理论力学平面力系
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理论力学 平面任意力系例题
y
60
l
l
F
B
F
D
60
l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60
例 题 5
y l l D M
F F
x
0,
B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,
FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45
q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45
F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。
60
l
l
F
B
F
D
60
l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60
例 题 5
y l l D M
F F
x
0,
B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,
FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45
q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45
F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,
FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0
q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
理论力学5平面任意力系
P
1m
q
C
2m
A
2m
B
43
P
1m
q
C
XA
2m
A
YA
2m
XB
B
YB
解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图.
44
P
1m
q
C
XA
2m
A
2m
XB
B
YA
MA( F ) = 0
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
45
P
1m
q
C
XA
2m
2m
A
FR 0, M O (F ) 0
（一）基本平衡方程
Fx = 0 Fy = 0 Mo ( F ) = 0
（一力矩式）
能解 3 个未知量
16
（二）平面任意力系平衡方程旳其他形式
（1） 二力矩式
MA ( Fi ) = 0 MB ( Fi ) = 0 Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 旳连线垂直.
a
G3 A
C
e G1 L G2
B
NA
b
NB
1、满载时，当重物距离右轨最远时，易右翻。 当起重机平衡 m B( F ) = 0 - G1 ·e - G2 ·L - NA ·b+ G3 ·（a+ b） = 0
NA = [ - G1 ·e - G2 ·L + G3 ·（ a+ b）] / b
33
a
G3 A
XA = 14.14 kN
Fy = 0
YA
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学.平面特殊力系
R = ∑F = 0
或
力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
F1
F3 F2 FR
Fn
Fi
例题
其大小等于20kN 20kN， 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与
梁的轴线成60 支承情况如图(a)所示， (a)所示 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 的反力。梁的自重不计。 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
y
600
∑Y= 0
x B
C D
150 300
B
0
A
E
TBC 15 15 30 TBD
0
0
TBD=G E
FAB G
[例] 已知 P=2kN 例 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑ X =0
RA⋅cosϕ − SCD⋅cos450 =0
ϕ
∑Y =0 − P− RA ⋅sinϕ + SCD ⋅sin450 =0
P B RA A
θ
y
C x 2m D 4m RD
P +RA cosθ = 0 θ
RA = - 22.36 kN
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。 和假设的方向相反。
∑ Y= 0
RA sinθ +RD = 0 θ RD =10 kN
tgθ = 0.5 cosθ = 0.89 sinθ = 0.447
(a)
(b)
图示是汽车制动机构的一部分。 例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N，方向与水平面成α=45°角。当平衡时，BC水平，AD铅 =212N， =45° 当平衡时， 水平， 试求拉杆所受的力。 =24cm， =6cm( 直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm(点E在铅直线 DA上)，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。 都是光滑铰链，机构的自重不计 自重不计。
理论力学第4章-平面任意力系
FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）
理论力学-平面力系
第二章平面力系一、是非题1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。
（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。
（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。
（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。
（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。
（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。
（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。
（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。
（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。
则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。
（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。
（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。
（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。
（）二、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为。
①0；②50N；③70.7N；④86.6N；⑤100N。
2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力的大小为N。
①86.6；②70.0；③136.6；④25.9；⑤96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。
分别受图示四个力系作用，则和是等效力系。
①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。
4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。
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理论力学
2 平面力系
2-2 平面力对点的矩
2-2 平面力对点之矩 --度量（力使物体绕O点）转动效应
力可以使物体移动 ——取决于力的大小、方向；
力可以使物体绕某一点转动——取决于： 1、定义：M O(F) F h
F Oh
为力F 对O点的矩，简称力矩：
O称为矩心、O 点与力F 所确 定的平面称为力矩作用面、O点 到力的作用线的距离h称为力臂.
理论力学
2 平面力系
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
工程中的力系几乎都是空间力系，但可以简化为平面力系来 研究。平面力系是指：所有力的作用线在同一平面内。
根据力作用线的情况又可分为平面汇交力系、平面平行力系、 平面任意（一般）力系。
2-1 平面汇交力系 1、平面汇交力系：各力作用在同一平面内，且作用线汇交
于一点，或作用在同一点。如图
F1
F2
F3 A
Fn
问题：1°汇交于一点的 n 个力对物体的作用效应可不 可以用一个合力来等效？
2°如果物体平衡,这个 n个力满足什么关系？
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系的合成（求合力）的几力何多法边形法则
F1
F2
c F3 d
F2
FR2 FR1
a
j
x
O
Fx
Oi
F Fx x
Fx F cosa
F Fx Fy
Fy F cos b
因此，为方便计算，通常将坐标轴设为正交。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
2°平面汇交力系合成的解析法
y
F1
FR
几何法知： FR Fi
由矢量投影定理：合矢量在某
F2
一轴上的投影等于各分矢量在
F3 A
Fn
该轴上投影的代数和
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
例2-2 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P =Байду номын сангаас20kN；求：系统平衡时，杆 AB,BC 的力.
