坐标系与实数-含详细解析
第十二讲 平面直角坐标系
1.密切联系实际，切忌单刀直入.
2.平面直角坐标系：逐层推进教与学，合理补充常见题.
3.用坐标表示地理位置：分析题目分解难点，建立适当坐标。
4.用坐标表示平移：准确把握教学要求，给予学生探索空间
第一部分 知识梳理
一、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的定义.
为了确定平面上一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫做x轴或横轴，去向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O为原点.这样就建立了平面直角坐标系，这个平面叫做坐标平面.如图（1）所示.
【注】在直角坐标平面内，沿着与x轴平行的方向平移，只改变点的横坐标；沿着与y轴平行的方向平移，只改变点的纵坐标.
2、关于坐标轴的对称.
在直角坐标平面内，与点M（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），与点M（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.如图（5）所示.
【注】与x轴平行的直线上的点，其纵坐标相同；与y轴平行的直线上的点，其横坐标相同.关于x轴对称的 点横坐标不变；关于y轴对称的点纵坐标不变.
3、在平面直角坐标系中判断图形形状、求图形的面积.
（1）判断图形形状：主要根据点的坐标计算图形的边长和内角判断.
（2）求图形的面积：对于一些基本图形如三角形、平行四边形、梯形，如果有边和坐标轴平行，则就以平行于坐标轴的边为底边，利用面积计算公式求面积；对于不规则图形，要采用分割和拼补的方法，分割时一般用平行于坐标轴的直线进行分割,拼补时一般要拼补成特殊的基本图形.
针对训练1
如图（2）是某学校的平面示意图，试建立直角坐标系，用坐标表示各建筑物的位置.
例2在平面直角坐标系中描出下列各点：A(5，4)、B(-2，3)、C(-4，-2)、D（2，-5）.
2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ (0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)考点一 极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52.(2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6[方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围.要留意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.由于点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x－10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2021·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4，由于ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另始终线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到一般方程．(2)假如知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和一般方程点的轨迹 一般方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数) 圆x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 双曲线 x 2a －y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ，(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p ＞0)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)考点一 参数方程与一般方程的互化及应用命题点1.求参数方程2.消参数化为一般方程[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由一般方程求参数方程，要依据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到一般方程的思路是消参，消去参数的方法要视状况而定，一般有三种状况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参； (2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数； (3)依据参数方程本身的结构特征，选用一些机敏的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12.设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos α，y 4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点． 考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用命题点1.直线与圆的方程应用2.直线与椭圆的方程应用[例2] (1)(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. ①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.[方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的一般方程f (x ，y )＝0再应用.假如直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程．得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝ 4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． 故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsinθ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 由于圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1，所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α， |OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
平面直角坐标系与数的概念
平面直角坐标系与数的概念平面直角坐标系是数学中的基本概念之一，也是描述平面上点位置的重要工具。
在二维空间中，我们通常使用平面直角坐标系来确定点的位置，其基本构成包括横轴、纵轴和原点。
一、平面直角坐标系的构成平面直角坐标系由横轴和纵轴两条相互垂直的直线构成，它们相交于一个点，这个点被称为原点，通常用O表示。
横轴被称为x轴，纵轴被称为y轴，它们相互垂直且在原点O相交。
在平面直角坐标系中，每个点的位置可由其在x轴和y轴上的坐标值确定。
二、数的概念数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各个领域。
在数学中，我们通常将数分为自然数、整数、有理数和实数等不同类型。
数的概念在平面直角坐标系中也得到了很好的体现。
1. 整数点在平面直角坐标系中，如果点的坐标都是整数，我们称其为整数点。
例如，点A(2,3)、点B(-1,5)等均为整数点。
整数点在平面直角坐标系中常用于图形的绘制和定位。
2. 实数轴实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数可以表示为一个数轴上的点，数轴通常与平面直角坐标系的横轴对应。
实数轴上的每个点都对应着唯一的实数，实数轴帮助我们更好地理解数的大小和顺序关系。
3. 坐标变换在平面直角坐标系中，数的概念也表现在坐标变换中。
通过数学运算，我们可以对点的坐标进行变换，如平移、旋转、镜像等操作。
这些操作不改变点的位置与顺序，但改变了其坐标值。
三、数学运算在平面直角坐标系中的应用数学运算在平面直角坐标系中有着广泛的应用，如加减乘除、坐标变换等操作。
这些运算不仅帮助我们确定点的位置，还可用于图形的绘制和分析。
1. 加法与减法在平面直角坐标系中，点的加法与减法可以通过坐标的加减来进行。
例如，若点A(2,3)加上点B(-1,5)，则得到点C(1,8)。
同样，点的减法也可通过坐标的减法来实现。
2. 乘法与除法在平面直角坐标系中，乘法与除法通常涉及比例关系和缩放变换。
通过数值的乘除，我们可以对点进行缩放或比例变换，改变其位置和形状。
平面直角坐标系(含解析)
知识点2 平面直角坐标系
知识链接
１、点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右
为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2、两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=（x1－x2）2+（y1－y2）2．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
同步练习
1．（2014•台湾）如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6－b，a－10）落在第几象限？（）
A．一B．二C．三D．四
考点：点的坐标．
解答：∵（5，a）、（b，7），∴a＜7，b＜5，∴6－b＞0，a－10＜0，∴点（6－b，a－10）在第四象限．故选D．
2．（2014•萧山区模拟）已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（）。
12-2坐标系与参数方程教学课件
2020/6/24
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 x＝rsinφcosθ
间的变换关系为y＝rsinφsinθ . z＝rcosφ
2020/6/24
二、参数方程 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个变数 t 的函数xy＝＝gftt (*)，如果对于 t 的每一 个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线 上，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做 参数．
2020/6/24
解析：由条件知点12x，3y在方程 x2＋y2＝1 的曲线 上，∴12x2＋(3y)2＝1，即曲线 C 的方程为：x42＋9y2＝1.
答案：x42＋9y2＝1
2020/6/24
点评：在坐标变换式yx′′＝＝μλxy 中，点(x′，y′)是变 换后点的坐标，应满足变换后的曲线方程 x2＋y2＝1(x，y) 是变换前点的坐标，应满足变换前曲线的方程x42＋9y2＝1.
