数值分析引论 易大义Ch3.1

f ||,
f , g C [ a , b ]， 称实数 ( f , g )

b
( x ) f ( x ) g ( x ) dx 为 f ， g 关于权
( x ) 在 [ a ， b ]上的内积（即是一实数
a
） .
2.范数 定义1 关于函数 f ( x ) C [ a ， b ] 的某个实值非负函数 N ( f ) || 满足: 1 0 正定性 ： f || 0 , || f || 0 f 0； ||
B {简单易计算的函数
i0
}
另外：
C [ a , b ] { f ( x ) | f ( x )为 [a ， b] 上的连续函数
}
一、背景知识 函数逼近 两类逼近 数据逼近 二、问题的提出 1．函数逼近 设 f ( x )为 [ a , b ] 上的连续函数，寻求一个近似函数P ( x ) ，使 在[a，b]上均匀逼近 f ( x ) . 2．数据逼近 已知 ( x i , f ( x i )), ( i 0 ,1 , , m ) , 求n次多项式 P n ( x )， n m ，使 Pn ( x ) 能更好地逼近 ( x i , f ( x i )) 或修正 ( x i , f ( x i )) 的误差. 三、解决的方法 函数逼近：采用最佳逼近 离散数据：采用最小二乘逼近 逼近问题数学提法

存在且唯一
若 Pn ( x ) 存在，则称
的n次最佳一致逼近多项式. 相应 的逼近问题称为最佳一致逼近问题（或称为极大极小逼近，或称为 切比雪夫（Chebyshev）逼近 ）. 均方误差
2 . 最佳平方逼近 (以 [ ( x )( a * 寻求 Pn ( x ) H n， 使
b
f ( x ) Pn ( x )) dx ]
由于
（a）有适度的精度； （b）实验数据有小的误差； 特点： （c）特殊的信息用来选择实验数据的数学模型. 二、问题的提出 1．函数逼近 设 f ( x )为 [ a , b ] 上的连续函数，寻求一个近似函数P ( x ) ，使 在[a，b]上均匀逼近 f ( x ) . 2．数据逼近 已知 ( x i , f ( x i )), ( i 0 ,1 , , m ) , 求n次多项式 P n ( x )， n m ，使 Pn ( x ) 能更好地逼近 ( x i , f ( x i )) 或修正 ( x i , f ( x i )) 的误差. 三、解决的方法 代数多项式；三角多 函数逼近：采用最佳逼近 项式；分式有理函数 离散数据：采用最小二乘逼近 n i H 两个函数类： n { Pn ( x ) | Pn ( x ) a i x , a i 为实数 }
（5）
x
4
R 4 ( x ) e Pn ( x )
x
5
f
( )
1 120
x e , x [ 1 ,1 ]
5

其中 在x和0之间. 1 5 x R4 ( x ) 且有 120
5!
e 120
x , 0 x 1
5
（x<0类似）
误差R 4 ( x ) 随x增加而增加， 因此 R 4 ( x ) 在整个区间[-1，1]不是 y 均匀分布，如图示. R (x) 0 . 0226 1 1 （a）精度都较高； 特点： x （b）方法简单； （c）条件高（高阶导数存在）；误差不均匀；测量的 数据 ( x i , f ( x i )), ( i 0 ,1 , , n ) 不准确.
于 0.
( x ) 在 [ a ， b ]的任何小区间上不恒等
若 Pn ( x ) 存在 , 称 Pn ( x )为 f ( x ) 在 H n 中的最佳平方逼近多项式.
这种逼近问题称为最佳平方逼近问题.
离散数据逼近的度量 3.最小二乘逼近（拟合） * m {( x i , f ( x i ))} i 1 , 求 P n ( x ) H n 使 已知
一、背景知识 函数逼近 两类逼近 数据逼近 1．函数逼近 方法： （1）用在 x x 0 点Taylor多项式逼近函数f(x) Taylor公式： (n)
Pn ( x ) R n ( x ) n
§1 引言
第三章
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函数与数据的逼近
f (n) ( x ) n f ( x 00 ) ( x x )n R ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 ) f ( x ) f ' ( x )( x x ) n ( x x 00 ) 0 0 0 n! ! n
1/2 b 2 2 a
2
1 2
为度量 )
1 2
P n ( x ) H
min
n
[ ( x )( f ( x ) Pn ( x )) dx ]
2 a
b
1 2
[ ( x )( f ( x ) P n ( x )) dx ]
2 a
b
其中权函数 ( x )满足： ( x )

