高三数学三角函数与函数导数专题训练(含解析)
高中数学三角函数专项(含答案)
高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．8．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.10．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．916．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12217．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）19．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 24．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.25．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．26．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.28．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.29．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．30．已知两个不共线的向量a ，b 满足3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．3π2．33．2⎝45．⎝⎭6．2rr h-+7．1⎡⎤⎣⎦8．742ω<<或91322ω<≤.910．1或2##2或1二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长；②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x xBCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）212S sin πα=⎛⎫++ ⎪⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)1000021 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 24．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 25．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式26．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+42 ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．27．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，33⎝⎭（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 28．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.29．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】 【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=，即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________2．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.3．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．4．给出下列命题：①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；④设常数a ∈R ，函数2log ,04()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．其中正确命题的序号为_____．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________. 6．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 8．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．9．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,213．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ）A ．27π B ．25π C ．2π D ．23π14．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥15．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦16．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞17．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）A 2B ．33C 5D ．218．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]1.71=，[]1.22-=-，{}x 表示x 的非负纯小数，即{}[]x x x =-．若函数{}1log a y x x=-+（0a >且1a ≠）有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．()3,4C ．[)3,4D ．[]3,419．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．920．若函数()()11,0sin ,0133,1x x x f x x x x ππ⎧-++≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，满足()()()()()f a f b f c f d f e ====且a 、b 、c 、d 、e 互不相等，则a b c d e ++++的取值范围是（ ）A ．340,log 9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．390,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．340,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．330,log 4⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，5()5f αβ+=-， 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.24．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.25．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.26．已知向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知数列()2*11224n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求{}n a 的前2n 项和2n S .27．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 28．设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）求函数()f x 在R 上的最小值；（2）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()0f x =在(0,)π上有四个不相等的实数根，求a 的取值范围．29．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 30．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．【参考答案】一、填空题1．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，2．②④3．20π4．③④ 5．46．28π7．①③8． 3 21,32⎡⎢⎣⎦9．π3##60°10．⎡⎢⎣⎦ 二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．B 15．A 16．D 17．B 18．C 19．A 20．C 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案.【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 24．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 25．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题26．（1）单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）)22n n +【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+ ⎪⎝⎭， 再利用三角函数单调区间的求法即可得解；（2）由题意可得()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦，又()()2221241n n n --=-+，则)2442434n S n n =--⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，再利用等差数列求和公式即可得解.