高等代数第二版课件§2[1].3_n阶行列式的定义.
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高数讲义n阶行列式的定义
本文首先详细阐述了二阶行列式的定义和计算过程，通过消元法解二元线性方程组引出二阶行列式的概念，并给出了二阶行列式的一般形式及其计算法则——对角线法则。接着，文档进一步介绍了三阶行列式的定义，以及如何利用沙路法和对角线法则进行计算，特别指出了对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。在此基础上，位于不同行、不同列的n个元素的乘积，并详细说明了这些乘积项中正负符号的确定规则。通过本文的学习，读者可以深入理解n阶行列式的计算方法及其定义式，为后续的线性代数学习打下坚实的基础。
n 阶行列式的定义与性质
是标准排列。故
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
综上, 我们有
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
线性代数n阶行列式的定义PPT课件
为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。
对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换。
第22页/共27页
设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s 列标排列的逆序数为 t
由定理，对换改变排列的奇偶性
定义3
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
第10页/共27页
计算排列的逆序数的方法：
法 1：
n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数
排在1前面，记为 m1 ;
再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m2 ;
继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，
记为 mn 0 ;
思考： n级排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码 排在较小数码之前的情况。
第9页/共27页
定义2
1）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。
2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的
逆序数，通常记为 (i1 , i2 ,, in )
123，231，312 132，213，321
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半
定义4： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。
将相邻的两个数对换，称为相邻对换。
第14页/共27页
定理1： 对换改变排列的奇偶性。 证明思路： 先证相邻两数的对换，再证一般对换。
法3：
数 in1 后面比 in1 小的数的个数
(i1 , i2 ,, in ) 数 in 前面比 in 大的数的个数
《高等代数行列式》PPT课件
定理3.2.1 设i1i2 in和j1 j2 jn 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由
i1i2 in得出j1 j2 jn
证明: 我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出12no 我们只需证明，
通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出12n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由
一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
12n得出j1 j2 jn 。
定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变.
证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
A B
,i, j, ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j, 得
A B
, j,i,,
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码 所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数 码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排
b1 b2
它的系数作成的二阶行列式 a11 a12 0 ,那么方程组(1)有解 a21 a22
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
, x2
i1i2 in得出j1 j2 jn
证明: 我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出12no 我们只需证明，
通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出12n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由
一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
12n得出j1 j2 jn 。
定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变.
证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对
换的两个数码是相邻的。设给定的排列为
A B
,i, j, ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j, 得
A B
, j,i,,
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码 所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数 码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排
b1 b2
它的系数作成的二阶行列式 a11 a12 0 ,那么方程组(1)有解 a21 a22
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
, x2
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
高等代数第2章行列式
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、小结
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项,
这恰好就是2!,3!. (2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于
不同行不同列的2个和3个元素的乘积 (.3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶
行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.
第2章 行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、小结
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项,
这恰好就是2!,3!. (2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于
不同行不同列的2个和3个元素的乘积 (.3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶
行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.
第2章 行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
§2.1 n阶行列式的定义
a11a23 a34a42
2. 若
a13a2 i a32a4 k , a11a22a3 i a4 k
为4阶行列式的项, 试确定i与k, 使前 一项带正号, 后一项带负号.
i=1, k=4
i=4, k=3
32
例2 (1) 设A=(aij)n为上三角阵，即 当n≥i>j≥1时，aij=0，计算|A|. 解 由题意知：
30
例1
a11 a21 a31
3阶行列式的计算由对角线法则
a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
( 1)
( 1)
( 123)
( 312)
其中，aij称为行列式(4)的元素. aij 的两个下标表示该元素在行列式中 的位置,第一个下标称为行标，表示该元 素所在的行,第二个下标称为列标，表示 该元素所在的列.
6
二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a11
a21
a12
副对角线
a22
a11a22 a12a21 .
7
例1 D , 当为何值时，D 0? D 0 2 1
13
一、n阶排列
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多 少个没有重复数字的三位数？ 解
百位 1 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 3
3
3种放法 2种放法 1种放法
14
十位
个位
共有 3 2 1 6 种放法.
