【易错点16】数列错位相减法求和

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错位相减法求数列前n项和课件

实例
对于等比数列1, 2, 4, 8,...，我们可以将其错位相减为1, 1, 1, 1,...，然后利用等比数列的求和公式得到结果。
混合数列的错位相减法求和
总结词
混合数列的错位相减法求和是一种有效的计算方法，通过错位相减法，可以将混合数列的求和问题转化为更易于处理的等差或等比数列问题。
详细描述
对于混合数列，错位相减法的基本思路是将原数列的每一项乘以适当的系数后与原数列的相邻项相减，从而消去一些项，得到一个等差或等比数列。然后利用相应的求和公式计算出结果。
实例
对于混合数列1, 3, 5, 2, 4, 6,...，我们可以将其错位相减为3, 2, 2, 2,...，然后利用等差数列的求和公式得到结果。
04
错位相减法的进阶技能
错位相减法的变形
错位相减法的常规情势
变形一
变形二
将两个等差数列的对应项相减，得到一个新的等差数列，从而求得原数列的前n项和。
将错位相减法的情势进行变化，例如将两个等比数列的对应项相减，得到一个新的等比数列，从而求得原数列的前n项和。
将错位相减法的情势进行更复杂的变形，例如将两个不同数列的对应项进行加减混合运算，得到一个新的数列，从而求得原数列的前n项和。
错位相减法的优化
优化一
通过调整错位相减法的操作顺序，减少计算量，提高计算效率。例如，先进行部分相减操作，再进行整体相减操作，以减少相减的次数。
优化二
通过选择合适的数列进行错位相减法，使得计算过程更加简便。例如，选择等差数列或等比数列进行错位相减法，可以简化计算过程。
错位相减法的扩大应用
错位相减法求数列前n项和课件
目录 Contents
• 引言 • 错位相减法的基本原理 • 错位相减法的实例解析 • 错位相减法的进阶技能 • 总结与回顾

数列求和公式错位相减法公式

数列求和公式错位相减法公式数列求和公式，听上去就有点儿复杂对吧？但别急，咱们慢慢来，今天就给大家讲讲一个超好用的技巧——错位相减法。

乍一听，可能有点懵，但你放宽心，一旦弄明白了，分分钟让你觉得数列求和其实没啥难度。

你想啊，谁不想让看似难搞的数学题变得简单呢？对吧？就像是你去超市买东西，拿到结账单时，发现所有打折的商品都给你算得特别清楚，省了不少钱。

今天这招，保准让你在求和的路上少走很多弯路。

咱们从最简单的数列讲起。

你想求一个简单的等差数列的和，通常大家都会背那些公式。

嗯，好像也不难，直接套用公式就行了。

但很多时候，公式也有它的局限，尤其是当数列比较复杂，或者我们想要更高效地解决问题的时候，就得学点儿新招数了。

而这招“错位相减法”，就像是给数列加了一双隐形的翅膀，飞起来不费劲。

说白了，错位相减法就是把两个数列“合并”在一起，然後相减，结果会让你大吃一惊。

听起来有点儿抽象？那就举个例子。

比如你有一个数列1 + 2 + 3 + … + n，咱们现在的目标就是求它的和。

你可以这样操作：写下这个数列，然后把它倒过来再写一次。

比如：1 +2 +3 + … + nn + (n1) + (n2) + … + 1。

好像没啥特别的对吧？但重点来了：你把它们相加——每一项的和都是一样的。

举个例子，第一项1加最后一项n，第二项2加倒数第二项(n1)，以此类推。

结果呢，每一对加起来的结果都是n+1。

那么你就可以轻松得出，整个数列的和是（n+1）乘以n，然后再除以2！是不是一下子就变得清晰明了，省时又省力。

是不是有点“豁然开朗”的感觉？这个方法简直就是数学的“撒手锏”，不仅效率高，而且其实背后的道理也不难理解。

你想，原本一个长长的数列，把它拆成两个“对称”的部分，再相加就能搞定。

多么聪明的招数！就像你去买东西，店员总会问你“要不要礼品包装”，一看就是已经帮你考虑好了怎么样更方便、更高效。

咱们可以稍微升级一下这个技巧。

假如你遇到的不是等差数列，而是更复杂一点的数列，怎么办呢？别怕！这时候错位相减法依然能派上用场。

数列求和(错位相减) 高考数学

试卷讲评课件
=
【解析】∵
= ⋅
+ =
=
=
则
，解得
或
(舍去)