答案：2 或－8
2020/6/24
• (文)(2010·广东理)在极坐标系(Ρ，Θ)(0≤Θ<2Π) 中，曲线Ρ＝2SINΘ与ΡCOSΘ＝－1的交点的 极坐标为________．
2020/6/24
解析：由 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1 得 2sinθcosθ＝－1， ∴sin2θ＝－1，∵0≤θ<2π 且 sinθ>0，cosθ<0， ∴θ＝34π，∴ρ＝2sin34π＝ 2. 答案：( 2，34π)
x′＝λxλ>0 y′＝μyμ>0
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题21 坐标系与参数方程 Word版含解析
21 坐标系与参数方程1.已知动点P ,Q 都在曲线C :(t 为参数)上,对应参数分别{x =2cos t,y =2sin t 为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求点M 的轨迹的参数方程;(2)将点M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断点M 的轨迹是否过坐标原点.解析▶ (1)由题意得P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故点M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).{x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(2)点M 到坐标原点的距离d==(0<α<2π),x 2+y 22+2cos α当α=π时,d=0,故点M 的轨迹过坐标原点.2.已知圆O 1,圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶ (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρcosθ=x ,ρ2=x 2+y 2代入上式,可得x 2+y 2=4x ,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsin θ,将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入上式,可得x 2+y 2=-y ,所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+y=0.(2)由x 2+y 2-4x=0及x 2+y 2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=0,即tan θ=-4.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲{x =255t ,y =2+55t线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN|.解析▶ (1)因为cosρ2θ=8sin θ,所以cos θ=8ρsin θ,ρ22即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)易知直线l 过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x =255t ,y =2+55t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2-2t-20=0,设M ,N 对应的参5数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=2,t 1t 2=-20.5所以|MN|=|t 1-t 2=10.(t 1+t 2)2-4t 1t 24.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin =,曲线C 2的极坐标(θ-π4)2方程为ρ=2cos .(θ-π4)(1)写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程;(2)设M ,N 分别是曲线C 1,C 2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶ (1)依题意得,ρsin =ρsin θ-ρcos θ=(θ-π4)2222,2所以曲线C 1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C 2的极坐标方程得ρ2=2ρcos =ρcos θ+(θ-π4)22ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,即+22(x -22)2=1, (y -22)2所以曲线C 2的参数方程为(θ为参数). {x =22+cos θ,y =22+sin θ(2)由(1)知,圆C 2的圆心到直线x-y+2=0的距离d=(22,22)=.|22-22+2|22又半径r=1,所以|MN|min =d-r=-1.2能力1▶ 能用曲线极坐标方程解决问题 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的圆心为,半径为(0,12),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.12(1)求圆C 的极坐标方程;(2)设M ,N 是圆C 上两个动点,且满足∠MON=,求+的最2π3|OM ||ON |小值.解析▶ (1)由题意得圆C 的直角坐标方程为x 2+=,即(y -12)214x 2+y 2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ.(2)设M ,N, 则|OM|+=ρ1+ρ2=sin θ+sin(ρ1,θ)(ρ2,θ+2π3)|ON | =sin θ+cos θ=sin .(θ+2π3)1232(θ+π3)由得0≤θ≤,所以≤θ+≤,故≤sin{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,π3π3π32π332≤1,(θ+π3)即+的最小值为.|OM ||ON |32 由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C :ρ=-2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,求实数a 的取值范围.解析▶ (1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsin θ,即x 2+y 2=-2y ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1.(2)由圆C 与直线有公共点,得圆心C 到直线的距离d=|0-1+a |2≤1,解得1-≤a ≤1+.22∴实数a 的取值范围为[1-,1+].22能力2▶ 会用参数方程解决问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t 为参{x =2cos θ,y =4sin θ{x =1+t cos α,y =2+t sin α数).(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解析▶ (1)曲线C的普通方程为+=1.x 24y 216当cos α≠0时,l 的普通方程为y=x tan α+2-tan α;当cos α=0时,l 的普通方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程,即(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l4(2cos α+sin α)1+3cos 2α的斜率k=tan α=-2. 过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是(t 是参数).注意以下结论的应用:{x =x 0+tcos α,y =y 0+tsin α(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t=,中点M 到t 1+t 22定点M 0的距离|MM 0|=|t|=;|t 1+t 22|(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0.在平面直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+r cos θ,y =1+r sin θ(θ为参数,r>0),曲线N 的参数方程为(t 为参数,且{x =255t ,y =1+55tt ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程;(2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为,求r 的值.43解析▶ (1)将消去参数t ,得x-2y+2=0(x ≠0),由题{x =255t ,y =1+55t意可知k ≠.12由得.{x -2y +2=0,y =kx (k ≠12),{x =22k -1,y =2k 2k -1(k ≠12)故曲线N 的参数方程为k 为参数,{x =22k-1,y =2k2k-1.且k ≠12)(2)由曲线M 的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r 2,将代入上式,{x =22k-1,y =2k2k-1整理得(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0.因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为,所以=,解得r 2=1.4317-r 216-4r 243又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0,得12k 2-28k+16=0,满足Δ>0,故r=1.能力3▶ 会解极坐标与参数方程的综合问题 【例3】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a ∈R),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴{x =a -22t ,y =1+22t建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+2cos θ-ρ=0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P (a ,1),曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=4,求实数a 的值.解析▶ (1)由C 1的参数方程消去t 得其普通方程为x+y-a-1=0.由C 2的极坐标方程得ρ2cos 2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C 2的直角坐标方程为y 2=2x.(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2:y 2=2x ,得t 2+4t+2(1-22a )=0,由Δ>0得a>-.32设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=2(1-2a ).由题意得|PA|·|PB|=|t 1t 2|=|2(1-2a )|=4,解得a=-或a=,满足Δ>0,1232所以实数a的值为-或.1232 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为{x =2+25cos α,y =4+25sin α极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).π3(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C 2与C 1的交点为π6O ,M ,C 3与C 1的交点为O ,N ,求△OMN 的面积.解析▶ (1)将曲线C 1的参数方程消去参数α,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x 2+y 2-4x-8y=0.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.由直线C 2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=x.3(2)设M (ρ1,θ1),N (ρ2,θ2),分别将θ1=,θ2=代入ρ=4cosπ3π6θ+8sin θ,得ρ1=2+4,ρ2=4+2.33则△OMN 的面积S=ρ1ρ2sin(θ1-θ2)12=×(2+4)×(4+2)×sin =8+5.1233π631.在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2,曲线C 2:ρsin =(θ-π4).2(1)试判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解析▶ (1)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4.由ρsin =,可得ρsin θ-ρcos θ=2,即x-y+2=0.(θ-π4)2圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==<2,∴曲线C 1与曲线C 2222相交.(2)∵曲线C 2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos (θ+π4)=.222.已知曲线C 的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角{x =3cos θ,y =2sin θ坐标系中,将曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C'.{x '=13x ,y '=12y(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A 在曲线C'上,点B (3,0),当点A 在曲线C'上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.解析▶ (1)将代入得C'的参数方程为{x =3cos θ,y =2sin θ{x '=13x ,y '=12y ,{x '=cos θ,y '=sin θ,所以曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设P (x ,y ),A (x 0,y 0),因为点B (3,0),且AB 的中点为P ,所以{x 0=2x -3,y 0=2y .又点A 在曲线C'上,代入C'的普通方程x 2+y 2=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,所以动点P 的轨迹方程为+y 2=. (x -32)2143.已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点O{x =1+12t ,y =3+3t为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sinθ-ρcos 2θ=0.3(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析▶ (1)由消去参数t ,得y=2x-,即直线l{x =1+12t ,y =3+3t33的普通方程为y=2x-.33∵sin θ-ρcos 2θ=0,∴ρsin θ-ρ2cos 2θ=0,得y-333x 2=0,即曲线C 的直角坐标方程为y=x 2.3(2)将代入y=x 2,得+t-=0,解得{x =1+12t ,y =3+3t3333(1+12t )2t=0,∴交点坐标为(1,),3∴交点的一个极坐标为.(2,π3)4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t{x =-1+22t ,y =1+22t为参数),圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求cos∠AOB 的值.解析▶ (1)由直线l 的参数方程得其普通方程{x =-1+22t ,y =1+22t为y=x+2,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2,即ρsin θ-ρcos θ=2.又∵圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ,{x =ρcos θ,y =ρsin θ∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)将ρsin θ-ρcos θ=2与ρ=4cos θ+2sin θ联立,得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2,整理得sin θcos θ=3cos 2θ,∴θ=或tan θ=3.π2不妨记点A对应的极角为,点B 对应的极角为θ,且tan θ=3.π2∴cos∠AOB=cos=sin θ=.(π2-θ)310105.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1的参数方程为(α{x =2+2cos α,y =2sin α为参数).