0； ( x ) 在 [ a ， b ]上可积 ;
P 说明： Pn ( x ) 逼近 f ( x ) 在n+1个节点上无误差，当x x i 时，n ( x ) 可能很好地逼近 f ( x ) ，也可能使误差 | R n ( x ) | | f ( x ) Pn ( x ) | 较大.
f ( x 0 ) Pn ( x 0 ) (a)x越接近x0，误差越小； (k ) (k ) 越偏离x0，误差越大. f ( x 0 ) P n ( x 0 ), ( k 1 , 2 , , n )
min

f ( x ) Pn ( x ) | 为度量 )
n
P n ( x ) H n a x b
max | f ( x ) Pn ( x ) | max | f ( x ) P ( x ) | n
a xb
的多项式p*n(x)，使
Pn ( x ) 为 f ( x )
a 0 a 1 x 1 a n x 1n y 1 n a 0 a1 x 2 a n x 2 y2 a a x a x n y 1 m n m m 0
n 1 m
n+1<m
n+1个未知量 m个方程
，方程组的解有可能不唯一确定，因此，不能要求 Pn ( x i ) f ( x i ), ( i 1 , 2 , , m )，精确成立， 而仅仅要求多项式尽可能接近 给定的数据.也就是要允许每个等式可以稍有偏差，但偏差又尽可 能的小. 若方程组的解不能唯一确定，该方程组为一矛盾方程组.
2
0
齐次性 ： cf || | c ||| f || ( c R ); ||
3
0
三角不等式
： f ， g C [ a ， b ]，有 || f g || || f || || g || .
称 N ( f ) || f || 为 f ( x )的范数或模 .
范数是C[a，b]中的一种度量. 思考： 内积定义中的( f，f )是否是范数
, a x b。
且有：
说明： (b) 在[a,b]上要提高pn(x) 存在问题 (a) x偏离x0，误差很大. 逼近f(x)的精度，就要 (b) n较大时计算量增大. 提高pn(x)的次数，这就 （2）用插值多项式逼近函数 使得计算量增大. p n x f x 0 f x 0 , x 1 x x 0 f x 0 , x 1 , , x n x x 0 x x 1 x x n 1 已知 ( x i , f ( x i )), ( i 0 ,1 , , n )，则存在唯一插值多项式 Pn ( x ) , 使 Pn ( x i ) f ( x i ), ( i 0 ,1 , , n ) ，其中 x i ( i 0 ,1 , , n ) [ a , b ] 互不相同， 于是 f ( x ) Pn ( x ), x [ a , b ]. 存在问题 误差分配不均匀（龙格现象）.
* Pn ( x ) 是 {( x i , f ( x i ))} i 1
§2 连续函数空间，正交多项式理论
1.内积
性质
( a ) 对称性 ： f , g ) ( g , f ), f , g C [ a , b ]； ( ( b ) 数乘性 ： cf , g ) c ( f , g ), c 为常数； ( ( c ) 可加性 ： f 1 f 2 , g ) ( f 1 , g ) ( f 2 , g )； ( ( d ) 非负性 ( 正定性 ) : ( f , f ) 0 , 且 ( f , f ) 0 f 0.
n
2．数据逼近 已知 y f ( x ) 实验数据
x f (x)
x1 y1
x2 y2

xm ym
，用较简单和合适
的函数来逼近（或拟合）实验数据. 假设选用n次插值多项式Pn ( x ) a 0 a 1 x a n x n , 要满足 P n ( x i ) f ( x i ), ( i 0 ,1 , , m )， 即
已知 y f ( x ) C [ a , b ] 或 ( x i , f ( x i )), ( i 0 ,1 , , m ), 在 H n 中求一函数
§1 引言
第三章
函数与数据的逼近
Pn ( x ),
使 f ( x ) Pn ( x ) 在某种
度量下最小
.
函数逼近的两种度量 1.最佳一致逼近 (以 max b | a x 寻求次数
？ 不是
定义2 (1) f C [ a , b ]，称 N ( f ) || f || maxb f ( x ) 为 a x （或Chebyshev范数）. （2）若 f C [ a , b ]，称 N ( f ) || f || ( f , f ) [ ( x ) f 为f 的“2”范数（或模）. 0 0 可以验证 N ( f ), N 2 ( f ) 满足范数的3个条件 1 3 . 定理1 f , g C [ a , b ]， 则有 （1）哥西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式：
P n ( x ) H
min

n
m
i ( f ( x i ) P n ( x i ))
2
i 1

m
i ( f ( x i ) p n ( x i ))
m

2
i 1
若 Pn ( x ) H n 存在，称
*
的最小二乘逼近 （拟合）多项式或称为y=f (x)的经验公式(数学模型). 该问题称为 最小二乘问题 . 四、讨论的问题 （1）在各种度量意义下最佳逼近多项式 Pn ( x ) H n 是否存在？ 是否唯一？（本章讨论：最佳平方逼近，最小二乘逼近） （2）如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式 Pn ( x ) .
取
f ( x ) Pn ( x ), x [ a , b ]
(i)
若 y f ( x ) 在[a,b]上各阶导数 f
( x )( i 0 ,1 , , n 1 )
Mn ( n 1 )! x x0
存在且连续，
n1
则有误差： R n ( x ) f ( x ) Pn ( x )， R 且当 f ( n 1 ) ( x ) M n 时,有误差估计： n ( x )
例1 设 f ( x ) e , x [ 1 ,1 ] ，考查用4次Taylor多项式 P4 ( x ) 逼近 f ( x ) 的误差. 解 用在 x 0 展开的4次Taylor多项式逼近 f ( x ) .
x
P4 ( x ) 1 x
x
1 2
x
2
1 6
x
3
1 24