数值分析引论 易大义Ch4.1
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i0
n
i 0 ,1 , , n
f ( x i ) ((x ))ll i ( x ) dx (积分的性质 a x i ( x ) dx
a
)
Ai f ( x i )
与f 无关,记为Ai
(1 .4 )
Ai
b
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
I[ f ]
i0
nห้องสมุดไป่ตู้
A i f ( x i ) Q [ x ].
即
b a
b
( x ) f ( x ) dx
a
( 1 . 2 ) 式 写成 带余 项 的形 式为
( x ) f ( x ) dx
(1 .3 )
i0
n
i0
n
A i f ( x i ) (1 .2 )
A i f ( x i ) R [ f ],
2 A 0 A1 , 0
1 2 A0 1 2
当 f ( x ) 1时
A1 ,当 f ( x ) x 时
成立.
解得 A 0 A 1 1 ( 此法为待定系数法
再确定代数精度 (同法 ( 一 )).
)， A 0 A 1 1 带入原求积公式 把
以下介绍常用的求积公式 1.3 Newton-Cotes 求积公式 插值型求积公式
f ( x ) 是 a , b 上具有一定光滑度的函
数，
求 I[ f ]
2.
则有
( x ) f ( x ) dx 的数值积分 . a 求积节点 解决方法
b
(1 .1 )
与f(x)无关的常数, 称为积分系数
f ( x i )( i 0 ,1 , , n )，
设 f ( x ) 在节点 a x 0 x 1 x n b 上的函数值为
i0
n
f ( x i ) l i ( x )，其中 l i ( x )
l0 li
n
x xl xi xl
,
b
( x ) f ( x ) dx
a
b
i0 n i0
a n
( x ) L n ( x ) dx
b b
b
a
( x ) f ( x i )l i ( x ) dx
f (1 )
1 3
3 1
I2;
3
当 f ( x ) x 时 ( k 4 ),
4
3
f (1 )
( 1 0 1) 0 I 3 ;
2 3 2 5 I 4。
1 3
f ( 1) 4 f (0 )
(1 0 1 )
所以该求积公式的代数精度m=3.
第四章 数值积分与数值微分
本章主要内容： 数值积分 介绍一些常用的数值积分公式 数值微分 介绍一些常用的数值微分公式 外推方法 （加速收敛的方法）
§1 插值型数值求积公式
1.1 一般求积公式及其代数精度 一、一般求积公式 1. 提出问题
设 ( x ) 是 ( a , b ) 上的权函数，
a
( n 1 )!
n1
( x ) dx ，
(1 .5 )
其中 n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ).
3. 举例 1 1 1 f ( x ) dx A 0 f ( ) A 1 f ( ) 例2 求插值型求积公式 1 2 2 并确定其代数精度. 分析 实际上该题目是求A0，A1，并确定其代数精度. 解 (一) 因 为 是 插 值 型 的 ， 且 x 0 1 , x 1 1
n
b a
( x ) l i ( x ) dx f ( x i )
b
( x ) f ( x ) dx
b
a
b a
( x ) llii ( x ) f ( x ii )) dx
i i 0 0
n n
b
a
( x )[[ ff (( x )) L nn ( x ) ]dx x L ( x )]
推论1 对给定求积节点 a x 0 x 1 x n b ，代数精度最高的 求积公式是插值型求积公式. 说明 不研究一般的求积公式. ( n1) 推论2 若 f C [ a , b ] ，(1.3)是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b
(x)
f
(n1)
( ( x ))
(x)
f
(n1)
( ( x ))
Ln ( x )
a
( n 1 )!
( x x 00 )( x x 11 )) ((x x nn)) dx )( x x x x
因为当
f (x) C
( n1)
[ a , b ]，且 f ( x )为次数
n 的多项式
时 , 有 f
若 ( x ) 1 , 等距节点
xi a i
ba n
a ih ， ( h
则插值型求积公式称为N-C求积公式.
1. N－C求积系数及公式
系数 ： A
k
b
a
l k ( x ) dx
a
b
n
x xi xk xi
dx
b
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 )( x k x 1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
b 二、代数精度 a ( x ) f ( x ) dx A i f ( x i ) ( 1 . 2 ) i0 1. 代数精度的定义 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都 精确成立，而对 xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代 数精度. 注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多 项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可.因此 有等价定义. 等价定义1´ 若(1.2)中对于1，x,„,xm都精确成立，对xm+1不精 确成立，则称(1.2)的代数精度为m. 另外，若代数精度为m，也就是对xm(1.2)或(1.3)精确成立. 则 (1.3)中若f(x)是x的m次多项式，有R(f)=0,因此定义1也可写成： 等价定义1´´ 若(1.3)中 R[xi]=0,(i=0,1,…,m)，而R[xm+1]不为0， 则称(1.2)的代数精度为m. n
2
且n=1,因而代数精度大于等于1，以下验证代数精度从m=2开始
对 f ( x ) x , f (
2
1
) f( ) 2 2 2
1
1
1 1
x dx
2
2 3
, 从而 m 1 .