问题: 把n个不同的元素排成一列，共 有几种不同的排法？ 定义1 由n个自然数1, 2, 3,…, n组成的一个 有序数组称为一个n阶排列(permutation). 逆序：设 k1 , k2 ,..., kn 是一个n阶排列，如果 k i<j时， i k j , 则称 ki , k j 构成一个 逆序；若 ki k j ，则构成一个顺序. 此排列中的逆序总数叫排列的逆序数， 记为 ( k1 , k2 ,..., kn )
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
第1讲n阶行列式的定义与性质PPT幻灯片课件
逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数
的组合数即 ：
(
p1
p2 ... pn )
(
pn
pn1 ... p1 )
C
2 n
n(n 2
1)
(
pn
pn1 ... p1 )
n(n 1) 2
k
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k 的逆序数,并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1-行列式(4学时)
2-矩阵及其应用(4学时)
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann
(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1)
1
2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) aq1 a1 q2 2 ...aqnn
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann
(1)
1
a a 2 l1s1 l2s2
的组合数即 ：
(
p1
p2 ... pn )
(
pn
pn1 ... p1 )
C
2 n
n(n 2
1)
(
pn
pn1 ... p1 )
n(n 1) 2
k
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k 的逆序数,并讨论奇偶性。
解：2k 的逆序数为 2k 1 ；1 的逆序数为 0
程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位， 在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。因 此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以 及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步 扩大数学知识打下必要的数学基础。
教学内容与时间分配:
1-行列式(4学时)
2-矩阵及其应用(4学时)
(q1q2 L qn )
an1 an2 ... ann
(1) aq11aqq2 2...aqnn
q1q2 ...qn
(1)
1
2
a a ...a l1s1 l2s2
ln sn
1 (l1l2 ln)
2 (s1s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1 p1 ...aipi ...a jpj ...anpn
定理4
a11 a12 ... a1n
D
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
(1) aq1 a1 q2 2 ...aqnn
q1q2 ...qn
an1 an2 ... ann
(1)
1
a a 2 l1s1 l2s2
高等代数课件PPT之第2章行列式
例5 证明上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a1n a22 a2 n a11a22 ann 0
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
ann
证： 由定义 D 和式中,只有当
jn n, jn1 n 1,, j2 2, j1 1时，
ai1 1ai2 2 ain n
记
上三角行列式的值
a11 a12 a1n
i1i 2 i n
(1)
( i1i 2 i n )
0 D 0
a22 a2 n a11a22 ann 0 ann
§2.4 ∼2.5 n级行列式的性质与计算
考虑
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
( 1)
( i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
另一定义形式
其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .
推论:n级行列式D=det (aij) 的值为
D (1) ( i1i2 in ) ( j1 j2 jn ) ai1 j1 ai2 j2 ain jn
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) ( 1 ) 并冠以符号 的项的和. (i) a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；
于是方程组的解为
D3 15 D1 55 D2 20 x1 11，x2 4, x3 3. D 5 D 5 D 5
二章行列式ppt课件
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 推论2
偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次 对换改变排列的奇偶性。
任意一个n 级排列都可以经过一系列对换 变成自然排列，并且所作对换的次数与该 排列有相同的奇偶性.
a31 b3 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
n( n1)
1 2 a1na2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
1 a a 1 j1 2 j2 anjn
j1 jn
若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1，
它的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n 1 n
2
当a 时b ， 经对换后 a的逆序数增加1 , b的逆序数不变; 当a 时b ， 经对换后 a的逆序数不变， 的b 逆序数减少1.
