第四章投影变换资料
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第四章 投影变换
1∶2000标准图框的投影结果如图：
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令， 弹出“1：2000图框”如图：
矩形分幅方法为： 任意矩形分幅；
•
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
第三步：设置用户投影参数
设置结果投影参数
第四步：设置结果投影参数
第五步：设置分隔符，系统提示要求设置分 隔来自功能，选择属性名称所在行，如右图
第六步：设置投影后点图元参数
第七步：点击投影变换，系统自动进行投影。关 闭投影转换对话框，系统提示是否保存NONAME.WT 点文件,点击“是”
在输入编辑系统中，通过添加背景图框文件，显示 投影点文件文件
在点编辑中，根据属性标注释，标注地质点 “GPOINT”，检查属性，则显示右下图
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘 制经纬网的坐标系；
②设置好投影经纬网的比例尺及单位； ③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央
子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度
间隔值。
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及
大于 1：5000 时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值； 四类图框： ①、小比例尺的标准框
②、小比例尺的非标准框
③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
小比例尺标准框
画法几何课件第四章平面的投影及投影变换应用
§4-3 平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-1 平面的表示法
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-1 平面的表示法
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平行面
3.侧平面 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
§4-1 平面的表示法
二、投影面平R RV
X
Z
RV
O
X
o
a‟ c‟
迹线表示平面
a‟ 30° x o
b‟ x
d‟
30°
RV
o
d b a c
§4-1 平面的表示法
RH
a
一、投影面垂直面
例2 包含AB（ab，a‟b‟ ）作铅垂面。
b‟
a‟
X
c‟ b c O
a
§4-1 平面的表示法
一、投影面垂直面
例3 完成侧垂面的水平投影。
1„ 2„ Z 1“ 2“ 3„ 6„ 1 2 4 3
投影分析：
侧垂面 注意：
4„
X 5„
4“ 3“
5“ 6“ YW
V、H 投影的
地图学---第四章 几种常见的地图投影
第一节
圆锥投影
一、圆锥投影的一般公式及其分类 1、概念
2、分类
（1）按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、 横轴、斜轴圆锥投影。
正轴圆锥投影
横轴圆锥投影
斜轴圆锥投影
2、分类
（2）按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影。
（3）圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距
圆锥投影三种。
3、一般公式
圆锥投影（正轴）一般公式
（1）将各带的坐标纵轴西移500公里 Y=y+500000m
yA=245863.7m yB=168474.8m y′A=745863.7m y′B=331525.2m
（2）加上投影带号。 Y通=n*1000000+Y
y〞A=20745863.7m y〞B=20331525.2m
四、通用横轴墨卡托投影
1、圆锥投影一般变形规律
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变 形是相同的； ②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n0=1，其 余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大； ③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬 2向内、向外增大，在 1、 2 之间n<1,在 线 1、 之外n>1。 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影
五、圆柱投影的变形分析与应用
五、圆柱投影的变形分析与应用
正轴圆柱投影：赤道附近沿纬线延伸的地区
墨卡托投影：
编制海图
在赤道附近，如印度尼西亚、非洲等地区， 也可以编制各种比例尺地图。
编制世界时区图 制作某些世界范围的专题地图，如世界交通 图、卫星轨迹图等。
五、圆柱投影的变形分析与应用
横轴圆柱投影：沿经线方向延伸的地区
二、正轴等角圆锥投影
4投影变换全版.ppt
X1
变投影面的位置使其有利于解题。
..........
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1' V1
a1'
7
§4－2 换 面 法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的 一个投影面。
（2）新投影面要处于最有利 于解题的位置。
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
X
..........
1223
基本作图 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
a
V X
H
a
b
一次
O b
b1
a1
实长
.......... 13
基本作图 2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V b a A
O B a1 (b1) O1
a
V X
H a
a X
第四章 投 影 变 换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
.......... 1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
a
实长
b
水平线
O
X
b
实长
..........