以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin θ=.3(1)求圆C 1圆心的极坐标;(2)设C 1与C 2的交点为A ,B ,求△AOB 的面积.解析▶ (1)由曲线C 1的参数方程(α为参数),消{x =2+2cos α,y =2sin α去参数,得C 1的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0,∴C 1的圆心坐标(2,0)在x 轴的正半轴上,∴圆心的极坐标为(2,0).(2)由C 1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).由方程组得4sin θcos θ=,解得sin 2θ=.{ρ=4cos θ,ρsin θ=3332∴θ=k π+(k ∈Z)或θ=k π+(k ∈Z),π6π3∴ρ=2或ρ=2.3∴C 1和C 2交点的极坐标为A ,B 2,k π+(k ∈Z).(23,kπ+π6)π3∴S △AOB =|AO||BO|sin∠AOB=×2×2×sin =.12123π636.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+2cos α,y =1+2sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l :θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sin θ+2cosπ4θ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l 和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l 与曲线C 2 交于A ,B 两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m 的值.解析▶ (1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y=x (x ≥0),曲线C 1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-21)2=2.联立解得{y =x (x ≥0),(x -3)2+(y -1)2=2,{x =2,y =2,故射线l 与曲线C 1有一个公共点(2,2). (2)将θ=代入曲线C 2的方程,π4得ρ=ρ2cos 2+m ,(sin π4+2cos π4)π4即ρ2-3ρ+2m=0.2由题知解得0<m<.{Δ=(32)2-8m >0,m >0,94设方程的两个根分别为ρ1,ρ2(0<ρ1<ρ2),由韦达定理知 ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=2m.2由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即ρ2=2ρ1,∴ρ1=,ρ2=2,m=2.22。
2022版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析
选修4－4⎪⎪⎪坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干学问的“源”与“流”设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例] 求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个留意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时肯定要区分变换前的点P 的坐标(x ，y )与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f (x ，y )＝0，一般都要改写为方程f (X ，Y )＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′， 所以y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x . 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，本节主要包括2个学问点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．4．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax (a >0)，Y ＝by (b >0)，求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by知⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.突破点(二) 极坐标系基础联通 抓主干学问的“源”与“流” 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，特殊地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有很多种表示．假如规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步推断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化其次步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，肯定要留意变形过程中方程要保持同解，不要消灭增解或漏解第三步 依据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简洁，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：第一步，依据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；其次步，依据角θ的正切值tan θ＝yx (x ≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y 轴上)，问题即解．例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个留意点(1)依据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应留意推断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈0,2π))的值．极坐标方程的应用例2] (2021·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． 解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)由于M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sinφ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.易错提示]用极坐标系解决问题时要留意题目中的几何关系，假如几何关系不简洁通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不生疏的问题转化为生疏的问题加以解决．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1．考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2， 得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式，得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0. 由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22.2．考点一]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.3．考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.4．考点一、二](2021·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 由于ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式， 得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2， 则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 由于圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离． 解：由于M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 4．(2021·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)曲线C ：ρ2＝31＋2sin 2θ，即ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，依据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.5．(2021·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，所以⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．7．(2021·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的一般方程．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)， 又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点， 得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的一般方程为(x －3)2＋y 2＝1.8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的一般方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0.∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54. 其次节 参数方程突破点(一) 参数方程基础联通 抓主干学问的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就本节主要包括2个学问点： 1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与一般方程的互化1．参数方程化为一般方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．一般方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简洁；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；其次步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入一般方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．例1] 将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0<x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x <0，∴所求一般方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的一般方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 易错提示](1)将曲线的参数方程化为一般方程时务必要留意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的全都性． (2)将参数方程化为一般方程时，要留意参数的取值范围对一般方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为一般方程； 其次步，依据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.例2] (2021·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解] (1)将曲线C 的参数方程化为一般方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的一般方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 由于|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为一般方程再依据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．1．考点一]将下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，由于y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0<y <6，所以所求的一般方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0<y <6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈0,2]， 得所求的一般方程为y 2＝2－x ，x ∈0,2]．2．考点二](2021·唐山模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的一般方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的一般方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴将A 点坐标代入C ′的一般方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.3．考点二](2021·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的一般方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4．考点二]设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成一般方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0， 即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α， 由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、一般方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要留意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要娴熟把握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.(2)应用解析法解决实际问题时，要留意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要留意极点、极轴位置的选择，留意点和极坐标之间的“一对多”关系.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的学问，列出等量关系式，特殊是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.(4)参数方程和一般方程表示同一个曲线时，要留意其中x ，y 的取值范围，即留意两者的等价性.考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题典例] (2021·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)推断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其一般方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0. 由于圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d <1，直线l 与曲线C 1相交． (2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点， 且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. 方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，①曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的一般方程为4x －3y ＋5＝0.