认识多面体和旋转体
第43讲：多面体、旋转体-苏深强
多面体、旋转体一、基本知识体系：1．棱柱2．棱锥3．圆柱4．圆锥5．球6．侧面积7．体积8. 球面距离二、典例剖析：【例题1】如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．【例题2】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)【例题3】如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【例题4】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．【例题5】有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．【例题6】已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A．以上四个图形都是正确的B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的D．只有(1)(2)是正确的【例题7】有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【例题8】已知A，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求A，B的球面距离．三、巩固练习：【练习题1】下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；【练习题2】以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．【练习题3】右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．【练习题4】已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为__________【练习题5】若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为________________【练习题6】长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积_____________【练习题7】一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为____________【练习题8】已知球O的表面积为4π，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为π/2，则四面体OABC的体积是________________【练习题9】已知ABC三点在球心为P，半径为1的球面上，且三棱锥P-ABC为正四面体，那么AB 两点间的球面距离为__________________。
第八讲多面体及旋转体(一)
第八讲多面体与旋转体（一）知识要求本章内容包括多面体和旋转体中常见的柱、锥、台、球的概念、性质、直观图、展开图的画法以及有关侧面积、体积的计算等．它是考查空间想象能力和逻辑思维能力及其运算能力的重要载体．高考试题中，立体几何试题的分值一般占20%左右，题量一般是五个，选择题、填空题、解答题的比例是3︰1︰1．立体几何试题大多以多面体和旋转体为载体，融线面关系于几何体中，融推理论证于几何量的计算中，融逻辑思维能力、空间想象能力于运算中．从近年高考立体几何试题中，可以发现以多面体和旋转体为载体设计的题目一般占25分左右，是立体几何试题分值的75%以上．涉及多面体或旋转体中有关元素的位置判定，数量的计算或最值的计算常常是以选择题或填空题的形式出现，涉及柱、锥、台体中的线面关系、面面关系的判定及运用于面积或体积的计算大多以中等难度的解答题的形式出现，而在面积或体积的计算中又侧重于体积．近年高考涉及多面体与旋转体的命题改革有所创新与突破，其主要特点是：①注意考查学生的想象、判断、推理与计算的综合能力素质，融推理与运算于一体；②注意对非常规空间几何图形的数量关系和位置关系的考查；③改变了选择题和填空题形式单一的弊端，拓宽了填空题的考查功能，采用多选、多填及开放性等形式，富有挑战性和探索性，体现高考“稳中有变”的思想．对柱、锥、台，会从复杂的空间图形中找出反映几何体特征的平面图形如：直角三角形、直角梯形，寻找有关的几何元素的位置关系，数量关系，并注意几种特殊四棱柱的联系与区别，重视平行于底面的截面的有关性质，树立“还台为锥”的思想，空间问题平面化的思想如：截面、展开图、平移、旋转、射影，应用整体思想、方程思想的策略．对多面体与旋转体的体积问题，应以公式法为基础并注意利用化归与转化思想，即①转移法（利用祖暅原理，把所求几何体的体积转化为与它等底、等高的几何体的体积），②分割求和法，③补形求差法，④换底等积法，沟通有关元素之间的联系，从而完成计算或证明．对多面体与旋转体的表面积除直接利用公式外，还可采用“化整为零”各个击破的策略，并熟悉直截面，轴截面的特性，通过展开图，将空间面积转化为平面面积来处理．解决折叠问题时，要将折叠前后的两个图形对照考察，弄清所涉及的元素在折叠前后的数量关系或位置关系．要计算柱、锥、台表面上两点的最短距离，可采用侧面展开图或全面展开图，化曲折为直．对简单多面体、旋转体的“切”“接”问题，一般是通过选择能够包含各元素间的关系的一个截面（多为轴截面），转化为平面图形或采用“等积法”来解决．应特别注意截面图形与直观图的联系，并注意两者构成元素的异同．对面积、体积的最值问题，一般转化为函数的最值问题加以解决，比较常用的方法是利用均值不等式．综合应用，关键在于沟通几何、代数、三角知识的联系，达到对知识的进一步理解、深化、升华．典型例题 例1．（2001福建）设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则a 1＋b 1＋c1等于……………………………………（ ） A ．114 B ．411 C ．211 D ．112 【分析】根据题意可得三个方程，从而求出a ，b ，c ，但计算量太大．若对a 1＋b 1＋c1变形可得a 1＋b 1＋c 1＝abc ca bc ab ++，故只需求出ab ＋bc ＋ca ，从而利用整体思想求解． 【解】由题设，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=++.2524)(4222abc c b a c b a∵ （a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2（ab ＋bc ＋ca ），∴ 2)212(＝25＋2（ab ＋bc ＋ca ）， ∴ ab ＋bc ＋ac ＝211． 从而a 1＋b 1＋c 1＝abc ca bc ab ++＝411， 故选B ．【点评】本题考查长方体的对角线公式，体积公式．在解题过程中，常对a 、b 、c 设而不求，利用恒等式，整体思想避开繁琐的计算过程，而直接得出结论．若长方体的对角线与交于同一点的三条棱分别成角α、β、γ，则cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1，若长方体的对角线与交于同一点的三个面分别成角α、β、γ，则cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝2，在解题中的应用也应给予重视．例2．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，过一面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D．①确定D点的位置，并证明你的结论；②证明平面AB1D⊥平面AA1D；③若AB＝6，AA1＝4，求直线BC1与平面AB1D的距离；④若AB︰A1A＝k，问是否存在k，使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°？若存在请求出k，若不存在请说明理由．【分析】①要证线面平行，须证线线平行，故可通过补形进行平移．②要证面面垂直，须证线面垂直．③要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离．④对探索性性问题，不妨假设存在，然后求解或推理论证．【解】①将正三棱柱ABC—A1B1C1补成直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，从而有AE1∥BC1，∴BC1∥面AB1E1．∴面AB1E1为所求平面，此时面AB1E1与A1C1交于D．又A1B1C1E1为平行四边形，∴D为A1C1中点．（或先猜D为A1C1中点，然后予以证明）．②连结AD，由直平行六面体定义知AA1⊥面A1B1C1E1，∴AA1⊥B1D，又A1B1C1E1为菱形，∴B1D⊥A1C1，∴ B 1D ⊥面AA 1D ，又 B 1D ⊂面AB 1D ，∴ 面AB 1D ⊥面AA 1D ．