第四章点线面的投影 (1)
b′
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
第四章.投影变换
【案例4-2】已知直线AB及线外一点M，求作M 案例4 已知直线AB及线外一点M 求作M AB及线外一点 点到直线AB的距离及其投影。 AB的距离及其投影 点到直线AB的距离及其投影。
① 选取新投影面V1代替V面。作 X1∥ab，求得AB、M在V1面上的新投 影a1′b1′、m1′； ② 再取新投影面H2代替H面。作 X2⊥a1′b1′，求得AB、M在H2面上的新 投影a2b2、k2，a2、b2必重合为一点； ③ 连接m2和a2（b2），即为点到直 线AB的实际距离（垂足K的投影k2与 a2b2重合）。 ④ 过点m1′作直线m1′k1′∥X2得k1′， 再根据K点从属于直线AB，由k1′求出k ，由k求出k′，连接mk、m′k′，即完成 作图。
2．求解角度问题
【案例4-4】已知两一般位置平面△ABC和△ABD，用换面法 案例4 已知两一般位置平面△ 求两平面间的夹角。 求两平面间的夹角。
① 选投影面V1∥AB，求出a1′b1′，a1′b1′反映AB的实长。同时求得c1′、d1′，连接a1′c1′、b1′c1′ 和a1′d1′、b1′d1′。△a1′b1′c1′和△a1′b1′d1′为两平面在V1面上的新投影。 ② 再选取投影面H2⊥AB，即作X2⊥a1′b1′，求得a2b2c2和a2b2d2，分别为两平面有积聚性的投 影。两直线a2b2c2和a2b2d2之间的夹角就是两平面△ABC和△ABD的二面角φ。
一般位置直线变为正平线， 一般位置直线变为正平线，必须变换V面，使新投影面 V1平行于AB，作图步骤如下： 作图步骤如下：
2．把投影面平行线变换为投影面垂直线
这种变换的目的是使线段的投影具有积聚性，以便于求解某些度量问题。 AB在V/H体系中为一正平线，用一垂直于AB的H1面（它必然垂直于V面） 来替换H面，则AB在V/H1体系中就成为新投影面H1的垂直线，它在H1面 上的投影a1b1积聚为一点。
4、投影变换(换面法)
b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。
画法几何与工程制图 第四章 直线的投影
[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影 必互相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间 一定互相平行。
第四章 直线的投影
第一节 直线的投影
第二节 直线与投影面的相对位置
第三节 线段的实长及其对投影面的倾角 第四节 直线上的点 第五节 两直线的相对位置直线的投影
第六节 垂直两直线的投影
第一节 直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线 二、直线的投影可由直线上两点的同面 投 投影确定
一.直线的投影一般仍为直线
W
H
三、投影面垂直线
铅垂线 正垂线
侧垂线
垂直于W 面的线
小结：
⑴.
投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定
第二节 直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线 二、投影面平行线 三、投影面垂直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
第四章 投影变换
b′ m′ a′ n′ b a c c′ o
分析
因 直 线 MN 平 行 于 △ ABC 且相距20㎜，所以MN必定位于 与△ABC平行且相距20㎜的平 面P上。当△ABC 为投影面的 垂直面时作图简便，为此选用变 换投影面法。
B M P N m a C
A n
x
V H
b
c
变换到利于解题的位置（如 图所示）仅需要一次换面。
A a
o
o1
B
b
b’1
a x1 b’1
a2
(b2)
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线， ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换。 ⊥ o1x1
a’1
④ 作直线 a’1和b’1
⑤ 作轴 o2x2 ⊥ a’1b’1
§4－2 变换投影面法
（三）把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4－1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 d’c’ c’ a’
x x x x
x x x x
a’(d’) d’ a’ c’ c’
a’ d’ b’(c’)f’ a’ b’ m’ b’ e’ c’b’
0 0 0 0
a’ d’ a’ b’
n
作图
PH1
m1 b1 a1 (d1) d′ n1
c1
c′
o d
c
AD∥OX
§4－2 变换投影面法
方法2 变换V面
b′ m′ a′ V x H a m n d c n′ b
作图
d′ c′ o
① 作水平线AD； ② 作轴o1x1⊥水平线AD； ③ 作⊿ABC的V1面投影； ④ 作P面∥⊿ABC且相距20㎜； ⑤ 在变换中，点的高度是不变量；
分析
因 直 线 MN 平 行 于 △ ABC 且相距20㎜，所以MN必定位于 与△ABC平行且相距20㎜的平 面P上。当△ABC 为投影面的 垂直面时作图简便，为此选用变 换投影面法。
B M P N m a C
A n
x
V H
b
c
变换到利于解题的位置（如 图所示）仅需要一次换面。
A a
o
o1
B
b
b’1
a x1 b’1
a2
(b2)
⒈ 空间分析 直线AB为一般位置直线， ② 过a,b 要将其变为投影面的垂直线必 作直线 须经过两次变换。 ⊥ o1x1
a’1
④ 作直线 a’1和b’1
⑤ 作轴 o2x2 ⊥ a’1b’1
§4－2 变换投影面法
（三）把一般位置平面变为投影面的垂直面
§4－1 概述
几何元素的特殊位置和一般位置的比较 求平面实形 求点到平面 的距离 求两交叉直线 求两平面夹角 间的最短距离 d’c’ c’ a’
x x x x
x x x x
a’(d’) d’ a’ c’ c’
a’ d’ b’(c’)f’ a’ b’ m’ b’ e’ c’b’
0 0 0 0
a’ d’ a’ b’
n
作图
PH1
m1 b1 a1 (d1) d′ n1
c1
c′
o d
c
AD∥OX
§4－2 变换投影面法
方法2 变换V面
b′ m′ a′ V x H a m n d c n′ b
作图
d′ c′ o
① 作水平线AD； ② 作轴o1x1⊥水平线AD； ③ 作⊿ABC的V1面投影； ④ 作P面∥⊿ABC且相距20㎜； ⑤ 在变换中，点的高度是不变量；
4第四章 平面的投影
三、将一般位置平面变换成投影面平行面(需经二次变换，先变换成投影面垂直面， 再变换成投影面平行面)
例：已知△ 的两面投影，在△ 平面内取一点 ，使它到 、 两点等距，到 边的距离 。
四、用平面图形上被保留的投影面的平行线作投影面垂直面的实形
用换面法作正垂面的真形
用平面图形上被保留的投影 面平行线作正垂面的真形
Q
C
投影特性：(1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
b
侧垂面的投影
b' S B SW b" a' c"
b"
β
c'
a"
C A
c"
b
a" c
a
投影特性： (1) abc积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC的类似形 (3) abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
处于投影面平行面位置的迹线平面的投影特性： a.在平行的投影面上无迹线； b.在另外两个投影面上的迹线有积聚性，且平行于相应投影轴。
[例]等边三角形 是侧平面，已知点 的 面和 面投影， 与 面的倾角α °， 的方向为向上、向前，真长 为 ，点 在 的前下方，作出△ 的三面投影。
§4.3 平面上的点和直线 一、平面内的点和直线应满足下列几何条件： ①若点位于平面内的任一直线上，则此点在该平面上；②若一直线通过平面内的 两个点，或一直线通过平面上一已知点且平行于平面内的另一直线，则此直线必 在该平面内。
处于投影面垂直面位置的迹线平面的投影特性： a.在所垂直的投影面上的迹线有积聚性，它与投影轴的夹角分别反映平面对另两个投影 面的真实倾角； b.在另外两个投影面上的迹线，分别垂直于相应的投影轴。