(2)由于直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a－5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞.全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 2．(2022·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 3．(2021·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．由于C 在点D 处的切线与l垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为一般方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的一般方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡1．(2021·郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解：(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的一般方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的一般方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2021·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.(1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的一般方程；(2)过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若|MA |·|MB |＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．解：(1)直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，曲线C 的一般方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋22t ，y ＝y 0＋22t (t 为参数)，由直线l 1与曲线C 相交可得：3t 22＋2tx 0＋22ty 0＋x 20＋2y 20－2＝0，由|MA |·|MB |＝83，得t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 20＋2y 20＝6，x 2。
专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)
专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法 （1）整式：取全体实数 （2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分 （5）在实际问题中：取值要符合实际意义 【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________． 参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点 因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积 【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6， 所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限． 当点C 在第一象限时，m ＞0， 则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)． 又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)． 技巧3：活用有序数对表示点的位置 【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】 由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ． 【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】 解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1， 可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题． 【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可； 【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意； 故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案． 【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______． 【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可． 【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5， 故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1）， 则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． （1） 解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对 【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种 【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案． 【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种， 故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（ ） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（ ）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。
实数 平面直角坐标系 S版
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧(0,1,2,3)(1,2,3)12()(,)23()12(,)23⎧⎧⎨⎪---⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩ 自然数整数负整数有理数整数有限小数无限循环小数正分数分数小数负分数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数实数一、知识概念1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a 才有算术平方根。
2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
5.数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是06.根式运算))0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a baba b a ab b a 7.实数的分类二、考点1．规定：一个数的平方等于﹣1，记作i 2＝﹣1，于是可知i 3＝i 2×i ＝（﹣1）×i ，i 4＝（i 2）2＝（﹣1）2＝1……，按照这样的规律，i 2019等于（）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若|a |＝4， t ，且a +b ＜0，则a ﹣b 的值是（）A ．1，7B ．﹣1，7C ．1，﹣7D ．﹣1，﹣73．如果t tt 1.333，t tt 2.872，那么tt ⺁约等于（）A ．28.72B ．0.2872C ．13.33D ．0.13334．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程mx﹣4x+16＝0的一个解，则m的值为（）A．﹣4B．2C．4D．65．估计2 t 2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3B．3和4C．4和5D．5和66．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．87．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．68．下列说法错误的有（）个①互为相反数的数的立方根也互为相反数；② 不是整式；③算术平方根等于它本身的数只有零；④实数和数轴上的点一一对应；⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．A．1B．2C．3D．49．在 ，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，t t， ，0这些数中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．设 t t h h t h h t t h h t t h ．其中a，b，c，d是正实数，且满足a+b+c+d＝1．则p满足（）A．p＞5B．p＜5C．p＜2D．p＜311．t h（ ）2＝．12．元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为．13．已知甲数是 的平方根，乙数是t t 的立方根，则甲、乙两个数的积是．14．（t 1.733）2的算术平方根是．15．若|a| ，则 t 的相反数是．16．若一个数a的相反数等于它本身，则tt t t h h t t ．17．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：，t ，0，t ．18．如果一个正数a的两个平方根分别是x+2和3﹣2x，求：（1）x和这个正数a的值；（2）22﹣a的立方根．19．（1）计算： t h t 䁑h（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8（3） h t h t⺁t t h（4）|7 |﹣| |20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 t的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．21．已知A h h h h t是m+n+3的算术平方根，B h h h是m+2n的立方根，求B﹣A的值．22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2．请解答：（1） ⺁的整数部分是，小数部分是．（2）如果t的小数部分为a，t 的整数部分为b，求a+b t的值；（3）已知：x是3h t的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x﹣y的值的相反数．23．如图是一块正方形纸片．（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为dm．（2）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？24．如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为﹣1，正方形ABCD 的面积为16．（1）数轴上点B 表示的数为；且BF（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A ′B ′C ′D ′，移动后的正方形A ′B ′C ′D ′与原正方形ABCD 重叠部分的面积为S ．①当S ＝4时，画出图形，并求出数轴上点A ′表示的数；②设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段AA ′的中点，点F 在线段BB ′上，䁑BB ′．经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值．25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①t 表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是．平面直角坐标系一、知识框架二、知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）知识点：1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向;两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴,y轴作垂线，垂足分别在x轴,y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内3、三大规律（1）平移规律：点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点（2)对称规律关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数；关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变；关于原点对称→横纵坐标都互为相反数.常考题：一．选择题（共15小题）1．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为(）A．（﹣4,3）B．(﹣3，﹣4） C．（﹣3，4）D．（3，﹣4)2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2) B．（﹣6,3）C．（﹣4，﹣6) D．（3，﹣4）3．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2,3），棋子“马"的坐标为（1，3)，则棋子“炮”的坐标为（)A．(3，2）B．（3，1） C．(2,2）D．（﹣2，2）4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1)一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．线段CD是由线段AB平移得到的．点A(﹣1，4）的对应点为C（4，7),则点B(﹣4，﹣1)的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1,2）D．（﹣9，﹣4）6．如图,A，B的坐标为（2，0）,（0，1）,若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（)A．2 B．3 C．4 D．57．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（)A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3,﹣6）D．（﹣1，0）8．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为(）A．（0,2) B．（2,0）C．（4，0） D．（0，﹣4）9．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示,小军的位置用（2,1）表示,那么你的位置可以表示成()A．（5,4) B．(4，5）C．（3，4） D．（4，3）10．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合,则点A的坐标是（）A．(2,5）B．（﹣8，5) C．(﹣8，﹣1) D．（2，﹣1）11．在平面直角坐标系中,若点P(m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣112．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是(）A．(66，34）B．（67,33) C．（100，33）D．（99,34）14．小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上,学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米,又向北走了﹣70米，此时,小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何？（)A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺二．填空题（共10小题）16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n),规定以下两种变换：（1）f（m,n)=（m，﹣n）,如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m,n）=(﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4)=（﹣3,4)，那么g［f（﹣3，2）］=．