基于输出反馈的区域极点配置

第22卷第2期南　京　理　工　大　学　学　报Vol.22No.21998年4月　Journal of Nanjing University of Science and Technology Apr.1998

基于输出反馈的区域极点配置

X

王子栋X X 郭　治

(南京理工大学信息学院,南京210094)摘要　该文研究输出反馈情形下线性定常连续及离散系统区域极点配置的统一代数刻划问题,即利用完全参数化方法,设计输出反馈控制器,使闭环极点配置于指定圆形区域内。文中导出了期望输出反馈控制器存在的充要条件,并进一步给出了这类控制器的全部参数化刻划。最后,得到了若干有益的推论,包括线性离散及连续系统稳定化控制器的统一代数表示等。

关键词　线性系统,输出反馈,极点配置,参数法,代数刻划

分类号　TP 202.1,T P 214.1

众所周知,线性定常系统的稳态及动态特性直接受其极点所在位置的影响,因而极点配置问题一直是控制理论研究中基本而重要的课题之一,其在工程实践中也具有明显的应用背景,如飞行控制系统的设计以及柔性结构的振动控制等[1]。迄今为止,精确极点的配置问题已得到了很好的研究。在过去的十年中,区域极点的配置问题也开始受到充分的注意,涌现出一批成果[2][3]。

目前,区域极点配置的相关文献中的大部分均是针对某性能指标给出具体的设计方法,且均集中于状态反馈情形,缺乏一定的通用性。本文对连续及离散线性定常系统使用统一的代数方法,给出了配置闭环极点至给定圆形区域的输出反馈控制器的全部参数化刻划,为区域极点配置问题提供了一条具有理论意义及应用价值的新途径。

1　问题的描述

考虑线性定常连续系统x a (t )=A x (t )+B u (t ),y (t )=Cx (t )及线性定常离散系统x (k

+1)=A x (k )+Bu (k ),y (k )=Cx (k ),其中x ∈R n 为状态,u ∈R m 为控制输入,y ∈R

p 为测量输出,A 、B 、C 为适维已知常数阵。(A ,B )及(A ,C )分别为可控和可观的。

考虑圆形区域D (A ,r ),其中在连续时间情形D (A ,r )表示圆心在A +j 0(A <0)处、半径为r (r <-A )的圆,在离散时间情形D (A ,r )表示单位圆内圆心位于A +j 0、半径为r 的圆。这里均考虑复平面。

X X XX 王子栋　男　32岁　副教授

国家自然科学基金及高校博士学科点专项科研基金资助项目

本文于1997年1月14日收到

本文考虑的问题可描述为设计输出反馈控制律u(t)=K y(t)或u(k)=K y(k)使得闭环极点,即det[sI-(A+BK C)]=0的根位于预先给定的圆形区域D(A,r)内。

下面将给出期望控制律存在的充要条件及解析表达式。

2　主要结果及证明

引理1[2]　令A c=A+B K C,考虑矩阵方程

-A!c P-A PA T c+A c P A T c+(A2-r2)P=-Q(1)其中Q为任意正定矩阵。则闭环矩阵A c的根位于给定区域D(A,r)内,当且仅当存在正定解P>0满足(1)式。

说明1　由引理1知,若存在反馈增益K、正定阵P、Q同时满足方程(1),则区域极点配置问题即可解决。

为方便叙述,给出如下定义。

定义　对给定的正定矩阵对(P,Q),若存在K使得方程(1)关于该矩阵对(P,Q)成立,则该正定对(P,Q)称为可达的。

这样,本文的目的可等价地叙述为:(1)找到正定矩阵对(P,Q)可达的充要条件;(2)对可达的矩阵对(P,Q),给出相应的输出反馈增益K的代数表达式。下面给出一个有用的引理。

引理2[5]　设X∈R m×n且Y∈R m×p(n≤p),则存在正交阵V(即VV T=I)满足Y= X V当且仅当X X T=YY T,且此时V的通解可表示为

V=V X I0

0U

V T Y,U∈R(n-r X)×(p-r X),UU T=I

其中V X及V Y来自X及Y的奇异值分解

X=U X Z X0

00

V T X,Y=U Y

Z Y0

00

V T Y

这里r X=rank(X),U X=U Y,Z X=Z Y。

下面将首先研究(P,Q)可达的充要条件。注意到方程(1)可等价地表示为

(A c-A I)P(A c-A I)T=r2P-Q(2)