工程制图 04投影变换的基本概念-52页文档资料
第4章 投影变换的基本概念
第4章
投影变换的基本概念
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1.1
第4章 投影变换的基本概念
教学提示：当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图 上直接获取其真实形状、距离和角度的。由此可知，在进行空间问题的图 示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影 面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性。 应用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法) 两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介 绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。
点A的辅助投影，而与其相关联的投影a′ 和a则称为不变投影。点的一
次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，
即：
(1) 点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。
1.11
第4章 投影变换的基本概念 4.2 点的换面
(的2)距点离的。辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴OX 表4-1 点的一次投影变换及投影变换规律
4.3.1 将一般位置直线变为投影面平行线
将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到 直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。 表4-2中以V/H体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的 实长及对H面或V面的倾角的作图过程。
表4-2 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、
1.5
第4章 投影变换的基本概念
4.1 投影变换概述
由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过 某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换 为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么 ，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。 常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法 (旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软 件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基 本思想。 投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置 ，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影)，以简便地解决空 间问题。 换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不 动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用 某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面
第4章
投影变换的基本概念
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1.1
第4章 投影变换的基本概念
教学提示：当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图 上直接获取其真实形状、距离和角度的。由此可知，在进行空间问题的图 示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影 面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性。 应用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法) 两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介 绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。
点A的辅助投影，而与其相关联的投影a′ 和a则称为不变投影。点的一
次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，
即：
(1) 点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。
1.11
第4章 投影变换的基本概念 4.2 点的换面
(的2)距点离的。辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴OX 表4-1 点的一次投影变换及投影变换规律
4.3.1 将一般位置直线变为投影面平行线
将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到 直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。 表4-2中以V/H体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的 实长及对H面或V面的倾角的作图过程。
表4-2 求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、
1.5
第4章 投影变换的基本概念
4.1 投影变换概述
由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过 某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换 为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么 ，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。 常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法 (旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软 件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基 本思想。 投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置 ，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影)，以简便地解决空 间问题。 换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不 动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用 某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面
工程制图 第四章 投影变换
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
—— 在V/H 投影体系中直接解题： 解题步骤： 1.过一条直线AB 上任一点E 作另 一条直线CD 的 垂面 2.求直线CD 与所 作垂面的交点F 3.连e’f’、ef即为 所求距离的投影
4.求作EF 的实长
实长
例1 求两平行直线AB 和CD 之间的距离
更换水平投影面
把一般位置线变为投影面垂直线
.
