理论力学--第2章 平面任意力系讲解
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理论力学第2章平面任意力系
力系的平衡条件
1 平衡是什么？
当一个力系的合力和 力矩均为零时，力系 处于平衡状态。
2 两种平衡条件
3 例子带你理解
静力平衡：合力为零； 动力平衡：合力和力 矩均为零。
想象一根平衡的杆子 上有两个重物，它们 的合力和力矩必须为 零才能保持平衡。
力系的分解与合成1源自分解为矢量我们可以将力系拆分为矢量来计算各个力的作用效果。
3 举个例子！
假设我们有一辆汽车，它受到来自引擎、摩擦力和空气阻力的多个力的作用，这些力构 成了一个平面任意力系。
力系的合力和力矩
1 合力是什么？
合力指的是将力系中所有力的作用效果合成为一个力的过程。
2 力矩有何作用？
力矩描述了力对物体的旋转效应，它是力与力臂之乘积。
3 实际应用！
在建筑工程中，我们需要计算各个力的合力和力矩，以保证结构的稳定性和安全性。
2 应用广泛
平面任意力系的原理和方法在工程、建筑、力学等领域有着广泛的应用。
3 继续探索
通过实际问题的解题和应用，进一步深入理解和掌握平面任意力系的知识。
2
合成为合力
将分解后的矢量合成为一个力，即合力。
3
应用灵活多样
分解与合成的方法在解决实际问题时非常有用，可以简化复杂的力系分析。
力系的简化
简化示意图
通过使用简化的示意图，我们可以更清晰地表 示和分析复杂的力系。
矢量图
利用矢量图的方法，我们可以将复杂的力系简 化为几个简单的力的作用效果。
解题方法与实例
理论力学第2章平面任意 力系
欢迎来到理论力学第2章的精彩世界！在本章中，我们将了解平面任意力系的 定义、合力和力矩、平衡条件、分解与合成、简化、解题方法、实例以及总 结与应用。
理论力学平面力系2
§2-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F’R=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢R’ 和主矩 MO 都等于零，即：
′ FR = (∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 = 0
M O = ∑ M O (Fi ) = 0
48
∑F ∑F
ix
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
M F
45o
q
A l
B
56
解：
1. 取梁为研究对象，受力分析如图
M F
45o
2. 列平衡方程
∑ Fx = 0,
FAx − F cos 45o = 0
q
A l
B
∑ M (F ) = 0
A
∑ Fy = 0,
FAy − ql − F sin 45o = 0
y
q FAx
A
M
45o
l M A − ql × − F cos 45 o × l + M = 0 2 3. 解方程 FAx = F cos 45o = 0.707 F F
F A
F B
66
刚架 ABCD 所受载荷和尺寸如图所示。其中，集中力 F=8 kN ， 均布载荷的集度 q = 100 N/m，力偶矩大小M = 4 kN•m。如果不 计刚架的重量，求固定铰链支座A 和活动铰链支座D对刚架的约 束力。 θ = 60 o
由于 F’R=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢R’ 和主矩 MO 都等于零，即：
′ FR = (∑ Fix ) 2 + (∑ Fiy ) 2 = 0
M O = ∑ M O (Fi ) = 0
48
∑F ∑F
ix
一矩式
O
A
( Fi ) = 0
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即
B
( Fi ) = 0
∑F
ix
= 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求 解两个独立的未知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
52
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
M F
45o
q
A l
B
56
解：
1. 取梁为研究对象，受力分析如图
M F
45o
2. 列平衡方程
∑ Fx = 0,
FAx − F cos 45o = 0
q
A l
B
∑ M (F ) = 0
A
∑ Fy = 0,
FAy − ql − F sin 45o = 0
y
q FAx
A
M
45o
l M A − ql × − F cos 45 o × l + M = 0 2 3. 解方程 FAx = F cos 45o = 0.707 F F
F A
F B
66
刚架 ABCD 所受载荷和尺寸如图所示。其中，集中力 F=8 kN ， 均布载荷的集度 q = 100 N/m，力偶矩大小M = 4 kN•m。如果不 计刚架的重量，求固定铰链支座A 和活动铰链支座D对刚架的约 束力。 θ = 60 o
理论力学—平面任意力系
•
平面简单桁架的内力计算
一、 平面任意力系向作用面内一点简化
1. 力的平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点B 的矩。
F′ 提问：若刚体上有n个杂乱分布的力，现在要把这些力全部平移 F′ B B M B 到一个共同的作用点，会得到什么结果？ F″ F ＝ F ＝ A A A
的最后合成结果。（对O点和对B点的简化结果，以此说明任意力系的简化结果中主矢与简化中
心无关，而主矩是有关的，见书上思考题4-3）
y
F2
60°
A
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
解：
求向O点简化结果 1.求主矢 。 FR
y
建立如图坐标系xOy。
F2
60°
A
B
F3
x Fx FR
2m
主矢的方向：
x FR , i cosFR 0.614 FR y FR , j cosFR 0.789 FR
y
, i 52.1 FR
, j 37.9 FR
y B
A
2m
F2
60 °
B
F3
A
F1 O C
3m
F4
30° x
MO
Fx 0,
Fy 0,
F
x