解法（二） 因为是插值型的, 所以代数精度大于或等于 1, 因而对x0 =1, x 该 公式精确成立，即有方程组
2. 例子
确定求积公式
[ f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f ( 1 )] 的 代 数 精 度 . 3 分析 由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证.
1
1
f ( x ) dx
1
解
Ik
1 1
x dx
k
1 ( 1) k 1
k 1
当 f ( x ) 1 时 ( k 0 ),
问题
当给定节点 a x 0 x 1 x n b 及 f ( x i )( i 0 ,1 , , n ), 如何选择
求积系数 A 0 , , A n，使求积公式代数精度
尽量高？
解决方法
1.2 插值型求积公式 1. 方法
则
插值多项式
插值基函数
已知 ( x i , f ( x i ))，求 L n ( x )
2 1 1 1 A 1 l 1 ( x ) dx ( x ) dx 1 1 1 2 1 1 1 从而求积公式为 1 f ( x ) dx f ( ) f ( )， 2 2
A0
1 1
l 0 ( x ) dx
1 1
( x
1
2 ) dx 1 ,
b
1 1
f ( x ) dx A 0 f (
1
1 ) A1 f ( ) 2 2
b
( x ) f ( x ) dx
a
i0
n
Ai f ( x i ) Ai
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
ba n ), i 0 ,1 , , n ，
i0 ik
dx
a
x a th x i a ih
n
t ( t 1 ) ( t k 1 )( t k 1 ) ( t n ) 1) k k 1 (k k 1) (k n ) k ( k 1 ) ((k k 1 ))( k k 1 ) ( k n )
(1 .3 )
(1.2)和(1.3)都称之为数值求积公式或机械求积公式 . 余项 R [ f ]也称 为求积公式的截断误差（方法误差）. 3. 衡量某种方法好坏的标准 （1）代数精度 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的. （2）数值稳定性 或者说成灵敏度如何, 也就是看舍入误差对计算结果影响的大 小. 比如病态方程组, 当系数矩阵中的元素有微小变化时, 引起方程 组无解. 这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的. （3）收敛性 截断误差的大小.
a b
插值
b
a
( x ) l k ( x ) dx，
0, k i ( k 0 , , n ), l ( x ) k i 1, k i #
即
b a
( x ) l k ( x ) dx
i0
n
Ai lk ( x i ) Ak
所以其求积系数由
( 1 . 4 ) 给出 .
( n1)
( x ) 0，
从而 该公式对次数
n 的代数多项式精确成立
. 故有 m n .
(充分性“ ” )
若 m n ,由 l k ( x )的次数为 n , 对 f ( x ) l k ( x )( l k ( x )为 n 次 Lagrange
有 基函数 )， ( x ) f ( x ) dx
插值型求积公式的定义
(1 .4 ) A i
定义2 对给定互异求积节点 a x 0 x 1 x n b ,若求积系数 A i i 0， ， n 是由(1.4)给出的，则称该求积公式是插值型的. 此时 1， n b 数值求积公式(1.2)称为插值型求积公式. ( 1 . 2 ) ( x ) f ( x ) dx Ai f ( x i ) a 2. 优点 i0 定理1 数值求积公式(1.2)或(1.3)是插值型的当且仅当它的代数 精度 m n . “ 证明：（必要性 ” 设求积公式（1.2）是插值型的，则 ）
即
I [ f ] Q [ f ] R[ f ]
b
( x ) f ( x ) dx
( x ) f ( x ) dx
a
b a
i0
n
A i f ( x i ) (1 .2 )
i0
n
A i f ( x i ) R [ f ],
或 I [ f ] Q [ f ] R[ f ]
当 f ( x ) x 时 ( k 1 ),
当 f ( x ) x 时 ( k 2 ),
2
1 3 1
3 1
f ( 1) 4 f (0 )
f ( 1) 4 f (0 )
0, 2 , k 1
k 为奇数 k 为偶数
f (1 )
1 3 1
I ( f ) Q ( f ) 0 ( x ) f ( x ) dx
a b
b
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
A ff ((xx )) A
ii ii i i00
nn
b
( x ) f ( x ) dx
a
i0
(1 4 1 1 ) 2 I 0 ;
f (1 )
f ( 1) 4 f (0 )
f (1 )
3 1
( 1 4 0 1) 0 I1;
(1 0 1 )
2 3
当 f ( x ) x 时 ( k 3 ),
3
3 1
f ( 1) 4 f (0 )
n
i 0 ,1 , , n
f ( x i ) ((x ))ll i ( x ) dx (积分的性质 a x i ( x ) dx
a
)
Ai f ( x i )
与f 无关,记为Ai
(1 .4 )
Ai
b
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
I[ f ]
i0
nห้องสมุดไป่ตู้
A i f ( x i ) Q [ x ].