17．已知点M（3，﹣2)，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．18．如图，把“QQ"笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(﹣2，3),嘴唇C点的坐标为（﹣1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是．19．若第二象限内的点P（x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是．20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）,那么黑棋①的坐标应该是．21．如图,将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点"的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的,那么点A的对应点A′的坐标是．22．如图，这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则椒江区B处的坐标是．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发,按向上，向右,向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1）,A2（1，1），A3（1,0），A4(2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数)的坐标为（用n表示）．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟,它从原点运动到（0，1）,然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1,1）→(1,0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．25．如图,在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→"方向排列,如（1，0），（2，0）,(2，1），（3,2），（3,1），（3，0)(4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．三．解答题（共15小题）26．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上,其中，C点坐标为（1，2）．（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B(，)（2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′,则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（，)、B′(，）、C′（，）．(3）△ABC的面积为．27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图,如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2,﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗?28．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3)，从B到A记为:A→B（﹣1,﹣3），其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C（，），B→D(，），C→（+1，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程；（3)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1,﹣1），（﹣2,+3)，(﹣1,﹣2），请在图中标出P的位置．29．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)、B（9，0）、C（7,5)、D（2，7)．求四边形ABCD的面积．30．小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米．早晨6：00﹣7：00与奶奶一起到和平广场锻炼上午9:00﹣11：00与奶奶一起上老年大学下午4：30﹣5:30到和平路小学讲校史（1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置;（2）求爷爷家到和平路小学的直线距离．31．已知点A（﹣1，﹣2)，点B（1，4）（1)试建立相应的平面直角坐标系;（2）描出线段AB的中点C,并写出其坐标；（3）将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A1B1,写出线段A1B1两个端点及线段中点C1的坐标．32．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a,﹣2a）．（1）当a=﹣1时，点M在坐标系的第象限；(直接填写答案）（2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．33．已知:A（0，1），B（2，0）,C（4，3）(1)求△ABC的面积；（2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．34．如图，在下面直角坐标系中,已知A（0，a），B（b，0)，C(b,c)三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2｜+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0（1)求a、b、c的值;（2）如果在第二象限内有一点P（m,），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2）的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在，求出点P的坐标,若不存在，请说明理由．35．如图，已知A（﹣2，3)、B（4,3)、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离;(2）求△ABC的面积;（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时,请直接写出点P的坐标．36．有趣玩一玩:中国象棋中的马颇有骑士风度,自古有“马踏八方”之说,如图,按中国象棋中“马"的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日"字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点,不能多也不能少．要将图中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4),现提供一种走法:（四,6)→（六,5）→（四，4）→(五，2）→（六,4)（1）下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步:（四，6）→(五，8）→(七，7）→→(六，4）(2)请你再给出另一种走法(只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限），你的走法是:．你还能再写出一种走法吗．37．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣3)、B （5，﹣2)、C （2,4）、D （﹣2，2)，求这个四边形的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A,B 的坐标分别为（﹣1，0）,（3,0），现同时将点A,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC,BD ．(1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA,PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．39．如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点,A 点的坐标为(4，0），C 点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线移动（即:沿着长方形移动一周)．（1）写出点B 的坐标（ ）．（2）当点P 移动了4秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标．（3）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间．40．先阅读下列一段文字,在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1)、P2（x2，y2），其两点间的距离公式,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1｜或｜y2﹣y1｜．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8）,试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6)、B（﹣3，2）、C(3，2），你能判定此三角形的形状吗?说明理由．初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2007•舟山）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（)A．（﹣4,3) B．（﹣3,﹣4）C．（﹣3,4) D．（3，﹣4）【分析】先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，4）．故选：C．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．2．（2007•长春）如图,小手盖住的点的坐标可能为（）A．(5,2）B．（﹣6，3）C．(﹣4，﹣6） D．（3，﹣4)【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点,分析选项可得答案．【解答】解:根据图示，小手盖住的点在第四象限,第四象限的点坐标特点是:横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选D．【点评】解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是:第一象限（+,+);第二象限（﹣,+）;第三象限（﹣，﹣)；第四象限（+，﹣)．3．（2007•盐城）如图，已知棋子“车"的坐标为（﹣2，3),棋子“马”的坐标为(1，3），则棋子“炮”的坐标为（)A．（3，2） B．（3，1） C．（2,2）D．（﹣2,2）【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点,以底边为x轴,向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；根据得出的坐标系可知,棋子“炮”的坐标为（3，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．4．（2002•江西)在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：因为点（﹣1,m2+1），横坐标＜0，纵坐标m2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选B．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣,﹣);第四象限（+，﹣）．5．（2017春•潮阳区期末)线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为()A．（2，9) B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：平移中,对应点的对应坐标的差相等,设D的坐标为（x，y）；根据题意:有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4)；7﹣4=y﹣（﹣1）,解可得:x=1，y=2；故D的坐标为（1,2）．故选:C．【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．6．(2016•菏泽)如图，A，B的坐标为（2,0），(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位,所以点A、B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1，b=0+1=1,故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．（2015•安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）A．(﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．【解答】解：根据题意,得点P（﹣2,﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．故选A．【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．8．（2013秋•平川区期末）如果点P(m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（）A．（0，2） B．（2,0) C．(4，0）D．(0,﹣4）【分析】因为点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上,那么其纵坐标是0，即m+1=0，m=﹣1，进而可求得点P的横纵坐标．【解答】解：∵点P（m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，∴m+1=0，∴m=﹣1，把m=﹣1代入横坐标得：m+3=2．则P点坐标为（2，0）．故选B．【点评】本题主要考查了点在x轴上时纵坐标为0的特点，比较简单．9．（2017春•和县期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（)A．(5，4）B．（4,5）C．（3，4） D．（4，3）【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标．【解答】解：如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．10．（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2,5) B．（﹣8，5）C．（﹣8,﹣1) D．（2，﹣1）【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位,再向下平移3个单位后可得到A点坐标．【解答】解：在坐标系中,点(﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把(2，2）向下平移3个单位后的坐标为(2，﹣1)，则A点的坐标为（2,﹣1）．故选:D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移:在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．11．（2008•菏泽）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1)在第二象限，则m的取值范围为(）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【分析】根据点P（m﹣3，m+1)在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．【解答】解:∵点P(m﹣3，m+1)在第二象限，∴可得到，解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．故选A．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限（﹣，+）；第三象限(﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．12．（2015•威海）若点A(a+1，b﹣2)在第二象限,则点B（﹣a，b+1）在(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．【解答】解：由A（a+1，b﹣2)在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1,b＞2．由不等式的性质,得﹣a＞1,b+1＞3，点B（﹣a,b+1)在第一象限,故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．