理论力学3—平面任意力系
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理论力学 平面任意力系例题
y
60
l
l
F
B
F
D
60
l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60
例 题 5
y l l D M
F F
x
0,
B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,
FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45
q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45
F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。
60
l
l
F
B
F
D
60
l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60
例 题 5
y l l D M
F F
x
0,
B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,
FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45
q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45
F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
工程力学-材料力学-第03章 平面任意力系(邱清水)
3.1
（2 M O F M 2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 2.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，故最后合成结果是一个合力 FR，合力到O点的距离为
d M O FR 0.421 m
A B C
附加条件：A，B，Ｃ 三点不共线直
为什么要附加条件？
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程：
如果选Oxy坐标系的y轴与各力平
行，则不论力系是否平衡，各力在x轴
上的投影恒等于零。 于是，平面平行力系的平衡的数 目只有两个 即
F 0 M F 0
y O
或
M F 0 M F 0
A B
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡方程的应用
力系平衡方程主要用于求解单个物体或物体系统平衡时 的未知约束力，也可用于求解物体的平衡位置和确定主动 力之间的关系。 应用平衡方程解题的大致步骤如下： 1）选取研究对象，画出受力分析图； 2）选取坐标系，列出平衡方程； 3）求解方程组。
2
FRy arctan FRx
F F F arctan F
2
2
2
x
y
y
x
3.1 平面任意力系的简化.主矢与主矩 3．固定端（或插入端）约束
图(a)为固定端约束在计算时所用的简图。物体在固嵌部分所 受力是比较复杂的（图(b)），但当物体所受主动力为一平面 力系时，这些约束力亦为平面力系，可将它们向A点简化得一 力和一力偶（图(c)）。这个力可用两个未知正交分力来代替。 因此，在平面力系情形下，固定端A处的约束作用可简化为两 F 个约束力 F Ax ， Ay和一个约束力偶 M A （图(d)）。
理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
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7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
论力学第三章课件
Fq
FAx
MA
FAy
解：取ABD为对象，受力图如图示。 其中Fq=1/2×q×3l=30kN
∑X=0： FAx+Fq–Fsin600=0
∑Y=0: FAy–P–Fcos600=0
MA–M–Fql+Fcos600l+Fsin6003l=0
解得：FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=–1188kN.m (与图示转向相反）
静力学/第三章：平面任意力系
■ 平衡方程的其它形式
1 二矩式： X = 0
B
A
x
C
A
A、B 连线不垂直 于x 轴
A、B、C 三点不 在同一条直线上
附加条件：
附加条件：
B
2 三矩式：
静力学/第三章：平面任意力系
■二矩式的证明：
必要性
即
力系平衡
二矩式成立
由力系平衡→
F1
F2
F3
Fn
二、 平面任意力系向一点简化，主矢和主矩
1、 简化 思路：用力的平移定理将各力移至同一点,然后再合成。
将每个力向简化中心O平移
任选一个 简化中心O
其中：
O
因此：
平面任意力系
平面汇交力系
+ 平面力偶系
O
F1’
M1
F2’
M2
F3’
M3
Fn’
Mn
静力学/第三章：平面任意力系
向O点简化
F1
静力学/第三章：平面任意力系
几点讨论： 根据题意选择研究对象 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位
FAx
MA
FAy
解：取ABD为对象，受力图如图示。 其中Fq=1/2×q×3l=30kN
∑X=0： FAx+Fq–Fsin600=0
∑Y=0: FAy–P–Fcos600=0
MA–M–Fql+Fcos600l+Fsin6003l=0
解得：FAx=316.4kN； FAy=300kN MA=–1188kN.m (与图示转向相反）
静力学/第三章：平面任意力系
■ 平衡方程的其它形式
1 二矩式： X = 0
B
A
x
C
A
A、B 连线不垂直 于x 轴
A、B、C 三点不 在同一条直线上
附加条件：
附加条件：
B
2 三矩式：
静力学/第三章：平面任意力系
■二矩式的证明：
必要性
即
力系平衡
二矩式成立
由力系平衡→
F1
F2
F3
Fn
二、 平面任意力系向一点简化，主矢和主矩
1、 简化 思路：用力的平移定理将各力移至同一点,然后再合成。
将每个力向简化中心O平移
任选一个 简化中心O
其中：
O
因此：
平面任意力系
平面汇交力系
+ 平面力偶系
O
F1’
M1
F2’
M2
F3’
M3
Fn’
Mn
静力学/第三章：平面任意力系
向O点简化
F1
静力学/第三章：平面任意力系
几点讨论： 根据题意选择研究对象 分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图 研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位
理论力学试题题目含参考答案
理论力学部分第一章 静力学基础一、是非题1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。
（ ）2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。
（ ）3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。
（ ）4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。
（ ）5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。
（ ）6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。
（ ）二、选择题1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为 。
① 1F －2F ；② 2F －1F ；③ 1F ＋2F ；2．三力平衡定理是 。
① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；② 共面三力若平衡，必汇交于一点；③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。
3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。
① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则；③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理；⑤ 作用与反作用定理。
4．图示系统只受F 作用而平衡。
欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30︒角，则斜面的倾角应为________。
① 0︒； ② 30︒；③ 45︒； ④ 60︒。
5．二力A F 、B F 作用在刚体上且0=+B A F F ，则此刚体________。
①一定平衡； ② 一定不平衡；③ 平衡与否不能判断。
三、填空题1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是。
2．已知力F沿直线AB作用，其中一个分力的作用与AB成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为度。
3．作用在刚体上的两个力等效的条件是。
4．在平面约束中，由约束本身的性质就可以确定约束力方位的约束有，可以确定约束力方向的约束有，方向不能确定的约束有（各写出两种约束）。
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行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，
这附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B
的矩。
B
F A
