第四章投影变换
画法几何及机械制图 05投影变换
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练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
求解此题
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本题高于考核难度
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本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则 点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
返回
点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
返回
3.点的两次变换
a1
a1 X1
返回
三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线 记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
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▲在H面上设立的新投影面（⊥H） 记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V） 记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1） 亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1） 亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像， 记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像， 记作：a1′（b1′）
a1’
返回
把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
返回
四、线的投影变换
工程图学习题答案
a
b
Bb
A
aW
c
O
b
a C cc
Y
9
第二章 点、直线和平面
2-5 求点的投影。
(1) 已知A、B、C、D的两面投影图，求第三投影，并量出 (2) 已知点M、N、S分别属于H、V、W面，点K属于Z轴，试 各点到投影面的距离，填入表中(单位：mm，取整数)。 画出各点的三面投影图。
′
d
′
′b
a
′ ′
′ ′
28
第二章 点、直线和平面
2-36 完成下列各题。
AB为某平面对H面的最大斜度线，求作属于该平面且距V 面20mm的正平线。
2-37 已知△ABC 与V面的倾角为45度，补出其水平投影。
′
′
′
′
′
2021/6/16
29
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
习题 3-1,2 习题 3-7,8 习题 3-13,14 习题 3-19,20 习题 3-25,26 习题 3-31,32
(6) 交叉
16
第二章 点、直线和平面
2-15 AB与CD相交，补出线段所缺的投影。
（ 1）
′ ′
′
′
′
′
′
′
2-16 过点A作直线，与CD、EF相交。
（ 1）
′
′
′
′
′
d （ 2）
c
d
′ ′
′
′
（ 2）
′ ′′
′ ′
d
c
2021/6/16
17
第二章 点、直线和平面
2-17 完成下列个题。
(1) 作一直线KL,使其与AB平行,与CD相交,确定K。
画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用
§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面 注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2
16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：
机械制图 第四章平面的投影
(4)平行两直线；
(5)任意平面图形。
不 在 同 一 直 线 上 的 三 点
b’
a’ ’
c’ x c a b b’ a’ ’
平 行 两 直 线
一 直 线 和 直 线 外 的 一 个 点
b’
b’
a’ ’
c’ x a b b’ a’ ’ c
相 交 两 直 线
a’ ’
c’ x a b c
面，再将投影面垂直面变为投影面平行面。
例 求△ABC的实形。
分 析 1.先将△ABC变换 为H1面的垂直面; 2.再将△ABC变换 为V2面的平行面。
bH1
bV1
b’
d’
aH1 d H1 dV1 cH1 aV1 cV1
反映△ABC的实形
c’
a’
XV H
c
d
图 4-23
a b
1’
2’
分析: 如ⅠⅡ在P面内 则ⅠⅡ与AB, AC或者 相交; 或者与其中一 条相交而与另一条平
X
a’
3’
b’ a 1 3
c’ 4’
行。
2
b
c
4
图 4-12
直线ⅠⅡ 不在 P面内。
三、平面内的投影面平行线
b’
投影特性
1.符合投影面平行线的 投影特性;
X a a’
e’ d’
c’
2.满足直线在平面内的