③∵ BC 1∥平面AB 1D ，∴ 只要求C 1 到平面AB 1D 的距离．又 A 1D ＝DC 1 故只要求A 1 到面AB 1D 的距离即可．由②，知面AB 1D ⊥面AA 1D ，所以过A 1 作AM ⊥AD ，则A 1M ⊥平面AB 1D ．∴ A 1M 为所求．由A 1D ·AA 1＝A 1M ·AD ，得：A 1M ＝512． （或由D AB C V 11-＝D C B A V 11-，D C B S 11∆＝293，1ADB S ∆＝2153，得C 1 到平面AB 1D 的距离为512）． ④过D 作DG ⊥A 1B 1 于G ，则DG ⊥面A 1B 1BA ；过G 作GH ⊥AB 1 于H ，连DH ，则DH ⊥AB 1，∴ ∠DHG 为A 1—AB 1—D 的平面角，若∠DHG ＝45°，设AA 1＝a ，则AB ＝ka ，DG ＝43ka ． ∵ AA 1︰AB 1＝GH ︰GB 1， ∴ GH ＝1432+k ka ． ∵ DG ＝GH ，∴ k ＝2．∴ 存在k ＝2，使平面AB 1D 与平面AB 1A 1 所成角的大小为45°．【点评】本题以正三棱柱为载体，考查了线线、线面、面面的位置关系以及距离、角、体积等问题．补形法、等积法是常用技巧，开放性问题是近年高考热点，应予重视．一般地利用三棱锥等积法寻找底面上的高，常将一个底面的顶点选在多面体的同一表面上．例3．各棱长都等于2的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1垂直于底面．①问侧棱与底面所成角为多少时，能使B1C⊥AC1；②在①的条件下求此三棱柱的侧面积．【分析】①取AB中点D，设BC1 B1C＝O，则DO∥AC1要证B1C⊥AC1只需证DO ⊥B1C又O为B1C中点，∴只需证B1D＝DC＝3，在△B1BD中由余弦定理可得：∠B1BD＝60°，又面B1BAA1⊥底面，∴∠B1BA为侧棱与底面所成角．故可猜测当侧棱与底面成角为60°时，B1C⊥AC1．②棱柱侧面积有两种解法，一是判断各侧面的形状，各个击破，再求各侧面的面积之和，二是求其直截面周长与侧棱长的乘积．【解】①当侧棱与底面成角为60°时，能使B1C⊥AC1．事实上，作B1D⊥AB于D．∵面ABB1A1⊥底面ABC，∴B1D⊥平面ABC．∴∠B1BD为侧棱与底面所成角．∴∠B1BD＝60°．又BD＝B1E cos 60°＝1，∴D为AB中点．∴CD＝3．又B1D＝3，∴CD＝B1D．又O为B1C中点，∴DO⊥B1C而AC1∥DO．∴AC1⊥B1C（或证B1C⊥面ABC1）．② 在侧面ABB 1A 1 中11A ABB S 平行四边形＝2·2·si n 60°＝4×23＝23， 在△B 1CD 中，CD ＝3＝B 1D ，∴ B 1C ＝6．又 BCC 1B 1 为菱形，∴ BC 1＝2 BO ＝222)26(2-＝10， 又 AB ⊥面B 1CD ，∴ AB ⊥DO ，又 DO ∥AC 1，∴ AC 1⊥AB ．在Rt △ABC 1中，AC 1＝222)10(-＝6．∴ 11B BCC S 平行四边形＝C C AA S 11平行四边形＝2110·6＝15． ∴ S 侧＝11A ABB S 平行四边形＋211B BCC S 平行四边形＝2（3＋15）．【点评】① 条件探索型命题，解题时要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻出应具备的条件，然后予以证明．S 棱柱侧＝C 直截面×l ，V 棱柱＝S 直截面×l ，其中l 为侧棱长．例4．三棱锥P —ABC 中，侧棱P A ⊥底面ABC ，H 是A 在平面PBC 上的射影．① 若H 是△PBC 的重心，则在此三棱锥的棱所在直线中与AC 垂直的直线有几条？② 若H 是△PBC 的重心，且△ABC 是边长为2的正三角形，求二面角P —BC —A 的大小．【分析】① 充分利用线线垂直与线面垂直的相互关系进行挖掘与探求．② 二面角问题关键是“作”“证”“算”，本题关键要利用重心性质及方程思想进行求解．【解】① P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴ P A ⊥AC ，AH ⊥平面PBC ，CH ⊥PB ．∴ AC ⊥PB ．∴ AC ⊥平面ABC ．又 AB 平面P AB ，∴ AC ⊥AB ．故与AC 垂直的直线有P A 、PB 、AB 三条．② 若H 是重心，连结PH 交BC 于D ，可设PH ＝2 x ，HD ＝x ，由AB ＝2，可知AD ＝3，于是有（3）2＝x ·（2 x ＋x ），则x ＝1，∴ PD ＝3．又 D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ．∴ PD ⊥BC ．∴ ∠PDA 是二面角P —BC —A 的平面角．由cos ∠PDA ＝PD AD ＝33得∠PDA ＝arc cos 33即为所求． 【点评】① 结论探索型命题，解题时要充分利用已知条件或图形的特征进行全面、透彻分析，从而推理、发现、获取结论．② 要正确区分三棱锥的顶点在底面上的射影何时是底面三角形的外心、内心、重心、中心．例5．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱，侧面积和体积时，相应的截面面积依次为S 1、S 2、S 3，则…………………………………………………………（ ） A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 3＜S 2＜S 1 C ．S 2＜S 1＜S 3 D ．S 1＜S 3＜S 2【分析】棱锥被平行于底面的平面所截，若顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比为k ，则它们对应棱长的比等于k ，底面积（侧面积、全面积）的比等于k 2，体积比等于k 3．【解】设棱锥的底面积为S ，高为h ，以截面为底面的棱锥的高分别为h 1、h 2、h 3，则21S S ＝21h h ，S S 2＝h h 2，SS 3＝h h 3 由题意，得 h h 1＝21，21)(h h ＝21，23)(hh ＝21∴ 21S S ＝21，S S 2＝21，SS 3＝321． ∵ 21＜21＜321， ∴ S 1＜S 2＜S 3．故选A ．【点评】① 对于台体平行于底面的截面，可补台为锥，再利用有关比例性质便可解决．② 棱台中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为S 0、S 1、S 2 截面与上下底面的距离之比为m ︰n 时，则0S ＝nm S n S m ++12，特别地当m ＝n 时，为中截面公式． ③ 圆台的上下底面半径分别为r 、R ，作平行于底面的截面分别平分圆台的侧棱、侧面积，体积时，若截面分母线（自上到下）的比为m ︰n ，中截面半径为x ，则可利用性质“mrx -＝n x R -”，得到相应的截面半径分别为2r R +，222r R +，3332r R +． 例6．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高是23cm ．求三棱台的① 侧棱长；② 斜高；③ 侧棱与底面所成的角的正切值；④ 侧面与底面所成的角；⑤ 侧面积．【分析】利用图中的直角三角形与直角梯形进行求解．【解】如图，设O 1，O 分别是上、下底面中心，则O 1O ＝23cm ， 连结A 1O 1 并延长交B 1C 1 于D 1，连结AO 并延长交BC 于D ，过A 1 作A 1F ⊥AD 于F ，作D 1E ⊥AD 于E ．① 在Rt △A 1AF 中，A 1F ＝23cm ，AF ＝AO －A 1O 1＝33（6－3）＝3（cm ）， 所以AA 1＝212F A AF +＝221（cm ）． ② 在Rt △D 1DE 中， D 1E ＝23，DE ＝DO －D 1O ＝63（6－3）＝23（cm ）， 所以斜边上的高 D 1D ＝221DE E D +＝22)23()23(+＝3（cm ）． ③ 因为A 1F ⊥底面ABC ，所以∠A 1AF 为侧棱与底面所成的角，所以tan ∠A 1AF ＝AF F A 1＝323＝23． ④ 因为D 1D ⊥BC ，AD ⊥BC ，所以∠D 1DA 为侧面与底面所成二面角的平面角，tan ∠D 1DA ＝DE E D 1＝2323＝3 所以∠D 1DA ＝60°．（或还台为锥，设棱锥的高为h ，利用OA ＝2 OD ，得tan ∠D 1DE ＝OD h ＝OAh 2＝2 tan ∠A 1AF ＝3）． ⑤ S 侧＝21（3×3＋3×6）×3＝2273（cm 2） （或利用S 侧＝︒-60cos 上下S S ＝2（S 下－S 上）＝243（62－32 ）＝2273）． 【点评】对正棱锥、正棱台的问题可转化为直角三角形问题，使高、斜高、斜高在底面上的射影，侧棱、侧棱在底面上的射影，底面边长之半，边心距，外接圆半径及侧棱和底面所成角，侧面和底面所成的二面角等元素转化为直角三角形的边和角，还台为锥有利于整体上把握本章内容和公式．