 之外，所有符号都与预期相符。
（2）t-统计量检验单个变量的显著性，F-统计值检验变量是否是联合显著的。
这里t-检验的自由度为15-5-1=9，在10%的显著性水平下的临界值为1.833。
可见，所有参数估计值的t 值的绝对值都小于该值，所以即使在10%的水平下这些变量也不是显著的。
这里，F-统计值的分子自由度为5，分母自由度为9。
10%显著性水平下F 分布的临界值为2.61。
可见计算的F 值大于该临界值，表明回归系数是联合显著的。
T 检验与F 检验结果的矛盾可能是由于多重共线性造成的。
house 、pop 、pcy 都是高度相关的，这将使它们的t-值降低且表现为不显著。
price 和rain 不显著另有原因。
根据经验，如果一个变量的值在样本期间没有很大的变化，则它对被解释变量的影响就不能够很好地被度量。
可以预期水价与年降雨量在各年中一般没有太大的变化，所以它们的影响很难度量。
（3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本观察现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS 估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE 估计量。