第四章 平面的投影
§4-1 平面的表示法
§4-2 各种位置平面的投影
§4-3 平面内的线和点 §4-4 平面图形的实形
（编制 李小平）
§4-1 平面的表示法
一、几何元素表示法
二、迹线表示法
一、几何元素表示法
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
道桥复习题
答：A点在B点的、、方。
第二章点（答案）
一、填空
1长对正高平齐宽相等
2 V面H面W面
3重影点
4空间两点有两个坐标相等
5正面可见水平可见
二、
三、左、后、上
第三章直线
一、填空：
1．直线在三面投影体系中的位置，可分为、、。
2．投影面垂直线的投影特征为;投影面平行线的投影特征为。
4中心单
二、选择
1 C 2 B 3 A
第二章点
一、填空：
1．三面投影体系中点的投影规律为长对正、高平齐、宽相等。
2．点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离;点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离;点的侧面投影到OZ轴的距离与点的水平投影到OY轴的距离,都等于空间点到
W面的距离。
3．当空间的两点位于同一条投射线上时,它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点,称这样的两点为对该投影面的重影点。
5.正圆锥被一截平面截切，要求截交线是抛物线时，α角（α为截平面与水平线的夹角）与锥底角θ之间的关系是B
（A）α＜θ（B）α＝θ（C）α＞θ（D）θ＝90 L
6.用两个相交截平面切正圆锥，一个面过锥顶，一个面的θ＜α,截交线空间形状为B
（A）双曲线与椭圆（B）双曲线与直线（C）椭圆与直线（D）抛物线与直线
（A）圆台（B）圆柱（C）圆锥（D）圆球
14.四棱台的一个视图反映底面实形，另两视图的图形特征是B
（A）三角形（B）圆（C）矩形（D）梯形
第三单元点、直线、平面的投影（单项选择题）
1.空间点A的正面投影a′到OX轴的距离等于空间点A到B
（A）V面的距离（B）H面的距离（C）W面的距离（D）H面和V面的距离
第四章 投影变换
分析
因 直 线 MN 平 行 于 △ ABC 且相距20㎜，所以MN必定位于 与△ABC平行且相距20㎜的平 面P上。当△ABC 为投影面的 垂直面时作图简便，为此选用变 换投影面法。
B M P N m a C
A n
x
V H
b
c
变换到利于解题的位置（如 图所示）仅需要一次换面。
A a
o
o1
B
b
b’1
a x1 b’1
a2
(b2)
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线， ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换。 ⊥ o1x1
a’1
④ 作直线 a’1和b’1
⑤ 作轴 o2x2 ⊥ a’1b’1
§4－2 变换投影面法
（三）把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4－1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 d’c’ c’ a’
x x x x
x x x x
a’(d’) d’ a’ c’ c’
a’ d’ b’(c’)f’ a’ b’ m’ b’ e’ c’b’
0 0 0 0
a’ d’ a’ b’
n
作图
PH1
m1 b1 a1 (d1) d′ n1
c1
c′
o d
c
AD∥OX
§4－2 变换投影面法
方法2 变换V面
b′ m′ a′ V x H a m n d c n′ b
作图
d′ c′ o
① 作水平线AD； ② 作轴o1x1⊥水平线AD； ③ 作⊿ABC的V1面投影； ④ 作P面∥⊿ABC且相距20㎜； ⑤ 在变换中，点的高度是不变量；
投影与旋转变换
投影与旋转变换投影与旋转变换是计算机图形学中常用的两种基本变换方式，它们能够对图像或物体进行形态、位置的调整，从而实现各种视觉效果的生成和实现。
本文将探讨投影与旋转变换的原理、应用和实现方法。
一、投影变换1.1 介绍投影变换是一种将三维物体映射到二维平面上的变换方式，常见的包括平行投影和透视投影。
平行投影是指物体在投影过程中保持平行关系的投影方式，透视投影则是通过模拟人眼视角来实现的，具有透射和远近变化的特点。
1.2 原理平行投影的原理是通过将三维物体的每个顶点映射到二维平面上，生成对应的二维坐标来实现。
透视投影则需要考虑观察者与物体之间的距离和角度，通过线性插值等方法得到物体在二维平面上的投影结果。
1.3 应用投影变换广泛应用于计算机图形学、虚拟现实、建筑设计等领域。
在计算机图形学中，投影变换可以用于生成逼真的三维模型、实现虚拟摄像机的效果等。
二、旋转变换2.1 介绍旋转变换是指将物体绕某一中心点旋转一定角度的变换方式，它可以改变物体的朝向和方向，从而使其具有更多的表现力和变化性。
2.2 原理旋转变换的原理是通过对物体的每个顶点进行旋转计算，根据旋转矩阵的乘法和向量的运算得出旋转后的坐标。
旋转矩阵是一个描述旋转方向和角度的矩阵，其变换结果可以通过矩阵乘法和向量运算来实现。
2.3 应用旋转变换在计算机动画、游戏开发、机器人运动学等领域都有广泛的应用。
通过旋转变换，可以实现物体的自转、摄像机的视角调整等效果，同时也可以配合其他变换进行复杂的动画和模型操作。