对正棱锥、正棱台，若侧面与底面所成角为α，则可利用公式：S 正棱锥侧＝αcos 底S ，S 正棱台侧＝αcos 上下S S -（适合选择、填空）． 基础练习一、选择题1．设M ＝｛正四棱柱｝，N ＝｛长方体｝，P ＝｛直四棱柱｝，Q ＝｛正方体｝则这四个集合的关系是……………………………………………………………………（ ） A ．P ⊂N ⊂M ⊂Q B ．Q ⊂M ⊂N ⊂PC ．P ⊂M ⊂N ⊂QD ．Q ⊂N ⊂M ⊂P2．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是三角形的……………………（ ） A ．垂心 B ．重心 C ．外心 D ．内心3．台体中一个平行于底面的截面把台体分成上、下两部分，若台体的上底面积，截面面积，下底面积之比为1︰4︰9，那么截面把台成分成上、下两部分的体积比为（ ） A ．278 B ．197 C ．135 D ．53 4．一个圆锥的轴截面的顶角为120°，过顶点的截面的最大值是4，那么此圆锥的侧面积是………………………………………………………………………………（ ） A ．23π B ．43π C ．63π D ．83π5．夹在两平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影是等圆，那么它们的体积之比是…………………………………………………………………………………（ ） A ．1︰2︰3 B ．2︰3︰6 C ．4︰6︰9 D ．1︰2︰46．圆台的侧面积是它的内切球表面积的34倍，则圆台母线和底面所成角的大小是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°7．设地球半径为R ，在北纬45°圈上A 、B 两地的经度分别为东经165°和西经105°，则A 、B 两地间的球面距离是…………………………………………………（ ） A ．R B ．42π R C ．2πR D ．3πR 8．在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个体积最大的内接圆柱，则内接圆柱的体积与圆锥的体积的比值为…………………………………………………………（ ）A ．83B ．94C ．73D ．21 9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC的体积为…………………………………………………………………………（ ）A ．b a 3B ．123aC ．123a 3D ．122a 3 10．平行四边形两邻边的长为a 和b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周后，所形成的几何体的体积之比为………………………………………………………………（ ） A ．a b B ．b a C ．3)(a b D ．3)(ba 11．如图三棱台ABC —A 1B 1C 1 中，已知S △ABC ＝S 1，111C B A S ＝S 2，高为h ，则四面体ACB 1C 1 的体积为………………………………………………………………（ ）A ．3h 21S S B ．31S 1h C ．31S 2h D ．3h （S 1＋S 2＋21S S ） 12．有三个球一个球内切于正方体的各个面，一球内切正方体各条棱，另一球过正方体的各顶点，则这三球面积比是…………………………………………………（ ） A ．1︰2︰3 B ．1︰2︰3 C ．1︰22︰33 D ．1︰4︰9二、填空题13．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1 的一个侧面的面积为S ，这个侧面与它对棱的距离为a ，则这个棱柱的体积是______________．14．若正棱台上下底面及侧面的面积比为4︰9︰10，则侧面与底面所成的角大小为________．15．圆锥母线长为3，底面半径为1 cm ，底面圆周上有一点A ，由A 点出发绕圆锥一周回到A 点的最短路线长等于_________________．16．一个正六棱锥，底面边长为2，高为1，则过两条侧棱所作的截面中，最大的截面积等于______________．17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中有以下命题：① AB 与EF 所在直线平行；② AB 与CD 所在直线异面；③ MN 与BF 所在直线成60°角；④ MN 与CD 所在直线互相垂直．其中正确命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题都填上）18．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）．三、解答题19．正三棱台ABC —A ′B ′C ′上、下底面的边长分别为1 cm 和3 cm ，高是36cm ． ① 证明AA ′⊥平面BCC ′B ′；② 求正三棱台ABC —A ′B ′C ′的侧面积．20．把半径为R 的圆面剪去一个扇形，设剩下的扇形圆心角为α，将其作为一个圆锥的侧面围成一个圆锥．问α 为多大时，圆锥的体积最大？最大值为多少？21．如图所示四面体ABCD 中，已知AB ＝m ，CD ＝n ，还需要知道哪些条件（条件个数应最少）就可以求出四面体ABCD 的体积，并说明理由．参考答案基础练习一、选择题 1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C7．D 8．B 9．D 10．A 11．A 12．A二、填空题13．21aS 14．60° 15．33 16．6 17．②④ 18．611或1214或1211三、解答题19．① 提示：还台为锥；② 6．20．α＝326π；V ＝2763π R 3．21．提示：以BD 、DC 为邻边作□BDCE ，利用三棱锥换底等积法得须两个条件得：AB 与CD 的距离h 及所成角θ．。
认识多面体与旋转体教学流程
认识多面体与旋转体教学流程好的呀，那咱们就开始聊聊这个多面体和旋转体的教学流程吧。
一、导入部分。
咱得先想个特别有趣的方式把这个话题引出来。
比如说，我可以拿着一些实物，像魔方（这可是典型的多面体哦），还有像圆柱形状的水杯（这就是旋转体啦）。
然后走进教室就问同学们，“宝子们，看看我手上拿的这些东西，有没有觉得很熟悉呀？”接着就开始引导他们观察这些物体的形状特点，“你们看这个魔方，它每个面都是方方正正的，再看这个水杯，它的上下底面都是圆的，侧面还是弯弯的呢。
”这时候就可以把多面体和旋转体的概念简单提一提，让同学们有个初步的印象。
二、知识讲解。
1. 多面体。
- 先给同学们讲啥是多面体。
“宝子们，多面体呢，就是由好多平面图形围成的立体图形。
就像刚刚的魔方，它有六个面，每个面都是正方形。
那多面体还有很多种类呢。
比如说三棱锥，它就像一个金字塔一样，底面是个三角形，然后还有三个三角形的侧面，一共四个面。
再看三棱柱，它有两个底面是三角形，三个侧面是长方形。
咱们在生活中也能看到很多多面体的例子哦，像房子的形状很多时候就是长方体（这也是多面体），还有咱们上课用的粉笔盒。
”- 然后再讲讲多面体的一些重要元素，像顶点、棱和面。
“宝子们，顶点呢，就是多面体上这些棱和棱相交的地方，棱就是两个面相交的线段，面就不用我多说啦，就是那些平平的部分。
比如说三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面。
咱可以一起数一下，这样就会记得更清楚哦。
”2. 旋转体。
- 接下来讲旋转体啦。
“宝子们，旋转体就像是一个平面图形绕着一条直线旋转一周得到的立体图形。
就拿圆柱来说，咱们可以想象一个长方形绕着它的一条边旋转一周，就变成了圆柱。
那圆柱有两个底面是完全一样的圆，侧面是一个曲面。
还有圆锥，它是一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的。
圆锥就只有一个底面是圆，然后侧面也是曲面，还有一个尖尖的顶点呢。
球体也属于旋转体哦，它可以看成是一个半圆绕着直径旋转一周得到的，球体可是到处都圆圆的，没有棱没有角的。
空间几何体知识点总结高三
空间几何体知识点总结高三空间几何体是高中数学中的重要组成部分，特别是在高三阶段，对于空间几何体的理解和运用能力是解决高考数学题目的关键。
本文将对空间几何体的主要知识点进行总结，帮助学生巩固基础，提高解题能力。
一、空间几何体的基本概念空间几何体是指在三维空间中所占有一定体积的图形。
根据构成方式和形状的不同，空间几何体可以分为多面体、旋转体和曲面等几大类。
多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，如正方体、长方体、棱锥、棱柱等。
旋转体则是由一个平面图形绕着某一条直线旋转所形成的几何体，如圆柱、圆锥和球体等。