把一般位置平面变为投影面垂直面
正平线 垂直
把一般位置平面变为投影面平行面
1.两平行直线之间的距离
例1
求两平行直线AB 和CD 之间的距离 在V/H 投影体系中直接解题 应用换面法在H/V1体系或V1/H2体系中解题 应用换面法在V1/H2体系中解题
例
1. 把一般位置平面变为投影面垂直面 2. 把一般位置平面变为投影面平行面 3. 综合问题举例
点的一次变换
点在V1/H 体系中的投影
旧投影面 旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影
新投影面
点的一次变换
点在V/H1体系中的投影
不变投影
新投影
旧投影
点的二次变换
.
.
把一般位置直线变为投影面平行线
更换水平投影面
例2 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置 —— 在V/H 投影体系中直接解题：
解题步骤： 1.过直线CD上任一点C 作直 线CG 平行于AB,连DG
2.过直线AB 上任一点M 作平 面CDG 的垂线,N 为垂足
3.过垂足N 作直线EF 平行于 直线AB,交CD 于点S
4.过点S 作直线MN 的平行线, 交直线AB 于点T,ST 即为 所求
工程制图(换面法)
H
O1
a
c
X
V
H
b
b
a
c
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
V
H
X
c
b
a
b
C
A
c
B
a
d
d
D
X1
H1
a1
c1
b1
d1
d
X1
H1
V
d
b1
a1
c1
d1
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
实形
V
c1
b1
a1
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
H
X
O
a
b
c
b
a
(c)
b
c
a
V1
O1
X1
1
b
a
b
d
c
a
X
V
H
d
c
2
1
12
22
例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。
H2
a
a
X
b
b
c
d
c
d
题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？
X
H1
V1
a
a
X
V
H
b
b
a2 b2
X
H
V1
a1
b1
V
提示
b
a
a
b
c
d
●
c
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
O1
a
c
X
V
H
b
b
a
c
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
V
H
X
c
b
a
b
C
A
c
B
a
d
d
D
X1
H1
a1
c1
b1
d1
d
X1
H1
V
d
b1
a1
c1
d1
X
V
H
A
B
b
a
b
C
a
c
实形
V
c1
b1
a1
5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面
V
H
X
O
a
b
c
b
a
(c)
b
c
a
V1
O1
X1
1
b
a
b
d
c
a
X
V
H
d
c
2
1
12
22
例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。
H2
a
a
X
b
b
c
d
c
d
题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？
X
H1
V1
a
a
X
V
H
b
b
a2 b2
X
H
V1
a1
b1
V
提示
b
a
a
b
c
d
●
c
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。
投影变换4
第四章投影变换§4.1 概述在前三章中，我们分别讨论了点、线、面及其相对位置的投影。
我们知道，当直线或平面相对于某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们的投影能反映实长、实形或倾角，见表4．1；当直线或平面相对投影面处于一般位置时，它们的投影就不具有这些特性。
从这里我们可以看出，如果能把一般位置的几何元素变换成特殊位置，那么其定位和度量问题就容易解决了，投影变换就是为了这个目的。