【详解】解：（1）向量a ，b 满足2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 4b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()2sin 222sin 23f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-≤+≤+，可得71212k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 解得()f x 的单调增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； 单调减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为22112sin 2244n n a n f n n ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222221234212n S n n ⎤=-+-+⋅⋅⋅+--⎦， 又()()2221241n n n --=-+，)2442434n S n n --⨯-⨯-⋅⋅⋅-+，所以())2234122n n n S n n --+==+．【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法及数列中捆绑求和，属中档题. 27．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =（2，2cos2（ωx +φ）），b =（22，22-），∴f （x ）222222a b =⋅=⨯-⨯cos2（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．28．（1）2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩（2）(,1)a ∈-∞-（3）12a -<<-【解析】 【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值； （2）恒成立需要保证max ()0f x <即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到a 的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求a 的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出a 的范围. 【详解】解：（1）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩ （2）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f xg t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （3）令sin x t =，(0,)x π∈．由题意可知，当01t <<时，sin x t =有两个不等实数解，所以原题可转化为2()10g t t at a =+++=在(0,1)内有两个不等实数根．所以有201,24(1)0,12(0)10,(1)220,a a a a g a g a ⎧<-<⎪⎪⎪∆=-+>⇒-<<-⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩【点睛】（1）三角函数中，形如2()sin sin f x a x b x c =++或者2()cos cos f x a x b x c =++都可以采用换元法求解函数最值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.29．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1-【解析】 【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+．（2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=-时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 30．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[2]-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。
【高考数学】《三角函数与导数》的综合题(含答案)
2. 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围．.（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．1.【高考数学】《三角函数与导数》的综合题3. 已知函数，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值.4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．()22cos f x x x =+()()cos sin 22xg x e x x x =-+-2.71828e =L ()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.7. 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.8. 已知函数()()()[]321,12cos .0,12xx f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+（II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围..微专题 三角函数与导数的综合题答案1. 解：（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x 时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭ 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = 又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点 综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增 00h xh ，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立 ④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 00h xh 可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞2. 解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．3. 解：（Ⅰ）易求： （Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )xh x ex x x a x x =-+--+，222y x ππ=--因为，令，则，所以在上单调递增.因为(0)0,m=所以当时，()0,m x>当0x<时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是；极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上递增，在上递减，函数有极大值，也有极小值，()()()()cos sin22sin cos222sinx xh x e x x x e x x a x x'=-+-+--+--()()2sin2sinxe x x a x x=---()()2sinxe a x x=--()sinm x x x=-()1cos0m x x'=-≥()m x Rx>()0m x<a≤x e a-0>x<()0h x'<()h x0x>()0h x'>()h xx=()h x()021h a=--()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦x=()h x()021h a=--1a=ln0a=(),x∈-∞+∞()0h x'≥()h x(),-∞+∞1a>ln0a>(),0x∈-∞ln0x ae e-<()()0,h x h x'>()0,lnx a∈ln0x ae e-<()()0,h x h x'<()ln,x a∈+∞ln0x ae e->()()0,h x h x'>x=()h x()021h a=--lnx a=()h x()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦a≤()h x(),0-∞()0,+∞()h x()021h a=--01a<<()h x(),ln a-∞()0,ln a()0,+∞()ln,0a()h x4. 解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n na a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点 5.具体答案如下：6. 解：(Ⅰ)由已知，有()()'ecos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin x g x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y .由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故：()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.7. 证明：（Ⅰ）∵当x ∈（0，）时，f′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣cosx ＜0，∴函数f （x ）在（0，）上为减函数，又f （0）=π﹣＞0，f （）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．8. （I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．。
高考三角函数专题(含答案)
高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。
高三数学 导数解答题专项训练附解析