曲面则是由参数方程或隐函数方程所定义的几何体，如圆环面、抛物面等。
二、空间几何体的性质1. 体积与表面积对于任何一个空间几何体，其体积和表面积是基本的几何量度。
对于规则的几何体，如正方体和球体，其体积和表面积都有固定的计算公式。
而对于不规则的几何体，则需要通过积分或其他方法来求解。
2. 空间关系空间几何体之间的相互位置关系，如平行、相交、包含等，是解决空间几何问题的基础。
在解析几何中，通过坐标系可以精确地描述这些关系。
3. 几何体的对称性许多空间几何体具有一定的对称性，如正方体具有六个面的对称性，球体则具有全方位的对称性。
对称性在解决几何体的计算和证明问题时具有重要作用。
三、空间几何体的计算1. 多面体的体积与表面积对于规则的多面体，其体积和表面积可以通过公式直接计算。
例如，正方体的体积V=a³，表面积S=6a²，其中a为正方体的边长。
对于不规则的多面体，则需要利用向量、平面几何等知识，通过分割和组合的方法来求解。
2. 旋转体的体积与表面积旋转体的体积和表面积计算通常涉及到积分。
例如，圆柱体的体积V=πr²h，表面积S=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高。
对于更复杂的旋转体，如圆锥和球体，也需要通过积分来计算其体积和表面积。
3. 组合体的计算在实际问题中，经常会遇到由多个简单几何体组合而成的复杂几何体。
简单旋转体与多面体PPT课件
A' D
B'
L
c
C
=A B 2A D 2D D 2
=a2b2c2
A
a
b
B
L= a2b2c2
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B组---2、
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感谢您的观看！
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球
半圆 直径 所在的直线
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二、多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面 互相平行 ，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个面的交线都_平__行__且__相_等___
有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个公共 棱锥 __顶__点
的三角形
棱台
棱锥被平行于 底面 的平面所截， 截面 和 底面 之间的部分
三棱锥 四面体 直棱锥
四棱锥 正棱锥
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五棱锥
2. 棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ，底面与截面之间的部分的多面体叫做棱台.
A1
D1
C1
B1
上底面
侧棱 侧面
下底面
正棱台：用正棱椎截得的棱 台叫正棱台
四棱台ABCD--A'B'C'D'
顶点
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几何体的分类
柱体
锥体
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得 的几何体为圆锥；
B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转 体为圆柱；
C 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；
D 有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体 是棱锥。
多面体与旋转体 高二数学(沪教版2020必修第三册)
与平面上的正多边形类似，在空间中可以考虑正多面体．如果一个 多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的 棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体（ｒｅｇｕｌａｒｐ ｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）．图１１３ １给出了五种不同的正多体．事 实上，用本节“课后阅读”中所介绍多面体的欧拉定理，可以验证 只有这五种正多面体．
旋转面是大学空间解析几何课程中的 内容之一．我们这里只关注最简单的 情况：一条直线a绕同一平面内的另
一条直线l旋转一周所形成的曲面： 圆柱面或圆锥面．当直线a与直线l平 行时，得到的是圆柱面；当直线a与 直线l相交（但不垂直）时，得到的 是圆锥面（图１１３３）．直线a称
为圆柱面或圆锥面的母线．在圆锥面
课本练习
１．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑 （nào）”的几何体（见《九章算术》卷第五“商功”之一六），它 指的是由四个直角三角形围成的四面体．用你学过的立体几何知识说 明这种四面体确实存在
如图，先作一个底面为直角三角形的直棱柱AEF—BDC，其中∠BCD 是直角。 用平面ACD截此直三棱柱，则几何体A-BCD就是满足要求的“鳖臑”，这是 因为AB⊥平面BCD，所以△ABD、△ABC是直角三角形；又已知∠BCD为直 角，所以△BCD是直角三角形；最后，由CD⊥平面ABCF，推出CD⊥CA，即 ∠ACD为直角，所以△ACD是直角三角形。这样几何体A—BCD的四个面都是 直角三角形，即它是一个“鳖臑”。
我们迄今所见的多面体（如棱柱、棱锥、正多面体等）都是简单多 面体．但要构造一个非简单多面体也不难．如图１１-３-４，这是 一个中间有一个长方体空洞的十六面体，往这样的橡胶多面体充气， 得到的是一个游泳圈，而不是球．算一算，对于图１１- ３- ４的 多面体，V＋F－E等于多少．
认识多面体和旋转体课件
体积计算
对于多面体，体积可以通过计算各个 面的体积之和得到。对于旋转体，体 积可以通过计算底面圆的体积或整个 旋转体的体积得到。
角度和弧度的计算
角度计算
在多面体中，角度可以通过测量各个 面之间的夹角得到。在旋转体中，角 度可以用来描述旋转体的旋转角度。
弧度计算
在旋转体中，弧度可以用来描述旋转 体的旋转程度，通常用于旋转轴的角 度测量。
旋转体的建模
旋转体的建模可以使用旋转几何公式进行，例如圆柱和圆锥可以使用旋转面的几何公式进行建模。
建模方法的比较和选择
01 02
精度和复杂性
使用CAD软件进行建模可以获得高精度的模型，但需要一定的技能和经 验。而使用数学公式进行建模可以创建相对简单的模型，但对于复杂模 型可能不够精确。
适用范围
CAD软件适用于各种类型的多面体和旋转体建模，而数学公式适用于某 些特定类型的模型，例如正多面体和旋转体。
在科学研究和教学中的应用
多面体和旋转体的科学研究价值
多面体和旋转体的研究涉及到几何学、拓扑学、物理学等多个学科领域，对于推动数学 和科学的发展具有重要意义。
多面体和旋转体的教学价值
在数学和工程学科的教学中，多面体和旋转体是重要的教学素材，有助于培养学生的空 间思维、几何直觉和解决实际问题的能力。
THANKS
该直线称为旋转轴， 平面图形称为旋转面 。
旋转体的分类
根据旋转面的形状，旋转体可以 分为圆柱、圆锥、圆台等类型。
根据旋转轴的方向，旋转体可以 分为正轴和斜轴两类。
根据旋转轴与旋转面的关系，旋 转体可以分为直纹和单叶两类。
旋转体的性质
旋转体的侧面是曲面，其展开 后是平面图形。
旋转体的体积和表面积与旋转 面和旋转轴的形状、大小和位 置有关。
7.1.1认识多面体与旋转体(教案)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(人教版2021·基础模块下册
7.1.1认识多面体与旋转体（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块下册）一、教学目标1. 能够理解多面体和旋转体的概念，能够从图形中识别多面体和旋转体；2. 能够辨别多面体和旋转体的共性和区别；3. 能够分析多面体和旋转体的特点和性质，能够对多面体和旋转体进行分类；4. 能够应用多面体和旋转体的知识进行推理，能够解决相关的问题。
二、教学重点1. 多面体和旋转体的概念及其特点；2. 多面体和旋转体的分类；3. 判断图形是否为多面体和旋转体。
三、教学难点1. 分析多面体和旋转体的特点和性质；2. 能够应用多面体和旋转体的知识进行推理，解决相关的问题。
四、教学内容和方法1. 教学内容1.1 什么是多面体？1.2 多面体有哪些性质和特点？1.3 多面体的分类方式及实例。
2.1 什么是旋转体？2.2 旋转体有哪些性质和特点？2.3 旋转体的分类方式及实例。