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
y
q FAx MA
A l
M
45
B
M A F 0, l M A ql F cos 45 l M 0 2
理论力学平面任意力系课件
则都是基于矢量运算的基本原理。
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
2平面任意力系1 PPT课件
中心
平 面
F2'F2
M2 MO F2
任 意
力 系
Fn'Fn
Mn MO Fn
的
简 化
F R' F i' F i M M i M O F i
主F 矢 R F i 主 M O 矩 M O F i
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
例题一
arcR xca orsc2c .5 5o 5 9.s 4 208
第 三 节
R'
25kN
MA
d
A
R
20kN
60o
4.0 21
B
平
30o
面 任
1m
1m
1m
18kN
意
力 系
求力R系的主矩
的 简
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o
c
bo
图中 a=3m,b=1.5m,
W1
c=6m, l=10m,
W=m2g, P =m3g Q
W1=m1g。
L
y
x
x FR
a
图3-7 例题3-2图
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
【解】机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为W1 、 W、 Q。这是一个平面一般力系的特例——平面平行力系。
化
= 32.64 kN·m
dM A3.2 64 0.77m 7 R 4.2 01
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
建筑力学讲义之平面任意力系_secret
3、平面任意力系3．1力的投影、力对点的矩3.1.1 力在坐标轴上的投影已知合力求分力公式：已知分力求合力公式：力投影的要点：力平移力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。
3.1.2 力对点的矩力F与距离d两者的乘积Fd来量度力F对物体的转动效应。
转动中心O称为力矩中心，简称矩心。
矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。
改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。
力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积Fd。
（2）力使物体绕O点的转动方向。
M O(F)= ±Fd通常规定：逆为正，反之为负。
在平面问题中，力矩为代数量。
力矩的单位：米牛顿⋅（m N ⋅）或米千牛顿⋅（m kN ⋅）。
M O (F )=±2△AOB力矩在下列两种情况下等于零： （1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
3．2平面任意力系的简化3.2.1 力的平移定理平面任意力系：指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。
力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点之矩。
3.2.2平面任意力系向作用面内任一点简化设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图3－1（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点o 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到o 点（图3－1（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m 。
其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′=F 1，F 2′=F 2，…，F n ′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O 点之矩，即,)( ,)( ,)(n 0n 202101F F F M m M m M m ===由平面汇交力系合成的理论可知，F 1′，F 2′，…，F n ′可合成为一个作用于O 点的力R ˊ，并称为原力系的主矢（图3－1（c ）），即R ′= F 1′+F 2′+…+F n ′= F 1+F 2+…+F n =∑F i （3－１）求主矢R ′的大小和方向，可应用解析法。
理论力学平面任意力系资料课件
稳定性判定准则
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
理论力学第二章(2)
合力FR 的大小等于原力系的主矢
合力FR 的作用线位置
MO FR
小结：平面任意力系简化结果讨论
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
21
简化为一个力：
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi ) i 1
主矩与简化中心的选择有关
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
10
1、主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
11
平面任意力系向作用面内一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（复杂力系）
（两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力，FR‘(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学教学材料-第二章
3 . 固定端支座
固定端（插入端）约束 : 既不能移动，又不能 转动的约束
FAx 固定端约束简图 FAy
4 . 简化结果分析 合力矩定理
