k5数学教学中学生思维灵活性培养的实践与体会

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数学教学中学生思维灵活性

培养的实践与体会

上海市奉贤中学金红卫

我校是一所县重点高级中学，生源较好。然而总有较多学生进入高中之后，不能适应高中阶段的数学学习，在思维要求上有较大差距，成绩显下降趋势。究其原因：由于初中数学教学受升学考试指挥棒的影响，在教学过程中注重了知识的传授，而忽视了思维品质的培养。

现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。

高中学生一般年龄为15—18岁，处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成熟，学习的内容更加复杂、深刻，生活更加丰富多采。这种巨大的变化对高中学生的思维发展提出了更高的要求。研究表明，从初中二年级开始，学生的思维由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，逐步趋向成熟。作为高中教学教师，应抓住学生思维发展的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，做好思维品质的培养工作，使学生的思维得到更好的发展。

教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。因此，开发高中学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义。

思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。

思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。

如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些探索：

一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性。

美国心理学家吉尔福特（J ·P ·Guilford ）提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。”

在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。

l 、引导学生对问题的解法进行发散。

在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。

<例>求证：θθ

θθθtg =+++-2sin 2cos 12sin 2cos 1 证法1：（运用二倍角公式统一角度） 右左=++=++=)

cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos 2cos sin 2sin 222θθθθθθθθθθθθ 证法2：（逆用半角公式统一角度） 右左=++=+++-=1112sin 2cos 112sin 2cos 1θθθ

θθθctg tg 证法3：（运用万能公式统一函数种类）设t tg =θ

右左==++=+++-++++--=t t t t t t t t t t t t 2222121111211122

22222 证明4：θ

θθ2sin 2cos 1-=tg (构法分母θ2sin 并促使分子重新组合， 在运算形式上得到统一。) 右左=-=+++-=∴θ

θθθθθθθ2sin 2cos 12sin )2sin 2cos 1(2sin )2sin 2cos 1( 证法5：可用变更论证法。只要证下式即可。

)2sin 2cos 1)(2cos 1(2sin )2sin 2cos 1(θθθθθθ++-=+-

证法6：由正切半角公式θ

θθθθ2cos 12sin 2sin 2cos 1+=-=tg ，利用合分比性质，则命题得证。

通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。

一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。

2、引导学生对问题的结论进行发散。

对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论．让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。

<例>已知：31sin sin =+βα (1)，4

1cos cos =+βα (2)，由此可得到哪些结论？

让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。

8【3

想法一：(1)2＋(2)2可得288

263)cos(-=-βα（两角差的余弦公式）。 想法二：(1)×(2)，再和差化积：12

1]1))[cos(sin(=+-+βαβα 结合想法一可知：25

24)sin(=+βα 想法三：(1)2-(2)2再和差化积：144

7]1))[cos(cos(2-=+-+βαβα

结合想法一可知：可得25

7)cos(-

=+βα 想法四；)2()1(，再和差化积约去公因式可得：342=+βαtg ，进而用万能公式可求：)sin(βα+、)cos(βα+、)(βα+tg 。

想法五：由1cos sin 22=+αα消去α得：2425cos 3sin 4=

+ββ 消去β可得24

25cos 3sin 4=

+αα（消参思想） 想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式： 24

27)4sin()4sin(=+++πβπα (1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。 24

2)4sin()4sin(=-+-πβπα 想法七：(1)×3-(2)×4：0cos 4sin 3cos 4sin 3=-+-ββαα )3

4( 0)sin()sin(arctg ==-+-θθβθα 即 02

cos 22sin 2=-⋅-+βαθβα )(222Z k k k ∈+=+++=∴θπβαβππα（与已知矛盾舍去）或

则)sin(βα+、)cos(βα+、)(βα+tg 均可求。

开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

3、引导学生对问题的条件进行发散。

对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题。

对于等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程）。如“｛a n ｝为等差数列，a 1＝１，d ＝－2．问－9为第几项”等等。然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中．学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的