高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (20).

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解 设D1 {( x, y) 0 x 1,0 y x},
D2
D2 {( x, y) 0 x 1, x y 1}, O
D1 1x
emax{ x2 , y2 }dxdy emax{ x2 , y2 }dxdy emax{ x2 , y2 }dxdy
则
bd
f1( x) f2( y)dxdy a ( c f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
(
a
f1( x)
d c
f2 ( y)dy )dx
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
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X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
y y 2(x) D
X－型
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
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用二重积分的几何意义说明其计算法
f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)的值等于以D为底,
以D曲面 z f ( x, y)为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平
z
z f (x, y)
第二节 二重积分的计算
一、在直角坐标系下计算二重积分 二、在极坐标系下计算二重积分 三、二重积分的换元法
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本节介绍计算二重积分的方法: 二重积分化为累次积分(即两次定积分).
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一、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且 又是能否进行计算的问题.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, sinx2dx, cosx2dx, ex2dx, x
y e x2dx, e xdx,
dx , 等等,一定要放在
ln x
后面积分.
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例4 求证
a
x
dx f ( y)dy
•(a,a)
a 0
f
( y)
x
a y
dy
a
O
(a y) f ( y)dy
0
a
x
a
(a x) f ( x)dx 证毕. 0
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立体底部 x2 y2 R2
例5 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程
分别为 x2 y2 R2及 x2 z2 R2 .求所围成的
z
立体的体积. 曲顶z R2 x2
1
sin
y2dy
0
x
分析 siny2 对y的积分不能用基本积分法算出,
而它对x的积分可用基本积分法算出. 所以将二次积分先 交换积分次序.
交换积分次序的方法是:
(1) 将所给的积分域 用联立不等式表示 D:
0 x 1, x y 1
y
(2) 画出积分域的草图
(1,1)
(3) 改写D为: 0 y 1, 0 x y o
y x
x
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1 dx
1
sin
y2dy
0
x
y
(1,1)
sin y2d
y x
D
1
dy
y
sin
y2dx
0
0
1
(sin
y2
)
x
y
dy
0
0
o
x
D : 0 y 1, 0 x y
1 y sin y2dy 0
1
1
sin
y 2dy 2
1 (1 cos1)
20
2
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计算二重积分时,恰当的选取积分次序
行截面面积为 已知的立体求 y 体积”的方法.
y 2(x)
A( x0 )
D y 1(x)
O
a
x0 b x
＊计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) )
是以区间 [1( x0 ),2( x0 )]为底,曲线 z f ( x0 , y)
为曲边的曲边梯形的面积.
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A( x0 )
2( x0 ) 1( x0 )
c 1( y)
D
先对x后对y的二次积分
也即
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx
D
c
1 ( y)
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注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x, y)d
b
d
a dxc
f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx
如D是上述矩形域,且f ( x, y) f1( x) f2( y)
f
(
x0 ,
y)dy
x [a,b] 有: A( x) 2( x) f ( x, y)dy 1 ( x)
＊V
f
( x,
y)d
b
a A( x)dx
D
b ( 2(x) f ( x, y)dy) dx a 1( x)
称为 累次积分. 先对y后对x的二次积分
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
(3)积分区域D既是X型:
y
a x b, 1(x) y 2(x)
d
又是Y型:
c y d, 1( y) x 2( y)
c
O
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
bx
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(4) 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
y
D3
D1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD2
(用积分区域的可加性质)
O
x
D1、D2、D3都是X型区域
D
D1
D2
D3
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例1
计算
D
x y
2 2
d，D：x
2,
y
x,
xy
1所围成的区域。
例2 计算 y 1 x2 y2 d，D：x 1, y x, y 1所围成的区域。
D
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例3
计算二次积分
1
dx
a
(a x) f ( x)dx
(a 0)
0
0
0
提示 左边的累次积分中, f ( y)是y的抽象函数,
不能具体计算. 所以, 先交换积分次序.
积分域 0 x a, 0 y x
y
可表为 0 y a, y x a
a
a
x
a
a
dx f ( y)dy dy f ( y)dx
0
0
0
y
D
a
1 ( x )
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(2) 积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y)
其中函数1( y)、2( y)在区间 [c,d]上连续.
y
d
y
d
Y－型
D x 2( y)
x 1( y) D x 2( y)
x 1( y)
c
c
O
x
O
x
f ( x, y)d
d
(
2( y) f ( x, y)dx)dy
解 V1 f ( x, y)d
D
R2 x2d
D
Rdx R2 x2 R2 x2dy 00
2 R3
3
V
8V1
16 3
R3
o
xy o
y
y R2 x2 D
Rx
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计算二重积分 emax{ x2 , y2 }dxdy,其中
D
y
D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}.