● F′ =0，MO≠0 R ● F′ ≠ 0，MO=0 R
● F′ ≠ 0，MO ≠0 R
● F′ =0，MO=0 R
1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形
MO＝0
力 偶
平 衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
8. 力在空间直角坐标轴上的投影
z
直 接 投 影 法
二次投影法
O F z
y
O
F
Fxy
y
x
X F cos Y F cos Z F cos
x
X F sin cos Y F sin sin Z F cos
例题3
在长方形平板的O， A，B，C点上分别作用有四 个力：F1=1 kN，F2=2 kN， F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对O点 的简化结果，以及该力系的最 后合成结果。
y
F2 A
60°
B
F3
2m
F1
C
F4
30°
x 3m
O
解：(1)求向O点简化结果
1).求主矢 FR 。
§2-3 平面任意力系向一点简化
1.力的平移定理
F′ F B d A F′′ M B A F′
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A 的力F平行移到同一刚体上 的任意点B，但必须同时附 加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力F对新作 用点B的矩。
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
平面力系(二) 哈尔滨工业大学理论力学
（主矩 Mo ）
Mo = Mo(F)
16
(2)力系简化为合力
(a)若 FR ′ 0 , Mo = 0 原力系简化为一个作用于简化中心O 的合力 FR ′ （主矢）。
FR/ Fi
17
(b)FR ′ 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力 , 其大小和方向均 与 FR ′相同 。而作用线位置与简化中心点 O 的距离为:
FR FRx2 FRy2 702 1502 165.53N
arctg
FRy FRx
arctg
150 70
65 0
24
y
F2
450 F2X
F2y
F1y
(-3,2) MO (2,1)
O
F1
5 β 12
F1X x
cosβ=12/13 sinβ=5/13
M (0,-4)
F3
MO = mO( Fi ) = - F1 cosβ × 1 + F1 sinβ ×2
O
d
A
Mo(FR) = FROA = MO MO = Mo(Fi) Mo(FR) = Mo(Fi)
20
例题: 求图示力系合成的结果。 已知：F1 100yN，F2 100 2N，F3 50N，M 500N.m
F2 450 (-3,2)
(2,1)
O
F1 5 β 12
x
M (0,-4)
F3
cosβ=12/13 sinβ=5/13
21
y F2
450 (-3,2) (2,1)
O
F1 5 β 12
x
M (0,-4)
F3
cosβ=12/13 sinβ=5/13
解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：
理论力学-平面任意力系
平面任意力系可能由 多个力的叠加构成， 具有较高的复杂性。
平面任意力系的特点
多方向性
平面任意力系可以有从不同方向作用的力。
多点作用性
平面任意力系可以有多个作用点。
力的大小不同
平面任意力系中的力可以有不同的大小。
力的叠加
平面任意力系可能由多个力的叠加构成。
平面任意力系的合力和力矩求解方法
1
合力求解方法
Hale Waihona Puke 理论力学-平面任意力系通过本讲，你将深入了解平面任意力系的定义、特点、合力和力矩求解方法、 平衡条件、实际应用，以及解题步骤。准备好开始你的力学之旅吧！
平面任意力系的定义
1 什么是平面任意
力系？
平面任意力系是指位 于同一平面内的多个 力的集合。
2 力的方向和作用点 3 任意力系的复杂性
力可以有不同的方向 和不同的作用点，但 都在同一平面内。
将所有力按照矢量法则相加，求
力矩求解方法
2
得合力的大小和方向。
通过力矩定理，求得平面任意力
系的力矩。
3
力矩的方向
力矩的方向垂直于力的平面。
平面任意力系的平衡条件
力的平衡
合力为零，即所有力合成为零。
力矩的平衡
力矩的合力为零。
平面任意力系的实际应用
1 桥梁结构分析
分析桥梁结构的受力 情况。
2 机械设计
设计和优化机械系统 中的力的分布。
3 建筑结构设计
分析建筑结构的静力 平衡。
案例分析：平面任意力系的解题步骤
1
Step 1
分析力的大小和方向。
2
Step 2
计算合力和合力矩。
3
Step 3
理论力学第二章
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
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的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。
解: 在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x) = qx/l。在此处
取的一微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。
梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为
F
0l q(x)dx
ql 2
A
q(x)dx
q F
B
设合力作用线到A端的 距离为 xC ，
n
Mo = M1+M2+…+Mn= MO(Fi)
(3—2)
FR´——主矢
i 1
Mo ——主矩
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一
个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。
这个力偶的矩等于该力系的主矩。
3
F2
F1
y
F2´
F1´
M2 j
M1
y
FR
MO ´
j
o Fn
o
x
Mn
Fy F1sin45 F2
3
F1
1 1