+ = ⋅ +
=
=
∴ = + − = − .
又∵ = − ，
当 = 时， = − ，则 =

− ⋅

+. . . + − ⋅

= +
− − ⋅

+

+
①
+

②

+. . . +

= −
+
+
− − ⋅
+
，

试卷讲评课件
+
∴ = − .

−

则 −
= −

− ，

当 ≥ 时，由 + + = 有− + − + = ，两式相减

可得�� = − ，

即{ }是以− 为首项，以为公比的等比数列，

−

所以 = −
= −
.

试卷讲评课件
(2)设数列{bn }满足2bn + n − 3 an = 0 n ∈ N ∗ ，记数列{bn }的前n项
所以 = − ，

+
因为 − =

错位相减数列求和

∴数列{an}从第2项起是公比为3的等比数列.
又a2=2S1=2,
1 a n n 2 2 3 n 1 n 2,n N .
(2)Tn=a1+2a2+3a3+„+nan. 当n=1时,T1=1；当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+„+2n·3n-2, 3Tn=3+4·31+6·32+„+2n·3n-1, ① ②
1 n 21－ 2 1 n － 4 1－ n ＋ n －1 2 2
∴ Sn＝
1 1－ 2
1 1 n n ＝ 4 1－ n － 4 1－ n ＋ n－1＝ n－1. 2 2 2 2
训练
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1
a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 {
an } 的前n项和. n 1 2
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
a1 d 0, a 1 1 则 , 解得 , d 1 2a1 12d 10
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
10 11 1 2 1 n－ 2 1 ∴①－②得， Sn＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋„＋ 2 2 1 n 1× 1－ 2 1 1 1 n n－ 1 n ＋2 － n·2 ＝－ n·2 ， 1 1－ 2 1 n－ 2 1 n－ 1 ∴ Sn＝4－ 2 － n· 2 .
－－－
∴an＝3n(n∈N )．
1 * ∴an＝ n(n∈N )． 13 *
(2) bn＝n· 3n，Sn＝1· 3＋2· 32＋3· 33＋…＋n· 3n， 3Sn＝1· 32＋2· 33＋3· 34＋…＋(n－1)· 3n＋n· 3n＋1 两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n· 3n＋1，

高考数学：数列错位相减法

高考数学：数列错位相减法
错位相减法在数列求和部分属于高频考点。

什么样的数列求和适用于“错位相减法”?
等差数列的通项公式一般为关于n的一次函数型，等比数列的通项公式一般为指数型.所以，作一般化的推广和概括，适合采用“错位相减法”求和的数列，其通项长成下面这个样子:
如何实施“错位相减法”?
基本解题步骤比较固定:
和式乘公比----往后错一位----把两式相减----化简和整理。

强调一下解题的格式:
数列求和通常为解答题，在实施“错位相减法”求和过程中，基本的解题步骤要保留四步中的三步，即“和式乘公比----往后错一位----把两式相减----化简和整理”的前三步保持不变，这是解题的过程，需要让判卷的老师看到。

你掌握了吗?OK，来个变式训练:
已知an =2n-1，bn =3n -1 ,cn =an ·bn ，求数列{cn }的前n项和Tn .。

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3 ①当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②①－②, 即，∴ ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.[答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

