常微分方程87简单应用

x
x
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题:
例3 设 ( x ) e x ( x u )d u, (0) 0, 0
x x
这里的“函数方程”包括变上限积分、重积分、线面 积分的方程以及偏微分方程等。
例4 设 F ( x ) f ( x ) g( x ), 其中函数 f ( x ), g( x ) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
例6 已知f (t )在[0， ）上连续 , 且满足方程
f (t ) e
4t 2

2
x y 2 4t 2

1 f( 2
x 2 y 2 )dxdy,
求f (t )。
例7 已知f (u)具有二阶连续偏导数 , 且z f (e x sin y)满足方程
2z 2z 2x e z, 2 2 x y
Qn ( x ) sin x ]型（ 0, 1, Pl ( x ) 2, Qn ( x ) x）
由于 i 0 i是特征根，所以设其特 解形式
y x( Ax B) cos x x(Cx D) sinx.
代入微分方程得
2 此方程的特征方程为 r 1 0,
1 3 A , B 0, C 0, D . 4 4
故其特解为
1 2 3 y x cos x x si n x . 4 4
从而方程的通解为
1 2 3 y c1 cos x c2 si n x x cos x x si n x . 4 4
注意到，由
f ( x ) x sin x ( x t ) f ( t )dt,
2、根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解；
3、对所得结果进行具体分析，解释其实际意义。如果 它与实际相差太远，则就应该修改模型，重新求解。
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律 建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件 确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件 可能还有衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
0
x
左端的函数f ( x)仍然可导，再对 x求导得
f ( x ) x（ sinx ) cos x cos x f ( x ),
即f ( x )满足微分方程 y y 2 cos x x Baidu Nhomakorabeainx.
特征根为r1, 2 i , 方程的自由项为f ( x ) cos 2 x , 属于ex [ Pl ( x ) cos x
0
x
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
0
x
可得f (0) f (0) 0,
由此确定通解中的任意常数
c1 c2 0,
1 2 3 因此，f ( x ) x cos x x si n x . 4 4
例3 设 ( x) e x 0 ( x u ) du, (0) 0,
2 0
x
上式两端再对x求导，得
x f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
2
x 2 f ( x ) (1 3 x ) f ( x ).
这是变量可分离方程，分离变量并积分得
f ( x ) 1 3x f ( x ) dx x 2 dx, 1 3 l n f ( x ) ( 2 )dx, x x 1 l n f ( x ) 3 l n x c1 x
f ( x) e

1 3 ln x c1 x
1 x
c f ( x) 3 e x
, (c e c1 )
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
x
其中f ( x)连续，求f ( x).
解
因为f ( x)连续，所以方程的右端 是可导的，因而
求f ( x )。
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程

解
x
0
xf ( t )dt ( x 1)tf ( t )dt,
0
x
求函数y f ( x )。
原方程是一个带有变上限积分的方程，在其两端分别 对x求导，得

x
0
f (t )dt x f ( x ) tf (t )dt,
f ( x ) x sinx x f (t )dt tf (t )dt,
0 0 x x
左端的函数f ( x)也可导。先将方程变形 为
两端对x求导，得 x f ( x ) x cos x sinx xf ( x ) f (t )dt xf ( x ),
0
即
f ( x ) x cos x sinx f ( t )dt.
f ( x) g ( x) 2 e x .
(1) 求 F ( x )所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出 F ( x )的表达式 . (2003考研)
例5 已知 ( ) 1, 试确定 ( x)使曲线积分
y L [sin x ( x )] x dx ( x )dy与路径无关。
二、利用微分方程求解函数习例
例 1 设可微函数 y f ( x)满足方程

x
0
xf ( t )dt ( x 1)tf ( t )dt,
0 x
x
求函数y f ( x )。
例2 设f ( x) x sin x ( x t ) f (t )dt,
0
其中f ( x)连续，求f ( x).
8.4 微分方程的简单应用
微 分 方 程 的 简 单 应 用
应用微分方程解决实际问题的一般步骤 利用微分方程求函数习例1-7 微分方程在几何上的应用习例8-11 微分方程在物理和力学上的应用习例12-13
一、应用微分方程解决实际问题的一般步骤
1、根据问题的实际背景，利用数学和有关学科知识，建 立微分方程，确定定解条件；