理论力学4 平面任意力系
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理论力学L4-4 空间力系简化
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OB OA) F1 AB
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学第四章任意力系
OI x
点
Fi
Fi
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
汇交力系 力偶系
合力 —— R'(主矢) ， (作用在简化中心)
合力偶矩——MO (主矩) ，(作用在该平面上)
O 点为简化中心: F1' F1 , F2 ' F2 ,, Fi ' Fi .
m1 MO (F1), m 2 MO (F2 ), , m i MO (Fi ).
tan1 FRx 70.83 0
FR
2）求主矩
y
O MO
MO 3F1 1.5P1 3.9P2 2355 kN m
x
FR '
y 3m
２）求合力与基线OA的交点到Ｏ点的距
▼
9m
F1
3m
P1
1.5
P2
3.9 m
离 x及合力作用线方程
▼
主矩：MO 3F1 1.5P1 3.9P2
y
3m
▼
P1
1.5
解:１）求 FR'x , FR'y
FR'x F1 F2 cos 300 70 cos16.7
232.9kN
▼
FR'y P1 P2 F2 sin
9m
F1
P2 F2 450 200 70sin16.7 670.1kN
3.9 m 3m
MO2
M O1 FR
FR
M O1
FR
o d O
o d O
MO1 是自由矢量，可搬到O'处
所以在O'点处形成一个力螺旋。
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
《理论力学》第四章-力系平衡试题及答案
理论力学4章作业题解4-1三铰拱受铅直力F 作用。
如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。
解答 左半拱为二力构件，A 处约束力作用线通过两铰。
整体为三力平衡力系，三力组成闭合的三角形如附图（a ），根据几何关系确定约束力的大小。
45sin sin sin B A F F F ==j a其中31tan =j ，043.18=j ，056.116=a 。
解得F F F F B A 79.0 ,35.0==。
4-3 已知F =10 kN ，杆AC ，BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC ，BC 对轮的约束力。
解：取脱离体轮C ，示力图如图所示，力F 1=F 2=F ，其合力通过轮心C ，故仍是汇交力系的平衡。
:0=åiyF 045sin 20=-F F BCKN FF BC 1.1445cos =°=045cos :010=-+=åF F F FAC BC ix0=AC F4-7 长2l 的杆AB ，重W ，搁置在宽a 的槽内，A 、D 接触处都是光滑的。
试求平衡时杆AB 与水平线所成的角a 。
设a >l 。
解答 取杆为研究对象，为三力汇交力系的平衡。
示力图如附图(a)所示。
在ΔADE 中，a cos AD AE =。
在ΔAEC 中，l AE ´=a cos 。
所以有l AD ´=a 2cos 。
在ΔA GD 中，a cos a AD =。
得a =a 3cos ，31cosl a -=a 。
F BCAC题3-4 附图F BF AF BF AFa45j(a)A (a)题4-7 附图G4-9 AB ，AC ，AD 三连杆支撑一重物，如图所示。
已知W=10kN ，AB =4m ，AC =3 m ，且ABEC 在同一水平面内，试求三连杆所受的力。
解：取铰A 研究，示力图如图示，为汇交力系的平衡。
0=åix F ： 05430sin =´°+AD AB F F 0=åiy F ： 05330sin =´°+AD AC F F 0=åiZF： 030cos =-°W F AD联立求解KNF KNF KN F AD AC AB 5.115.36.4=-=-=4-8 图示结构上作用一水平力F 。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
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4.4.3 两种常见线分布载荷 在工程上，常把作用于结构上的主动力称为载荷。 载荷除点接触的集中力载荷外，还有以体分布及线、 面接触形式出现的分布载荷。如重力（体分布载荷）、 水压力（面分布载荷、工程上也常简化为线分布载 荷），土压力、风压力等。 单位体积、面积、长度上所承受的力称载荷集度。 体载荷集度的单位为N / m3，面载荷集度的单位为N / m2，线载荷集度的单位为N / m。
F1 F2 F F FRy
a
F 2 cos(FR , i ) 2F 2
再计算主矩
FR 2 F
F FR