错位相减求和

错位相减求和及其应用对于等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a a a a =++++ ，根据等比数列的通项公式，211111n n S a a q a q a q -=++++ ①如果用公比q 乘①的两边，可得211111n n n qS a q a q a qa q -=++++ ②①与②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得11(1)nn q S a a q -=-，当1q ≠时，等比数列的前n 项和的公式为1(1)1n n a q S q-=-（1q ≠）上述推导等比数列前n 项和公式的方法就是错位相减法，其实错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等差数列与等比数列相乘的形式，借助错位相减把这种形式数列的求和转化为等比数列求和，比如：例1.已知数列{}n a 满足n n n a b c =⋅，其中{}n b 为公差为d 的等差数列，{}n c 为公比为q （1q ≠）的等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S由于11223311n n n n n S b c b c b c b c b c --=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ① 用等比数列{}n c 的公比q 乘①的两边，可得：12232111n n n n n n n qS b c b c b c b c b c ---+=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅ ②用①的两边分别减去②的两边，而且让①的右边的最后一项减②的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得：112311(1)n n n n n q S b c d c d c d c d c b c -+-=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-⋅ ③则12112311111(1)(1)()1n n n n n n n n c q q S b c d c c c c b c b c d b c q --++--=⋅+++++-⋅=⋅+⋅-⋅- 故11111121112222(1)(1)()1(1)1(1)(1)n n n n n n b c b c q d c b c d c q b c d b c S q q q q q q -+⋅⋅--⋅⋅⋅-⋅+-=+-=⋅+----- 若等差数列{}n b 中1b d =，则③式可化为1123111(1)(1)()1n n n n n n n n d c q q S d c c c c c b c b c q -++⋅--=+++++-⋅=-⋅-故11111222(1)(1)(1)1(1)(1)n n n n n n b c b c q d c d c q d c S q q q q q +⋅⋅--⋅⋅-⋅=-=⋅+----我们知道，等差数列的通项公式可以看成关于n 的一次函数，从上面过程来看，错位相减法的实质就是对该一次函数降次，把关于n 的一次函数与等比数列相乘的形式的求和化成常数与等比数列相乘的形式的求和，然后提取常数，利用等比数列前n 项和的公式把多项化成单项，再化简，得出结果。

数列求和之错位相减法、倒序相加法

数列求和之错位相减法、倒序相加法1、错位相减法适用于 c n = a n 检，其中｛耳｝是等差数列，｛b n｝是等比数列。

步骤：此时可把式子.一叫•- ■.的两边同乘以公比 q(q 1 0且q1 1)，得到 ■: - : -，■- : -. . .■- .■- ■，两式错位相减整理即可求出 Sn.2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。

2 n 1【例1】已知数列1,3a,5a ,|山(2 n - 1)a (a = 0)，求前n 项和.【例2】已知｛a n ｝是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2 +a 7 = 16(i)求数列｛a n ｝的通项公式: (n)若数列｛a n ｝和数列｛b n ｝满足等式：b n =寻，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .【例 3】求和：sin 21' sin 2 2 sin 23「||川I sin 289‘1【例4】已知函数f X =刁 2 R ，点P 1 X 1,% , P 2 X 2,y 2是函数f x 图像上的两个点，且线段 RF 2的中点P 的横坐标为丄.2(i)求证：点 P 的纵坐标是定值;=f i nm N ,n =1,2，…,m ,求数列'aj 的前 m m项的和S m ；【变式训练】2 n -3(n)若数列匚的通项公式为a n -2 -1 1、已知数列-6a , -4 a , -2,0,2a , 4a ,…，(-8+2n ) a 求前n 项和.2、若数列也“*的通项公式为a n = 2n 3，数列｛b n｝满足等式：b n =2冷“，求数列｛b n｝的前n项和S n3、求cos* cos2* cos3”||| cos178 cos179 的值.【过关练习】21.设数列｛a n｝的前n项和为S n= 2n, ｛b n｝为等比数列，且Q二b i,b(a2 - a) = b，(1)求数列｛aj和｛b n｝的通项公式;(2)设c n = a n，求数列｛c n｝的前n项和T n. b n2、已知｛a n｝是等差数列，其前n项和为S n, ｛b n｝是等比数列，且a i =2,a4 b^ 27 ,S4- b4=10.(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；(2)记T n = a nd a nJ b2 亠亠a^ , n N*，证明「12 二-2a. 10b n ( nN* )；3、已知Ig xy i=2,求和S n =lg x n lg(x n'y) lg(x n°y2) III lg y n。