13．（2014•株洲)在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除，余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．(67，33) C．（100，33）D．（99，34）【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位,向上1个单位，用100除以3,然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得,每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1,∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选：C．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．14．（2009秋•杭州期末）小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米,书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方【分析】以家为坐标原点建立坐标系，根据题意即可确定小明的位置．【解答】解：根据题意：小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，即向南走了20米，而学校在家南边20米．故此时，小明的位置在学校．故选B．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的解决实际问题的能力和阅读理解能力,画出平面示意图能直观地得到答案．15．（2014•台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？(）A．向北直走700公尺,再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺,再向东直走300公尺【分析】根据题意先画出图形,可得出AE=400，AB=CD=300，再得出DE=100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．【解答】解：依题意，OA=OC=400=AE,AB=CD=300，DE=400﹣300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为,向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．故选:A．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题的关键．二．填空题（共10小题）16．（2014•黔西南州)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n)，规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g(m，n)=(﹣m,﹣n），如g (2，1)=(﹣2,﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=(﹣3,4），那么g［f（﹣3，2）］=（3，2）．【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算,注意运算顺序及坐标的符号变化．【解答】解：∵f（﹣3,2）=（﹣3，﹣2)，∴g［f（﹣3，2）］=g（﹣3，﹣2）=（3,2)，故答案为:(3，2）．【点评】本题考查了一种新型的运算法则,考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．17．(2013•天水）已知点M（3,﹣2）,将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是（﹣1，1)．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解:原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．则点N的坐标是（﹣1，1）．故答案填:（﹣1，1)．【点评】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点,平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．（2013•绵阳）如图,把“QQ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A的坐标是（﹣2，3）,嘴唇C点的坐标为（﹣1,1),则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是(3，3)．【分析】先确定右眼B的坐标,然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．【解答】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1,1），∴右眼的坐标为（0，3）,向右平移3个单位后右眼B的坐标为(3，3）．故答案为：（3，3）．【点评】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．19．（2015•广元）若第二象限内的点P(x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是（﹣3,5)．【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±5,y=±2,再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=﹣5，y=2，然后可直接写出P点坐标．【解答】解：∵｜x｜=3，y2=25，∴x=±3，y=±5，∵第二象限内的点P（x，y）,∴x＜0,y＞0，∴x=﹣3，y=5，∴点P的坐标为（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是:第一象限(+，+）；第二象限(﹣，+）;第三象限(﹣，﹣）;第四象限(+，﹣）．20．(2005•杭州)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为(﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7）．【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系,然后确定其它点的坐标．【解答】解：由白棋②的坐标为(﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）得出：棋盘的y轴是右侧第一条线，横坐标从右向左依次为﹣1，﹣2,﹣3，…;纵坐标是以上边第一条线为﹣1，向下依次为﹣2，﹣3,﹣4，…．∴黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7)．故答案为：(﹣3,﹣7）．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．根据已知条件建立坐标系是关键，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减,上加下减来确定坐标．21．（2015•青岛)如图，将平面直角坐标系中“鱼"的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是(2，3）．【分析】先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．【解答】解：点A变化前的坐标为(6,3)，将横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的,则点A的对应点的坐标是（2,3),故答案为(2，3）．【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识,根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．22．（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是(10,8）．【分析】根据A点坐标,可建立平面直角坐标系,根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．【解答】解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意,得AB=16,∠ABC=30°,AC=8，BC=8．OC=OA+AC=10，B（10，8）．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．23．（2013•聊城）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位,得到点A1（0，1)，A2（1，1)，A3（1,0)，A4（2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n表示）．的坐标，然后根据变化规律写【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5,点A5（2，1）,。
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程 思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程 思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
专题07 平面直角坐标系(解析版)
专题07 平面直角坐标系知识点1：认识平面直角坐标系1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
知识点2：坐标方法的简单应用1.用坐标表示地理位置；2.用坐标表示平移。
1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。
2.平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。
3．平面直角坐标系中对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
4．平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。
如果点P(a，b) 在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点P(a，b) 在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a = －b 。
平面直角坐标系典型例题含答案及解析
平面直角坐标系一、知识点复习1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作),(b a 。
注意a 与b 的先后顺序对位置的影响。
2.平面直角坐标系（1）定义：在同一平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
这个平面叫做坐标平面。
（2）平面直角坐标系中点的坐标：通常若平面直角坐标系中有一点A ，过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上的坐标为a ，过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上的坐标为b ，有序实数对),(b a 叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫做纵坐标。
3.各象限内的点与坐标轴上的点的坐标特征：4. 特殊位置点的特殊坐标5.对称点的坐标特征：6.点到坐标轴的距离：点)P到X轴距离为y，到y轴的距离为x。
x,(y7.点的平移坐标变化规律：简单记为“左减右加，上加下减”二、典型例题讲解考点1：点的坐标与象限的关系1．在平面直角坐标系中，点P （-2，3）在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2.若点)2,(-a a P 在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A. 02<<-aB.20<<aC.2>aD.0<a 3.在平面直角坐标系中，点P （-2，12+x ）所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 考点2：点在坐标轴上的特点1.点)1,3(++m m P 在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．)2,0(- B.)0,2( C.)0,4( D.)4,0(-2.已知点)12,(-m m P 在y 轴上，则P 点的坐标是 。
3.若点P （x ，y ）的坐标满足xy=0（x ≠y ），则点P 必在（ ） A ．原点上 B ．x 轴上 C ．y 轴上 D ．x 轴上或y 轴上（除原点） 考点3：对称点的坐标1.平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（ ） A.)2,3(- B.)2,3(- C.)3,2(- D.（2,3）2.已知点A 的坐标为（-2，3），点B 与点A 关于x 轴对称，点C 与点B 关于y 轴对称，则点C 关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．（2，-3）B ．（-2，3）C ．（2，3）D ．（-2，-3） 3.若坐标平面上点P （a ，1）与点Q （-4，b ）关于x 轴对称，则（ ） A ．a=4，b=-1 B ．a=-4，b=1 C ．a=-4，b=-1 D ．a=4，b=1 考点4：点的平移1.已知点A （-2，4），将点A 往上平移2个单位长度，再往左平移3个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是（ ）A ．（-5，6）B ．（1，2）C ．（1，6）D ．（-5，2）2．已知A （2，3），其关于x 轴的对称点是B ，B 关于y 轴对称点是C ，那么相当于将A 经过（ ）的平移到了C ．A ．向左平移4个单位，再向上平移6个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移6个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移6个单位D ．向下平移6个单位，再向右平移4个单位3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点5：点到坐标轴的距离考点6：平行于x轴或y轴的直线的特点1.如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同2.已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2 B．-4 C．-1 D．33.已知点M（-2，3），线段MN=3，且MN∥y轴，则点N的坐标是（）A.（-2，0） B．（1，3）C．（1，3）或（-5，3） D．（-2，0）或（-2，6）考点7：角平分线的理解1．已知点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，则a= .考点8：特定条件下点的坐标1．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）考点9：面积的求法（割补法）1.（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（-1，0），B（3，-1），C（4，3）；（ 2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．参考答案：（1）略（2）8.52.如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积．3.在图中A（2，-4）、B（4，-3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．考点10：根据坐标或面积的特点求未知点的坐标1.已知A （a ，0）和B 点（0，10）两点，且AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．0或4D ．4或-4 2.如图，已知：)4,5(-A 、)2,2(--B 、)2,0(C 。
2019高中数学4.3空间直角坐标系讲义含解析新人教A版必修2
4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)， 所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式， 得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。
15.1(2)平面直角坐标系解析
-2
D
Q
-3
-4
-5
S
14
作业:
1.书:P125 、1,2,3 2.练习册15.1（1） 3.堂堂练
15
考 考 你 ？
已知直角坐标系内一矩形的宽与 长分别为6、 8,对角线的交点在原 点,两组对边分别与坐标轴平行,求 它的各顶点的坐标.