高三数学 导数解答题专项训练附解析一、解答题1．设函数21()ln 2f x x ax bx =--.(1)令21()()(03)2a F x f x ax bx x x=+++<≤，以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当0,1a b ==-时，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 3．已知函数()e sin cos x f x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值．4．已知函数()e 1xf x ax =--，a ∈R ．(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．5．已知函数()e xf x kx =-，()()28ln ag x x x a R x=--∈.(1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； (2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，求实数k 的取值范围；(3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有()21221ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.6．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围. 7．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 8．已知函数()()()2e 1,e 2.718xf x m x m R =-+∈≈.(1)选择下列两个条件之一：①12m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)12a ≥ (2)12m = 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，得到()002012x a k F x x '-==≤，在0(0,3]x ∈上恒成立，利用分离参数法得到2000max1,(0,3]2a x x x ⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭，即可求解； （2）把题意转化为22ln 20x m x mx --=有唯一实数解.设2()2ln 2g x x m x mx =--，利用导数计算得到222ln 10x x +-=.设函数()2ln 1h x x x =+-，由()h x 是增函数，且(1)0h =，得到21x =1=，即可解出m .(1)()ln ,(0,3]aF x x x x=+∈所以()002012x a k F x x '-==≤，在0(0,3]x ∈上恒成立， 所以2000max1,(0,3]2a x x x ⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭ 对于()2011122y x =--+,所以当01x =时，20012x x -+取得最大值12.所以12a ≥. (2)因为方程22()mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解.设2()2ln 2g x x m x mx =--，则2222()x mx mg x x--'=令()0g x '=，得20x mx m --= 因为0,0m x >>，所以10x =<（舍去），2x =， 当()20,x x ∈时，()0,?()g x g x '<在()20,x 单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0,()'>g x g x 在()2,x +∞单调递增.当2x x =时，()20,()g x g x '=取最小值()2g x .因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =.则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln 220,2ln 0m x mx m m x mx m +-=+-= 因为0m >，所以222ln 10x x +-=. 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解.因为(1)0h =，所以方程的解为21x =1=，解得12m =. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 3．(1)2a ≤(2)3a = 【解析】 【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin xh x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立. (1)由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭ 当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤== (2)由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----< 所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e 3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增 所以当3a =时，()()00g x g ≥= 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．4．(1)2a = 时，函数 () f x 的单调增区间是(ln2,)+∞ ，递减区间为 (,ln2)-∞ ; (2)a 的取值范围为 (], 0-∞ 【解析】 【分析】（1）将2a =代入，对()f x 求导，根据导数正负，确定函数增减即可； （2）()x f x e a '=-，根据题意函数单调增，所以需要()0f x '≥在R 上恒成立，利用参变分离即可求解. (1)当2a = 时，()e 21x f x x =--，()e 2x f x '∴=-.令()0f x '> ，即e 20x -> ，解得 : ln 2x > ； 令()0f x '< ，即e 20x -< ，解得 :ln 2x < ；()f x ∴ 在ln 2x =时取得极小值，亦为最小值，即(ln 2)12ln 2f =- .∴ 当2a = 时，函数()f x 的单调增区间是(ln2,)+∞，递减区间为(,ln2)-∞.(2)()e 1x f x ax =-- ()e .x f x a ∴-'=()f x 在R 上单调递增，()e 0x f x a ∴='-≥ 恒成立，即e x a ≤在x ∈R 恒成立，x ∈R时,e (0,)x ∈+∞，0a ∴≤.即 a 的取值范围为(],0∞-. 5．(1)最大值为e 1-，最小值为1；(2)21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(3)(],1-∞-. 【解析】 【分析】（1）求得'()f x ，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数()e xh x x=，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据12,x x 是()g x 的极值点，求得12,,x x a 的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围. (1)当1k =时，()e xf x x =-，'()f x e 1x =-，令'()f x 0=，解得0x =，当()1,,0x ∈-时，()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()f x 单调递增； 又()()()111,01,1e 1ef f f -=+==-，且()()11f f >-， 故()f x 在[]1,1-上的最大值为e 1-，最小值为1. (2)令()e xf x kx =-0=，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x ≠，故e xk x =，令()e 1,,22x h x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则'()h x ()2e 1 x x x -=，故当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()h x 单调递减，当()1,2x ∈，()h x 单调递增，又()()2111e,2e 22h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 故()h x 的值域为21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则要满足题意，只需21e,?e 2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 即()h x 的取值范围为：21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)因为()28ln a g x x x x =--，'()g x 2228282a x x a x x x -+=+-=，因为()g x 有两个极值点12,x x ，故可得12126480,4,02a a x x x x ->+==>， 也即08a <<，且12124,2ax x x x +==. 