表4．1 空间几何元素对投影面处于特殊位置时度量问题实长(形) 问题距离问题线段的实长平面是实形点到直线的距离两直线间的距离点到平面的距离距离问题角度问题直线到平面的距离两平面之间的距离两直线的夹角直线与平面的夹角两平面之间的夹角投影变换的方法很多，常用的有两种：换面法和旋转法。
(a) (b) (c)图4．1 点的一次换面（更换V 面）．§4.2 换面法一 换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素的位置不动，通过改变投影面的位置来改变空间几何元素与投影面的位置关系，从而有利于解题。
如图4．1(a)所示：点A 在V /H 体系中，正面投影为a ’,水平投影为a 。
现H 面不变，取一铅垂面V l 代替正立面V ，构成新的两投影面体系V 1/H 。
过点A 向V 1面作垂线，得到点A 在V l 面上的投影a ’1，V /H 体系为旧投影体系，X 轴为旧投影轴，而V 1/H 体系为新投影体系，X l 轴为新投影轴，V 面为旧投影面，H 面为不变投影面，V 1面为新投影面。
相应地，V 面上的投影a ’为旧投影，H 面上的投影a 为不变投影、V 1面上的投影a 1’为新投影。
在新投影体系V 1/H 中，新投影面V l 必须与旧体系V /H 中不变投影面H 垂直，才能继续保持两投影面体系中的投影规律。
当然，也可以用一个垂直于V 面的新投影面H l 替换V /H 中的H 面，从而组成如图4．2(a)所示的V /H 1体系。
第四章 地图投影4.2
后仍是一个圆，只是大小有变化
在等角投影的地图上，量测方向和距离都比较方便，但其面
积变形一般较大
一、等角投影_主要用途
等角投影在小范围内没有方向变形，因而便于在图上量测方
向和距离，适用于编制风向、洋流、航海、航空等地图和各种 比例尺地形图
正轴等角圆柱投影
正轴等角圆柱投影
二、等积投影_概念
4.3.5 变形椭圆
知识回顾
地图投影：建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）
与地球椭球面上点（用纬度B和经度L表示）之间的函数关系
地图投影过程中，由于不可展曲面与平面间的矛盾，使得投影
变形不可避免。地图投影变形表现在长度、面积、角度三方面
4.3.1 长度比与长度变形
长度比公式μ= dS'/dS
第四章
地图投影
4.1 地球椭球的数学特性 4.2 地图投影的概念 4.3 地图投影的变形
4.4 地图投影的分类
4.5 圆锥投影 4.6 方位投影 4.7 圆柱投影 4.8 地图投影的识别与选择
4.3 地图投影的变形
4.3.1 长度比与长度变形 4.3.2 面积比与面积变形 4.3.3 角度变形
4.3.4 标准纬线
3、斜轴投影
它是辅助投影平面、圆锥面
和圆柱面的轴与地轴相斜交的 投影
（三）按辅助投影面与地球椭球面的关系分类
ห้องสมุดไป่ตู้
切投影
割投影
1、切投影
它是辅助投影面与地球椭球面相切的投影
2、割投影
它是辅助投影面与地球椭球面相割的投影
二、条件投影
条件投影不借助于辅助投影面，而是按数学法则构成的投影，
04投影变换
中途返回请按"ESC" 键
3. 二次变换
必要性:一般位置直线——垂直线 必要性:一般位置直线——垂直线 一般位置平面——平行面 一般位置平面——平行面 二次换面的基本原理和一次换面基本相同, 二次换面的基本原理和一次换面基本相同,新 投影面选择应注意: 投影面选择应注意:
1)不能同时变换两个投影面,即V/H—V1/H1 不能同时变换两个投影面, V/H— /H1 2)不能两次变换同一投影面,即H面与V面要交替进 不能两次变换同一投影面, 面与V 行
一般位置直线变换成投影面平行线(正平线) 一般位置直线变换成投影面平行线(正平线)
b' a' x b a o1 a1' 实长 α ) b1' x1
o
已知线段AB,CD 正交,作线段AB 的正面投影. 解法 将已知直线CD变换 为投影面平行线, 在新投影体系中应 用直角投影定理解 题
中途返回请按"ESC" 键
4. 利用换面法的解题步骤和方法
(2)选择合适的投影面(新的V面或H面) (2)选择合适的投影面(新的V面或H 选择合适的投影面 (3)按照变换规律进行变换,找出新投影 按照变换规律进行变换, (4)在新投影中进行解题 (5)将结果返回原投影体系
5. 举例: 举例:
求点到直线的距离
C
A
c' a' x a b c a1'( b1') 实长 x1 c1' c b'
变换投影面法(换面法) 变换投影面法(换面法)
特点:用新投影面代替一个旧投影面 特点: 规定: 新投影面必须垂直不变投影面, 规定:(1)新投影面必须垂直不变投影面, 以组成新的直角投影体系. 以组成新的直角投影体系. (2)新投影面必须与空间几何要素处 于利于解题的位置. 于利于解题的位置.