16
15.1（2）平面直角坐标系
17
复习巩固
1、在平面内,两条___互__相__垂__直_且__有__公__共__原__点的数轴组成平 面直角坐标系，
对应。
2
1
- 3- 2- 10123 -1
-2
18
-3
1、在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的 “6”的含义有什么不同？
2、如果将“8排3号”简记作（8,3），那么 “3排8号”如何表示？（5，6）表示什么含义？
19
复习巩固
4、如果点P的横坐标为a,纵坐标为b，则点P
可以表示为___(a_,_b_)___.
（－,－）
·D ( -4,- 3 )
· -2
E
（+,－）
( 1,- 2 )
-3
· -4 G （0,-4）
11
所有x轴上的点,坐标的特点是:纵 坐标均为0，可记作（x,0）。 所有y轴上的点，坐标的特点是： 横坐标均为0，可记作（0,y）。
12
本节课你学到了什么?
13
P（4,6）和 P（6,4）是表示同一点吗?
三、有序实数对与坐标平面内的点的对应关系
1、 对于坐标平 面内的任意一点, 都可以找到一个 有序实数对( x,y) 和它对应.
Y
5
N（3，5）4Biblioteka F3P2C
数轴与坐标系
数轴与坐标系数轴和坐标系是数学中常用的图形工具，它们可以帮助我们直观地表示和理解数值以及数值之间的关系。
本文将介绍数轴和坐标系的基本概念以及它们的应用。
一、数轴数轴是一条直线，用于表示实数的大小和相对位置。
数轴上的任意一点与一个实数对应，这个实数就是这个点的坐标。
数轴上的原点通常表示0，而数轴的负半轴表示负数，正半轴表示正数。
数轴上的两个点之间的距离对应于这两个点的坐标的差的绝对值。
数轴可以用来表示整数、分数、小数等各种实数。
例如，在数轴上，我们可以标示出2，-4/3，以及0.5这些数，并直观地看出它们之间的大小关系。
数轴不仅可以表示数值的大小，还可以表示数值之间的运算关系。
例如，我们可以用数轴上的点表示两个数相加、相减、相乘、相除后的结果等，这为我们理解数学运算提供了便利。
二、坐标系坐标系是由两条数轴（通常是水平轴和垂直轴）交叉而成的图形工具。
坐标系上的每一个点都可以用有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 是横轴上的坐标，y 是纵轴上的坐标。
坐标系主要用于表示平面上的点和平面上的图形。
我们可以在平面上绘制点、线、曲线等，并通过坐标系准确地描述它们的位置和形状。
坐标系的原点通常表示为 (0, 0)，x 轴表示横向，y 轴表示纵向。
坐标系上的点可以根据其坐标的正负关系确定其所在的象限。
坐标系不仅可以用来表示点的位置，还可以表示向量、函数、图形等数学概念。
例如，我们可以利用坐标系来表示平面上的向量，并根据向量的坐标进行运算和变换。
坐标系是解析几何和二维数学的重要工具，它在几何图形的研究、方程的求解等方面起着重要的作用。
三、数轴与坐标系的应用数轴和坐标系广泛应用于数学、物理、经济、工程等各个领域。
它们不仅可以帮助我们直观地表示数值和数值之间的关系，还可以进行各种运算和分析。
在数学中，数轴和坐标系常用于解方程、绘制图形、研究函数等。
通过数轴和坐标系，我们可以方便地理解函数的性质，例如函数的增减性、极值点、零点等。
数轴与坐标系
数轴与坐标系数轴与坐标系是数学中常见的两个图示工具，用于表示和定位不同数值或点的位置。
通过数轴和坐标系，我们可以更直观地理解数与点的关系，进行数值比较和图形分析。
本文将详细介绍数轴和坐标系的概念、构造方法以及在数学中的应用。
一、数轴数轴是一条无限延伸的直线，用于表示实数的有序性和相对大小关系。
数轴上的数值一般由左向右递增，0位于中心位置，负数在0的左侧，正数在右侧。
数轴上的每个点都与一个唯一的实数对应，点的位置与实数的大小相对应。
在数轴上，我们可以标记不同的数值，并用线段连接它们，这样就构成了数轴上的数段。
两个数值之间的距离可以通过数段的长度来表示。
例如，若数轴上标记有两个数a和b，若a<b，则数值b在数轴上相对于数值a更大。
数轴在数学中有着广泛的应用。
在初等数学中，我们经常通过数轴来进行数值的比较、图形的平移和对称等运算。
在几何学中，数轴上的点还可以表示线段的长度和向量的大小。
同时，数轴的概念也为后续学习复数、函数等数学内容打下了基础。
二、坐标系坐标系是在平面上建立的一个用于描述点位置的工具，分为二维坐标系和三维坐标系。
二维坐标系由两条互相垂直的数轴组成，分别称为x轴和y轴。
三维坐标系由三条互相垂直的数轴构成，分别称为x轴、y轴和z轴。
坐标系中每个点的位置都由一组数值表示，称为坐标。
在二维坐标系中，一个点的坐标通常由有序数对(x, y)表示；在三维坐标系中，一个点的坐标通常由有序数组(x, y, z)表示。
其中，x坐标表示点在x轴上的位置，y坐标表示点在y轴上的位置，z坐标表示点在z轴上的位置（仅三维坐标系）。
通过坐标系，我们可以在平面上准确定位一个点的位置，研究其与其他点之间的关系。
坐标系在几何学、代数学以及计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，直角坐标系可以方便地表示平面图形，极坐标系可以描述圆形和曲线。