即
b a
b
( x ) f ( x ) dx
a
( 1 . 2 ) 式 写成 带余 项 的形 式为
( x ) f ( x ) dx
(1 .3 )
i0
n
i0
n
A i f ( x i ) (1 .2 )
A i f ( x i ) R [ f ],
2 A 0 A1 , 0
1 2 A0 1 2
当 f ( x ) 1时
A1 ,当 f ( x ) x 时
成立.
解得 A 0 A 1 1 ( 此法为待定系数法
再确定代数精度 (同法 ( 一 )).
)， A 0 A 1 1 带入原求积公式 把
以下介绍常用的求积公式 1.3 Newton-Cotes 求积公式 插值型求积公式
f ( x ) 是 a , b 上具有一定光滑度的函
数，
求 I[ f ]
2.
则有
( x ) f ( x ) dx 的数值积分 . a 求积节点 解决方法
b
(1 .1 )
与f(x)无关的常数, 称为积分系数
f ( x i )( i 0 ,1 , , n )，
设 f ( x ) 在节点 a x 0 x 1 x n b 上的函数值为
i0
n
f ( x i ) l i ( x )，其中 l i ( x )
l0 li
n
x xl xi xl
,
b
( x ) f ( x ) dx
a
b
i0 n i0
a n
( x ) L n ( x ) dx
b b
b
a
( x ) f ( x i )l i ( x ) dx
f (1 )
1 3
3 1
I2;
3
当 f ( x ) x 时 ( k 4 ),
4
3
f (1 )
( 1 0 1) 0 I 3 ;
2 3 2 5 I 4。
1 3
f ( 1) 4 f (0 )
(1 0 1 )
所以该求积公式的代数精度m=3.
第四章 数值积分与数值微分
本章主要内容： 数值积分 介绍一些常用的数值积分公式 数值微分 介绍一些常用的数值微分公式 外推方法 （加速收敛的方法）
§1 插值型数值求积公式
1.1 一般求积公式及其代数精度 一、一般求积公式 1. 提出问题
设 ( x ) 是 ( a , b ) 上的权函数，
a
( n 1 )!
n1
( x ) dx ，
(1 .5 )
其中 n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ).
3. 举例 1 1 1 f ( x ) dx A 0 f ( ) A 1 f ( ) 例2 求插值型求积公式 1 2 2 并确定其代数精度. 分析 实际上该题目是求A0，A1，并确定其代数精度. 解 (一) 因 为 是 插 值 型 的 ， 且 x 0 1 , x 1 1
n
b a
( x ) l i ( x ) dx f ( x i )
b
( x ) f ( x ) dx
b
a
b a
( x ) llii ( x ) f ( x ii )) dx
i i 0 0
n n
b
a
( x )[[ ff (( x )) L nn ( x ) ]dx x L ( x )]
推论1 对给定求积节点 a x 0 x 1 x n b ，代数精度最高的 求积公式是插值型求积公式. 说明 不研究一般的求积公式. ( n1) 推论2 若 f C [ a , b ] ，(1.3)是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b
(x)
f
(n1)
( ( x ))
(x)
f
(n1)
( ( x ))
Ln ( x )
a
( n 1 )!
( x x 00 )( x x 11 )) ((x x nn)) dx )( x x x x
因为当
f (x) C
( n1)
[ a , b ]，且 f ( x )为次数
n 的多项式
时 , 有 f
若 ( x ) 1 , 等距节点
xi a i
ba n
a ih ， ( h
则插值型求积公式称为N-C求积公式.
1. N－C求积系数及公式
系数 ： A
k
b
a
l k ( x ) dx
a
b
n
x xi xk xi
dx
b
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 )( x k x 1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
b 二、代数精度 a ( x ) f ( x ) dx A i f ( x i ) ( 1 . 2 ) i0 1. 代数精度的定义 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都 精确成立，而对 xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代 数精度. 注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多 项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可.因此 有等价定义. 等价定义1´ 若(1.2)中对于1，x,„,xm都精确成立，对xm+1不精 确成立，则称(1.2)的代数精度为m. 另外，若代数精度为m，也就是对xm(1.2)或(1.3)精确成立. 则 (1.3)中若f(x)是x的m次多项式，有R(f)=0,因此定义1也可写成： 等价定义1´´ 若(1.3)中 R[xi]=0,(i=0,1,…,m)，而R[xm+1]不为0， 则称(1.2)的代数精度为m. n
2
且n=1,因而代数精度大于等于1，以下验证代数精度从m=2开始
对 f ( x ) x , f (
2
1
) f( ) 2 2 2
1
1
1 1
x dx
2
2 3
, 从而 m 1 .