三、实现方法3.1 投影变换的实现方法包括透视除法、裁剪、视口变换等步骤，其中透视除法是将投影坐标映射到标准化设备坐标系的过程，裁剪是指去除投影范围外的图像部分，视口变换是将标准化设备坐标系映射到屏幕坐标系的过程。
3.2 旋转变换的实现方法主要包括欧拉角、四元数和旋转矩阵等方式，其中欧拉角是通过三个连续的旋转来实现，四元数是一种数学表示方式，旋转矩阵则是通过矩阵乘法来实现。
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
投影变换4
第四章投影变换§4.1 概述在前三章中，我们分别讨论了点、线、面及其相对位置的投影。
我们知道，当直线或平面相对于某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们的投影能反映实长、实形或倾角，见表4．1；当直线或平面相对投影面处于一般位置时，它们的投影就不具有这些特性。
从这里我们可以看出，如果能把一般位置的几何元素变换成特殊位置，那么其定位和度量问题就容易解决了，投影变换就是为了这个目的。
表4．1 空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题实长(形) 问题距离问题线段的实长平面是实形点到直线的距离两直线间的距离点到平面的距离距离问题角度问题直线到平面的距离两平面之间的距离两直线的夹角直线与平面的夹角两平面之间的夹角投影变换的方法很多，常用的有两种：换面法和旋转法。
(a) (b) (c)图4．1 点的一次换面（更换V 面）．§4.2 换面法一 换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素的位置不动，通过改变投影面的位置来改变空间几何元素与投影面的位置关系，从而有利于解题。
如图4．1(a)所示：点A 在V /H 体系中，正面投影为a ’,水平投影为a 。
现H 面不变，取一铅垂面V l 代替正立面V ，构成新的两投影面体系V 1/H 。
过点A 向V 1面作垂线，得到点A 在V l 面上的投影a ’1，V /H 体系为旧投影体系，X 轴为旧投影轴，而V 1/H 体系为新投影体系，X l 轴为新投影轴，V 面为旧投影面，H 面为不变投影面，V 1面为新投影面。
相应地，V 面上的投影a ’为旧投影，H 面上的投影a 为不变投影、V 1面上的投影a 1’为新投影。
在新投影体系V 1/H 中，新投影面V l 必须与旧体系V /H 中不变投影面H 垂直，才能继续保持两投影面体系中的投影规律。
当然，也可以用一个垂直于V 面的新投影面H l 替换V /H 中的H 面，从而组成如图4．2(a)所示的V /H 1体系。
《画法几何》课程教学大纲
《画法几何》课程教学大纲课程名称：画法几何Descriptive Geometry课程编码：6311Z002 学分：2 总学时：36说 明【课程简介】本课程是土木类专业学生必修的专业核心课程。
它研究解决空间几何问题以及绘制和阅读工程图样的理论和方法。
由于生产和科学研究对计算机图形技术提出了日益迫切的多方面的要求，本课程在适应这一新形势方面更加成为重要的基础。
它的任务主要是（1）研究在平面上表达空间形体的图示法；（2）研究在平面上解答空间形体的图解法。
画法几何是具有系统理论、抽象性较强的一门学科。
学习时要注意理论联系实际，而且必须完成一定数量的习题。
【课程性质】专业核心课【适用专业】土木类专业【教学目标】培养学生的绘图和读图能力，并通过实践，培养他们的空间想象能力。
【先修课程要求】无【能力培养要求】培养学生的绘图和读图能力，空间想象能力。
解决空间几何元素本身及其相互的定位问题和度量问题。
【学习总量】总学时36学时，其中理论36学时。
【教学方法与环境要求】课堂讲授、辅导课、习题课，多媒体课件与网络教学，组织讨论、辅导答疑，课外作业和考试等计划安排。
（1）课堂讲授36学时；（2）课堂针对相关问题进行讨论。
（随教学进程）；（3）课内、课外做练习；（4）课下辅导答疑，包括作业总结辅导、相关专题辅导；（5）配合课堂讲授，配有模型；（6）本课程教学内容应适当结合实际，以提高学生对本课程理论联系实际的认识。
【学时分配】学 时 安 排序号 内 容 理论课时 实验课时实践课时习题课时小计1 投影的基础知识2 22 点、直线和平面投影 6 63直线与平面、平面和平面的相对位置6 64 投影变换 4 45 立体的投影14 146 轴测投影 4 4总 计 36 36【教材与主要参考书】教 材：《土木工程制图》，贾洪斌，高等教育出版社，2005，第四版参考书：【1】《画法几何及土木工程制图》，唐人为，东南大学出版社，2002【2】《画法几何》，同济大学教研室，同济大学出版社，1996大纲内容第一章 投影的基本知识【教学目的和要求】了解：投影的概念及投影法的分类；理解：三面投影图的形成；掌握：正投影的几何性质；运用：正投影的绘制。
机械制图电子教案投影法
机械制图电子教案投影法第一章：投影法基础1.1 投影法定义解释投影法的概念和作用。
强调投影法在机械制图中的重要性。
1.2 投影法的分类介绍正投影法和斜投影法的区别和应用。
解释单面投影和双面投影的概念。
1.3 投影法的原理详细解释投影法的基本原理。
探讨投影法如何将三维物体转化为二维图形。
第二章：基本投影变换2.1 投影变换的概念解释投影变换的含义和作用。
强调投影变换在机械制图中的重要性。