45o MO A F B （ F2 a ） x
(FR , i ) 45
h F3
O
F F1 a a
M O Fa F1 0 2F2 a F3h F ( a h)
A
FAx MA
MA
固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用的 一群复杂的约束力。 固定端约束的约束反力表示为限制水平方向位移 的反力FAx和限制竖向位移的反力FAy，以及限制物体转 动的力偶矩为MA的反力偶。
4.4 平面任意力系的简化结果、合力矩定理
4.4.1 平面任意力系的简化结果分析 (1) FR 0 MO 0 平衡,（下节讨论）。
(2) 向A点简化：由于主矢 与简化中心的位置无关，所以
h F3
y O
F A F
FR
45o MA F x
FR 2 F
主矩
(FR , i ) 45
F1 a a
B （ F2 a ）
M A Fa F2a F3h Fh
(3) 向B点简化： 主矢
h F3
y O
F A F MB F a a B （ F2 a ） x
F FR = FR
简化中心O到合力矢 作用线的垂直距离d为
MO d FR
4.4.2 合力矩定理
因为 (合力偶) M O M O (F ) (主矩)
M O (FR ) FR d M O
所以
(合力偶)
M O (FR ) M O (F )
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等 于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
FR
45o
FR 2 F
主矩
(FR , i ) 45
F1
M B Fa 2F1a Fa
固定端约束的约束反力
物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束称 为固定端约束 。 固定端约束的受力特点是：它限制了被约束的物 体既不能沿某一方向移动，又不能绕某一点转动。
F A A
A
FAy
(2) 主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( F )
主矢与简化中心位置无关， 主矩与简化中心的位置有关。 主矢的大小和方向余弦
F1 y Fny Fy FRy 2 2 ( Fx ) ( Fy ) FR FRy FRx , i) , j) cos( FR cos( FR FR FR F1x Fnx Fx FRx
[证 ] 力 F
A
力系 F , F1 , F1'
F
A B
力F1 力偶（F , F1' ）
A
F F1
d B
F1
B
M=MO ( F )
M Fd MO (F )
4.3 平面任意力系向一点的简化
y F1 O A2 An F A1 F Fn F y F2
F2
M2 O F Mn
F1
M1 F x O
M O (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。 力对点之矩的解析式： MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
y
Fr cos Fx
Fr sin Fy
r sin y
y r O d
Fy A
F
r cos x
Fx
MO (F ) xFy yFx
（4-4）
x
x
4.2 力线平移定理 力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
FR
MO F x
Fn
O—简化中心
M1 MO (F1 ) M 2
F1 F1 F2 F2
… Fn Fn M (F ) … M n MO (Fn )
Байду номын сангаасO 2
(1) 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。
F1 F2 Fn F1 F2 Fn F FR
(2) FR 0 MO 0 合力偶 简化结果与简化中心O无关 (3) FR 0 MO 0
合力
简化结果与简化中心有关
(4) FR 0 MO 0 为最一般的情况。此种情况 还可以继续化为一个合力。
MO F O
FR
FR FR
O d O1
FR
O d O1
FR
O1
合力矢 等于原力系的主矢。
(1) 均布线载荷。 均布线载荷的合力大小
4 平面任意力 系
4.1 力对点之矩 力对刚体的作用使刚体产生两种运动效应，即移 动效应和转动效应。力对刚体的转动效应则用力对点 A 的矩来度量。 F对O点之矩，记为， MO (F )
O
F
B
（a）
MO (F ) Fd
d
O——力矩中心（Center of moment），简称矩心。 d——力臂 力矩是一个代数量，规定：逆时针取正号。 单位 ——牛· 米（N· m）或千牛· 米（kN· m）。
式中的i、j分别为沿x、y轴正向的单位矢量。
例4-1 如图所示刚体上作用平面力系F，F1，F2，F3，且F = F1 = F2 = F3。试求该力系向O点；A点；B点简化的主矢和主矩。 F 解：(1) 向O点简化：先计 算主矢。
A h F3 F1 a
y
F B （ F2 a ）
F3 F FRx