晶格振动与晶体的热学性质

a
2
2
第一布区分立波矢数：a
q
a
2
N
第二个结论显然是成立的.
Na
（5）状态密度
连续介质 格波
() V 2 2 2 v2
() dZ dZ dq d dq d
Z
2q q
2q b
N
2N b
q
dZ 2N 2Na L
dq b 2
d
d
(2(
)
1 2
|
sin
qa
|)
a
cos qa
dq dq m
2
m2
4.1 描写波的几个物理量
1.周期和频率 周期：质点完成一次全振动的时间，用T表示 T 2
相位 qr rr t ，则周期可表述为同一质点相位变化2 所需
要的时间.
频率：单位时间内完成全振动的次数，为周期的倒数， 1
T
所以 2 角频率的意义就是 2秒内完成全振动的次数.
2：.波矢和波长
波矢q：波的传播方向
2)与实验结果吻合得较好
晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证. 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱 与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好 的一个边界条件.
★ 设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相 平行的堆积充满整个空间，组成一个无限晶体，保证了有限晶 体的平移对称性 — 在各个相同晶体块内相应原子的运动情况 应当完全相同；
等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.
平面波：等相面为平面的波.
波长：同一时刻相位相差 2 的两点之间的长度，用 表示.
波矢与波长的关系： 3.相速度和群速度
q
2
沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：v p
对于弹性波，等相面满足 qr t 常数，求其微分得：
qdr dt 0
★ 一维晶格：将许多完全相同的原 子链首尾连接成无穷长链 ——第 N+1 个原子就是第 1 个原子，第 N+2 个原 子就是第 2 个原子 ……也可以把它看 作是N个原子构成的圆环！保证了从 晶体内任一点出发平移 Na 后必将返 回原处！
二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:
2 m2 2 cos qa
0
2 cos qa 2 M2 (2 m2 )(2 M2 ) 4 cos2 qa 0
Mm4 2 (M m)2 4 2(cos2 qa 1) 0
Mm4 2 (M m)2 4 2(cos2 qa 1) 0
解得：2
2 4 sin2 qa
m
2Байду номын сангаас
2 | sin qa |
m2
0
a
n2
un2
a
性质：(1) 长波 q 0 时,格波成为弹性波
sin qa qa 22
1
1
2
m
2
qa 2
m
2
qa
1
v相
v群
m
2
a
解释: 很大,本来不连续的晶格可视为连续的了.
随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在
dr K vp dt q
群速度：振幅传播的速度.大小为：
vg
d
dq
对于连续媒质弹性波， vpq，而 v p与 q无关.
所以：vg
d dq
(vpq)
v
群速度等于相速度.
晶体中传播的格波，色散关系 (q) 不是简单的线性关
系，群速度和相速度不再相等. 当vp 不是常数时
vg
d dq
(vpq)
1
b.光频支：
2 min
2
M
2
u
A0 B
相邻原子反向运动
q
1
q 0 cos qa 1
2
2
2
A
2
M (2
)
B
2
1
M m Mm
M
m (M
m)
M
1
m
m
mA MB 0 质心不动
光学支振动的说明：
如果原胞内为两个带相反电荷的离子（如离子晶体）， 那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电 偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下 ，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种 振动为光学波或光学支。
q 0 q
() L 1 N
1
2N 1
cos qa m2
max
cos qa 2
2 max
2
格波有截止频率。
1-D分立晶格和连续模
( )
型的区别：
m , g() 0
分立晶 格
连续模型
0
m
范霍夫奇点
实际晶体的态密度：
晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过上述公式
计算，先求出每支色散曲线相应的态密度： j ()
讨论：（1）q 0，声频支退化为弹性波
12
mM
{(m
M
)
[(M
m)2
4mM
sin2
1
qa]2 }
(m M mM
)
{1 [1
4mM (M m)2
sin2
1
qa]2 }
(m M mM
)
{1 [1
1 2
4mM (M m)2
sin2
qa]}
12
2
M m
sin2
qa
1
(
2
1
)2
M m
| sin qa |
见黄昆书p133
求解格波步骤： （1）列运动方程 （2）取试探解 （3）代入原方程， 得到久期方程
（4）由久期方程求色散关系
（5）加周期边界条件 （6）求状态密度
3.2.3一维双原子链的振动
2a
2n-2 2n-1
2n
2n+1
2n+2 2n+3
设M>m
{m
d
2u2 n1 dt 2
(
u2
n2
u2
n
u2
§3.1 一维原子链的振动 §3.2 简正坐标和格波量子 §3.3 三维明显可知的振动模式 §3.4 离子晶体的光学模与电磁波的耦合 §3.5 声子模的实验测定 §3.6 晶体比热容 §3.7 热膨胀和固体的方程
序言
1·回 顾：
理想化模型
组成晶体的原子被认为是固定在格点位置(平衡位置)静止不动
的！
n1
)
M
d 2u2n2 dt 2
(u2 n3
u2 n1 u2 n2
)
{u2 n1 Aei[ q ( 2 n1) at ] u2 n2 Bei[ q ( 2 n2) at ]
{ 代入得到： m2 A [ B(eiqa eiqa )2 A] M2B [ A(eiqa eiqa )2B]
整理得：
{(2 m2 ) A2 cos qaB0 2 cos qaA(2 M2 ) B0
mM
{(m
M
)
[m2
M
2
2mM
1
cos(2qa)]2 }
2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：
max
2 , q 0
光学支
min
2 , q
m 2a
max
2 , q
M
2a
min 0, q 0
其中 mM 为约化质量
mm
(
2
1
)2
m
(
2
1
)2
M
声学支
0
2a
q
2a
一维双原子晶格得色散关系
d 2 (rr ,t) K (rr ,t)
其中
2
2
2
dt 2
r 为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中 r
rr r xi yj zk
x2 y2 z2
方程解的形式：
(rr , t) Aei(qrrr t)
qr 为波矢量，方向为波的传播方向； 为波的角频率或圆频率.
色散关系：
K | qr |
2·认 识：
格点
有限温度(T≠0K)下，组成晶体的原子或离子围绕平衡位置作微 小振动
“晶格振动”
有限温度下，组成晶体的原子并非固定于格 点位置，而是以格点为平衡位置作热振动， 这种运动称为晶格振动
3·晶格振动的作用与学习意义： ※ 晶格振动使晶体势场偏离严格的周期性；
※ 对Bloch电子有散射作用，从而影响与电子有关的 运输性质：电导，霍尔效应，磁阻，温差电效应；
对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与
位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐
振动.所以称这个近似为简谐近似
3.1.2 一维单原子链的振动
模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原 子质量为m.
m d 2un dt 2
(un1 un ) (un
un1)
n2
q0 q
（2）q 0 ，声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各 原子之间得相对运动，并且质心保持不动.
A 2 M2 2 cos qa
B 2 cos qa 2 m2
1
a.声频支
1max
2
M
2
0 cos qa 1
u
A0 B
同向运动
q
q 0 波长很长，相邻原子的位相差很小.表示质心的运动
A 原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述
条件，所以当 q 时，散射子波之间发生相长干涉，
a 结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速