因为11x ≠，12x x <，故()()10,11,2x ∈⋃，则()21221ln 51a x m x x x >--，即()()()211111124ln 5441x x x m x x x -⎡⎤>---⎣⎦-， 因为140x ->，故上式等价于()11112ln 11x x m x x >+-，即()21111112ln 01m x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，又当()0,1x ∈时，1101x x >-，当()1,2x ∈时，1101xx <-，令()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，则'()m x 222mxx mx ++=， 当0m ≥时，'()m x 0>，故()m x 在()0,2单调递增，又()10m =， 故当()0,1x ∈时，()0m x <，当()1,2x ∈时，()0m x >，故不满足题意；当0m <时，令()22n x mx x m =++，若方程()0n x =对应的2440m =-≤时，即1m ≤-时，'()m x 0≤，()m x 单调递减， 又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x >，当()1,2x ∈时，()0m x <，满足题意； 若2440m =->，即10m -<<时，又()y n x =的对称轴11x m=->，且开口向下， 又()1220n m =+>，不妨取1min ,2b m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 故当()1,x b ∈，'()m x 0>，()m x 单调递增，又()10m =， 故此时()0m x >，不满足题意，舍去； 综上所述：m 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理12,,x x a 以及m 多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 6．(1)在(0,)+∞单调递增； (2)1b ≤ 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围. (1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x'-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x 对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x，当44≤b ， 即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意.当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减； 此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾. 综上：1b ≤. 【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围. 7．(1)答案见解析 (2)e π-- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值. (1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增， 当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减， 此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0； 当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞ 上单调递减，极值点个数为1. (2)由()()0af x g x +=，得sin 1xx a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根， 所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->-所以当)e ,0xa -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．8．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，（2）令()0g x =，则可得()()()1ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围(1)若选择①12m =，则()()2112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .(2)令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >， 所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得. 设()ln l x x x =-，由()11l x x '=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-， 因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-， 所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a+-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a +->-+-恒成立.构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
2024年高考数学专项练习导数与三角函数结合问题的研究(解析版)
导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x >0时,x >sin x >x −12x 2.②余弦函数:cos x ≥1−12x 2.③正切函数:当x ∈0,π2时,sin x <x <tan x . ④数值域:sin x ∈-1,1,cos x ∈ -1,1 .3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x -ax ，a ∈R ，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x >2x ；(2)若函数g x =f x -x cos x 在区间0,+∞ 内有唯一的零点，求a 的取值范围.2024年高考数学专项练习导数与三角函数结合问题的研究（解析版）2已知函数f x =sin x-x-ae x,其中a为实数,e是自然对数的底数.(1)若a=-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π上有唯一的极值点,求实数a的取值范围.3已知函数f x =e x，g x =sin x+cos x.(1)求证：f x ≥x+1；(2)若x≥0，问f x +g x -2-ax≥0a∈R是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由4已知函数f(x)=e x+cos x-a(a∈R)．(1)讨论f(x)在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x∈[0,+∞)时，e x+sin x≥ax+1恒成立，求a的取值范围．5已知函数f x =a sin x，其中a>0.(1)若f x ≤x在0,+∞上恒成立，求a的取值范围；(2)证明：∀x∈0,+∞，有2e x>x+1 xln x+1+sin x.6已知函数f x =ae x+4sin x-5x.(1)若a=4，判断f x 在0,+∞上的单调性；(2)设函数p x =3sin x-2x+2，若关于x的方程f x =p x 有唯一的实根，求a的取值范围.7已知函数f x =e x，g x =2-sin x-cos x．(1)求证：当x∈0,+∞，x>sin x；(2)若x∈0,+∞，f x >g x +ax恒成立，求实数a的取值范围．8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2 ，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f (x )有两个极值点，求a 的取值范围；(2)若x ≥0，f (x )≥2sin x ，求a 的取值范围．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x<1时，x-x2<sin x<x；(2)已知函数f x =cos ax-ln1-x2，若x=0是f x 的极大值点，求a的取值范围．【跟踪训练】1已知函数f x =xe-x+a sin x，e是自然对数的底数，若x=0恰为f(x)的极值点.(1)求实数a的值；上零点的个数.(2)求f(x)在区间-∞,π42已知函数f x =2cos x+ln1+x-1．上零点和极值点的个数，并给出证明；(1)判断函数f x 在区间0,π2(2)若x≥0时，不等式f x <ax+1恒成立，求实数a的取值范围．3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立.(1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.5已知函数f(x)=ax2-a(x sin x+cos x)+cos x+a(x>0)．(1)当a=1时，(I)求(π,f(π))处的切线方程；(II)判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a的取值范围．6已知f(x)=ax2-cos x-x sin x+a(a∈R).(1)当a=14时，求y=f(x)在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x∈R时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围.7已知函数f(x)=e x-a-x-cos x，x∈(-π,π)其中e=2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a=0时，证明：f x ≥0;(2)当a=1时，求函数y=f x 零点个数．8已知函数f x =x-1e x+ax+1.(1)若a=-e，求f x 的极值；(2)若x≥0，f x ≥2sin x，求a的取值范围.9已知函数f x =2sin x-ln1+x0<x<π．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．11已知函数f x =ln x+sin x. (1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.12已知函数f(x)=12ax2-(a-2)x-2ln x.(1)当a=2时，证明：f x >sin x.(2)讨论f x 的单调性.13(1)证明：当x<1时，x+1≤e x≤11-x；(2)是否存在正数a，使得f x =2e x+a sin x-ax2-a+2x在R上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x>0时,x>sin x>x−12x2. ②余弦函数:cos x≥1−12x2.