第三晶体振动与晶体的热学性质

所以：
Vc dZ 2 q dq 2 2
对弹性波，
vpq
则:
( )
d vp dq
dZ dq 代入 ( ) 得： dq d

O
弹性波的状态密度曲线
Vc ( ) 2 2 v 3 p
2
目录
3.2
晶格振动的经典理论
简谐振动
U ) r0 0 r
3.2.1
由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.
d 群速度：振幅传播的速度.大小为： v g dq 对于连续媒质弹性波， v p q，而 v p与 q 无关.
所以：
d vg (v p q ) v dq
群速度等于相速度.
在晶体中传播的格波，色散关系 (q ) 不是简单的线性关系， 群速度和相速度不再相等. 当 v p 不是常数时
对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移 成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以 称这个近似为简谐近似
目录
3.2.2
一维单原子链的振动
模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a， 原子质量为m.
n2 n 1
n
n 1
n2
a
xn 2
2
xn 1
xn
xn 1
虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立.
2.状态密度 状态密度：单位频率间隔内的状态数（状态数等于分立的波矢数）
dz ( ) d
角频率是波矢量的函数—色散关系 所以：
dZ
dZ dq ( ) dq d
dq 为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应
一个状态，而q空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数Z为: Vc 4 3 Vc 3 4 3 Z q q q q 3 2 3 8 3 6 目录
2
可把q ( qnat )
Ae
e
i 2n
x(q )

, ) a a

5 a

3 a

2 a


a
0

2 a
2 a
3 a
q
目录
解释：q与q+
q
1 2 ' 5 2 2 ,q q 4 a 4 a a
2 分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？ a
(m M ) 1 4mM 2 {1 [1 sin qa]} 2 mM 2 ( M m) 1 2 2 2 0 sin 2 qa ( ) 2 | sin qa | q q M m M m
2
2
二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:
2 m
2 cos qa 2 M
2
2 cos qa
0
(2 m 2 )(2 M 2 ) 4 cos 2 qa 0
目录
解得：
Mm 4 2 (M m) 2 4 2 (cos 2 qa 1) 0 1 2 2 2 2
U 1 2U U (r0 ) U (r0 ) ( ) r0 ( 2 ) r0 2 r 2 r
在平衡位置附近 (
当振动很微小时 很小，只保留到 2 项，则原子间的相互作用力可表示为：
2U f ( 2 ) r0 r
2U 其中 ( 2 ) r0 r
dv p d vg (v p q ) v p q dq dq
目录
3.1.2
周期性边界条件和状态密度
1.周期性边界条件
z
Lz
波恩－卡门边界条件
(r Lx i ) (r ) (r Ly j ) (r ) (r Lz k ) (r )
x 1
y 2
Vc ( N1 N 2 N3 ) N
(2 ) 3 * 所以： q N N
N N1 N 2 N3为原胞总数
为每个原胞体积
倒格子原 胞的体积
目录
倒格子原胞的体积与第一布里渊区的体积相等.所以第一布里渊区 * 内分立波矢量的数目为：
ZB
q
N
第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.
（4） 第一布里渊区的分立波矢数＝晶体原胞数. 晶体内独立状态数（振动频率数）＝晶体自由度数 证：使用周期性边界条件（第二个结论显然是成立的）.
第一布里渊区的长度： 2
2n q Na
xn xn N
2 b q Na N
2 a
e
iqNa
1
a
第一布里渊区分立波矢数：
q
2 a
(2 ) 3 ( 2 ) 3 q q x q y q z Lx Ly Lz Vc
注意：这里的 q 不是波矢量的增量，而是表示 q 空间的一个体积 元，式中Vc Lx Ly Lz 为所处理的晶体的体积. 把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为a，b，c，原 胞数分别为 N1 , N 2 , N 3 . 则： Lz N 3c L N b L Na
y
Ly
x
Lx
晶体周期性边界条件
e
iqx Lx
1
qx Lx 2nx , nx 0,1,2,
2 的整数倍，即只能是一系列分立的值. Lx
所以波矢只能取
2 , 所以： q x Lx
2 q y , Ly
2 q z . Lz
在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为 ：
sin( ) qa 2 m m
v相 v群 a m
1 2
(2)驻波特征
当 q (2k 1) 时，即处于布里渊区边界时 a
v群 0
能量不向外边传 播 ——驻波
原因：入射波和反射波的迭加,可证明相邻原子的振动位相相反 目录
qa 2 | sin | m 2
4a, ' 4a / 5
从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全相同.唯一不同的就是
两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.
所以为了使x～q（ω ～q）的关系成为单值，限制q在第一布里渊区，对一维来 说q的取值( , ]
a a

目录
xn Ae
i ( qnat )


a
0
a
目录
qa 2 | sin | m 2
性质：(1) 长波

q0
sin qa
2
qa
解释:
很大,本来不连续的晶格可视为连续的了.
d qa v群 cos( ) a dq m 2
1 2
2
2
时,格波成为弹性波 1 1 qa 2 2
2
连续媒质中弹性波的波动方程：
2 2 2 其中 2 2 为拉普拉斯算符，在笛卡儿 直角坐标系中 r 2 x y z i ( q r t ) 方程解的形式： 2
xi yj zk
为波矢量，方向为波的传播方向； q
色散关系：
(r , t ) Ae
（3）周期性

xn Ae
i ( qnat )
x(q
2 xn (q) xn (q ) (q) (q 2 ) a a 2 i ( q ) na it 2 i ( qnat ) a
a
周期为一个倒格子矢量
2 (q ) max | sin a (q 2 ) | a 2 a a max | sin( q ) | (q)
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 连续媒质中的弹性波 晶格振动的经典理论 晶格中振动的量子化和声子 离子晶体中的长光学波 晶体比热容的量子理论 晶体热膨胀 晶体热传导 确定晶格振动谱的实验方法
返回总目录
3.1
连续媒质中的弹性波
d (r , t ) 2 K (r , t ) 2 dt
m Ae
2
i ( qnat )
2
iq( n 1) a
e
iq( n 1) a
2e
max
iqna
)e
it
m (e
2
e
iqa
2)

m 2 (1 cos qa)
4 2 qa sin m 2
2
得色散关系 :
qa 2 | sin | m 2
mM
{( m M ) [m M 2mM cos( 2qa)] }
2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为： 2 光学支 max ,q 0

min
2 ,q m 2a
max
2 ,q M 2a

2 2 ( ) m 1 2 2 ( ) M
3.2.3一维双原子链的振动
2n-2 2n-1 2n 2a 2n+1 2n+2 2n+3
{
m M
d 2 x2 n1
2
dt d 2 x2 n 2 dt
2
( x2 n2 x2 n x2 n1 ) ( x2 n3 x2 n1 x2 n2 )
目录
设M>m
{
{
x2 n1 Aei [ q ( 2 n1) at ] i [ q ( 2 n 2 ) a t ] x2 n2 Be
目录
1 2N 1 ( ) 2 a / m cos( qa / 2) m 2
格波有截止频率 求解格波步骤：