风险投资模型
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3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型 : 目标函数 MAX
n
(r p ) x
i i i 0
i i
n
i
MINmax{ q ix i} 约源自文库条件
(1 p)x =M
i0
xi≥0
4. 模型简化：
i=0,1,…n
a．在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个 风险 qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。 模型 1 固定风险水平，优化收益 目标函数： 约束条件： Q=MAX
s i 中最大的一个风险来度量；
4．n 种资产 S i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0 为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响，不受其他因素干扰。
符号规定： Si ——第 i 种投资项目，如股票，债券 ri,pi,qi ----分别为 Si 的平均收益率,风险损失率，交易费率 ui xi Q ----Si 的交易定额 投资项目 Si 的资金 ----总体收益
pi （%）
1 2 4.5 6.5
ui （元）
103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行 生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额 M 相当大,为了便于计算，假设 M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目
计算结果：
a = 0.0030 a = 0.0060 a = 0.0080 a = 0.0100 a = 0.0200 a = 0.0400 x = 0.4949 x=0 x = 0.0000 x=0 x=0 x = 0.0000 0.1200 0.2400 0.3200 0.4000 0.8000 0.9901 0.2000 0.4000 0.5333 0.5843 0.1882 0.0000 0.0545 0.1091 0.1271 0 0 0 0.1154 0.2212 0.0000 0 0 0 Q = 0.1266 Q = 0.2019 Q = 0.2112 Q =0.2190 Q =0.2518 Q =0.2673
数学建模方法步骤： 1、观察 2、现实问题的理想化 3、建立数学模型 4、求解模型 5、模型的分析、验证 6、模型的应用
投资的收益和风险
一、问题提出
市场上有 n 种资产 s i （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期 的投资。 这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 购买 s i 时要付交易费，(费率 总的风险越小，总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。
ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，
pi )，当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算。 另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。 （ r0 =5%）
已知 n=4 时相关数据如下：
si
S1 S2 S3 S4
ri （%）
28 21 23 25
qi （%）
2.5 1.5 5.5 2.6
(r p ) x
i 0 i i
n
i
qi xi M
≤a
i i
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。 模型 2 固定盈利水平，极小化风险 目标函数： R= min{max{ q ix i}} 约束条件：
n
(r p ) x
i i i 0
n
i
约束条件
(1p )x =M， x ≥0
i i i0
i
i=0,1,2,…n
四、模型1的求解
模型 1 为: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 s.t. 0.025x1 ≤a 0.015x2 ≤a 0.055x3 ≤a 0.026x4≤a xi ≥0 (i = 0,1,…..4)
(r
i 0
n
i
p i ) x i ≥k，
i i
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。 因此对风险、收益赋予权重 s（0＜s≤1)，s 称为投资偏好系数. 模型 3 目标函数：min s{max{q ix i}} -（1-s）
五、 结果分析 1.风险大，收益也大。
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是a*=0.6%，Q*=20% ，所对应投资方案为: 风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212
-------
r0
-------
同期银行利率
a -----投资风险度 Δ Q ----总体收益的增量
三、模型的建立与分析
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui 而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(r i-pi)xi
由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资 者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编 制程序如下：
a=0; while(1.1-a)>1 c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1]; A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0];vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001; To Matlab（xxgh5） end xlabel('a'),ylabel('Q')
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n
(r p ) x
i i i 0
i i
n
i
MINmax{ q ix i} 约源自文库条件
(1 p)x =M
i0
xi≥0
4. 模型简化：
i=0,1,…n
a．在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个 风险 qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。 模型 1 固定风险水平，优化收益 目标函数： 约束条件： Q=MAX
s i 中最大的一个风险来度量；
4．n 种资产 S i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0 为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响，不受其他因素干扰。
符号规定： Si ——第 i 种投资项目，如股票，债券 ri,pi,qi ----分别为 Si 的平均收益率,风险损失率，交易费率 ui xi Q ----Si 的交易定额 投资项目 Si 的资金 ----总体收益
pi （%）
1 2 4.5 6.5
ui （元）
103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行 生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额 M 相当大,为了便于计算，假设 M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目
计算结果：
a = 0.0030 a = 0.0060 a = 0.0080 a = 0.0100 a = 0.0200 a = 0.0400 x = 0.4949 x=0 x = 0.0000 x=0 x=0 x = 0.0000 0.1200 0.2400 0.3200 0.4000 0.8000 0.9901 0.2000 0.4000 0.5333 0.5843 0.1882 0.0000 0.0545 0.1091 0.1271 0 0 0 0.1154 0.2212 0.0000 0 0 0 Q = 0.1266 Q = 0.2019 Q = 0.2112 Q =0.2190 Q =0.2518 Q =0.2673
数学建模方法步骤： 1、观察 2、现实问题的理想化 3、建立数学模型 4、求解模型 5、模型的分析、验证 6、模型的应用
投资的收益和风险
一、问题提出
市场上有 n 种资产 s i （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期 的投资。 这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 购买 s i 时要付交易费，(费率 总的风险越小，总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。
ri ，风险损失率为 qi ，投资越分散，
pi )，当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算。 另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。 （ r0 =5%）
已知 n=4 时相关数据如下：
si
S1 S2 S3 S4
ri （%）
28 21 23 25
qi （%）
2.5 1.5 5.5 2.6
(r p ) x
i 0 i i
n
i
qi xi M
≤a
i i
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。 模型 2 固定盈利水平，极小化风险 目标函数： R= min{max{ q ix i}} 约束条件：
n
(r p ) x
i i i 0
n
i
约束条件
(1p )x =M， x ≥0
i i i0
i
i=0,1,2,…n
四、模型1的求解
模型 1 为: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 s.t. 0.025x1 ≤a 0.015x2 ≤a 0.055x3 ≤a 0.026x4≤a xi ≥0 (i = 0,1,…..4)
(r
i 0
n
i
p i ) x i ≥k，
i i
(1 p )x
M ， xi≥ 0
i=0，1，…n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。 因此对风险、收益赋予权重 s（0＜s≤1)，s 称为投资偏好系数. 模型 3 目标函数：min s{max{q ix i}} -（1-s）
五、 结果分析 1.风险大，收益也大。
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最 小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是a*=0.6%，Q*=20% ，所对应投资方案为: 风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212
-------
r0
-------
同期银行利率
a -----投资风险度 Δ Q ----总体收益的增量
三、模型的建立与分析
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui 而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(r i-pi)xi
由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资 者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编 制程序如下：
a=0; while(1.1-a)>1 c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1]; A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0];vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001; To Matlab（xxgh5） end xlabel('a'),ylabel('Q')
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