总结与应用数轴与坐标系是数学中常用的图示工具，通过它们我们可以更好地理解数值与点的位置关系，并进行数值比较和图形分析。
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坐标系与实数
副标题
一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）
1.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、
（2，0）、（2，1）、（1，1）…根据这个规律，第2016个点的坐标为（）
A. B. C. D.
2.下列说法：①；②；③-22的平方根是-2；④的算术平
方根是-3；⑤是的平方根；⑥1的立方根，平方根都是本身．其中正确的
有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3.下列语句中正确的是（）
A. 没有意义；
B. 负数没有立方根；
C. 平方根是它本身的数是0，1；
D. 数轴上的点只可以表示有理数。
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
4.点A(0，-3)，B(0，2)，点C在x轴上，如果△ABC的面积为15，则点C的坐标是 .
5.甲、乙两同学玩“写数游戏”要求每人写一个无理数，并使它们的和为有理数若甲同
学写的数为，那么乙同学可写________．（写出一个即可）
6.如图，一个动点在第二象限及x轴、y轴上移动，第1秒时，它从原点移动到点（0，
1），然后按照图中箭头所示的方向移动，即（0，0）→（0，1）→（-1，1）→（-1，0）→（-2，0）→…，且每秒移动一个单位长度，那么2019秒时这个点所在位置的坐标是．
7.如图,正方形BCDE的边长为1个单位长度,若以数轴上表示1的点为圆心,正方形对
角线的长为半径画弧,交数轴负半轴于点A,则点A表示的数为_______.
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
8.计算：
（1）-|-|—（）-|-2|
（2）-12-（-2）3×—×|—|+2÷（）2．
四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
9.当a,b都是实数，且满足,就称点P为完美点．
（1）判断点A（2,3）是否为完美点.
（2）已知关于x,y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B是完美点,请说明理由.
10.计算：-12018+-|2-|++
11.已知，满足，求的平方根.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的规律是找出“边长为n的正方形边上点与内部点相加得出共有（n+1）2个点”．本题属于中档题，有点难度，解决该题型题目时，补充完整图形，将其当成正方形边上的点来看待，本题的难点在于寻找第2016个点所在的正方形的边是平行与x轴的还是平行y轴的．将其左侧相连，看作正方形边上的点．分析边上点的个数得出规律“边长为n 的正方形有2n+1个点”，将边长为n的正方形边上点与内部点相加得出共有（n+1）2个点，由此规律结合图形的特点可以找出第2016个点的坐标．
【解答】
解：将其左侧相连，看作正方形边上的点，如图所示．
边长为0的正方形，有1个点；边长为1的正方形，有3个点；边长为2的正方形，有5个点；…，
∴边长为n的正方形有2n+1个点，
∴边长为n的正方形边上与内部共有1+3+5+…+2n+1=（n+1）2个点．
∵2016=45×45-9，
结合图形即可得知第2016个点的坐标为（45，9）．
故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是算术平方根，平方根，立方根，利用算术平方根，平方根，立方根的定义进行解答即可.
【解答】
解：①故错误；
②结果为，故错误；
③负数没有平方根，故错误；
④算术平方根为3，故错误；
⑤为的平方根，故错误；
⑥1的立方根为1，1的平方根是±1，故错误；
故选A.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系是解题关键.根据平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系，可得答案．【解答】..
解：因为根号内不能为复数，所以没有意义；选项A正确；
B.负数没有立方根，错误，可以开立方根；
C.平方根是它本身的数是0，不是1；
D.数轴上的点只可以表示有理数，也可以有无理数.
故选A.
4.【答案】（6，0）或（-6，0）
【解析】
略．
5.【答案】(不唯一).
【解析】
【分析】
本题主要考查实数的运算.根据互为相反数的两数为0，可得答案.
【解答】
解：∵
∴乙同学可写得是.
故答案为(不唯一).
6.【答案】（-5，44）
【解析】
【分析】
本题是动点问题的函数图象探究题，考查了动点位置变化时对其坐标与运动时间之间的规律探究，解答关键是数形结合，根据题意找到动点即将离开两坐标轴时的位置，与点运动时间之间关系即可．
【解答】
解：观察可以发现，点到（-2，0）用4=22秒，到（0，3）用9=32秒，到（-4，0）用16=42秒，则可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，
当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数时点在y轴上，时间为偶数时，点在x轴上，
∵2019=452-6=2025-6，
∴由此可得此时点坐标为（-5，44）.
故答案为（-5，44）.
7.【答案】1-
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【解答】
解：数轴上正方形的对角线长为：，
由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1-．
故选1-．
8.【答案】解：原式=2-2-+-+2
=2-；
（2）原式=-1+1-1+1
=0．
【解析】
此题考查了实数的运算，立方根，有理数乘方等，难度一般．
（1）可先计算立方根，去绝对值，去括号，最后再计算加减；
（2）先计算乘方与绝对值等，再计算乘除，最后再计算加减．
9.【答案】解：（1）若A为完美点，则，
解得，
∵2a-b=6-4=2≠6，
∴A不是完美点；
（2）解方程组，得，
∵点B是完美点，
∴ ，
解得，
∴2a-b=2（m+3）-（2-2m）=4m+4=6，
解得m=0.5.
【解析】
本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目.
（1）根据完美点的定义判定即可；
（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题.
10.【答案】解：原式=-1+9-（2-）+2+2
=-1+9-2++2+2
=10+．
【解析】
根据乘方，开方，绝对值的性质，二次根式的性质，可得答案．
本题考查了实数的运算，利用乘方，开方，绝对值的性质，二次根式的性质是解题关键．
11.【答案】解：由题意得：，
解得：x=-4，
则y=，
xy=，
xy的平方根是．
【解析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及平方根，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
首先根据二次根式有意义的条件可得，解出x的值，进而可得y 的值，然后计算出xy，最后求xy的平方根即可．。