2. 教学方法2.1 案例教学法，引导学生从图形中判断是否为多面体和旋转体；2.2 讲解法，介绍多面体和旋转体的定义、性质、分类等内容；2.3 实验法，通过给定的图形，让学生自己绘制多面体和旋转体。
五、教学过程1. 导入环节1.1 提问：大家知道什么是多面体和旋转体吗？有哪些例子？1.2 引导学生通过图例，来对多面体和旋转体进行初步了解。
2. 感知活动2.1 给学生呈现不同形状的图形，让学生自己分辨出哪些是多面体和旋转体。
2.2 学生根据自己的感性认识，对多面体和旋转体进行分类，并记录下来。
3. 讲解与练习3.1 讲解多面体和旋转体的定义、性质和分类方式，并引导学生通过实例进行训练。
3.2 给学生练习题，以巩固所学内容。
4. 拓展4.1 对已掌握的知识进行拓展，例如如何计算多面体和旋转体的表面积和体积等内容。
4.2 给学生进行讨论和思考，让学生能够应用多面体和旋转体的知识来解决问题和实际场景。
5. 归纳总结5.1 整理多面体和旋转体的性质和特点;5.2 梳理多面体和旋转体的分类方式及其实例；5.3 给学生进行考试，检测学生的掌握情况。
11.3 多面体与旋转体(课件)高二数学(沪教版2020必修第三册)
空间几何体的相关概念 观察 如图示，这些图 片中的物体具有怎样的 形状? 在日常生活中， 我们把这些物体的形状 叫做什么? 如何描述它 们的形状?
认识旋转体：
直棱柱
多面体
棱柱
斜棱柱
棱锥
Hale Waihona Puke 几何体旋转体 …其它
七面体
八面体
练习：若将图中的平面图形旋转一周，试说出它 形成的几何体的结构特征．
解：将图中的平面图形旋转一周，形成的几何体 是圆锥、圆台和圆柱的组合体，并且圆锥底面与 圆台的下底面重合，圆柱的上底面和圆台的上底 面重合．
在我们周围存在着各种各样的物体，它 们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些 物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那 么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空 间几何体.
多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．如图
★ 多面体的面：围成多面体的各个多边形 叫做多面体的面； ★ 多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体 的棱； ★ 多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面 体的顶点.
认识多面体：
正多面体只有5个：
拓展 多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分； 多面体至少有4个面；
各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如 下五种——
正四 面体
正六面体 正八 正方体 面体
正十二 正二十
面体
面体
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在的平面内的一条定直 线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何 体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
多面体和旋转体
第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。
2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。
3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。
2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。
3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。
2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。
3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。
2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。
（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。
（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。
（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
高中数学几何探究多面体与旋转体的性质
高中数学几何探究多面体与旋转体的性质在高中数学的几何领域中，多面体与旋转体是两个极为重要的概念，它们具有丰富而独特的性质，值得我们深入探究。
多面体，简单来说，就是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有四面体、六面体（也就是正方体和长方体）、八面体等等。
多面体的性质首先体现在其面、棱和顶点的数量关系上。
以最简单的四面体为例，它有四个面、六条棱和四个顶点。
而对于更复杂的多面体，我们可以通过欧拉公式来描述它们面、棱和顶点之间的关系，即：面数＋顶点数棱数＝ 2。
多面体的表面积计算也是一个重要的方面。
对于规则的多面体，如正方体、长方体，我们可以直接通过其边长计算出各个面的面积，然后相加得到表面积。
而对于不规则的多面体，可能需要将其分割成若干个规则的部分，分别计算面积后再求和。
多面体的体积计算则需要根据其形状和特点选择合适的方法。
例如，正方体和长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算；三棱柱的体积是底面积乘以高；三棱锥的体积则是三分之一底面积乘以高。
再来看看旋转体。
旋转体是由平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱是由矩形绕着其中一边旋转一周得到的。
它的性质包括两个底面是全等的圆，侧面展开图是一个矩形。
圆柱的表面积由两个底面积和侧面积组成，底面积是圆的面积，侧面积则是矩形的面积，也就是底面圆的周长乘以圆柱的高。
圆柱的体积等于底面积乘以高。
圆锥是由直角三角形绕着其中一条直角边旋转一周得到的。
它只有一个底面，是一个圆，侧面展开图是一个扇形。
圆锥的表面积包括底面积和侧面积，侧面积的计算需要用到扇形的面积公式。
圆锥的体积是三分之一底面积乘以高。
圆台可以看作是一个大圆锥减去一个小圆锥得到的。
它有两个底面，侧面展开图是一个扇环。
圆台的表面积和体积的计算相对复杂一些，需要综合运用圆和圆锥的相关知识。
球是到定点的距离等于定长的点的集合。
球的表面积公式是4πr²，体积公式是三分之四πr³。
人教课标版高中数学必修2《多面体与旋转体概念、棱柱》教学设计
1．1 空间几何体的结构1．1．1 多面体与旋转体概念、棱柱一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解多面体与旋转体的概念、了解棱柱的定义．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．（二）学习目标1．了解多面体的顶点，棱，表面，对角面的定义．2．结合定义，会判断一个几何体是否为棱柱．3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面体的定义．（三）学习重点1．准确理解棱柱的定义．2．棱柱的分类．3．棱柱的表示方法．（四）学习难点1．判断某个几何体是否为棱柱．2．正确区分棱柱的体对角线和面对角线，棱柱的侧面和底面，棱柱的高和侧棱．3．对旋转体的直观理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2，3页，观察课本P2图1．1-1的物体，这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？填空：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．2．预习自测（1）下列几何体是棱柱的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】由棱柱的定义可知，棱柱中，有两个面互相平行，则可以排除②⑤，又棱柱中，有两个互相平行的底面，其余各面都是四边形，则可以排除④⑥．【思路点拨】由棱柱定义来判断（2）三棱柱共有（）个顶点A．4B．5C．6D．7【答案】C．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】n棱柱的顶点个数为2n个，故选C．【思路点拨】熟悉棱柱的定义．