数学史 第10讲 几何学的突破

黎曼（B.Riemann,1826-1866）
黎曼是现代数学史上最具创造性的数学 家之一。他对数学分析、微分几何、微分方 程做出了重要贡献。奠定了近代解析数论的 基础；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近 代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如 黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面， 建立黎曼几何学。他的名字出现在黎曼ζ 函 数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼 空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题， 柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。黎曼 的一生很短暂，但成就很卓越。
萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都 可以看作非欧几何的先行者。但他们走 到了非欧几何的门槛前，却由于各自不 同的原因或则却步后退（如萨凯里在证 明一系列非欧几何的定理后却宣布“欧 几里得无懈可击”），或则徘徊不前 （如兰伯特在生前对是否发表自己的结 论一直踌躇不定，《平行线理论》一书 也是他死后由其朋友发表）。突破具有 两千年根基的欧氏几何的束缚，需要更 高大的巨人。
高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日） 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测 量学家；是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史 上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称； 高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家；一生 成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个， 属数学家中之最；高斯在历史上影响巨大，可以和阿 基米德、牛顿、欧拉并列。高斯是最早认识到可能存 在一种不适用平行线公理的几何学的人之一，他逐渐 得出革命性的结论：确实存在这样的几何学，其内部 相容并且没有矛盾但因为与同代人的观点相背，他不 敢发表。
公元前3世纪到18世纪末，数学家都坚 信欧氏几何的完美与正确。但美中不足的 是欧几里得第五公设与众不同：比较特殊， 不像其它公设那样简洁、明了，数学家们 就此而耿耿于怀。当时就有人怀疑它不像 一个公设而更像一个定理，并产生了从其 他公设和定理推出这条公设的想法。甚至 欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫。
四、非欧几何的发明人
1.高斯 ①最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以 描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学； ②1799年,意识到平行公设不能由其他的欧几里得公 理推出； ③从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的 新几何； ④“非欧几何”这个名词来自高斯(起先称为“反欧 几里得几何”，最后改称“非欧几里得几何”) ⑤高斯生前并没有发表任何关于非欧几何的论著， 也不肯公开支持罗巴切夫斯基。
2.J· 波约 ①J· 波约想借助高斯的评价，将自己关于非欧几 何的研究公之于世。 ②在1832年2月14日这一天，F· 波约就把他儿子 的题为《绝对空间的科学》（“绝对空间”就 是“非欧几何”）文章寄给高斯，文章有26 页。 ③高斯给回信，说这个与他在30至35年前的思考 不谋而合。J· 波约深感失望并认为高斯剽窃他 的成果。 ④1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧 几何的德文著作《平行线理论的几何研究》发 表后，从此不再发表数学论文。
3.罗巴切夫斯基
这三位发明人中，只有他最早、最系统地发表了自己的研究 成果。 ①1815年，着手研究平行线理论。前人和自己的失败从反面启 迪了他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公 设的证明。在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新 的几何世界； ②1826年2月23日，在喀山大学物理数学系学术会议上，宣读 了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定 理严格证明的摘要》标志着非欧几何的诞生。然而，立即遭 到正统数学家的冷漠和反对； ③1829年，撰写出一篇题为《几何学原理》的论文，重现了第 一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切 夫斯基为喀山大学校长，出自对校长的“尊敬”，论文在 《喀山大学通报》全文发表； ④1840年，德文版的非欧几何著作《平行线理论的几何研究》 发表； ⑤他的最后一部巨著《论几何学》，双目失明时，口授他的学 生完成。
罗巴切夫斯基（1792年12月1日—1856年2月24日） 俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。罗巴 切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，他 从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩 大非欧几何的影响，争取早日取得学术界的承认，除了 用俄文外，他还用法文、德文写了自己的著作，同时还 精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案。 不仅如此，他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使 之成为一个完整的、有系统的理论体系。在身患重病， 卧床不起的困境下，口授由他的学生完成他的最后一部 巨著《论几何学》。 非欧几何诞生之后，想要得到普遍接受，就需要确实地 建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。罗巴切夫斯 基终其一生都在做这个事儿，但至死都没有实现这个目 标。但在他死后，非欧几何的发展是朝着这个方向的。
射影几何
• 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支 学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专 门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候， 图形的不变性质的科学。
• 1566年，科曼迪诺把阿波罗尼奥斯的《圆 锥曲线论》前四卷译成拉丁文，引起了人们 对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复 兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几 何的局限，产生了一门崭新的学科——射影 几何．
阿尔贝蒂精于绘画 、 雕刻，在他的主要著 作《论绘画》（1435） 中．引入了投影线和截 影的概念，阐明了最早 的数学透视法思想．他 的工作后来成为射影几 何发展的起点．
1639年发表《试论圆锥与 平面相交结果》，这部著 作充满了创造性的思想， 引入了无穷远点、无穷远 直线、德沙格定理、交比 不变性定理、对合调和点 德沙格（1591-1661）