③正切函数:当x∈0,π2时,sin x<x<tan x. ④数值域:sin x∈-1,1,cos x∈-1,1.3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x-ax，a∈R，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x>2x；(2)若函数g x =f x -x cos x在区间0,+∞内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)a≥1【详解】(1)因为f x =e x-ax，所以f x =e x-a，当a≤0时，f x =e x-a>0，则f x =e x-ax在R上单调递增，当a>0时，令f x =e x-a>0得x>ln a，令f x =e x-a<0得x<ln a，所以函数f x 的增区间为(ln a,+∞)，减区间为(-∞,ln a)，令F x =e x-2x，则F x =e x-2，令F x =e x-2>0得x>ln2，令F x =e x-2<0得x<ln2，所以函数F x 的增区间为(ln2,+∞)，减区间为(-∞,ln2)，所以当x=ln2时，F x 取得最小值为F ln2=e ln2-2ln2=2-2ln2>0，所以e x>2x，得证；(2)由(1)知，g x =e x-a-x cos x，因为函数g x 在区间0,+∞内有唯一的零点，所以方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，令h(x)=e x-x cos x,x≥0，则函数h(x)=e x -x cos x与y=a在0,+∞上只有一个交点，记m x =e x-x-1,(x≥0)，则m x =e x-1≥0，所以m x 在0,+∞上单调递增，所以m x =e x-x-1≥e0-1=0，即e x≥x+1，故h (x)=e x-cos x+x sin x≥1-cos x+x(1+sin x)≥0，所以h(x)=e x-x cos x在0,+∞上单调递增，又h(0)=1，如图：要使方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.2已知函数f x =sin x -x -ae x ,其中a 为实数,e 是自然对数的底数.(1)若a =-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π 上有唯一的极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:a =-1时,f x =sin x -x +e x ,令g x =e x -x ,则g x =e x -1,当x <0时,g x <0,g x 在-∞,0 上为减函数,当x >0时,g x >0,g x 在0,+∞ 上为增函数,函数g x 的极小值也是最小值为g 0 =1,所以g x ≥g 0 =1,而-sin x ≤1,所以e x -x ≥-sin x ,即f x ≥0.(2)f x 在0,π 上有唯一的极值点等价于f x =cos x -1-ae x =0在0,π 上有唯一的变号零点,f x =0等价于a =cos x -1e x ,设h x =cos x -1e x,x ∈0,π ,h x =-sin x -cos x +1e x =1-2sin x +π4 e x,因为x ∈0,π ,所以x +π4∈π4,5π4 ,当0<x <π2时,x +π4∈π4,3π4 ,sin x +π4 >22,h x <0,h x 在0,π2 上为减函数,当π2<x <π时,x +π4∈3π4,5π4 ,sin x +π4 22,h x 0,h x 在π2,π 上为增函数,所以函数h x 的极小值也是最小值为h π2 =-1e π2,又h 0 =0,h π =-2e π,所以当-2e π≤a <0时,方程a =cos x -1e x 在0,π 上有唯一的变号零点,所以a 的取值范围是-2e π,0.3已知函数f x =e x ，g x =sin x +cos x .(1)求证：f x ≥x +1；(2)若x ≥0，问f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若不恒成立，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)a ≤2【详解】(1)令F x =e x -x -1，F x =e x -1，当x ∈-∞,0 ，F x <0，所以此时F x 单调递减；当x ∈0,+∞ ，F x >0，所以此时F x 单调递增；即当x =0时，F x 取得极小值也是最小值F 0 =0，所以F x ≥0，得证；(2)设h x =f x +g x -2-ax ，即证h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，易得h x =e x +cos x -sin x -a ，当x =0时，若h 0 =2-a ≥0⇒a ≤2，下面证明：当a ≤2时，h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0，在0,+∞ 上恒成立，因为h x =e x +cos x -sin x -a ，设u x =h x ，令v x =x -sin x ,v x =1-cos x ≥0，所以v x 在0,+∞ 上是单调递增函，所以v x ≥v 0 =0，又因为1-cos x ≥0，则u x =e x -sin x -cos x ≥x +1-sin x -cos x =x -sin x +1-cos x ≥0所以h x 在0,+∞ 上是单调递增函数，所以h x ≥h 0 =2-a ≥0，所以h x 在0,+∞ 上是严格增函数，若a >2时，h 0 <0，即h x 在x =0右侧附近单调递减，此时必存在h x 0 <h 0 =0，不满足f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 恒成立，故当a ≤2时，不等式恒成立.4已知函数f (x )=e x +cos x -a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，e x +sin x ≥ax +1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f (x )在[-π,+∞)上的单调递增；(2)(-∞,2]【详解】(1)f (x )=e x -sin x ，当-π≤x ≤0时，e x >0，sin x <0，∴f (x )=e x -sin x >0，当x >0时，e x >1，sin x ≤1，∴f (x )=e x -sin x >0，即：f (x )>0在[-π,+∞)上恒成立，所以f (x )在[-π,+∞)上的单调递增.(2)方法一：由e x +sin x ≥ax +1得：e x +sin x -ax -1≥0当x =0时，e x +sin x -ax -1≥0恒成立，符合题意令g (x )=e x +sin x -ax -1，x >0g (x )=e x +cos x -a =f (x )，由(1)得：g (x )在(0,+∞)上的单调递增，∴g (x )>2-a ，①当a ≤2时，g (x )>2-a ≥0，所以g (x )在(0,+∞)上的单调递增，所以g (x )>g (0)=0，符合题意②当a >2时，g (0)=2-a <0，g (ln (2+a ))=2+cos (ln (2+a ))>0，∴存在x 0∈(0,ln (2+a ))，使得g (x 0)=0,当0<x <x 0时，g (x )<g (x 0)=0；所以g (x )在(0,x 0)上的单调递减，当0<x <x 0时，g (x )<g (0)=0，这不符合题意综上，a 的取值范围是(-∞,2].方法二：令h (x )=e x +sin x ，s (x )=ax +1，x ≥0则h (0)=s (0)=1，符合题意h(x )=e x +cos x =f (x )+a ，f (x )=e x -sin x 由(1)得：f (x )>0在(0,+∞)上恒成立，h (x )在(0,+∞)上单调递增所以，h (x )>h (0)>0，所以h (x )在(0,+∞)上单调递增，其图象是下凸的，如图： ∵h (0)=2，所以，曲线h (x )在点(0,1)处的切线方程为：y =2x +1，要使得h (x )≥s (x )在[0,+∞)上恒成立，只需a ≤2所以，a 的取值范围是(-∞,2].5已知函数f x =a sin x ，其中a >0.(1)若f x ≤x 在0,+∞ 上恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x .【答案】(1)0,1 ；(2)证明见解析【详解】(1)令h x =x -a sin x ，x ∈0,+∞ ，则h x =1-a cos x ，当a ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0，当a ∈1,+∞ 时，令m x =h x =1-a cos x ，则m x =a sin x ，所以对∀x ∈0,π2 ，m x >0，则h x 在0,π2 上单调递增，又因为h 0 =1-a <0，h π2 =1>0，所以由零点存在定理可知，∃x 0∈0,π2使得h x 0 =0，所以当x ∈0,x 0 时，h x <0，h x 单调递减，h x <h 0 =0，与题意矛盾，综上所述，a ∈0,1 .(2)由(1)知，当a =1时，sin x ≤x ，∀x ∈0,+∞ . 先证ln x +1 ≤x ，x ∈0,+∞ ，令φx =x -ln x +1 ，则φ x =1-1x +1≥0，所以φx 单调递增，φx >φ0 =0，即ln x +1 ≤x . 所以当x ∈0,+∞ 时，ln x +1 +sin x ≤2x ，x +1x ln x +1 +sin x ≤2x 2+1 .要证∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x ，只需证e x >x 2+1. 令g x =x 2+1 e -x -1，x ∈0,+∞ ，则g x =2x -x 2-1 e -x =-x -1 2e -x ≤0.所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以g x <g 0 =0，即e x >x 2+1.综上可得∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .6已知函数f x =ae x +4sin x -5x .(1)若a =4，判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)设函数p x =3sin x -2x +2，若关于x 的方程f x =p x 有唯一的实根，求a 的取值范围.