F〞B F'
F
A
B F'
M A
力的平移定理逆步骤，变可把一个力和一个力偶合成为一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
第三章 平面任意力系
3平面任意力系
• 3.1平面任意力系向作用面内一点的简化 • 3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 3.3物体系统的平衡-静定和超静定问题 • 3.4平面简单桁架的内力计算
3.1平面任意力系向作用面内一点的简化
3.1.1力的平移定理
定理：可以把作用在刚体上的点A的力F平
思考：三角形分布载荷处理？
y R mA
x q dx l
R
x d l
简化中心：A点
主矢
R
0l
x l
qdx
1 2
ql
主矩
L
mA
0l
x
x l
qdx
1 3
ql 2
简化最终结果
R=
R 1 ql 2
x
d
L R
1 ql2 3 1 ql
2l 3
2
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
F'R＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
B
F1
F2
C
A
F4 D F3
四个力是否平衡？
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
(1)平面任意力系简化为一个合力的情形：合力矩定理 如果主矢不等于零，主矩等于零， 平面任意力系简化为一个合力，合力通过简化中心。 如果主矢不等于零，主矩也不等于零， 力系可以进一步简化，简化为一个合力。
其中A、B、C三点不能在同一条直线上。
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、
B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过
A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，
则力系必平衡。
注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
qb2
3.2.3 平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
(2) 三矩式
M A(F ) 0 M B (F ) 0 MC (F ) 0
3.1.3平面固定端约束
• 一物体的一端完全固定于另一物体上所构成的约束 称为固定端约束，简称固支。
A
A
FAx A
M A FAy
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0， MO≠0 ; (4) F'R＝0，MO＝0
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
R R
A
C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
F2 F3
O
F2
F1
F3 F2 ' M2
F1
F3 '
O M3
M1F1Biblioteka 'FR '
O MO
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
力的平移定理
平面任意力系 =平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系的合力称为主矢，用 FR 表示
FR Fi
平面力偶系（原力偶和附加力偶）的合成结果为主矩
MO MO Fi xi Fiy yi Fix Mi
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
平面任意力系=平面汇交力系+平面力偶系 平面任意力系=主矢+主矩 主矢等于平面任意力系中所有力的和； 主矩值等于平面任意力系中所有力对简化中心 的矩之和。
主矢值与简化中心无关，作用于简化中心， 主矩值与简化中心有关，作用于平面上。
FR
O M O
O FR
FR
d
FR
O
FR
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
MO FR MO MO Fi
• 合力矩定理：平面任意力系对平面内任一点的 矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分 布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的 平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
3.2. 2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0
M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8
这附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B
的矩。
B
F A
F〞B F'
F
A
B F'
M A
力的平移定理逆步骤，变可把一个力和一个力偶合成为一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
第三章 平面任意力系
3平面任意力系
• 3.1平面任意力系向作用面内一点的简化 • 3.2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 3.3物体系统的平衡-静定和超静定问题 • 3.4平面简单桁架的内力计算
3.1平面任意力系向作用面内一点的简化
3.1.1力的平移定理
定理：可以把作用在刚体上的点A的力F平
思考：三角形分布载荷处理？
y R mA
x q dx l
R
x d l
简化中心：A点
主矢
R
0l
x l
qdx
1 2
ql
主矩
L
mA
0l
x
x l
qdx
1 3
ql 2
简化最终结果
R=
R 1 ql 2
x
d
L R
1 ql2 3 1 ql
2l 3
2
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
F'R＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
B
F1
F2
C
A
F4 D F3
四个力是否平衡？
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
(1)平面任意力系简化为一个合力的情形：合力矩定理 如果主矢不等于零，主矩等于零， 平面任意力系简化为一个合力，合力通过简化中心。 如果主矢不等于零，主矩也不等于零， 力系可以进一步简化，简化为一个合力。
其中A、B、C三点不能在同一条直线上。
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、
B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过
A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，
则力系必平衡。
注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
qb2
3.2.3 平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
(2) 三矩式
M A(F ) 0 M B (F ) 0 MC (F ) 0
3.1.3平面固定端约束
• 一物体的一端完全固定于另一物体上所构成的约束 称为固定端约束，简称固支。
A
A
FAx A
M A FAy
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0， MO≠0 ; (4) F'R＝0，MO＝0
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
R R
A
C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
F2 F3
O
F2
F1
F3 F2 ' M2
F1
F3 '
O M3
M1F1Biblioteka 'FR '
O MO
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
力的平移定理
平面任意力系 =平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系的合力称为主矢，用 FR 表示
FR Fi
平面力偶系（原力偶和附加力偶）的合成结果为主矩
MO MO Fi xi Fiy yi Fix Mi
3.1.2平面任意力系向一点简化-主矢与主矩
平面任意力系=平面汇交力系+平面力偶系 平面任意力系=主矢+主矩 主矢等于平面任意力系中所有力的和； 主矩值等于平面任意力系中所有力对简化中心 的矩之和。
主矢值与简化中心无关，作用于简化中心， 主矩值与简化中心有关，作用于平面上。
FR
O M O
O FR
FR
d
FR
O
FR
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
MO FR MO MO Fi
• 合力矩定理：平面任意力系对平面内任一点的 矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分 布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的 平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
3.2. 2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0
M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8