解法（二） 因为是插值型的, 所以代数精度大于或等于 1, 因而对x0 =1, x 该 公式精确成立，即有方程组
2. 例子
确定求积公式
[ f ( 1 ) 4 f ( 0 ) f ( 1 )] 的 代 数 精 度 . 3 分析 由等价定义, 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证.
1
1
f ( x ) dx
1
解
Ik
1 1
x dx
k
1 ( 1) k 1
k 1
当 f ( x ) 1 时 ( k 0 ),
问题
当给定节点 a x 0 x 1 x n b 及 f ( x i )( i 0 ,1 , , n ), 如何选择
求积系数 A 0 , , A n，使求积公式代数精度
尽量高？
解决方法
1.2 插值型求积公式 1. 方法
则
插值多项式
插值基函数
已知 ( x i , f ( x i ))，求 L n ( x )
2 1 1 1 A 1 l 1 ( x ) dx ( x ) dx 1 1 1 2 1 1 1 从而求积公式为 1 f ( x ) dx f ( ) f ( )， 2 2
A0
1 1
l 0 ( x ) dx
1 1
( x
1
2 ) dx 1 ,
b
1 1
f ( x ) dx A 0 f (
1
1 ) A1 f ( ) 2 2
b
( x ) f ( x ) dx
a
i0
n
Ai f ( x i ) Ai
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
ba n ), i 0 ,1 , , n ，
i0 ik
dx
a
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n
t ( t 1 ) ( t k 1 )( t k 1 ) ( t n ) 1) k k 1 (k k 1) (k n ) k ( k 1 ) ((k k 1 ))( k k 1 ) ( k n )
(1 .3 )
(1.2)和(1.3)都称之为数值求积公式或机械求积公式 . 余项 R [ f ]也称 为求积公式的截断误差（方法误差）. 3. 衡量某种方法好坏的标准 （1）代数精度 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的. （2）数值稳定性 或者说成灵敏度如何, 也就是看舍入误差对计算结果影响的大 小. 比如病态方程组, 当系数矩阵中的元素有微小变化时, 引起方程 组无解. 这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的. （3）收敛性 截断误差的大小.
a b
插值
b
a
( x ) l k ( x ) dx，
0, k i ( k 0 , , n ), l ( x ) k i 1, k i #
即
b a
( x ) l k ( x ) dx
i0
n
Ai lk ( x i ) Ak
所以其求积系数由
( 1 . 4 ) 给出 .
( n1)
( x ) 0，
从而 该公式对次数
n 的代数多项式精确成立
. 故有 m n .
(充分性“ ” )
若 m n ,由 l k ( x )的次数为 n , 对 f ( x ) l k ( x )( l k ( x )为 n 次 Lagrange
有 基函数 )， ( x ) f ( x ) dx
插值型求积公式的定义
(1 .4 ) A i
定义2 对给定互异求积节点 a x 0 x 1 x n b ,若求积系数 A i i 0， ， n 是由(1.4)给出的，则称该求积公式是插值型的. 此时 1， n b 数值求积公式(1.2)称为插值型求积公式. ( 1 . 2 ) ( x ) f ( x ) dx Ai f ( x i ) a 2. 优点 i0 定理1 数值求积公式(1.2)或(1.3)是插值型的当且仅当它的代数 精度 m n . “ 证明：（必要性 ” 设求积公式（1.2）是插值型的，则 ）
即
I [ f ] Q [ f ] R[ f ]
b
( x ) f ( x ) dx
( x ) f ( x ) dx
a
b a
i0
n
A i f ( x i ) (1 .2 )
i0
n
A i f ( x i ) R [ f ],
或 I [ f ] Q [ f ] R[ f ]
当 f ( x ) x 时 ( k 1 ),
当 f ( x ) x 时 ( k 2 ),
2
1 3 1
3 1
f ( 1) 4 f (0 )
f ( 1) 4 f (0 )
0, 2 , k 1
k 为奇数 k 为偶数
f (1 )
1 3 1
I ( f ) Q ( f ) 0 ( x ) f ( x ) dx
a b
b
a
( x ) l i ( x ) dx ,
i 0 ,1 , , n
A ff ((xx )) A
ii ii i i00
nn
b
( x ) f ( x ) dx
a
i0
(1 4 1 1 ) 2 I 0 ;
f (1 )
f ( 1) 4 f (0 )
f (1 )
3 1
( 1 4 0 1) 0 I1;
(1 0 1 )
2 3
当 f ( x ) x 时 ( k 3 ),
3
3 1
f ( 1) 4 f (0 )