02汇交力系

F Fxi Fy j Fzk
分力与投影的区别：分力是矢量，投影是代数量
14
力的投影和力的分力的区别 力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆：
Fx X Fy Y Fz Z
仅对直角坐标系成立， 对斜坐标系不成立。
15
例2-1-1
长方体三边长分别为a b 3 m ,c 2 m。长方体上作
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的
大小和方向：
F
F2 x
F2 y
cos Fx cos Fy
F
F
11
➢力在空间直角坐标轴上的投影
a.直接投影法
Fx =Fcosα Fy =Fcosβ
Fz =Fcosγ
力的大小:
F= Fx2 +Fy2 +Fz2
方向余弦: cosα= Fx cosβ= Fy cosγ= Fz
v
v
FR = Fi = Fixi+Fiy j+Fizk = Fix i+ Fiy j+ Fizk
FRx = Fix FRy = Fiy FRz = Fiz
18
根据合力投影定理得
FRy F1y F2y L Fny Fy
FRz F1z F2z L Fnz Fz
合力的大小
F
F
F
12
b.二次投影法
Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos Fy Fxy sin F sin sin Fz F cos
13
4.力在坐标轴上的分解：
设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空间三正
交分力：Fx、Fy、Fz。
则
vv v v F=Fx +Fy +Fz
α α
y
α
x
y
α
x
31
因为α很小，所以可取 tg
F TBA
Gctg 2
G
tg 2
800 0.12
N
80kN
显然，拔桩力为
F' TBA
F TBA
80kN
32
例2-2-5
例.用AB杆在轮心铰接的两匀质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自 重，试求：（1）设两轮重量相等，平衡时α；（2） 已知A轮重GA，平衡时，欲使α=0的B轮的重量GB 。
FBC
FT
FT G 6kN
由式（1）、（2）解得：
G
FBC=-12.9kN（BC杆受压）
FBA= 9.5kN（AB杆受拉） 29
例2-2-4
例.图为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架 子上，B点与拴在桩A上的绳索 AB连接，在D点加 一铅垂向下 的力G。AB可视为铅垂，BD视为水平。 已知α=0.1rad，G=800N，求绳索AB中产生的拔桩 力。
R
θ 40.99, β 49.01
20
江苏工业学院机械系力学教研室
2.2汇交力系的平衡 条件
21
汇交力系平衡的几何条件
平衡条件—— F 0 力多边形自行封闭 i
22
例2-2-1
已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计；
求：CD杆及铰链A的受力.
解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图.
F cos30 1
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
cos 45
129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 F sin 60 F sin 45 F sin 45
1
2
3
4
112.3N
F F 2 F 2 171.3N
R
Rx
Ry
cosθ FRx 0.7548 F
R
cos β FRy 0.6556 F
用几何法，画封闭力三角形. 或
按比例量得 F 28.3kN, F 22.4kN
C
A
23
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先
假定的该力指向和实际指向相反。
投影法步骤：
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设 的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0， ∑Fy=0， ∑Fz=0，求解。
FD D
(b)
(a)
由力三角形可得：FB
sin 180
sin
P
（5） 代入数据求得：
J
FB=750 N。
I
P
FD
FB
(c)
K
37
法二：
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
(2) 列出平衡方程：
y
Fx 0
Fy 0
FB P cos 45 FD cos 0
FD O P
45°
FB
用三个力 F1 100 N , F2 200 N , F3 300 N , 方向如图
所示。求各力在三个坐标轴上的投影。
z
30o
F2
A
B
c
F1
F3
b
aO
y
C
x
16
解：
F1x 0 F1y 0 F1z F1 100
A
F2x F2cos60o= 100
v F1
z
30o v
F2
B
cv
F3
F2y F2cos30o= 100 3 F2z 0
(b)
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
P
FD
J
FB
K
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、FB 和FD 的闭和力三角形。 36
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
C
O
O B E 6 arctg0.25 142'
D
P
A
B FB
B′
x
9
3.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
F F cosθ x
F F cosβ y
力在轴上的投影是代数量
力沿坐标轴的分解
F=Fx +Fy
10
y
➢力在平面正交坐标轴上的投影：
Fx F cos Fy F cos
b´Fy
a´
Oa
B F Fx
bx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向 间夹角的余弦。
α α
30
解： D结点
Y 0, F TDE sin G 0
(1)
X 0, F TDE cos F TDB 0 (2)
F Gctg TDB
B结点
F' TDB
F TDB
X 0,
F
TBC
sin
F
' TDB
0
(3)
Y 0, F TBC cos F TBA 0 (4)
F TBA Gctg 2
例2-2-6
水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴 线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活 动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
A
B
C
30º
a
a
60º 60º
30º
30º
(a)
(b)
解：
(1) 取梁AB 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、FA 和FB 的闭合力三角形。 (4) 解出：FA=Pcos30=17.3kN，FB=Psin30=10kN 35
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦
vv cos(FR , i )
FRx FR
v cos(FR ,
v j)
FRy FR
vv cos(FR , k )
FRz FR
19
例2-1-2 已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力.