因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
a1al a b1bm bb c1cn
m 次相邻对换
高等代数2
和
a11 a12 La1n
a21 a22 La2n LLLLL an1 an2 Lann
= ∑ (−1) a a La τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2L jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1j1i2jL2 Lin jn
第 4 页 共 11 页
高等代数第二章 行列式
§2.4 行列式的性质与计算
一般用 i ↔ j 写在等号上面表示交换第 i 行与第 j 行; 写在等号下面表示交换第 i 列与 第 j 列。
方法提示：计算行列式的基本方法——化行列式为三角形行列式。
0 1 1 −1 例 1 计算四阶行列式 1 0 2 1 。
−1 1 2 0 −2 0 1 1
（答案：1）
例 2 计算 n 阶行列式
高等代数第二章 行列式
第二章 行列式
§2.1 引言
高等代数的另一个重要概念是行列式。 它是一个形式化运算或表示数字运算结果的符 号形式。下面我们从简单的解方程组问题引进二阶和三阶行列式概念，再通过其定义中所涉
及的排列性质，找出规律，用来定义一般的 n 阶行列式。
设有一个二元线性方程组
⎧⎨⎩ aa1211xx11
（答案： a1a2a3 Lan−1an ⎜⎜⎝⎛1 +
1 a1
+
1 a2
+
1 a3
+L+
1 an−1
+
1 an
⎟⎟⎠⎞ ）
第 6 页 共 11 页
高等代数第二章 行列式
二、 行列式按某行（列）展开
一般来说，低阶行列式的计算较高阶行列式要简单。 因此，我们自然要考虑能否用较 低阶行列式来表示高阶行列式的问题。为了研究这个问题，先引进行列式元素的余子式和代 数余子式的概念。
《n阶行列式》课件
转置行列式
n阶行列式等于其主对角线上的元素 的乘积减去副对角线上的元素的乘积 。
将行列式的行和列互换后所得到的行 列式称为原行列式的转置行列式，其 值与原行列式相等。
Laplace展开公式
将n阶行列式展开为若干个n-1阶行列 式的乘积，每个n-1阶行列式与原行 列式中的元素有关。
REPORT
CATALOG
代数余子式的计算方法
直接计算法
01
根据代数余子式的定义，直接计算n-1阶行列式，再乘以-1的相
应指数。
递推法
02
利用行列式的展开性质，将高阶行列式转化为低阶行列式，再
利用已知的低阶行列式计算高阶行列式。
公式法
03
利用已知的代数余子式公式进行计算，可以大公式
行列式展开公式
02
行列式可以用于计算矩阵的某些重要属性，如行列 式的值、矩阵的秩等。
03
行列式和矩阵在数值计算、线性代数等领域中有着 广泛的应用。
行列式与线性变换的关系
1
行列式描述了线性变换对空间的影响，特别是对 空间体积的影响。
2
行列式的值决定了线性变换的性质，如可逆性、 奇异性等。
3
在线性代数中，行列式是研究线性变换的重要工 具之一。
行列式与微积分的关系
01 行列式在微积分中常常用于解决某些积分问题， 如定积分、多重积分等。
02 行列式可以用于计算某些几何量，如体积、面积 等。
03 在微分学中，行列式可以用于计算某些函数的导 数和偏导数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
特殊行列式介绍
范德蒙德行列式
三阶行列式的几何意 义：表示平行六面体 的体积。
《高等代数行列式》课件
向量的内积和外积的应用：在几何学、物理学等领域中的应用，如向量的加法、减法、数乘等 运算规则
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
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第二章
行列式
abcd
例5：设
gh pq D2 s t u v
wx y z
问：（1）dhsy与ptaz是否为 D2 的项？应取何符号？
（2） D2 含有t的项有多少？（6项） 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，
即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。
（3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自 然顺序后，每一项的符号由这一项元素 的列指标所成的排列的奇偶性决定。
二、n级行列式的定义
1、 a11 a12 L
D a21 a22 L L LL
a1n
a2n L
为一个n级行列式，它等于所有
an1 an2 L ann
第二章
行列式
取自不同行不同列的n个元素乘积 a1 j1 a2 j2 L anjn 的代 数和，这里 j1, j2,L , jn 是 1, 2,L , n 的一个排列。每一
与ait jt 的位置，不改变 (i1L is L it L in ) ( j1L js L jt L jn )
的奇偶性。把（1）中 ais js 与ait jt 对换后得
a L a L a L a i1 j1
it jt
is js
in jn
—(2)
由于对换改变排列的奇偶性,故
(i1L is L it L in ) 与 (i1L it L is L in ) 的奇偶性互化，
1 4321 a14a23a32a41 24
第二章
行列式
例2：计算行列式
a00b
0cd 0 D
0e f 0
g00h
1 a a a a j1 j2 j3 j4 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4
j1 j2 j3 j4
acfh adeh b deg bcfg
例3：用行列式定义计算
第二章
行列式
上三角行列式
a11 a12 L a1n
