2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版

第6节 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1
2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重
要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果a x
＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a
N
＝N ；②log a a b
＝b (a >0，且a ≠1).
(2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R )；
④log a m M n ＝n m
log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).
(3)换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a >1 0<a <1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)log a b＝
1
log b a
；(2)log a m b n＝
n
m
log a b.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
a
，－1，函数图象只在第一、四象限.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln
1＋x
1－x
与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b.( )
解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.
(2)形如y＝log a x(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.
(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－
1
3，b ＝log 2
13，c ＝log 121
3
，则( )
A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >b >a
D.c >a >b
解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 121
3＝log 23>1.
∴c >a >b . 答案 D
3.(
必修1P74A7改编)函数y ＝
log 2
3（2x －1）的定义域是________.
解析 由log 23
(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.
∴1
2<x ≤1. ∴函数y ＝
log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1. 答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1
4.(2018·嘉兴调研)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0
B.2
C.4
D.6
解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102
×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D
5.(2019·武汉月考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a >1，c >1
B.a >1，0<c <1
C.0<a <1，c >1
D.0<a <1，0<c <1
解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D
6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2
＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析 由f (3)＝1得log 2(32
＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案 －7
考点一 对数的运算
【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 14－lg 25÷100－
1
2＝________.
(2)计算：（1－log 63）2
＋log 62·log 618
log 64＝________.
解析 (1)原式＝(lg 2－2
－lg 52
)×1001
2＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2
＋log 663
·log 6（6×3）
log 64
＝1－2log 63＋（log 63）2
＋1－（log 63）2
log 64
＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.
答案 (1)－20 (2)1
规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.a b
＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x
＋1)，lg(2x
＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1
B.0或1
8
C.18
D.log 23
(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a
，则a ＝________，b ＝
________.
解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x
＋5)＝2lg(2x
＋1)，
∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x
＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝5
2，
所以t ＝2，则a ＝b 2
. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b
2
，
即2b ＝b 2
，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 (1)D (2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x
－a －x
(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )
(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2
<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2)
C.(1，2]
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 解析 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.
又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到. 因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.
在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2
，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.
若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.
根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2
，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 答案 (1)D (2)C
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)已知函数f (x )＝log a (2x
＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )
A.0<a －1
<b <1 B.0<b <a －1
<1 C.0<b －1<a <1
D.0<a －1
<b －1
<1
(2)(2019·日照调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x <1，
log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则
实数a 的取值范围是________.
解析 (1)由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，又y ＝2x
＋b －1在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0， 即log a a －1
<log a b <log a 1，所以，a －1
<b <1. 综上有0<a －1<b <1.
(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).
方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点， 故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 考点三 对数函数的性质及应用 多维探究
角度1 对数函数的性质
【例3－1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增
B.f (x )在(0，2)上单调递减
C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2
＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C
角度2 比较大小或解简单的不等式
【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121
3
，则a ，b ，
c 的大小关系为( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b
(2)若log a (a 2
＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 121
3
＝log 23>log 2e ＝a >1，所以
c >a >b .
法二 log 121
3
＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知
c >a >b .
(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2
＋1>2a ， 又log a (a 2
＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案 (1)D (2)C
角度3 对数型函数性质的综合应用 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).
(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，
x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，
当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <3
2
.
又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.
∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，
∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧3－2a >0，
log a
（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.
故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c
<b c
D.c a
>c b
(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调
递增区间为________.
解析 (1)由y ＝x c
与y ＝c x
的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c
lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.
又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.
(2)令M ＝x 2
＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M
为增函数，
又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342
－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.
又x 2
＋32x >0，所以x >0或x <－32
，
所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 (1)B (2)(0，＋∞)
[思维升华]
1.对数值取正、负值的规律
当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]
1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.
2.在运算性质log a M α
＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α
＝
αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围
.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )
A.24
B.16
C.12
D.8
解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 2
3
＝8×2
log 2
3
＝24.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫141
3
，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b
解析 log 13 15＝log 3－15－1
＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 3
72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x
在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫141
3
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫140
＝1，故c >a >b . 答案 D
3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )
解析 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2
a
>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D
均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2
a
>0，又g (x )＝log a (x ＋2)
在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.
答案 A
4.(2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )
A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数
B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数
C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数
D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)， 且f (x )＝lg(100－x 2
).
∴f (x )是偶函数，
又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，
10)上单调递减.
答案 D
5.已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则
2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12 B.1 C.2 D.4 解析 由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，
∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.
所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2
＝2. 答案 C
二、填空题
6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案 －1
7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.
解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，
∴f (x )＝lg 1＋x 1－x
，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x
<1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)
8.(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2， 若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.
解析 当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.
解得a ＝－12
，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a
＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－
1)＝－log 24＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.
(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).
(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2
＋4]，
∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，32时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x .
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)解不等式f (x 2
－1)>－2.
解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数
f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝lo
g 12
(－x )，
所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lo
g 12x ，x >0，0，x ＝0，log 1
2
（－x ），x <0.
(2)因为f (4)＝log 12
4＝－2，f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2
－1|)>f (4).
又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，
即不等式的解集为(－5，5).
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·商丘二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞， ＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )
解析 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2
＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.
所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.
答案 A
12.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )
A.2x <3y <5z
B.5z <2x <3y
C.3y <5z <2x
D.3y <2x <5z 解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ，
∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.
则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5
. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3
＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3
>0， ∴2x >3y .
又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）l g 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5
<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .
答案 D
13.已知函数f (x )＝lg(mx 2
＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________. 解析 令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，
＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1.
答案 [1，＋∞)
14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1
. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；
(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln
x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由x ＋1x －1
>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f (－x )＝ln
－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln
x ＋1x －1是奇函数.
(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln
x ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）
>0恒成立， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.
令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，
由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，
∴0<m <7.
故实数m 的取值范围为(0，7).。