（3）四棱柱有（）个表面A．5B．6 C．7D．8【答案】B．【知识点】四棱柱的定义【解题过程】四棱柱有上下两个底面和四个侧面，故选B．【思路点拨】棱柱有多少个表面，可以先找两个底面，再数其侧面个数即可．(二)课堂设计1．知识回顾2．问题探究探究一归纳提炼出多面体与旋转体，棱柱的定义★●活动①归纳提炼概念请同学们观察课本P2图1．1-1的物体，学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类．其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形．想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢？学生各抒己见，然后老师归纳总结．第一类：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……我们后面即将学习的棱柱、棱锥、棱台均是多面体．思考：一个多面体最少有个面答案：4第二类：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②深入挖掘概念与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？让学生积极思考，积极发言，为引出棱柱的概念做准备．教师总结：共同特点：有两个面平行，其余的面都是平行四边形．像这样的几何体我们称为棱柱．师生共同完成棱柱的定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱．分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【设计意图】通过对多面体内涵与外延的理解，引出本节课重点：棱柱的定义．探究二通过点、面、线等要素对棱柱进行直观分析●活动①认识棱柱的顶点，底面，侧面，侧棱，对角线等结合棱柱的定义，请学生看下图后回答问题．让学生分别指出这些几何图形是几棱柱，它们有几个顶点，有几个表面，它有几条侧棱，有几个对角面，有几条体对角线，有几条面对角线．教师阐述棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如上图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；【设计意图】通过直观图形，加深对棱柱概念的理解．●活动②对概念的反面理解思考：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？教师变更棱柱的定义，让学生判断正误，进一步加深对棱柱定义的理解答：不一定是棱柱．可举反例．如下图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱．【设计意图】从反面加深对棱柱的认识．探究三棱柱的其他探讨★●活动①棱柱的另一种分类方式按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的每个侧面都是矩形．侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱．请学生思考回答，下图中有几个直棱柱？答案：有两个直棱柱．老师补充两个概念，为以后的教学做铺垫．平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．【设计意图】对直棱柱和正棱柱有直观印象，为后面的学习做铺垫．●活动②巩固基础，检查反馈例1 以下那种几何体属于多面体？（）A．球B．圆柱C．圆锥D．四面体【知识点】多面体与旋转体的定义．【数学思想】【解题过程】选项A，B，C均为旋转体，故答案为D．【思路点拨】直接套用定义．【答案】D．例2 下列说法中正确的是（）A．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱中所有的棱长都相等C．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】棱柱的侧面也可能互相平行，比如正方体，故A错误．棱柱的棱长未必全部相等，比如一般的长方体，故B错误．棱柱的底面可以是任意多边形，故C错误．棱柱的上下底面一定互相平行，故D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．同类训练在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】四棱柱的相对表面可以互相平行，故A错误．棱柱的侧棱和底面的边可以相交，故B错误．棱柱的底面可以是三角形，故C错误．由棱柱的定义可知D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．【设计意图】巩固棱柱的概念．●活动③强化提升、灵活应用例3 如下图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是______．【知识点】棱柱的直观认识．【数学思想】空间想象． 【解题过程】由棱柱的定义可得有3个．分别为：三棱柱DQ D AP A 11-，三棱柱CF C BE B 11-，四棱柱DCFQ ABEP -【思路点拨】逐一分析． 【答案】3个．3．课堂总结知识梳理（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．（3）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．（4）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（5）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．（6）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．（7）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．重难点归纳：棱柱定义的三个核心要素（1）两个平面互相平行．（2）其余各面都是四边形．（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列说法错误的是（ ）A ．多面体至少有四个面B ．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C ．长方体、正方体都是棱柱D ．三棱柱的侧面为三角形【知识点】多面体和棱柱的概念．【数学思想】 【解题过程】多面体中四面体的面最少，有四个，故A 正确．由棱柱定义知道B ，C 正确．棱柱的侧面均为平行四边形，故D 错误．【思路点拨】准确理解棱柱定义．【答案】D ． 2．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）A ．E F D CB A ⊆⊆⊆⊆⊆B ． E D F BC A ⊆⊆⊆⊆⊆ C ．E FD B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D ．它们之间不都存在包含关系【知识点】特殊棱柱的关系．【数学思想】【解题过程】根据它们的定义分析即可．【思路点拨】仔细区分各种特殊棱柱．【答案】B ． 3．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）．A ．棱锥B ．棱柱C ．平面D ．长方体【知识点】棱柱定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】首先排除A ，C注意到题目说“不平行于矩形所在平面”，排除D．选择B【思路点拨】正确理解题目讲述的运动过程．【答案】B．4．右图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】三角形旋转产生圆锥，直角梯形旋转产生圆柱，选择A．【思路点拨】熟悉简单平面图形旋转后产生的几何体．【答案】A．5．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）条A．20 B．15 C．12 D．10【知识点】棱柱对角线的定义．【数学思想】枚举．【解题过程】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D．【思路点拨】正确理解对角线的含义．【答案】D．6．如下图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】圆在转动过程中产生球，圆环转动过程中产生一个大球和一个小球，故本题形成的几何体为一个中间空心的球体．【思路点拨】想象出圆转动产生球的过程． 【答案】一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球．能力型 师生共研7．