0 D2 L
a22 L LL
a2n L
0 0 L ann
第二章
行列式
下三角行列式
a11 0 L 0
D1
a21 L
a22 L
L L
0 L
an1 an2 L ann
第二章
行列式
作业
P97 8(1)(3) 9
第二章
行列式
a24 a34
a41 a42 a43 a44
问：a13a21a42 , a12a24a32a41, a14a21a32a43 , a23a12a41a34 , 是不是四级行列式 D1 的项？ 如果是，应取何符号？ a14a21a32a43 , 是，取符号：-1
a23a12a41a34 , 是，取符号：-1
k1k2L kn
1 因此项 a a L i1 j1 i2 j2 ain jn 所带的符号是
i1i2L in j1 j2L jn
注：本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同
时考虑该项行排列与列排列的逆序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。
例6：试确定四级行列式中项 a31a24a12a43 的符号，写出四级
( j1L js L jt L jn ) 与 ( j1L jt L js L jn )
故 (i1 L is L it L in ) + ( j1L js L jt L jn )—(3)
与 (i1L it L is L in ) + ( j1L jt L js L jn ) 有相同的奇偶性
并且展开式恰好是由所有这些可能的乘
积组成；
（3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二
个下标表示该元素所在列的位置。当把
第二章
行列式
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每 一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排 列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。
对三级行列式也有相同的特点
项 a1 j1a2 j2 L anjn 中把行下标按自然顺序排列后，其符号
由列下标排列 j1 j2 L jn 的奇偶性决定。当 j1 j2 L jn 是
偶排列时取正号，当 j1 j2 L jn 是奇排列时取负号，
即
D
1 a a L a j1 j2L jn
1 j1 2 j2
njn
j1 j2L jn
a11 0 L 0
D1
a21 L
a22 L
L L
0 L
a11a22 L ann
an1 an2 L ann
第二章
行列式
a11 a12 L
0 D2 L
a22 L LL
a1n
a2n L
a11a22 L ann
0 0 L ann
例4：设
a11 a12 a13 a14
D1
a21 a31
a22 a32
a23 a33
§2.3 n级行列式
问题：如何定义n级行列式？
一、二级与三级行列式的构造
a11 a21
a12
a22
a11a22 a12a21
j1 j2
1 a a j1 j2 1 j1 2 j2
特点：（1）二级行列式是一个含有 2! 项的代数和；
（2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元
素既位于不同的行，又位于不同的列，
根据定义可知：
n级行列式共由n!项组成；
要计算n级行列式，首先作出所有可能的位于 不同行不同列元素构成的乘积；
把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
第二章
行列式
序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n级行列式的定义是二、三级行列式的推广。
2、例子 例1：计算行列式
0001 0020 D 0300 4000
行列式中包含 a24 且取正号的所有项。
解 所带符号是: 1 3214 1423 1
取正号的项包括 a11a24a32a43 ，a12a24a33a41, a13a24a31a42
第二章
行列式
几种特殊的行列式：
对角形行列式 上三角行列式 下三角行列式
第二章
行列式
对角形行列式
a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
在一般情况下，把n级行列式中第i行与第j列交叉位置上的元
素记为 aij
在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线
第二章
行列式
定理2.3.1 在n级行列式 D 中，项 ai1 j1 ai2 j2 L ain jn 所带的符
号是 1 i1i2L in j1 j2L jn
证明：1、交换项 ai1 j1 L a L is js a L it jt ain jn —(1) 中任两个元素 ais js
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1 a a a j1 j2 j3 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j2 j3
第二章
行列式
特点：（1）共有3！项的代数和； （2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素 既位于不同的行又位于不同的列，展开 式恰由所有这些可能的乘积组成；
2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为
第二章
行列式
a1k1 a2k2 L ankn
—（4）
而（4）的行下标与列下标所成排列和
12L n k1k2 L kn k1k2 L kn
的奇偶性与（3）相同，于是
1 1 i1L isL itL in j1L jsL jtL jn