第四章 图形变换——投影变换

(4) 由变换后的所有二维点绘出三维物体投影 后的三视图。
1、主视图(V)面
•将三维物体向xoz面（又称 V面）作垂直投影（即正平 行投影），得到主视图。
• 设三维点为(x, y, z),则正向投影点为(x’,y’,z’ )
( x' y ' z ' 1) ( x 1 0 z 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2
取 3516' 45 3516' 代入 TISO 得到正等轴测投 将 影变换矩阵为：
3516'
TISO
0.707 0.707 0 0
Байду номын сангаас
0 0.408 0 0.408 0 0.816 0 0
0 0 0 1
轴间变形系数：
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
• 设三维点为（x, y, z），则正向投影点为(x’, y’, z’ )
1 0 TH 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 cos( ) sin( ) 2 2 Tr 0 sin( ) cos( ) 2 2 0 0 0
4.2.1.1 三视图
• 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种， 观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。 • 把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱 线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变 换放置到同一平面上。
三视图
计算步骤：
(1) 确定三维物体上各点的位置坐标
(2) 引入齐次坐标表示位置坐标
(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求 得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点 (x’,y’)（xoy平面）或(y’,z’ ) (yoz平面）
由
(cos2 sin 2 ) (cos2 sin 2 ) sin 2 0 得：
2 2 2 2 2 2
cos sin sin sin cos sin cos2 cos2 0（∵cos2 sin 2 cos2 ） 即：
x y z cos3516' 0.8165
因此正等轴测投影变换就是用图形点集 [X Y Z 1]×TISO即可。
例：若有一个边长为100的正六面 体，其各顶点坐标为: O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)， B(100, 0, 100),C(100, 100,100), D(0, 100, 100),E(100, 0, 0), F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)。
TISO
0 0 0 1
，得正二轴测投影变
T正二
轴向变形系数：
x z cos19 28' 0.94
1 y x 0.47 2
因此正二轴测投影变换就是用图形点集[X Y Z 1]×T正二即
1 0
0 0 1TISO cos 0 sin sin 1
1 0 1TISO sin 0 cos sin 1
0
0 1 1TISO 0 0 cos 1
X,y,z三个轴向的变形系数为：
( cos sin ) / 1 sin cos sin
• 指定一个投影面，再取景物面片上的一条 线段AB，把线段投影到投影面上,如图: • 投影中心、观察平面、投影线：
•透视投影:物体位置沿收敛于一点的直线变 换到观察平面,投影中心到观察平面之间的 距离是有限的。 •平行投影:物体位置沿平行线变换到观察平 面上,投影中心到观察平面之间的距离是无 限的。
原坐标轴经轴测投影变换后,其在V面上 的 投 影 长 度 发 生 变 化 , 我 们 把 O'X'/OX=ηx, O'Y'/OY =ηy ,O'Z'/OZ =ηz 分别称为OX轴, OY 轴和OZ轴的轴向变形系数。 为了便于讨论,沿X,Y,Z方向各取一单位长 度,可得三点的齐次坐标分别为：A[1 0 0 1], B[0 1 0 1],C[0 0 1 1 ]。 对其进行正轴测投影变换，变换得：
0 0 0 1
1 0 Tt 0 0
0 0 1 0 0 1 0 n
0 0 0 1
1 0 T 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 cos( ) sin( ) 2 2 0 0 0 sin( ) cos( ) 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 n 1
的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影
二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影； 三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定 的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影。 最常用的是第二种方式
1、正轴测投影变换矩阵
第二种方式的正轴测投影过程为：
2 sin 2 sin 2 4 sin cos2 1 2 (1 sin ) (1 sin 2 ) 4 sin 2 (1 sin 2 ) 4 cos2 sin 2 1 sin 2 sin 2 4 sin 2 4 sin 4 4 sin 2 (1 sin 2 ) 1 1 si n 8
①将三维实体绕Z轴逆时针转α角；
②将三维实体绕X轴顺时针转β角；
③向XOZ平面（V面）作正投影。
TISO
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 cos 0 sin 0 0
0 sin cos 0
平面几何投影分为透视投影和平行投影
平行投影
• 根据投影线方向与投影平面的夹角，平行 投影分为两类：正投影和斜投影。
4.3.1 正投影
•正投影又可分为：三视图和正轴测。
•当观察平面与某一坐标轴垂直时，得到的投 影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。
4.2.1.1 三视图
•三视图：正视图、侧视图和俯视图
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
cos 2 sin Tr 2 0 0
sin

2
cos 2 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 TW 0 0
1 0 Tt 0 k
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
cos sin 0 0
0 sin sin 0 cos sin 0 cos 0 0
0 0 0 1
2．轴向变形系数
cos2 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) 1 cos2 s in 2 sin 2 (1 sin 2 )
代入 4(sin
2
cos sin ) cos ，解得：
2 2 2
2
1 sin , 8
则：γ
1 取 sin 8
20 42'

2
sin sin , 2 1 sin
取正值
19 28'

将 20 42' , 19 28' 代入 换矩阵：
0.935 0.354 0 0 0 0.118 0 0.312 0 0.943 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 n
0 0 0 1
点在H面上投影的坐标变换为：
3、侧视图(W面)
侧视图是将三维物体往yoz面(侧面W） 0 作垂直投影。 0 (1) 侧视图的投影变换 TW 0 (2)使W面绕z轴逆时针旋转90° 0 (3)使W面沿负x方向平移一段距离-k
2 2 2 2
( sin )
y
2
(cos ) / 1 cos
2 z
3．正等轴测投影变换
所谓正等轴测投影就是当ηx=ηy=ηz 时所 得到的正等轴测图。由ηx=ηy=ηz 得：
cos2 sin 2 sin 2 sin 2 cos2 sin 2 cos2
y
x' x y' 0 z' 0
2、 俯视图(H)面
• 三维物体向xoy面（又称H面)作 垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕x轴顺时针旋转90° (3)使H面沿z方向平移一段距离-n
三 维 型 体 及 其 三 视 图
1 0 TH 0 0
相等时为等轴测； •当观察平面与两个坐标轴之间的夹角相 等时为正二测；
•当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都不 相等时为正三测。
正轴测投影方式： 先将三维实体分别绕两个坐标轴旋转一定的 角度，然后再向由这两个坐标轴所决定的坐 标平面作正投影。 正轴测投影有三种方式：
一、先将三维实体绕X 轴和Y 轴分别旋转一定
y
z 1 TW y k
0 z 1
注意：由上述我们可以看出,三个视图中y’均 为0,这是由于变换后三个视图均落在X’O’Z’ 平面上的缘故。 因此，可用x'，z'坐标直接画出三个视图。
4.2.1.2 正轴测图
★正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。 •当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都
cos 2 sin 2 0 0