如下图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，沿AE ，AF ，EF 将其折成一个多面体，则此多面体共有 条棱．【知识点】多面体展开图．【数学思想】【解题过程】此多面体由四个面构成，故为四面体，它有六条棱．【思路点拨】想象出该多面体的形状． 【答案】6．8．在下图所示的三棱柱ABC －111C B A 中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个四面体．【知识点】四面体的概念．【数学思想】【解题过程】如下图，连接A 1B ，BC 1，A 1C ，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A 1－ABC ，A 1－BB 1C 1，A 1－BCC 1．【思路点拨】不断尝试构造符合题意的分割方式．【答案】如图．探究型多维突破9．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是（）A．南B．北C．西D．下【知识点】柱体展开图．【数学思想】运动变化．【解题过程】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B．【思路点拨】发挥空间想象能力将正方体还原．【答案】B．10．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是________【知识点】长方体对角线长度公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】设该长方体的长宽高分别为z,，由已知可得：yx,2=xy ；3=yz ；6=xz ，解得3,1,2===z y x对角线6222=++=z y x d ．【思路点拨】设未知数，用它们表示已知条件． 【答案】6．自助餐1．棱柱至少有（ ）个表面．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点】棱柱定义．【数学思想】【解题过程】三棱柱表面最少，有五个表面．【思路点拨】考察极端情形．【答案】C ． 2．给出下列命题，其中正确的个数为（ ）．（1）直线绕定直线旋转形成柱面；（2）曲线平移一定形成曲面；（3）直角三角形绕它的一条边旋转形成一个圆锥；（4）半圆绕定直线旋转形成球．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】旋转体定义．【数学思想】 【解题过程】（1）可能形成锥面；（2）可能形成平面；（3）绕斜边旋转形成两个圆锥；（4）半圆未必绕直径旋转；故全部错误．【思路点拨】尽量寻找反例． 【答案】A ．3．正方体有 个对角面．【知识点】正方体的性质．【数学思想】枚举法【解题过程】逐一考察知正方体有六个对角面． 【思路点拨】枚举时制定一个分类标准，做到不重不漏．对于棱柱，不相邻的两条侧棱确定的面叫做对角面．正方体是特殊棱柱．【答案】6．4．下列判断正确的是________ （填序号）．（1）直平行六面体是长方体；（2）正四棱柱是长方体；（3）各个侧面都是矩形的四棱柱是长方体；（4）底面是矩形的四棱柱是长方体．【知识点】特殊柱体的定义．【数学思想】【解题过程】（1）底面可能是菱形；（2）正确；（3）底面可能是三角形；（4）可能是斜四棱柱，故只有（2）正确．【思路点拨】弄清各种特殊棱柱的定义．【答案】（2）．5．下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．【知识点】柱体展开图．【数学思想】分类讨论【解题过程】爬行路线如下图(1)—(6)所示：分别展开，算出直线距离．可知AB 间的最短距离为A 、B 两点间的线段的长51222=+．【思路点拨】平面内，两点间线段最短． 【答案】5．6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，求每条侧棱的长度．【知识点】棱柱的顶点和侧棱定义．【数学思想】 【解题过程】n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm ．【思路点拨】设未知数，列方程求解． 【答案】12 cm ．。
空间几何体 直观认识 精华
C1
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
D O A B E
C
D1 O1 A1 B1 E1
C1
旋转体：圆柱、圆锥、圆台和球
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是 什么？
1.圆柱的结构特征
(1)圆柱的形成
(2)圆柱的结构特征
A’ O’
轴
以矩形的一边所在直线 为旋转轴,其余边旋转形成 的曲面所围成的几何体叫做 圆柱。
4.
球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所 形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体， 简称球。
直径
O
球心 半径
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截 一个球，截面是圆面。
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面 的字母表示，如四棱锥S-ABCD。
4.特殊的棱锥 S
（1）正棱锥
正棱锥：如果棱锥的底面 是正多边形，且它的顶点 在过底面中心且与底面垂 直的直线上，则这个棱锥 叫做正棱锥。
E
A O C M D
B
正棱锥性质
1、底面是正多边形； 2、顶点和底面中心的连线与底面垂直； 3、側棱长都相等； 4、各侧面都是全等的等腰三角形； 5、斜高都相等；
5．特殊的四棱柱：
（3）底面是矩 形的直平行六 面体叫做长方 体； （4）棱长都相 等的长方体叫 做正方体.
几种四棱柱（六面体）的关系：
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
底面为
正方形
多面体与旋转体
第二章多面体与旋转体棱锥的概念和性质教学目的1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．教学重点和难点教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形．教学设计过程师：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化？（将金字塔、帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生）师：（学生观察后）我们将现实生活中的实例抽象成数学模型，就得到新的几何体棱锥．（板书课题）师：你们能描述一下棱锥的本质特征吗？（提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述）生：底面可以是任意多边形，侧面必须是三角形．师：这些三角形必须有共同的什么呢？生：有一个公共顶点．师：（小结）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．（这样由观察具体事物，经过积极思维，然后抽象出事物的本质属性，形成概念，是培养能力，提高效果的好办法）师：请同学们看图1．（可做成覆盖片，依次介绍棱锥各部分名称及表示法）表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．师：与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥．（由于本节重点是解决正棱锥的性质问题，故对棱锥的表示法及其分类宜简不宜繁）师：由于在实际中遇到的往往是一种特殊的棱锥——正棱锥，它的性质用处较多，所以下面重点研究正棱锥的概念及性质．师：对比正棱柱定义能描述一下正棱锥吗？（类比是重要的数学方法之一）生：底面是正多边形的棱锥．师：对吗？思考一下，棱柱定义在补充几点后才是正棱柱．（学生议论后回答）生：应该是底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥．师：很好！以上两条是缺一不可的．即由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．（可拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认，根据定义指出哪一个是正棱锥）师：正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．下面我们以正五棱锥为例，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？（将图2出示给学生）生：各侧棱相等、各侧面都是全等的等腰三角形．师：为什么？生：可通过全等三角形得证．