解：用解析法
F Rx
F ix
B
α
33
α
解：
A轮:
B
GA
FAB
α
FNA
GB
α
B
FAB’
FNB
F x 0, F AB cos(300 ) GAsin 300 0 (1)
B轮:
F y 0,
F
' AB
sin(300
)
G
B
sin
600
0
(2)
其中:
F
' AB
F
AB
(3)
由以上三式可求得： （1）当GA=GB时，α=300
（2）当α=0时，GB =GA/3 34
a
b
v O 30o rc 45o
y
C
F3x F3cos30osin45o= 75 6 x
F3y F3cos30ocos45o= 75 6
F3z F3sin30o=150
17
5. 汇交力系合成的解析法
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上
的投影的代数和。
证明：
空间汇交力系的合力
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
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江苏工业学院机械系力学教研室
例2-2-3
例.桅杆式起重 装置简图如图所 示，已知重物D 重G=6kN,忽略各 杆的重量、滑轮 的大小和重量、 钢索的重量，试 求重物匀速上升 时横杆和斜杆所 受的力。
28
D
x
FD sin P sin 45 0
(b)
又 142 '
sin 0.243 , cos 0.969
联立求解，得
FB 750 N
38
F2
F1
v v v v v 4v
表达式：F
=
R
F
+
1
F
+
2
F
+
3
F
=
4
F
i
i=1
5
➢力多边形法则 ➢汇交力系的合成结果
v F4
v
FR
v F3
ov F1
v FR
v
o F2
v F2
v F4
v F3 v F1
6
二、力的投影
1.力 在任一轴上的投影 （1）力 与轴共面： 以X表示力 在x轴上的投影，则X=±ab。
例2-2-7
图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力
P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅 直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线 DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。
A
P
来自百度文库
P
A
24
O
C
BE
6
O
B FB
D
FD D
解：
(a)
汇交力系
1
汇交力系
汇交力系
平面汇交力系 空间汇交力系
三角架
2
2.1汇交力系的合成
3
一、力的多边形法则
几何法的依据——平行四边形则（或三角形法则）
v vv
F
=
R
F
+
1
F
2
4
多个汇交力的合成——力的多边形法则
v
v
F3
F4
v
vF 2
o F1
v FR
v F4
v
F R123 v
v F3
F R12
v
ov
24
例2-2-2 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC为二力杆，取轮B，画受力图.
F ix
0
F F cos60 F cos30 0
BA 1
2
F iy
0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
F 7.321kN BA
F 27.32kN BC
25
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
26
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
7
（2）力与轴不共面：
过力 的起
点和终点分别
A
作平面垂直于x
轴，则X=±ABˊ
= ± ab
a
v F
B
α
B’
x
b
x
（3）正负号规定： 若α为 与x轴正向的夹角，则X=Fcosα
8
2.力在平面上的投影：
F F cos xy
O
注意： 力在轴上投影是代数值。 力在平面上的投影是矢量。
F
B
A
y
Fxy
A′
解： （1）取研究对象：滑轮B与重物D
（2）作受力图:设各杆受拉
（3）建立直角坐标系Bxy
（4）建立平衡方程，求未知量
y
FBA
X 0 : F T cos 600 F BA F BC cos 600 0 (1)
x
600
600
Y 0 : F T sin 600 G F BC sin 600 0 (2)