二次根式的概念及有意义的条件教案

二次根式的概念及有意义的条件

适用学科数学适用年级初二

适用区域人教版课时时长（分钟）60分钟

知识点二次根式的概念

二次根式有意义的条件

教学目标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

2.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重点二次根式的概念的理解

教学难点运用二次根式有意义解答实际问题

教学过程

一、复习预习

1.二次根式的概念

2.二次根式有意义的条件

3.二次根式的双重非负性

二、知识讲解

考点1 二次根式的概念

一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，

要点诠释：（1）必需含有二次根号.

（2）被开方数a≥0.

（3）a可以是数,也可以是含有字母的式子.

考点2 二次根式有意义的条件

要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 考点3 二次根式的双重非负性

二次根式的双重非负性是指二次根式本身是非负的

0 ，被开方数也是非负的

a 0.

三、例题精析

【例题1】

下列式子，哪些是二次根式，、1

x

x>0）、

、、

1

x y

+（x ≥0，y•≥0）．

【答案】（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次

1x

、1x y +．

【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．

（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的

1x

、1x y +．

【例题2】

当x 在实数范围内有意义？ 【答案】由3x-1≥0，得：x ≥1

3

当x ≥

1

3

在实数范围内有意义．

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0才能有意义．

【例题3】

已知

，求x

y

的值．

【答案】2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2

=

y5

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2

=

y5

【例题4】

，求a2014+b2014的值．

∴a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，

故a2014+b2014=（-1）2014+（1）2014=2

【解析】由二次根式的定义可知,

和都为非负数，且两个非负数的和为零，

故只能是a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，故a2014+b2014=（-1）2014+12014=2.

四、课堂运用

【基础】

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A．

B

C

D．x

【答案】A

【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号

；第二，被开方数是正数或0．

B选项所含根号不是二次的，C选项中被开方数可为负，D选项不含二次根号.

2.下列式子中,是二次根式的有(填序号)

m x y

（≤0）（，异号）(1)(2) 6 (3) (5) (6)(7)

【答案】由二次根式的定义可知，（1）（4）（6）为二次根式. 【解析】

；第二，被开方数是正数或0

故（1）（4）（6）为二次根式. 3.

当x 是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义

?

【答案】由二次根式的定义可知，（1）x ≤2 （2） x ＜3

2

（3）x ＞-3 （4）1≤x ＜3 （5）x 为任意实数.

【解析】二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；①被开方数不小于零；

（1）2-x ≥0，即x ≤2

有意义. （2）3-2x ＞0，即x ＜

32

.

（3）x+3＞0，即x ＞-3

. （4）x-1≥0，3-x ＞0，即1≤x ＜3

. （5）∵2

x +1≥1，即当x

.

【巩固】

1. 已知a.b 为实数且满足21121a

b b ，你能求出a+b 的值吗？

【答案】2b-1≥0，1-2b ≥0，故b=

12，当b=12时，a=0+0+1=1，即：a+b=1+

12=32 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2b-1≥0，1-2b ≥0，故b=1

2

，

当b=12时，a=0+0+1=1，即：a+b=1+ 12=32

2. 已知2

(2)

80,.

a b ab 求的值

【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4 【解析】由平方定义及二次根式的定义可知, 2(2)a

和8b 都为非负数，且两个非负数

的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4 变式1 已知2

4420,.a

a b ab 求的值

【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4 【解析】由平方定义及二次根式的定义可知, 2

44a

a =2(2)a 和8

b 都为非负数，

且两个非负数的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4 变式2 已知a-2

80,.b ab 求的值

【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4

【解析】由绝对值及二次根式的定义可知, 2a 和8b 都为非负数，且两个非负数的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8，故ab =4 【拔高】

1. 当x 是多少时，23x ++1

1

x +在实数范围内有意义？ 【答案】依题意，得230

10

x x +≥⎧⎨+≠⎩

由①得：x ≥-

32

由②得：x ≠-1 当x ≥-

32且x ≠-123x +11

x +在实数范围内有意义．