解：1、AB、BC 杆取为滑二轮力B杆（；或点B）为研究对象，画受
力图.
A
2、建图示坐标系，列方程
60
D
B
30
P C
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
平衡
FR 0 FR FRx2 FRy2 0
解析条件 FRx Fix 0 FRy Fiy 0
平衡方程
Fix 0 Fx 0 X 0 Fiy 0 Fy 0Y 0
F1x F2x Fix...... Fnx 0
F1y F2y Fiy...... Fny 0
结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有 力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
c F3 d
F2
FR2 FR1
b F1
Fn-1 FRe
Fn
Fn e
aa FR= 0
结论：几何上表：现FR为该0力系的力多边形的封闭边长度为零， 即以 n 个力为边的多边形自行封闭。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
4、平面汇交力系合成的解析法
1°力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分力
注意：y 力在坐标轴上的投影和沿坐标y 轴的分力是两个概念，
上述多边形称为力多边形，合力FR 就是力多边形的封闭边 。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
结论：平面汇交力系可简化为一个合力，其合力的大小与 方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用点为汇交力 系的汇交点。
3、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充分必要条 件是：
n
FR Fi Fii 0 i 1
Fx 0： FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy
0：
F BC
F cos30 1
F cos60 2
0
3、解方程 注意到：F1 F2 P
A
F 27.32kN
BC
60
D
B
FBA 7.32kN
30
P
C
F1 = F2 = P
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
力F 使物体绕O点转动的效应，由两 个要素决定：
力矩的大小：力F 的大小与O点到力作用线距离h 的乘积 Fh
力矩的转向：使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负
理论力学
2 平面力系
2-2 平面力对点的矩
提示：
1°平面力对点之矩是一个代数量，它的大小：等于力的大小与
力臂的乘积；它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，
投影是代数量而分力是F矢量。
Fy
b a
Fy
F
x
j
Fx x
O
Fx
Oi
Fx F cosa
Fy F cos b
F F x F y Fx i Fy j
当投影轴为正交轴，投影和分力的大
小是相等的。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
当投影轴为非正交时，投影和分力的大小是不等的。
y
y
Fy
b
F
Fy
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
利用平衡方程，已知一些力可以求未知力
6、注意问题: 1°x轴和y轴只要不平行即可；但为了计算方便，通常取为垂 直轴； 2°平面汇交力系只有两个平衡方程，最多只能求解两个未知 量。平面上一个大小和方向未知的力是两个未知量； 3°未知力的指向可以假设, 如果求出负值，说明假设方向与实 际相反； 4°投影轴最好选择与未知力的作用线垂直，使方程中的未知 量尽可能少。
FRx Fix =F1x +F2x +......+Fnx
O
x
FRy Fiy =F1y +F2y +......+Fny
合力的大小为： 合力方向为：
FR
F F 2
2
Rx
Ry
cos(FR , i
)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
5、平面汇交力系平衡的数学条件与平衡方程
课堂讨论:求图示平面刚架的支座反力。
F
解: 以刚架为研究对象, 受力如图,
4m
建立如图坐标。
A
B
Fx 0 : FA cosa F 0 Fy 0 : FA sin a FB 0
8m F
由几何关系 sina 5 , cosa 2 5
Aa
B
5
5
FA
FB
解得
FA
5 F, 2
FB
1 2
F
Fn e
根据矢量运算d
的交换F律2 ：
Fn e
F3
b
A Fn
F1
FR
a
c FR F1
a F3 b
3
FR1 F1 F2
FR2 (F1 F2 ) F3 Fi
....................................
i 1
n
FR F1 F2 Fi ....... Fn Fi i 1
反之为负.常用单位
或N m
kN m
F Oh
2°如果力的作用线通过O点，即 力臂为零，对O点的矩为零。这 时力F不会使物体绕O点转动。