2.2 投影变换的类型介绍平移、旋转和缩放等基本投影变换。
解释这些变换对投影图形的影响。
2.3 投影变换的应用探讨如何使用投影变换来解决实际问题。
给出一些示例，展示投影变换在机械制图中的应用。
第三章：直线和角的投影3.1 直线的投影解释直线在投影中的表现形式。
探讨如何通过投影来确定直线的方向和位置。
3.2 角的投影解释角在投影中的表现形式。
探讨如何通过投影来确定角的大小和位置。
3.3 直线和角的投影应用给出一些示例，展示直线和角的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第四章：平面图形的投影4.1 平面图形的投影概念解释平面图形在投影中的表现形式。
强调平面图形的投影在机械制图中的重要性。
4.2 常见平面图形的投影介绍圆形、方形、三角形等常见平面图形的投影。
解释这些图形在投影中的特点和规律。
4.3 平面图形的投影应用给出一些示例，展示平面图形的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第五章：三维图形的投影5.1 三维图形的投影概念解释三维图形在投影中的表现形式。
强调三维图形的投影在机械制图中的重要性。
5.2 常见三维图形的投影介绍长方体、圆柱体、球体等常见三维图形的投影。
解释这些图形在投影中的特点和规律。
5.3 三维图形的投影应用给出一些示例，展示三维图形的投影在机械制图中的应用。
强调这些投影在实际工程中的重要性。
第六章：投影法在机械制图中的应用6.1 零件图的投影解释零件图的概念和作用。
湘教版高中数学选修4-2-1.5 投影变换-教案设计
投影变换【教学目标】1. 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2. 掌握投影变换的几何意义及其矩阵表示。
【教学重难点】投影变换的几何意义及其矩阵表示【教学过程】一、投影变换①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==y y x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000 二、可逆变换可逆的线性变换具有如下性质： （1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形 证明：设可逆线性变换A 的矩阵为A 。
设P ，1P ，2P 为平面三个不同的点，P 为平面上任意一点，点P ，1P ，2P ，P ，分别初恋换A 变到点`0P ，`1P ，`2P ，`P 如图所示。
设0OP ，1OP ，2OP ，OP ，`0OP ，`1OP ，`2OP ，`OP 的坐标分别是0X ，1X ，2X ，X ，`0X ，`1X ，`2X ，`X则`0X ＝AX ，`1X ＝A 1X ，`2X ＝A 2X ，`X ＝A X设P ，1P 不重合，决定一条直线0P 1P 和一条线段0P 1P由于A 是可逆变换，`0P ，`1P 也不重合，也决定一条直线`0P `1P 和一条线段`0P `1P点P 在直线0P 1P 上⇔存在实数t 使P P 0＝t 10PP ⇔X -0X =t (1X -0X )⇔A(X -0X )=A t (1X -0X )⇔ A X - A 0X =t (A 1X -A 0X )⇔`X -`0X =t (`1X -`0X )``0P P =t `1`0P P ⇔`P 在直线`0P `1P 上因此，A 将直线0P 1P 变成直线`0P `1P点点P 在线段0P 1P 上⇔存在实数t 使10≤≤t 且P P 0＝t 10PP 重复（1）的计算，知道P P 0＝t 10P P ⇔``0P P =t `1`0P P ⇔`P 在线段`0P `1P 上这说明A 将线段0P 1P 变成线段`0P `1P设四边形0P 1P 2P P 是平行四边形，则10P P ＝P P 2，并且直线0P 1P 与直线2P P 不重合。
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Q = F1(x,y) λ= F2(x, y) 地图投影就是建立地球表面上点（Q，λ） 和平面上的点（ｘ，ｙ）之间第四的章投函影数变换关系式
1.2 地图投影的基本要素 大地水准面：大地测量中用水准测量方法得到的地
系统弹出“选择文件” 对话框，选择 “FRAM_1.WL”线 文件，单击“确定” 按钮，如右下图；
第二步：设置文件的TIC点；
TIC点实际上是一些控制点，即 用户已知其理论值的点。理论 值既可以是大地直角坐标，如 公里网值，也可以是地理经纬 度；
第四章投影变换
1∶2000标准图框的投影结果如图：
第四章投影变换
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令，
弹出“1：2000图框”如图：
• 矩形分幅方法为：
任意矩形分幅；
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
单击“投影参数”按钮，设置图框投影参数，这里 默认设置，其中“投影中心点经度”查表或计算。
第四章投影变换
系统自动投影生成“1∶10万”非标准图框，单击右 键选择“复位”命令，选择显示点、线文件，“确定” 即可，如图；
第四章投影变换
以1：2000为例，其他大比例尺的标准框生成方法 类似；