（口答证明）证明：连结OA，OB．因为正棱锥S-AC，SO为高，所以OA=OB，∠SOA=∠SOB=90°，SO=SO，所以△SAO≌△SBO．所以SA=SB．故△SAB为等腰三角形．其它同理可证．师：很好！若我们把等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高．请在图2中作出两条斜高．生：作SF⊥BC于F，SG⊥AE于G两条斜高，也可取BC的中点F，连结SF．师：那么斜高有什么性质呢？生：斜高相等．师：想一想，正棱锥的高与斜高有何区别？生：高是顶点到底面的距离，而斜高是顶点到底边的距离．师：再联系一下垂线段、斜线段的有关知识呢？生：高是顶点到底面的垂线段，斜高是顶点到底面的斜线段．师：所以它们之间的大小关系如何呢？生：恒有高小于斜高．师：对于一般棱锥其侧面不是等腰三角形，棱锥的高是指顶点到底面的距离，垂足是可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外的．我们刚才所得到的性质都是对正棱锥而言的．下面我们来研究如何利用这些性质解决具体问题．师：请同学们看例一．（板书）已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角；（4）侧面与底面所成的角．师：根据题目，需要画正四棱锥的直观图，画图的步骤是：先画平行四边形，找中心，画高线，最后连侧棱．（图3）（正四棱锥的直观图的画法下节才讲，本节课只要求学生按以上四步完成即可，教师边说边画）师：这道题让我们求哪些量？生：侧棱、高这两条线段的长及两个角．师：其实就是求距离及角，是两个什么样的角呢？生：一个是线面角，一个是面面角．师：你们准备怎样求？生：先把已知量和未知量在图形中找到，再想办法把它们联系起来，利用正棱锥的有关性质解题．（稍停后，学生口述，教师板书）生甲：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取BC的中点M，连结SM，OM．因为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在Rt△SMB中，生丙：因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在生丁：因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所=60°．（解题中用到的每一直角三角形在图3中用彩笔描出）师：此例中几个提问都显示了直角三角形在解决正棱锥计算问题中的作用．观察图3中彩色部分，有几个直角三角形？生：4个．师：哪4个．生：Rt△SMB，Rt△SOM，Rt△SOB，Rt△OBM．师：再观察一下这4个直角三角形围成了一个什么新的几何体？生：一个小三棱锥．师：推广到一般正棱锥中，都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥的关键部分，一般的棱锥也有类似的关键部分．那么这个小三棱锥涉及到了正棱锥的哪几个量呢？（将图3做成抽拉片，把彩色部分抽拉出来，让学生看起来更直观，逐一回答）生：Rt△SBO的三边分别是正棱锥的高、侧棱、底面正多边形的半径．生：Rt△SMO的三边分别是正棱锥的高、斜高、底面正多边形的边心距．生：Rt△SBM的三边分别是正棱锥的侧棱、斜高、底面正多边形边长的一半．生：Rt△OBM的三边分别是底面正多边形的边心距、底半径、底边长的一半．师：还涉及到了哪几类角呢？生：有线面角∠SBO，是侧棱与底面所成的角．有二面角∠SMO，是侧面与底面所成的角．师：所以说这个小三棱锥集中反映了正棱锥的线面关系．在正棱锥的有关计算问题中，主要涉及以下基本元素l，h，h＇，a，R，r，线面角、侧面和底面所成二面角的平面角，我们看到这些基本元素通过四个直角三角形有机地联系在一起，围成一个各个面都是直角三角形的小三棱锥．因而解题时可以将题目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算．正棱锥中的几个重要直角三角形及所涉及到的两类角，是正棱锥的又一性质．当然这四个直角三角形中尤其以前两个更为重要．（稍停）师：请同学们看例二．求：侧棱长及斜高．（要求学生自己思考，多种方法求解）生：连结OA．因为正三棱锥V－ABC，VO为高，取BA的中点D，连结VD，师：很好！还有其他解法吗？生：求斜高VD时，不在Rt△VAD中完成．可连结DO．师：同学说的这两种方法都是在前面所提到的正棱锥中的基本图形中完成的，还有其他办法吗？（可启发学生能否在一个三角形内完成）生：连结CO并延长交AB于D，连VD，则AD=BD=3．师：此例告诉我们，在正三棱锥中可以在基本图形小三棱锥V－ADO中计算，还可以利用△VCD进行计算．△VCD也集中了正三棱锥的主要基本量，是正三棱锥的又一基本图形，这是其它正棱锥所没有的．当然不管利用上面哪种方法，都是借助基本图形，把不相关的元素向相关元素转化．师：下面自己完成这道课堂练习，巩固前面所获得的解题方法．已知：正三棱锥的侧面与底面所成的角为60°．求：侧棱与底面所成角的正切．师：这节课我们重点研究了正棱锥的性质，请同学们把正棱锥的性质概括一下．（学生说教师把正棱锥的性质用投影片逐一打出）生：正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．师：在正棱锥的计算过程中我们通常可用什么办法？生：可将题目中的各个量转化到其基本图形中．师：什么是正棱锥的基本图形？生：就是性质中所提到了，由四个直角三角形组成的小三棱锥．师：那么各个量转化到这个基本图形中后，又如何解决呢？生：可利用直角三角形的边角关系进行计算．师：这说明什么？生：说明我们是在平面内解决的．师：所以说，把空间问题有计划地转化为平面问题是解决立体几何问题的关键．（进一步培养学生空间问题向平面问题转化的思想）师：作业是课本p．62，2，3．补充题：已知：正棱锥的底面边长为a，底面多边形的边心距为r，棱锥的高为h．求：它的侧棱长．［提示：如图7，在Rt△SOM中，SM2=h2＋r2．在Rt△SAM中，课堂教学设计说明本教案的教学步骤完全是围绕正棱锥的性质这个中心而展开的．为了让学生深入认识及掌握正棱锥中的基本图形，共设计了四个层次：（1）通过对具体几何体的观察引出棱锥的概念．（2）通过棱柱及棱锥的类比引入正棱锥的概念．（3）正棱锥的性质．（4）例题与巩固练习仍以正棱锥的性质为中心，使学生对正棱锥中的基本图形的认识更深刻、更全面．在教学中对前两个层次宜简不宜繁，而后两个层次的教学内容才是本节课的重点．本节课从棱锥的概念—正棱锥的概念—正棱锥的性质—正棱锥计算问题中的思想方法，脉络清晰，容量大，有关概念与性质较多，故采用了电教手段．把某些概念、性质或知识关键点制成了投影片，这样既节省时间，又增加其直观性，起到事半功倍的作用．应当指出的是，在教学过程中并没有采取把正棱锥的性质同时全部讲授给学生，而是通过对例题的分析与处理，自然而然地引出正棱锥的最重要的性质，即正棱锥中的四个重要直角三角形．再通过学生对图形的观察，上升到由这四个直角三角形围成的小三棱锥，引出正棱锥中的基本图形．这样既给出了正棱锥的性质、又给出了解决正棱锥问题的解题方法．使学生清楚地看出，把正棱锥的问题归结为四个直角三角形的计算，是解决正棱锥问题的基础．至于正棱锥的性质，是在本节的小结中让学生自己进行了系统的归纳．正是基于侧重讲正棱锥性质的应用、讲解题方法、讲数学思想，因而例题与巩固练习都没有选择较难的应用性习题．本教案正是避免了出现应用正棱锥性质计算或推理的难题，把主要精力放在先使学生认识正棱锥中的基本图形，并认识到它的重要性，而后给出解决正棱锥有关计算问题的普遍方法．通过本节课的教学，要让学生掌握图形中的基本图形是图形的一些基本元素所集中的部位，它把图形的各主要元素紧密地联系在一起．掌握并熟悉这些基本图形有助于计算和证明所给的题目．图形中的基本图形往往是变立体几何为平面几何的最后归宿．最终点明，我们解决立体几何问题的关键，就是要有计划地把空间问题转化为平面问题．。
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课题: 6.1.1 认识多面体和旋转
【教学目标】
了解多面体和旋转体的基本概念,认识多面体的面、棱、顶点、对角线及旋转体的轴和母线；通过学习认识空间几何体的结构特征，提高学生的归纳总结能力，培养学生由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法。
【教学重点】
多面体和旋转体的有关概念
【教学难点】
多面体和旋转体的基本概念，初步形成空间想象力
【教学方法】
观察演示探究
【教学过程】
教学
环节教学内容师生活动二次修改
导入
PPT展示：在现实生活中，我们周围存在着很多
形状各异的几何体，让学生观察它们的结构特点
圆形的方形的，多面的，旋转的都有
教师展示图形，并
分析这些图形的结构特
点，学生认真观察，并
回答老师提出的问题：
这些图形各有什么特
点？
估计学生认识到：方的，
圆的，有尖的等多面体
教师分析所展示图形并
板书多面体。