第六章 三维变换与投影_PPT幻灯片

第六章 主讲：孔令德
◆三维图形基本几何变换矩阵 ◆平行投影 ◆透视投影
6.1 三维基本几何 6.2 三维基本几何变换矩阵 6.4 投影变换 6.5 透视变换 6.6 本章小结 6.7 习题
a b c
其中 T1 d e f， 为3×3阶子
g h i
矩阵，对图进行比例、旋转、反射和 错切变换。
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
（6-10）
4、关于xoy面的反射
关于xoy面反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z ' z
因此，关于xoy面的三维反射变换矩阵为
： 1 0 0 0
T 0 1
0
0
0 0 1 0
（6-11）
0 0
0
1
5、关于yoz面的反射
：
1 0
0 0
T 0 cos sin 0 0 sin cos 0
0 0
0 1
这里θ是旋转角
（6-5）
2. 绕y轴旋转
同理可得，绕y轴旋转变换的坐标表示为：
x' z sin xcos
y ' y
z ' z cos xsin
因此，绕y轴的三维旋转变换矩阵为：
cos 0 sin 0
三维基本几何变换是指将P(x, y点, z)从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P(的x,y过,z)程。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似， 这里只给出结论。
（6-7）
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为：关于坐标轴的反射和
关于坐标平面的反射两类。
1.关于x轴的反射
关于x轴反射变换的坐标表示为：
x y'
'
x y
z ' z
因此，关于x轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0 T 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
（6-8）
2. 关于y轴的反射
三维旋转一般看作是二维旋转变 换的组合，可以分为：绕x轴的旋转， 绕y轴的旋转，绕z轴的旋转。转角 的正向满足右手定则：大拇指指向 旋转轴，四指的转向为正向。
1. 绕x轴旋转
绕x轴旋转变换的坐标表示为：
x' x
y' ycos zsin
z' ysin zcos 因此，绕x轴的三维旋转变换矩阵为
设图形变换前的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵 为：
x1 y1 z1 1
P
x
2
y2
z2
1
x
n
yn
zn
1
变换后的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
P'
x1' x2'
y1'
y
' 2
z1'
z
' 2
1
1
xn'
yn'
z
' n
1
变换矩阵为：
a b c p
T
d
e
f
q
g h i r
1 0 0 0
T 0
百度文库
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-13）
6.2.5 错切变换
三维错切变换的坐标表示为：
xy''
x y
dy bx
gz hz
z' z cx fy
因此，三维错切变换矩阵为：
1 b c 0
T d
1
f
0
g h 1 0
0
0
0
1
（6-14）
三维错切变换中，一个坐标的变化 受另外两个坐标变化的影响。如果变 换矩阵第一列中元素d和g不为0，产 生沿x轴方向的错切；第二列中元素b 和h不为0，产生沿y轴方向的错切； 第三列中元素c和f不为0，产生沿z轴 方向的错切。
T
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
（6-6）
3. 绕z轴旋转
同理可得，绕z轴旋转变换的坐标表示为：
x' xcos ysin y' xsin ycos
z ' z 因此，绕z轴的三维旋转变换矩阵为：
cos sin 0 0
T sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
1.沿x方向错切
同理可得，关于y轴反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z ' z
因此，关于y轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-9）
3、关于z轴的反射
同理可得，关于z轴反射变换的坐标表示为：
x y
' '
x y
z ' z
因此，关于z轴的三维反射变换矩阵为：
l
m
n
s
则三维图形基本几何变换有 P'PT
可以写成：
x x1 2 '' y y1 2 '' zz1 2 '' 1 1 x x1 2 y y1 2 zz1 2 1 1d g a
b e h
c f i
p q
r（6-2）
xn '
yn '
zn '
1
xn
yn
zn
1 l
m n s
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换 6.2.2 比例变换 6.2.3 旋转变换 6.2.4 反射变换 6.2.5 错切变换
6.2.1 平移变换
平移变换的坐标表示为：
x'
y
'
x y
Tx Ty
z ' z T z
因此，三维平移变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
0
1 0
同理可得，关于yoz面反射变换的坐标表示为：
x' y
'
x y
z ' z
因此，关于yoz面的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-12）
6、关于zox面的反射
同理可得，关于zox面反射变换的坐标表示为：
x y'
'
x y
z ' z
因此，关于zox面的三维反射变换矩阵为：
T 2l m ，为n 1×3阶子矩阵，对图
形进行平移变换。
p
T 3 ， q为 3×1阶子矩阵，对
r
图形进行投影变换。
T4 s ，为3×1阶子矩阵，对图形
进行整体比例变换。
6.1.2 三维几何变换
对于线框模型的变换，通常是以点变 换为基础。三维几何变换的基本方法是把 变换矩阵作为一个算子，作用到变换前的 图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵上， 得到变换后新的图形顶点集合的规范化齐 次坐标矩阵。连接变换后的新的图形顶 点，可以绘制出变换后的三维图形。
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
（6-3）
Tx，Ty，Tz是平移参数。
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为：
x'
y
'
xS yS
x y
z ' zS z
因此，三维比例变换矩阵为：
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
这里Sx，Sy，Sz是比例系数
（6-4）
6.2.3 旋转变换