因上式左端非负定,则P、Q应满足r2P-Q≥0。进一步,假定r2P-Q>0,并令R =r2P-Q=T T T,其中T为R的平方根因子,则(2)式可改写为[(A c-A I)P12][(A c-A I)P12]T=T T T。由引理2,此式成立等价于存在正交阵V使得(A c-A I)P12=T V,或BK C =T VP-12+A I-A。而存在K使此式成立的充要条件为[6]

(I-B B+)(T VP-12+A I-A)=0(3) (TV P-12+A I-A)(I-C+C)=0(4) (3)式即为

(I-B B+)TV=(I-BB+)(A-A I)P12(5)注意到I-C+C对称且V T=V-1,故(4)式等价于

(I-C+C)(A T-A I)(T T)-1V=(I-(6) 98南　京　理　工　大　学　学　报 第22卷第2期

令

X = (I -BB +)T

(I -C +C )(A T -A I )(T T )-1,Y =(I -BB +)(A -A I )P 12

(I -C +C )P -12则(5)(6)式成立等价于存在正交阵V ,使

X V =Y

(7)由引理2知,(7)式等价于X X T =YY T 。注意到由此式可产生四个等式,其中两个为恒等式,

而另两个为

(I -B B +)[r 2P -Q -(A -A I )P (A -A I )T ](I -BB +)=0

(8) (I -C +C )[(A -A I )T (r 2P -Q )

-1(A -A I )-P -1](I -C +C )=0(9)从而有如下定理。

定理1　给定期望极点区域D (A ,r )及满足r 2P -Q >0的正定矩阵对(P ,Q ),则(P ,Q )可达当且仅当(P ,Q )满足(8)、(9)两式。

下面继续寻找相应于可达阵对(P ,Q )的输出反馈控制器K 的集合。

由文献[6]知,若(3)、(4)两式成立,或(P ,Q )可达,则K 的通解可表示为

K =B +(T V P

-12+A I -A )C ++Z -B +B ZCC +(10)其中Z 为任意适维矩阵,而V 为满足(7)式(即(3)、(4)式)的正交阵,故由引理2,V 可表示为

V =V X I 00U

V T Y ,U ∈R (2n -r X )×(2n -r X ),UU T =I (11)将(11)式代入(10)式即可得如下定理。

定理2　若满足r 2P -Q >0的正定矩阵对(P ,Q )关于给定的D (A ,r )是可达的,则使

该矩阵对可达的全部输出反馈控制器可表示为

K =B +(T V X I 00U

V T Y P -12+A I -A )C ++Z -B +B ZCC +(12)其中TT T =r 2P -Q ,X 、Y 的定义见推导过程,V X 、V Y 如引理2中定义,U ∈R

(2n -r X )×(2n -r X )为任意正交阵,Z 为适维任意矩阵。

由引理1、2及定理1、2,不难得到如下主要结果。

定理3　给定期望圆形极点区域D (A ,r ),则使得闭环极点位于D (A ,r )的全部输出反馈控制器可由(12)式刻划,而P 、Q 为满足r 2

P -Q >0及(8)、(9)式的任意正定阵。

说明2　在工程应用中,可由r 2P -Q >0及(8)、(9)式直接构造出可达正定阵对(P ,Q ),进而由(12)式求出相应的控制器。为此,可将P 、Q 的元素置为待定参数,直接导出这些参数所满足的约束关系式,然后利用优化方法(如局部数值搜索)求取解的集合[4]。注意到I -BB +及I -C +C 通常为对角元素是0或1的对角阵且控制器设计可离线进行,上述方法还是可行的。

说明3　本文主要结果对连续及离散系统同样成立,从而为圆形区域极点配置提供了统一的代数方法。特别地,当A →-∞且-A >r →+∞时,本文结果相当于对一般线性定常连续系统稳定化控制器的刻划;当A =0且r =1时,则主要结果退化为离散时间系统稳定化控制器的参数表示[7]。说明4　当赋予P 、Q 直接的工程涵义(如将P 理解为线性随机系统的稳态协方差,将Q 99总第98期 王子栋　郭　治　基于输出反馈的区域极点配置