【答案】(1)函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)a ≤0或a =2【详解】(1)当a =4时，f x =4e x +4sin x -5x ,f x =4e x +4cos x -5，令g x =f x =4e x +4cos x -5,则g x =4e x -4sin x .当x ∈0,+∞ 时，4e x ≥4(x =0时等号成立)；-4sin x ≥-4(x =π2+2k π,k ∈Z 时等号成立)，所以g x =4e x -4sin x >0，即函数f x =4e x +4cos x -5在0,+∞ 上递增，所以f x ≥f 0 =3>0，即函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)方程f x =p x 即ae x +4sin x -5x =3sin x -2x +2有唯一的实根，则a =3x +2-sin x e x只有一个解，等价于直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x 的图象只有一个交点.令h x =3x +2-sin x ex ，则h x =sin x -cos x +1-3x e x ，因为e x >0，所以h x =sin x -cos x +1-3x e x 的符号由分子决定，令m x =sin x -cos x +1-3x ，则m x =cos x +sin x -3=22sin x +π4-3<0.所以m x =sin x -cos x +1-3x 在R 上递减，因为m 0 =0，所以当x ∈-∞,0 时，m x >m 0 =0；当x ∈0,+∞ 时，m x <m 0 =0.即当x ∈-∞,0 时，h x >0；当x ∈0,+∞ 时，h x <0.所以函数h x =3x +2-sin x e x 在-∞,0 上递增，在0,+∞ 上递减，当x 趋于-∞时，e x 趋于0且大于0，分子3x +2-sin x 趋于-∞，则3x +2-sin x e x趋于-∞；当x =0时，h max x =h 0 =2；当x 趋于+∞时，e x 趋于+∞，分子3x +2-sin x 也趋于+∞，令φx =e x-3x +2-sin x ，则φ x =e x -3+cos x ，当x >2时，φ x =e x -3+cos x >0，则x 趋于+∞时，e x 增长速率大于3x+2-sin x 的增长速率，故x 趋于+∞时，3x +2-sin x e x趋于0.画出函数h x =3x +2-sin x e x 的草图，并画出直线y =a ，要使直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x的图象只有一个交点.则a ≤0或a =2.所以当a ≤0或a =2时，方程f x =p x 有唯一的实根.7已知函数f x =e x ，g x =2-sin x -cos x ．(1)求证：当x ∈0,+∞ ，x >sin x ；(2)若x ∈0,+∞ ，f x >g x +ax 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)-∞,2 【详解】(1)证明：设F x =x -sin x ，x >0，则F x =1-cos x >0，所以F x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以F x >F 0 =0，即x >sin x .(2)由f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立，即e x +sin x +cos x -ax -2>0在区间0,+∞ 上恒成立，设φx =e x +sin x +cos x -ax -2，则φx >0在区间0,+∞ 上恒成立，而φ x =e x +cos x -sin x -a ，令m x =φ x ，则m x =e x -sin x -cos x ，设h x =e x -x -1，则h x =e x -1，当x >0时，h x >0，所以函数h x 在区间0,+∞ 上单调递增，故在区间0,+∞ 上，h x >h 0 =0，即在区间0,+∞ 上，e x >x +1，由(1)知：在区间0,+∞ 上，e x >x +1>sin x +cos x ，即m x =e x -sin x -cos x >0，所以在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，当a ≤2时，φ 0 =2-a ≥0，故在区间0,+∞ 上函数φ x >0，所以函数φx 在区间0,+∞ 上单调递增，又φ0 =0，故φx >0，即函数f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立.当a >2时，φ 0 =2-a ，φ ln a +2 =a +2+cos ln a +2 -sin ln a +2 -a =2-2sin ln a +2 -π4 >0，故在区间0,ln a +2 上函数φ x 存在零点x 0，即φ x 0 =0，又在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，故在区间0,x 0 上函数φ x <φ x 0 =0，所以在区间0,x 0 上函数φx 单调递减，由φ0 =0，所以在区间0,x 0 上φx <φ0 =0，与题设矛盾.综上，a 的取值范围为-∞,2 .8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)3【详解】(1)a =-1时，设g (x )=f (x )+2x =-sin x -ln (1+x )+2x ，则g (x )=-cos x -11+x +2，∵x >0∴x +1>1∴-1x +1∈(-1,0)∵cos x ∈[-1,1]∴-cos x -1x +1+2>0，即g (x )>0在(0,+∞)上恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调增， 又g (0)=0∴g (x )>g (0)=0，即∀x >0,f (x )+2x >0；(2)a =1时，当k =4时，f (2)=sin2-ln3<0，所以k <4．下证k =3符合．k =3时，当x ∈0,32时，sin x >0，所以当a ≥1时，f (x )=a sin x -ln (1+x )≥sin x -ln (1+x )．记h (x )=sin x -ln (1+x )，则只需证h (x )=sin x -ln (1+x )≥0对x ∈0,32恒成立．h (x )=cos x -1x +1，令ϕ(x )=cos x -1x +1，则ϕ (x )=-sin x +1(x +1)2在0,π2 递减，又ϕ (0)=1>0,ϕ π2 =-1+1π2+1 2<0，所以存在x 1∈0,π2，使得ϕ x 1 =0，则x ∈0,x 1 ,ϕ x 1 >0,ϕ(x )在0,x 1 递增，x ∈x 1,π2 ,ϕ x 1 <0,ϕ(x )在x 1,π2 递减；又ϕ(0)=0,ϕπ2 =-1π2+1<0，所以存在x 2∈x 1,π2 使得ϕx 2 =0，且x ∈0,x 2 ,ϕ(x )>0,x ∈x 2,π2,ϕ(x )<0，所以h (x )在0,x 2 递增，在x 2,π2递减，又h (0)=0,h π2 =1-ln 1+π2 >0，所以h (x )≥0对x ∈0,π2 恒成立，因为0,32 ⊆0,π2，所以k =3符合．综上，整数k 的最大值为3．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(2)若x≥0，f(x)≥2sin x，求a的取值范围．【答案】(1)0,1 e；(2)2,+∞．【详解】(1)由f(x)=(x-1)e x+ax+1，得f (x)=xe x+a，因为f(x)有两个极值点，则f (x)=0，即方程-a= xe x有两个不等实数根，令g(x)=xe x，则g (x)=(x+1)e x，知x<-1时，g (x)<0，g(x)单调递减，x>-1时，g (x)>0，g(x)单调递增，则x=-1时，g(x)取得极小值g(-1)=-1e，也即为最小值，且x<0时，g(x)<0，x→-∞时，g(x)→0，x>0时，g(x)>0，x→∞时，g(x)→+∞，故-1e<-a<0，即0<a<1e时，方程-a=xe x有两个实数根，不妨设为x1，x2x1<x2．可知x<x1时，f (x)>0，x1<x<x2时，f (x)< 0，x>x2时，f (x)>0，即x1，x2分别为f(x)的极大值和极小值点．所以f(x)有两个极值点时，a的取值范围是0,1 e．(2)令h(x)=(x-1)e x+ax-2sin x+1，原不等式即为h(x)≥0，可得h(0)=0，h (x)=xe x+a-2cos x，h (0)=a-2，令u(x)=h (x)=xe x+a-2cos x，则u (x)=(x+1)e x+2sin x，又设t(x)=(x+1)e x，则t (x)= (x+2)e x，x≥0时，t (x)>0，可知t(x)在0,+∞单调递增，若x∈0,π，有(x+1)e x>0，sin x>0，则u (x)>0；若x∈π,+∞，有(x+1)e x>(π+1)eπ>2，则u (x)>0，所以，x≥0，u (x)>0，则u(x)即h (x)单调递增，①当a-2≥0即a≥2时，h (x)≥h (0)≥0，则h(x)单调递增，所以，h(x)≥h(0)=0恒成立，则a≥2符合题意．②当a-2<0即a<2时，h (0)<0，h (3-a)=(3-a)e(3-a)+a-2cos(3-a)≥3-a+a-2cos(2-a)> 0，存在x0∈(0,3-a)，使得h (x0)=0，当0<x<x0时，h (x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是2,+∞．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．【答案】(1)a=1；(2)证明见解析【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f (x)=1-π2cosπ2x-a x，依题意得f (1)=1-a=0，得a=1，此时f (x)=1-π2cosπ2x-1x，当0<x<1时，0<π2x<π2，0<π2cosπ2x<π2，1x>1，故f (x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减，当1<x<2时，π2<π2x<π，π2cosπ2x<0，1x<1，故f (x)>0，f(x)在(1,2)内单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.