100
Oi
1 2
10
200
1
F3
161.6 N 5
FR′ 437.6i 161.6 j 9
M O M O (F ) F1 0.1.sin45
y
F3 0.2
1 0.08F 21.44 N m 5
1F
F
´
得力系向点O的简化结果如图（b); FR ′ ( Fx )2 ( Fy )2
Mo = 0。
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
FR´= 0，Mo ≠ 0
原力系合成为合力偶，合力偶矩为
n
MO MO(Fi) i 1
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形
(a) FR´≠ 0，Mo = 0
原力系简化为一个力， FR´ 就是原力系的合力,合力作用
线通过简化中心O。
6
(b) FR´ ≠ 0，Mo ≠ 0
F
Bd
F´
F
Bd
F´
BM
A
F´
A
其中
F = F´ =´－F´´
M = Fd = MB ( F )
1
2 .平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢和主矩
F2
F1
o Fn
F2´
M2
o
Mn
Fn´
F1´
M1
FR
´
M
o
任意点O 为简化中心
F1´ = F1 ， F2´ = F2 ，… ，Fn´ = Fn
Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，…，n)
n
n
MO MO(Fi) (xiFyi - yiFxi)
4
i 1
i 1
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约 束称为固定端或插入端支座
MA FA A
A
FAy FAx
MA
5
3. 平面任意力系的简化结果分析
简化结果可能有以下几种情况，即：（1）FR´= 0，Mo ≠ 0； （2）FR´≠ 0，Mo = 0；（3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0；（4）FR´= 0，
7
平面任意力系的合力矩定理
Mo FR´
FR´
FR
FR
o
o´
o
o´
d
o
o´
d
FR´ ´
(a)
(b)
(c)
由图(b), 合力 FR 对点O的矩为 MO ( FR )=FRd = MO
由式（3—2）
MO
n
M
O
(Fi
)
i1
n
得 M O (FR ) M O (Fi )
i 1
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩
§ 2–4 平面任意力系向平面内一点简化
作用在物体上的 力的作用线任意分布在同一平面内（或 近似分布在同一平面内）的力系 ；当物体及所受的力都对称 于同一平面时，也为平面任意力系问题 。
1. 力的平移定理: 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新 作用点B的矩。
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
合力，合力作用线到简化中心O的距离为
平衡。
d MO FR'
12
平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
2
F2
F1
F2´
F1´
M2
M1
FR
MO ´
o
o
o
Mn
Fn
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过n点O的一个力FR´
FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ = Fi i 1
(3—1)
平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力 偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。
x
dx
xc
l
根据合力矩定理
F xc 0l q(x)xdx
xC
1 F
0l
qx 2 l
dx
ql 2 3
ql 2 l 23
11
小结
1. 力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶 的矩等于原来的力 对新作用点的矩。
2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化:可得一个力和一个力 偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力 偶的矩等于该力系的主矩。
Fn´
oi
x
取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，则力系主矢
的解析表达式为
FR' = FRx'+FRy' = ∑Fxi + ∑Fyj
主矢FR´的大小和方向余弦为
FR' = (∑Fx)2 + (∑F y)2
cos(FR', i) Fx FR '
cos(FR', j) Fy FR '
主矩的解析表达式
Mo FR´
o
o´
FR´
o
d
FR
o´
o
d
FR
o´
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
原力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用线在
点O的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O 的距离为d。
（3）平面任意力系平衡的情形
FR´= 0，Mo = 0
平面任意力系平衡。
等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 8
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。
求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的
距离。
解： Fx F1cos45 F2 1 10
F3 2 437.6 N 5
y
F
1F
´
3
F2
j
F3
x
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