北师大版九年级数学上册第四章投影与视图教学课件
活动探究
主视图 左视图 正面得到的视图 左面得到的视图 物体的正投影称为物体的视图。 从正面得到的视图叫做主视图 从左面得到的视图叫做左视图 从上面得到的视图叫做俯视图
பைடு நூலகம்
上面得到的 俯视图 视图
合作学习
下图中物体的形状分别可以看成什么样
的几何体？
圆柱
圆锥
球体
合作学习
你能想象出它们的左视图和俯视图吗？ 你能找出下列几何体对应的主视图吗？
请按照拍摄前后顺序，进行排列.
小棒长度 影子长度 两者比值 10cm 12cm 15cm 20cm 26cm 30cm 40cm
例题2：某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木 杆的高度为1.5m.某一时刻甲木杆在阳光下的影 子如图所示. 1. 你能画出此时乙木杆的影子吗？
例题2：某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙 木杆的高度为1.5m.某一时刻甲木杆在阳光下 的影子如图所示. 2.当乙木杆移动到什么位置时，其影子 刚好不落在墙上？
例题2：某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙 木杆的高度为1.5m.某一时刻甲木杆在阳光下 的影子如图所示. 3.如果此时测得甲、乙木杆的影子长为 1.24和1m，那么你能求出甲木杆的高度吗？
请完成以下两道题目,并与同伴交流你判断 的方法.
今天我我最大的收获是．．．．．． （请从知识，方法和思想方面思考）
与同伴交流，请你试着画出来。
圆柱、圆锥和球的三种视图
练习提高
1.找出图中每一物品所对应的主视图
练习提高
2.如图是一个蒙古包的照片，
你认为它可以看成是那些几何体的组合？
你能画出该蒙古包的三种视图吗？
主视图
左视图
俯视图
.
3.“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三 视图是A ( )
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单击“显示”菜单下“设置状态栏坐标显示”命令， 在弹出的对话框中，单击“当前图幅参数”，可以看 到当前文件的投影参数，如右图；
第一步：单击“投影 转换”菜单下 “MAPGIS文件投影” 命令，选择转换线、 点或区文件，如右上 图（以线文件为例）；
系统弹出“选择文件” 对话框，选择 “FRAM_1.WL”线 文件，单击“确定” 按钮，如右下图；
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1∶2.5-1∶50万地形图均采用6度分带；
1∶1万及更大比例尺地形图采用3度分带， 以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分 为一个投影带，全球共分为60个投影带。
投影代号计算公式：
N=INT(L/6)+1
6°分带
N=INT(（L+1.5°）/3) 3°分带
系统自动生成1∶5标准图框，如下图
小比例尺非标准框
单击“角度单位”按钮，坐标单位要和输入的起始 经纬度的单位保持一致，这里设置为“度分秒”， 如左图；
单击“投影参数”按钮，设置图框投影参数，这里 默认设置，其中“投影中心点经度”查表或计算。
系统自动投影生成“1∶10万”非标准图框，单击右 键选择“复位”命令，选择显示点、线文件，“确定” 即可，如图；
第二步：设置文件的TIC点；
TIC点实际上是一些控制点，即 用户已知其理论值的点。理论 值既可以是大地直角坐标，如 公里网值，也可以是地理经纬 度；
通过TIC点来确定用户坐标系和 投影坐标系的转换关系。在进 行文件投影变换时，至少得输 入四个TIC点，否则将不进行投 影转换 ；
两种方法：①、手工输入编辑
以1：2000为例，其他大比例尺的标准框生成方法 类似；
单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框” 命令，弹出“1：2000图框”如图，默认设置，单 击“确定”按钮，即可生成1：2000标准图框；
1∶2000标准图框的投影结果如图：
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令，
面上各点的高程是依据一个理想的水准面来确定的， 这个水准面称为大地水准面。
大地球体：大地水准面所包围的球体称为。
地球椭球面：以一个大小和形状同它极为接近的旋 转椭球面来代替，以随圆的短轴（地轴）为轴旋转 而成的椭球面称为。
1.3 地图投影分类
经纬线形状
1.4 投影变换系统的应用
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘
高斯-克吕格投影