(2)由(1)知，f(x)=x-sinπ2x-ln x，不妨设0<x1<x2，当1≤x1<x2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，x2≥2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，0<x2<2时，由(1)知f(x)在(0,1)内单调递减，因为存在x 1≠x 2，使得f x 1 =f x 2 ，所以1<x 2<2，要证x 1+x 2>2，只要证x 1>2-x 2，因为1<x 2<2，所以0<2-x 2<1，又f (x )在(0,1)内单调递减，所以只要证f (x 1)<f (2-x 2)，又f x 1 =f x 2 ，所以只要证f (x 2)<f (2-x 2)，设F (x )=f (x )-f (2-x )(1<x <2)，则F (x )=f (x )+f (2-x )=1-π2cos π2x -1x +1-π2cos π2(2-x ) -12-x =2-1x +12-x -π2cos π2x +cos π-π2x =2-1x +12-x -π2cos π2x -cos π2x =2-1x +12-x，令g (x )=2-1x +12-x(1<x <2)，则g (x )=1x 2-1(2-x )2=4-4x x 2(2-x )2，因为1<x <2，所以g (x )<0，g (x )在(1,2)上为减函数，所以g (x )<g (1)=0，即F (x )<0，所以F (x )在(1,2)上为减函数，所以F (x )<F (1)=0，即f (x 2)<f (2-x 2).综上所述：x 1+x 2>2.11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x <1时，x -x 2<sin x <x ；(2)已知函数f x =cos ax -ln 1-x 2 ，若x =0是f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)-∞,-2 ∪2,+∞【详解】(1)构建F x =x -sin x ,x ∈0,1 ，则F x =1-cos x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则F x 在0,1 上单调递增，可得F x >F 0 =0，所以x >sin x ,x ∈0,1 ；构建G x =sin x -x -x 2 =x 2-x +sin x ,x ∈0,1 ，则G x =2x -1+cos x ,x ∈0,1 ，构建g x =G x ,x ∈0,1 ，则g x =2-sin x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则g x 在0,1 上单调递增，可得g x >g 0 =0，即G x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则G x 在0,1 上单调递增，可得G x >G 0 =0，所以sin x >x -x 2,x ∈0,1 ；综上所述：x -x 2<sin x <x .(2)令1-x 2>0，解得-1<x <1，即函数f x 的定义域为-1,1 ，若a =0，则f x =1-ln 1-x 2 ,x ∈-1,1 ，因为y =-ln u 在定义域内单调递减，y =1-x 2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，则f x =1-ln 1-x 2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故x =0是f x 的极小值点，不合题意，所以a ≠0.当a ≠0时，令b =a >0因为f x =cos ax -ln 1-x 2 =cos a x -ln 1-x 2 =cos bx -ln 1-x 2 ，且f -x =cos -bx -ln 1--x 2 =cos bx -ln 1-x 2 =f x ，所以函数f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：f x =-b sin bx -2x x 2-1,x ∈-1,1 ，(i )当0<b 2≤2时，取m =min 1b ,1 ，x ∈0,m ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得fx =-b sin bx -2x x 2-1>-b 2x -2x x 2-1=x b 2x 2+2-b 2 1-x 2，且b 2x 2>0,2-b 2≥0,1-x 2>0，所以f x >x b 2x 2+2-b 21-x 2>0，即当x ∈0,m ⊆0,1 时，f x >0，则f x 在0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：f x 在-m ,0 上单调递减，所以x =0是f x 的极小值点，不合题意；(ⅱ)当b 2>2时，取x ∈0,1b ⊆0,1 ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得f x =-b sin bx -2x x 2-1<-b bx -b 2x 2 -2x x 2-1=x 1-x2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 ，构建h x =-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2,x ∈0,1b ，则h x =-3b 3x 2+2b 2x +b 3,x ∈0,1b，且h 0 =b 3>0,h 1b=b 3-b >0，则hx >0对∀x ∈0,1b 恒成立，可知h x 在0,1b 上单调递增，且h 0 =2-b 2<0,h 1b=2>0，所以h x 在0,1b 内存在唯一的零点n ∈0,1b ，当x ∈0,n 时，则h x <0，且x >0,1-x 2>0，则f x <x1-x 2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 <0，即当x ∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则f x 在0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：f x 在-n ,0 上单调递增，所以x =0是f x 的极大值点，符合题意；综上所述：b 2>2，即a 2>2，解得a >2或a <-2，故a 的取值范围为-∞,-2 ∪2,+∞ .【跟踪训练】1已知函数f x =xe -x +a sin x ，e 是自然对数的底数，若x =0恰为f (x )的极值点.(1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间-∞,π4上零点的个数.【答案】(1)-1；(2)1【详解】(1)由题意得f x =1-xex+a cos x ，因为x =0为f (x )的极值点，故f (0)=1+a =0,∴a =-1，此时f x =1-x e x-cos x ，则x <0时，1-xe x >1，故f (x )>0，则f (x )在(-∞,0)上单调递增；由f x =1-x e x -cos x =1-x -e x cos x e x，令g x =1-x -e x cos x ,∴g x =-1-e x cos x -sin x ，当0<x <π4时，cos x -sin x >0，则g (x )<0，则g (x )在0,π4上单调递减，故g (x )<g (0)=0，即f(x )<0，故f (x )在0,π4 上单调递减，则x =0为f (x )的极大值点，符合题意，故a =-1.(2)由(1)知f x =xe -x -sin x ，f x =1-xex-cos x ，x <0时，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)上单调递增，则f (x )<f (0)=0，故f x 在(-∞,0)上不存在零点；当0<x <π4时，f (x )<0，故f (x )在0,π4上单调递减，则f (x )<f (0)=0，故f x 在0,π4上不存在零点；当x =0时，f (0)=0，即x =0为f x 的零点，综合上述，f (x )在区间-∞,π4上零点的个数为1.2已知函数f x =2cos x +ln 1+x -1．(1)判断函数f x 在区间0,π2上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若x ≥0时，不等式f x <ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数f x 在区间0,π2上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；(2)实数a 的取值范围是1,+∞【详解】(1)函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点，证明如下，f x =-2sin x +1x +1，设t x =f x =-2sin x +1x +1，t x =-2cos x -1x +12，当x ∈0,π2 时，t x <0，所以f x 单调递减，又f 0 =1>0，f π2=-2+1π2+1=-2+2π+2<0，所以存在唯一的α∈0,π2 ，使得f α =0，所以当x ∈0,α 时，f x >0，当x ∈α,π2 时，f x <0，所以f x 在0,α 单调递增，在α,π2单调递减，所以α是f x 的一个极大值点，因为f 0 =2-1=1>0，f α >f 0 >0，f π2=ln 1+π2 -1<0，所以f x 在0,α 无零点，在α,π2上有唯一零点，所以函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点；(2)由f x ≤ax +1，得2cos x +ln 1+x -ax -2≤0，令g x =2cos x +ln 1+x -ax -2，x >0 ，则g 0 =0，g x =-2sin x +11+x-a ，g 0 =1-a ，①若a ≥1，则-a ≤-1，当x ≥0时，-ax ≤-x ，令h x =ln x +1 -x ，则h x =1x +1-1=-xx +1，当x ≥0时，h x ≤0，所以h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x ≤h 0 ，所以ln x +1 -x ≤0，即ln x +1 ≤x ，又cos x ≤1，所以g x ≤2+x -x -2=0，即当x ≥0时，f x ≤ax +1恒成立，②若0≤a <1，因为当x ∈0,π2 时，g x 单调递减，且g 0 =1-a >0，g π2 =-2+11+π2-a <0，所以存在唯一的β∈0,π2，使得g β =0，当x ∈0,β 时，g x >0，g x 在0,β 