欧几里得五大公设
1.假定从任意一点到任意一点可作直线； 2.一条直线可不断延长； 3.以任意中心和直径可以画圆； 4.凡直角彼此相等； 5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和 小于两直角，那么把直线无限延长，它们将 在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
二、对第五公设的证明研究
1.替代公设： 过已知直线外一点能且只能作一条直 线与已知直线平行。 一般将这个替代公设归功于苏格兰数学 家、物理学家普莱菲尔，所以有时也称普 莱菲尔公设。但实际上古希腊数学家普洛 克鲁斯在公元5世纪就陈述过它。 平行公设的等价命题还有：
但是，每一种“证明”要么隐含了一个与 第五公设等价的假定，要么存在着其他形 式的推理错误。并且这类工作对wenku.baidu.com学思想 的进展没有多大现实意义。因此，18世纪 中叶的达朗贝尔把平行共设的证明问题称 为：“几何原理中的家丑”。
三、非欧几何的先行者
1.萨凯里：最先使用归谬法（反证法）证明平行公设。 他在一本叫《欧几里得无懈可击》（1733）的书中， 从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。 2.克吕格尔：1763年，在他的博士论文中首先指出萨凯 里的工作实际并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不 符的结论。克吕格尔是第一个对平行公设能否由其他公 理加以证明表示怀疑的数学家。 3.兰伯特：1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书。 在这本书里，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不 过他考虑的是一个三直角四边形（萨凯里考虑的是双直 角等腰四边形）。兰伯特最先指出：通过替换平行公设 而展开新的无矛盾的几何学的道路。
但黎曼的理论仍然难以被同时代的人 理解。到19世纪70年代以后，意大利数 学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和 法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得 空间中给出了非欧几何的直观模型，从 而揭示出非欧几何的现实意义。至此， 非欧几何才真正获得了广泛的理解。
非欧几何诞生的伟大意义
（1）解决了长期悬而未决的平行公理独立性问题，同时又极大地 推动了关于一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究， 促成了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成和发展，从而极 大地推动了整个数学的发展和成熟。 （2）非欧几何的产生证明了对公理方法本身的研究和讨论是极其 有意义的，证明了公理方法本身能推动数学的发展。因而，自从 非欧几何产生并为越来越多的人所接受，在整个数学领域掀起了 一个公理化运动，各数学分支纷纷建立自己的公理体系，被认为 最不容易建立在公理体系之上的概率论也迟于20世纪30年代建 立了公理。一场颇为壮观的公理化运动又孕育了元数学的产生和 发展。 （3）非欧几何与相对论的汇合是科学史上的划时代事件。人们都 认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是 他和一批数学家庞加莱、闵可夫斯基、希尔伯特共同创立了相对 论。这不仅开辟了人类更大的开发前景，也极大地拓宽了人类的 空间视野。不变的时间变化了，绝对的空间不绝对了，动钟延缓， 动尺缩短，时空弯曲等现象都成为相对论和非欧几何的科学发现。
• 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家 就开始研究透视法，也就是投影和截影。 • 早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把 二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。 • 在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
• 文艺复兴时期，绘画和建筑艺术促进了摄影几何的 发展。 • 为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个 数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画 布上．
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三角形的三条高线交于一点。 任意三角形的内角和等于180度。 同一条直线的垂线和斜线一定相交。 同一平面上两不相交的直线与第三条任一割线必 构成相等的同位角。 任一三角形有外接圆。 存在面积相等而不全等的三角形。 与已知直线等距且同侧的三点共线。 正六边形的边长等于外接圆半径。
五、黎曼几何
在1854年，黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想 建立了一种更广泛的几何，即黎曼几何。而罗巴切夫 斯基几何和欧氏几何都是它的特例。在黎曼几何中， 最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间。拿三维的 来说，有三种情形： 1.曲率为正常数 （正常曲率曲面上的）黎曼几何，或椭圆几何 过已知直线外一点没有直线与已知直线平行。 2.曲率为负常数 罗巴切夫斯基几何，也叫双曲几何 过已知直线外一点能且至少能作两条直线与已知直线 平行。 3.曲率恒等于零 欧氏几何，也叫抛物几何 过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平 行。
2.历史上第一个证明第五公设的重大尝试： 古希腊天文学家托勒玫（约公元150年）作 出的。后来，又是普洛克鲁斯指出托勒玫 的“证明”无意中假定了后来被称为普莱 菲尔公设的东西。 3.中世纪的阿拉伯数学家奥马· 海亚姆和纳西 尔丁等也尝试过第五公设的“证明”。 4.文艺复兴时期对希腊数学兴趣的恢复使欧 洲数学家重新关注起第五公设。17世纪， 研究过第五公设的数学家有获利斯等。
J·波约（Bolyai，Janos,1802.12.15-1860.1.27） 匈牙利数学家．波约一生中的最大成就是独立 创建绝对几何． 摒弃欧氏第五公设，建立了绝对空间的概念： 在空间的平面上，过直线外一点有一束直线不与原 直线相交．当这束直线减少为一条时，该空间就是 欧氏空间．他用这一“平行公设”替代了欧氏平行 公设，再与欧氏其他公理、公设结合，逻辑地演绎 出一系列全新的、彼此相容的命题，建立起非欧几 何．这种非欧几何体系是否存在？用公理化的方法 来探讨，即非欧几何体系的整个公理体系是否在逻 辑上相容？如何能唯一地确定一个非欧几何体系？ 波尔约的重大贡献就在于他独立地、成功地解答了 上述问题．
第十讲 几何学的突破
• 非欧几何的创立 • 射影几何的创立 • 几何学的统一
一、对欧几里得几何的坚决拥护
1.巴罗：列举了8点理由来肯定欧氏几何 ①概念清晰；②定义明确；③公里直观可靠而且普遍 成立；④公设清楚且易于想象；⑤公理数目少；⑥ 引出量的方式易于接受；⑦证明顺其自然；⑧避免 未知事物。 极力主张将数学包括微积分都建立在几何基础之上 2.17、18世纪的哲学家从霍布斯、洛克到康德，也都 从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的 3.笛卡尔在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作 图给出综合证明 4.牛顿在首次公开他的微积分发明时也坚持给它披上几 何的外衣。