高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)投影：也是等角 横切椭圆柱投影，该投影以中央经线和赤道投影 后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点， 纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为 X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西 为负，规定为Y轴。
高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS 坐标系的Y和X
其中N为投影带号，L为中央经线经度
中央经度计算公式：
L=6N-3
6°分带
L=3N
3°分带
2.MAPGIS投影转换
2.1 四类图框生成
小于1：5000时，图幅为小比例尺，梯形图幅，单位为经 纬度；
大于1：5000时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值；
四类图框： ①、小比例尺的标准框 ②、小比例尺的非标准框 ③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
弹出“1：2000图框”如图：
• 矩形分幅方法为： 任意矩形分幅；
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2 单文件投影转换
以投影1∶1万的标准框为例；
参照小比例尺标准框的生成方法，默认设置，生成一 个1∶1万的标准框，如左图；
功能。
不同投影系统之间的变换
转换步骤：
①将原始投影地图资料数字化输入到计算机中变 成点、线、面文件。
②将矢量化后的文件装入投影变换系统，设置原 始及目的投影参数等。
③选择相应的文件转换功能
④参阅、浏览变换后的图元文件，并保存，即可 生成新投影文件。
⑤输出新投影文件
我国常用的大地坐标系 （1）1954年北京坐标系 （2）1980年西安坐标系 （3）新1954年北京坐标系 （4）WGS84坐标系
第四章 投影变换
1.地图投影概述 1.1 地图投影的基本概念
地 图：是按一定的数学法则和特有的符号系统及制图 综合原则将地球表面的各种自然和社会经济现象缩小表示 在平面上的图形，它反映制图现象的空间分布、组合、联 系及在时空方面的变化和发展。
地图投影：即为地球椭球表面（或地球表面）与地图平面 之间点与点（或线与线）相对应。
制经纬网的坐标系；
②设置好投影经纬网的比例尺及单位；
③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央 子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度间 隔值。
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及边 框。
⑥绘制投影经纬网，生成经纬网的线文件 ⑦若想查阅绘制好的经纬网值，选择生成明码文件
如设地球表面上某一点的地理坐标为Q、λ，其地图平面上 相应点的直角坐标为ｘ，y，则表示地球表面经线和纬线的 两族平面曲线的方程为：
Q = F1(x,y) λ= F2(x, y)
地图投影就是建立地球表面上点（Q，λ） 和平面上的点（ｘ，ｙ）之间的函数关系式
1.2 地图投影的基本要素 大地水准面：大地测量中用水准测量方法得到的地
② 、从文件中导入
标准图框系统自动会添加4个 TIC点；
小比例尺标准框
以1∶5万为例，其他小比例尺的标准框生成方法类似；
单击“系列标准图框”菜单下 “生成1∶5万图框”命令，系 统弹出“1∶5万图框”对话框，输入起始经纬度，单击“确 定” ；
单击“椭球参数”，可以设置相应的椭球参数，如右图；
系统弹出“图框参数输入”对话框，如左图，取消红 框所选项，单击“确定”按钮，弹出“输入接图表内 容”对话框，如右图，默认设置，单击“确定” ；
第一步：单击“投影 转换”菜单下 “MAPGIS文件投影” 命令，选择转换线、 点或区文件，如右上 图（以线文件为例）；
系统弹出“选择文件” 对话框，选择 “FRAM_1.WL”线 文件，单击“确定” 按钮，如右下图；
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1∶2.5-1∶50万地形图均采用6度分带；
1∶1万及更大比例尺地形图采用3度分带， 以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分 为一个投影带，全球共分为60个投影带。
投影代号计算公式：
N=INT(L/6)+1
6°分带
N=INT(（L+1.5°）/3) 3°分带
系统自动生成1∶5标准图框，如下图
小比例尺非标准框
单击“角度单位”按钮，坐标单位要和输入的起始 经纬度的单位保持一致，这里设置为“度分秒”， 如左图；
单击“投影参数”按钮，设置图框投影参数，这里 默认设置，其中“投影中心点经度”查表或计算。
系统自动投影生成“1∶10万”非标准图框，单击右 键选择“复位”命令，选择显示点、线文件，“确定” 即可，如图；
第二步：设置文件的TIC点；
