高等代数第二版课件§2[1].3_n阶行列式的定义.

a11 0 L 0
D1
a21 L
a22 L
L L
0 L
a11a22 L ann
an1 an2 L ann
第二章
行列式
a11 a12 L
0 D2 L
a22 L LL
a1n
a2n L
a11a22 L ann
0 0 L ann
例4：设
a11 a12 a13 a14
D1
a21 a31
a22 a32
a23 a33
根据定义可知：
n级行列式共由n!项组成；
要计算n级行列式，首先作出所有可能的位于 不同行不同列元素构成的乘积；
把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
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第二章
行列式
序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n级行列式的定义是二、三级行列式的推广。
2、例子 例1：计算行列式
0001 0020 D 0300 4000
1 4321 a14a23a32a41 24
第二章
行列式
例2：计算行列式
a00b
0cd 0 D
0e f 0
g00h
1 a a a a j1 j2 j3 j4 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4
j1 j2 j3 j4
acfh adeh b deg bcfg
例3：用行列式定义计算
（3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自 然顺序后，每一项的符号由这一项元素 的列指标所成的排列的奇偶性决定。
二、n级行列式的定义
1、 a11 a12 L
D a21 a22 L L LL
a1n
a2n L
为一个n级行列式，它等于所有
an1 an2 L ann
第二章
行列式
取自不同行不同列的n个元素乘积 a1 j1 a2 j2 L anjn 的代 数和，这里 j1, j2,L , jn 是 1, 2,L , n 的一个排列。每一
§2.3 n级行列式
问题：如何定义n级行列式？
一、二级与三级行列式的构造
a11 a21
a12
a22
a11a22 a12a21
j1 j2
1 a a j1 j2 1 j1 2 j2
特点：（1）二级行列式是一个含有 2! 项的代数和；
（2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元
素既位于不同的行，又位于不同的列，
项 a1 j1a2 j2 L anjn 中把行下标按自然顺序排列后，其符号
由列下标排列 j1 j2 L jn 的奇偶性决定。当 j1 j2 L jn 是
偶排列时取正号，当 j1 j2 L jn 是奇排列时取负号，
即
D
1 a a L a j1 j2L jn
1 j1 2 j2
njn
j1 j2L jn
并且展开式恰好是由所有这些可能的乘
积组成；
（3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二
个下标表示该元素所在列的位置。当把
第二章
行列式
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每 一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排 列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。
对三级行列式也有相同的特点
第二章
行列式
上三角行列式
a11 a12 L a1n
0 D2 L
a22 L LL
a2n L
0 0 L ann
第二章
行列式
下三角行列式
a11 0 L 0
D1
a21 L
a22 L
L L
0 L
an1 an2 L ann
第二章
行列式
作业
P97 8(1)(3) 9
第二章
行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1 a a a j1 j2 j3 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j2 j3
第二章
行列式
特点：（1）共有3！项的代数和； （2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素 既位于不同的行又位于不同的列，展开 式恰由所有这些可能的乘积组成；
k1k2L kn
1 因此项 a a L i1 j1 i2 j2 ain jn 所带的符号是
i1i2L in j1 j2L jn
注：本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同
时考虑该项行排列与列排列的逆序数之和，而不一定要
把行下标排成自然顺序。
例6：试确定四级行列式中项 a31a24a12a43 的符号，写出四级
( j1L js L jt L jn ) 与 ( j1L jt L js L jn )
故 (i1 L is L it L in ) + ( j1L js L jt L jn )—(3)
与 (i1L it L is L in ) + ( j1L jt L js L jn ) 有相同的奇偶性
在一般情况下，把n级行列式中第i行与第j列交叉位置上的元
素记为 aij
在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线
第二章
行列式
定理2.3.1 在n级行列式 D 中，项 ai1 j1 ai2 j2 L ain jn 所带的符
号是 1 i1i2L in j1 j2L jn
证明：1、交换项 ai1 j1 L a L is js a L it jt ain jn —(1) 中任两个元素 ais js
与ait jt 的位置，不改变 (i1L is L it L in ) ( j1L js L jt L jn )
的奇偶性。把（1）中 ais js 与ait jt 对换后得
a L a L a L a i1 j1
it jt
is js
in jn
—(2)
由于对换改变排列的奇偶性,故
(i1L is L it L in ) 与 (i1L it L is L in ) 的奇偶性互化，
第二章
行列式
abcd
例5：设
gh pq D2 s t u v
wx y z
问：（1）dhsy与ptaz是否为 D2 的项？应取何符号？
（2） D2 含有t的项有多少？（6项） 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，
即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。
a24 a34
a41 a42 a43 a44
问：a13a21a42 , a12a24a32a41, a14a21a32a43 , a23a12a41a34 , 是不是四级行列式 D1 的项？ 如果是，应取何符号？ a14a21a32a43 , 是，取符号：-1
a23a12a41a34 , 是，取符号：-1
2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为
第二章
行列式
a1k1 a2k2 L ankn
—（4）
而（4）的行下标与列下标所成排列和
12L n k1k2 L kn k1k2 L kn
的奇偶性与（3）相同，于是
1 1 i1L isL itL in j1L jsL jtL jn
行列式中包含 a24 且取正号的所有项。
解 所带符号是: 1 3214 1423 1
取正号的项包括 a11a24a32a43 ，a12a24a33a41, a13a24a31a42
第二章
行列式
几种特殊的行列式：
对角形行列式 上三角行列式 下三角行列式
第二章
行列式
对角形行列式
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44