单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框” 命令，弹出“1：2000图框”如图，默认设置，单 击“确定”按钮，即可生成1：2000标准图框；
四类图框： ①、小比例尺的标准框 ②、小比例尺的非标准框 ③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
第四章投影变换
小比例尺标准框
以1∶5万为例，其他小比例尺的标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下 “生成1∶5万图框”命令，系
统弹出“1∶5万图框”对话框，输入起始经纬度，单击“确 定” ； 单击“椭球参数”，可以设置相应的椭球参数，如右图；
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及边 框。
⑥绘制投影经纬网，生成经纬网的线文件 ⑦若想查阅绘制好的经纬网值，选择生成明码文件
功能。
第四章投影变换
不同投影系统之间的变换
转换步骤：
①将原始投影地图资料数字化输入到计算机中变 成点、线、面文件。
②将矢量化后的文件装入投影变换系统，设置原 始及目的投影参数等。
第四章投影变换
2.2 单文件投影转换
以投影1∶1万的标准框为例；
参照小比例尺标准框的生成方法，默认设置，生成一 个1∶1万的标准框，如左图；
单击“显示”菜单下“设置状态栏坐标显示”命令， 在弹出的对话框中，单击“当前图幅参数”，可以看 到当前文件的投影参数，如右图；
第一步：单击“投影 转换”菜单下 “MAPGIS文件投影” 命令，选择转换线、 点或区文件，如右上 图（以线文件为例）；
第四章 投影变换
第四章投影变换
1.地图投影概述 1.1 地图投影的基本概念
地 图：是按一定的数学法则和特有的符号系统及制图 综合原则将地球表面的各种自然和社会经济现象缩小表示 在平面上的图形，它反映制图现象的空间分布、组合、联 系及在时空方面的变化和发展。
地图投影：即为地球椭球表面（或地球表面）与地图平面 之间点与点（或线与线）相对应。
第四章投影变换
为了控制变形，本投影采用分带的办法。 我国1∶2.5-1∶50万地形图均采用6度分带； 1∶1万及更大比例尺地形图采用3度分带，
以保证必要的精度。 6度分带从格林威治零度经线起，每6度分
为一个投影带，全球共分为60个投影带。
第四章投影变换
投影代号计算公式：
N=INT(L/6)+1
第四章投变换
系统弹出“图框参数输入”对话框，如左图，取消红 框所选项，单击“确定”按钮，弹出“输入接图表内 容”对话框，如右图，默认设置，单击“确定” ；
第四章投影变换
系统自动生成1∶5标准图框，如下图
第四章投影变换
小比例尺非标准框
单击“角度单位”按钮，坐标单位要和输入的起始 经纬度的单位保持一致，这里设置为“度分秒”， 如左图；
面上各点的高程是依据一个理想的水准面来确定的， 这个水准面称为大地水准面。 大地球体：大地水准面所包围的球体称为。 地球椭球面：以一个大小和形状同它极为接近的旋 转椭球面来代替，以随圆的短轴（地轴）为轴旋转 而成的椭球面称为。
第四章投影变换
第四章投影变换
1.3 地图投影分类
经纬线形状
第四章投影变换
6°分带
N=INT(（L+1.5°）/3) 3°分带
其中N为投影带号，L为中央经线经度
中央经度计算公式：
L=6N-3
6°分带
L=3N
3°分带
2.MAPGIS投影转换
2.1 四类图框生成
小于1：5000时，图幅为小比例尺，梯形图幅，单位为经 纬度；
大于1：5000时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值；
③选择相应的文件转换功能
④参阅、浏览变换后的图元文件，并保存，即可 生成新投影文件。
⑤输出新投影文件
第四章投影变换
我国常用的大地坐标系 （1）1954年北京坐标系 （2）1980年西安坐标系 （3）新1954年北京坐标系 （4）WGS84坐标系
第四章投影变换
第四章投影变换
高斯-克吕格投影
1.4 投影变换系统的应用
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘
制经纬网的坐标系； ②设置好投影经纬网的比例尺及单位； ③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央
子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
第四章投影变换
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度间 隔值。
高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)投影：也是等角 横切椭圆柱投影，该投影以中央经线和赤道投影 后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点， 纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为 X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西 为负，规定为Y轴。
高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS 坐标系的Y和X