TIC点实际上是一些控制点，即 用户已知其理论值的点。理论 值既可以是大地直角坐标，如 公里网值，也可以是地理经纬 度；
通过TIC点来确定用户坐标系和 投影坐标系的转换关系。在进 行文件投影变换时，至少得输 入四个TIC点，否则将不进行投 影转换 ；
两种方法：①、手工输入编辑
以1：2000为例，其他大比例尺的标准框生成方法 类似；
单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框” 命令，弹出“1：2000图框”如图，默认设置，单 击“确定”按钮，即可生成1：2000标准图框；
1∶2000标准图框的投影结果如图：
大比例尺非标准框
以1：2000为例，其他大比例尺的非标准框生成方法类似； 单击“系列标准图框”菜单下“生成1：2000图框”命令，
面上各点的高程是依据一个理想的水准面来确定的， 这个水准面称为大地水准面。
大地球体：大地水准面所包围的球体称为。
地球椭球面：以一个大小和形状同它极为接近的旋 转椭球面来代替，以随圆的短轴（地轴）为轴旋转 而成的椭球面称为。
1.3 地图投影分类
经纬线形状
1.4 投影变换系统的应用
常用地图投影经纬线网的自动绘制 ①选择原始坐标系为大地坐标系，目的投影系为绘
高斯-克吕格投影
高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)投影：也是等角 横切椭圆柱投影，该投影以中央经线和赤道投影 后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点， 纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为 X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西 为负，规定为Y轴。
高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS 坐标系的Y和X
其中N为投影带号，L为中央经线经度
中央经度计算公式：
L=6N-3
6°分带
L=3N
3°分带
2.MAPGIS投影转换
2.1 四类图框生成
小于1：5000时，图幅为小比例尺，梯形图幅，单位为经 纬度；
大于1：5000时，图幅为大比例尺，矩形图幅，单位为公 里值；
四类图框： ①、小比例尺的标准框 ②、小比例尺的非标准框 ③、大比例尺的标准框 ④、大比例尺的非标准框
弹出“1：2000图框”如图：
• 矩形分幅方法为： 任意矩形分幅；
• 设置起始公里值、 结束公里值、公里值 间隔后，单击“确定” 按钮，即可生成1： 2000非标准框；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.2 单文件投影转换
以投影1∶1万的标准框为例；
参照小比例尺标准框的生成方法，默认设置，生成一 个1∶1万的标准框，如左图；
功能。
不同投影系统之间的变换
转换步骤：
①将原始投影地图资料数字化输入到计算机中变 成点、线、面文件。
②将矢量化后的文件装入投影变换系统，设置原 始及目的投影参数等。
③选择相应的文件转换功能
④参阅、浏览变换后的图元文件，并保存，即可 生成新投影文件。
⑤输出新投影文件
我国常用的大地坐标系 （1）1954年北京坐标系 （2）1980年西安坐标系 （3）新1954年北京坐标系 （4）WGS84坐标系
第四章 投影变换
1.地图投影概述 1.1 地图投影的基本概念
地 图：是按一定的数学法则和特有的符号系统及制图 综合原则将地球表面的各种自然和社会经济现象缩小表示 在平面上的图形，它反映制图现象的空间分布、组合、联 系及在时空方面的变化和发展。
地图投影：即为地球椭球表面（或地球表面）与地图平面 之间点与点（或线与线）相对应。
制经纬网的坐标系；
②设置好投影经纬网的比例尺及单位；
③输入投影经纬网投影方程的一系列参数，如中央 子午线经度、标准纬线纬度、位置偏移等；
④输入绘制投影经纬网的起止经纬度值，经纬度间 隔值。
⑤设置网线参数、网线类型、刻度尺、比例尺及边 框。
⑥绘制投影经纬网，生成经纬网的线文件 ⑦若想查阅绘制好的经纬网值，选择生成明码文件
如设地球表面上某一点的地理坐标为Q、λ，其地图平面上 相应点的直角坐标为ｘ，y，则表示地球表面经线和纬线的 两族平面曲线的方程为：
Q = F1(x,y) λ= F2(x, y)
地图投影就是建立地球表面上点（Q，λ） 和平面上的点（ｘ，ｙ）之间的函数关系式
1.2 地图投影的基本要素 大地水准面：大地测量中用水准测量方法得到的地
② 、从文件中导入
标准图框系统自动会添加4个 TIC点；
小比例尺标准框
以1∶5万为例，其他小比例尺的标准框生成方法类似；
单击“系列标准图框”菜单下 “生成1∶5万图框”命令，系 统弹出“1∶5万图框”对话框，输入起始经纬度，单击“确 定” ；
单击“椭球参数”，可以设置相应的椭球参数，如右图；
系统弹出“图框参数输入”对话框，如左图，取消红 框所选项，单击“确定”按钮，弹出“输入接图表内 容”对话框，如右图，默认设置，单击“确定” ；