数列求和之错位相减法

1
1 22
+2
1 23
(n
1)
1 2n
n
1 2n1
②
1 2 sn
1 2
1 22
+
1 23
1 2n
n
1 2n1
1n 化简整理，得：sn =2- 2n1 - 2n
sn
2- n 2 2n
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第其一中步数：列观{a察n}通为项等是差否数满列足，{a数n b列n}
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
① ② ① -② 得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“ 错位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学思想方法。
什么样的数列求和可以用“错位相减法”
若这数两列个数{列an为}的等对差应数项列乘，积数组列成的{bn新} 为数等列比{a数n 列 bn，} 由求
的
{bn
形式， } 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应
项乘积组成的新数列 {an bn}
第二步：写出 {an bn} 前n项和的展开式，即 sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn
第三步在第二步所得式子的两边同乘以公比q，
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
10
9 10
Sn
2
9
2

4
...
n
9
n
n
1
9
n1

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：①项的对应需正确；②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，，∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．∴当时，，又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）的值.[答案]查看解析[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4S n = a n2 + 2a n－3①当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②①－②, 即，∴,（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．（2）③又④④－③=12分3.（2013年XXXX市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：. [答案] (Ⅰ) 由，得是以为公比的等比数列，故.（Ⅱ）由，得…，记…+，用错位相减法可求得：. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）若．求数列的前项和[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，所以，解得或，当时, ，；当时，.所以或. （6分)（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，所以两式相减得，所以. （13分）5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.[解析]（Ⅰ）时，相减得：，又，，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.又，，. （6分）（Ⅱ）令………………①…………………②①－②得：，，即，当，，当。

高中数学数列错位相减法求和超好用的解题技巧及其步骤

2 求数列的前项和.
2பைடு நூலகம்
〖2020.全国Ⅰ〗
设是公比不为1的等比数列，1 为2 ，3 的等差中项.
1 求的公比;
2 若1 = 1, 求数列的前项和.
课堂练习
练习1：专题测试卷第20页
8. 已知数列满足1 = 1, +1 = 2 + − 1.
-
数列求和
－－－错位相减法
高考分析
纵观近几年高考命题，数列求和是高考中每年必考的内容之一.
全国卷经常以等差数列、等比数列为基础考查程序化计算类的数
列求和，近几年侧重于新的情境，考查内容更加灵活多变.
2020年全 2020年
2021年新 2021年全 2022年全国甲 2022年新高
卷
国Ⅰ卷
全国Ⅲ卷高考Ⅰ卷国乙卷
（大招，偷偷启动）
错位相减法万能公式：
= + ∙ −1

= + −

−
=
, =
−
−
练习1
判断下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
①
③
= + 2
②
1 n1
a n (2n 1) ( ) .
2
2 4 6
考Ⅰ卷
错位相减错位相减错位相减
法
求和
法
数列求和
数列前n项和
的最小值
裂项相消求
和
错位相减法是高考数列的高频考点，这部分的考点往往得分点偏低:
1、错位相减过程中最后一项是“－”,很多同学错把原来的“＋”抄下来了;
2、错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，项数数错了，多了一项，

题型-数列求和之错位相减法

题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。

二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。

+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。

2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。

三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。

+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。

1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。

数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。

1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。

数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。

1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。

错位相减法求数列前n项和

①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
错位相减法：
故Sn 2 (1 n)2n1 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，
解新：问令题cn：求an数bn 列 {nan2bnn}的前n项和
Sn c1 c2 c3 L L cn-1 cn
即Sn 1 2 2 22 3 23 L L (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 2 24 L L L (n-1) 2n n 2n1
2、求数列{2n 3n}的前n项和
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn 2n2 n, n N ,数列{bn}满足an 4 log2 bn 3, n N （1）求{an}和{bn}的通项公式; （2）求数列{an }的前n项和.
bn
4.{an}的前 n 项和为 Sn, 2Sn 3an 3 (n∈N*).
求和：
11 3 5 L 2n 3 2n 1
21 a a2 L an1 an
等差数列与等比数列的求和公式：
等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 2
1)Biblioteka d或等比数列的前n项和公式：
Sn
a1
an 2
n
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？

数列错位相减求和-

6 23 24 2n1 -（2n 1） 2n1

6

2（3 1 - 2n-1）-（2n 1-2

1）
2n 1
6 2n2 - 8 -（2n 1） 2n1
（ - 2n 1） 2n1 - 2
（ - 4n 2） 2n - 2
Sn An B q n B
1、求Sn

3 21
5 22

（2n

2n
1）；
2、在数列an 中，an

2n 2n
1
，求数列前n项和S n；
3、求数列
2n 2n
1前n项和S n；

4、已知Cn

an bn
，an

2n 1，bn

2n，
求数列 Cn 前n项和S n；
解 : Sn 3 5 （2n 1）

3n

n(n
2
、求Sn 2 22 2n；
2、在数列 an 中，an 2n，求数列前 n项和S n；
3、求数列 2n 前n项和S n；
解 : Sn 21 22 2n
型如： Cn

an bn或Cn

an 求前n项和 bn
Sn a1 b1 a2 b2 an-1bn-1 anbn
qSn a1 b2 a2 b3 an-1 bn an bn1
qSn a1 qb1 a2 qb2 an-1 qbn-1 an qbn
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[精品]一般数列求和——错位相减法

方法一、公式法
1. 等差数列求和公式：
na1 an nn 1 Sn na1 d 2 2
2. 等比数列求和公式：
对于已知或可化为等差数列、等比数列直接代公式进行求和。
q 1 na1 S n a1 1 q n a1 a n q q 1 1 q 1 q
• 问题2：这个数列由哪两个数列相乘得到？
a n 2n 1
1 bn n 2
• 问题3：写出这个数列的通项公式
(2n 1) an 2n
• 问题4：其中等比数列的公比是多少？
1 q 2
• 问题5：推导等比数列的前项和公式用的是什么方法？错位相减
结论：错位相减法适用于形如 an bn 的形式的数列求和
• 变式：求数列
数列的通项公式是：
的前n项和
小结：
• 这节课我们学习了数列求和的哪种方法，这样的数列有什么特点？ • 错位相减法求和的一般步骤是什么？
作业：
学案课后作业
错位相减法一般步骤：
①识别 a n bn ②写项（前3后2） ③等式同乘公比 ④错位相减（最后一项为负） ⑤配项 ⑥等比求和（确定项数） ⑦化简

方法二、分组求和法
对于形如
an bn 的数列进行求和。
方法三、裂项相消法
若数列的通项公式可拆分为某数列相邻两项之差的形式
方法四、错位相减法
分析： • 问题1：这个数列分子和分母有什么特点？可以分别看做是一个什么数列呢？
分子是一个首项为1，公差为2的等差数列，分母是一个以2为首项公比为2的

等比求和错位相减法数列求和

（2）
an
2n 1 3n
（先变形式）
（3） an (3n 2) 2n1
(4) an (3n 2) 2n 2 最后算的对不对，看看有没有（常数+等差等比）的形式，在用 S1 检验是否和 a1 相同，如果是那么就恭喜你了~~~
3 最后应该注意什么？第一，这里的最后，应该把握考试的时间，
可先放着争取时间把后面的易得分点拿下再回来化简；
第二，记得最后把相减后的 Sn 系数化为 1；
第三，化简的标准结果应该为（常数+等差等比）的形式，
不放心就用 S1 是否等于 a1 检验一下
练习求和
（1） an n 2n （注意整个过程能否再简便）
如如：：aan n2n2(n2(n2n1)1)(；2n 1)2n ；
aann
22n2n2nn11；(2n
1)
1 2
n
；
aann
((22nn11))
12
1 n1 n1
2
(2n
1)
1 2
n
1 2
1
(4n
2)
1 2
n
an
an
(2n 1)22n
(2n 1)22n
(2n
1)
1 2
n2
(2n
1)
1 2
n
4
ห้องสมุดไป่ตู้
(4n
2)
1 2
n
下面举例子说明：
求数列 an
(2n
1)
1
n1
的前
n
项和
2
Sn
2 中途的化简方法过程应该注意什么？
答：第一：先写 S n ，再换行写左边 qSn ，右边 q 乘以等比部分