上单调递增，不满足g x ≤0恒成立，③若a <0，因为g e 4-1 =2cos e 4-1 +ln e 4 -a e 4-1 -2=2-2cos e 4-1 -a e 4-1 >0不满足g x ≤0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞ .3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立. (1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)【答案】(1)a =1；(2)证明见解析【详解】(1)因为f x -g x ≥0恒成立，所以xe x -a (ln x +x )≥1恒成立，令h (x )=xe x -a (ln x +x )，则h (x )=e x+xe x-a 1x +1 =(x +1)⋅xe x -ax(x >0)，当a <0时，h (x )>0，所以h (x )在(0,+∞)上递增，当x→0时，xe x →0,ln x →-∞，所以h (x )→-∞，不合题意，当a =0时，h 12=e2<1，不合题意，当a >0时，令xe x -a =0，得a =xe x ，令p (x )=xe x ，则p (x )=(x +1)e x >0，所以p (x )=xe x 在(0,+∞)上递增，且p (0)=0，所以a =xe x 有唯一实根，即h (x )=0有唯一实根，设为x 0，即a =x 0e x 0，且x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，x ∈x 0,+∞ 时，h(x )>0,所以h (x )在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，所以h (x )min =f x 0 =x 0e x 0-a ln x0+x 0 =a -a ln a ，所以只需a -a ln a ≥1，令t =1a ，则上式转化为ln t ≥t -1，设φ(t )=ln t -t +1，则φ (t )=1t -1=1-tt，当0<t <1时，φ (t )>0，当t >1时，φ (t )<0，所以φ(t )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以φ(t )≤φ(1)=0，所以ln t ≤t -1，所以ln t =t -1，得t =1，所以t =1a=1，得a =1，(2)证明：由(1)知，当a =1时，f x ≥g x 对任意x >0恒成立，所以∀x ∈0,+∞ ，xe x ≥x +ln x +1(当且仅当x =1时取等号)，则x 3e x ≥x 3+x 2ln x +x 2(x >0)，所以要证明x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x ，只需证明x 3+x 2ln x +x 2>(x 2+3)ln x +2sin x (x >0)，即证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，设t (x )=ln x -x +1,m (x )=sin x -x ，则由(1)可知ln x ≤x -1(x >0)，m (x )=cos x -1≤0在(0,+∞)上恒成立，所以m (x )在(0,+∞)上递减，所以∀x ∈0,+∞ ，m (x )<m (0)=0，所以sin x <x (x >0)，所以要证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，只要证x 3+x 2≥3(x -1)+2x (x >0)，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)，令H (x )=x 3+x 2-5x +3，则H (x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1)，当0<x <1时，H (x )<0，当x >1时，H (x )>0，所以H (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以当x ∈0,+∞ 时，H (x )≥H (1)=0，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)恒成立，所以原命题成立.4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1)x =2π3+2k π(k ∈Z )；(2)(0,2].【详解】(1)函数g (x )=12x +sin x ，求导得g (x )=12+cos x ，由g (x )=0，得cos x =-12，当-2π3+2k π<x<2π3+2k π(k ∈Z )时，cos x >-12，即g (x )>0，函数g (x )单调递增；当2π3+2k π<x <4π3+2k π(k ∈Z )时，cos x <-12，即g (x )<0，函数g (x )单调递减，因此函数g (x )在x =2π3+2k π(k ∈Z )处有极大值，所以函数g (x )的极大值点为x =2π3+2k π(k ∈Z ).(2)依题意，m >0，∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x ⇔x +sin x -mx cos x ≥0，当x =π2时，π2+1≥0成立，则m >0，当x ∈0,π2时，cos x >0，x +sin x -mx cos x ≥0⇔x +sin x cos x-mx ≥0，令h (x )=x +sin x cos x -mx ，x ∈0,π2 ，求导得h(x )=(1+cos x )cos x +(x +sin x )sin x cos 2x -m =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，令φx =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，x ∈0,π2 ，求导得φ (x )=x cos 2x +2x sin 2x +sin2x +2sin x cos 3x >0，因此φ(x )在0,π2 上单调递增，即有φx ≥φ0 =2-m ，而cos x +x sin x +1cos 2x ≥cos x +1cos 2x >1cos 2x，又函数y =1cos 2x在x ∈0,π2 上的值域是[1,+∞)，则函数φ(x )，即h x 在0,π2 上的值域是2-m ,+∞ ,当0<m ≤2时，h (x )≥0，当且仅当m =0,x =0时取等号，于是函数h (x )在0,π2上单调递增，对x ∈0,π2 ，h (x )≥h (0)=0，因此0<m ≤2，当m >2时，存在x 0∈0,π2，使得h (x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，函数h (x )在(0,x 0)上单调递减，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<h (0)=0，不符合题意，所以m 的取值范围为(0,2].5已知函数f (x )=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a (x >0)．(1)当a =1时，(I )求(π,f (π))处的切线方程；(II )判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)(I )y =3πx -2π2+1；(II )f x 单调递增，证明见解析；(2)a ≥1【详解】(1)当a =1时，f (x )=x 2-x sin x +1，可得f (x )=2x -sin x -x cos x .(I )f (π)=π2+1,f (π)=3π，所以在(π,f (π))处的切线方程为y -π2+1 =3πx -π ，即y =3πx -2π2+1.(II )f (x )=2x -sin x -x cos x =x -sin x +x (1-cos x )，设m (x )=x -sin x (x >0)，则m (x )=1-cos x ≥0,m (x )单调递增，所以m (x )>m (0)=0，即x >sin x ，所以当x >0时，f (x )>0,f (x )单调递增.(2)设g (x )=f (x )-1=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a -1，由题意g (x )>0恒成立.①当a ≤0时，g π2=a π2π2-1 +a -1<0,g (x )>0不恒成立，不合题意；②当0<a <1时，设h (x )=g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，h (0)=0，h (x )=2a -a cos x +ax sin x -cos x ，h (0)=a -1<0，h π2=2a +π2a >0，设r (x )=h (x )，x ∈0,π2，r (x )=2a sin x +ax cos x +sin x >0，h (x )单调递增，由零点存在定理得∃t ∈0,π2，使得h (t )=0.h (x )在(0,t )上h (x )<0，h (x )<h (0)=0，即g (x )<0，所以g (x )在(0,t )上单调递减，g (x )<g (0)=0，g (x )>0不恒成立，不合题意；③当a ≥1时，g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，则g (x )x =2a -a cos x -sin x x =a (1-cos x )+a -sin x x，当x>0时，1-cos x ≥0,x >sin x ，即sin xx <1，则g (x )x >0，所以当x >0时，g (x )>0,g (x )单调递增.可得：g (x )>g (0)=0，即f (x )>1，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为1,+∞ ．6已知f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R ).(1)当a =14时，求y =f (x )在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x ∈R 时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3 ；(2)[3,+∞).【详解】(1)当a =14时，f (x )=14x 2-cos x -x sin x +14，求导得f (x )=12x -x cos x =x 12-cos x ，而x ∈[-π,π]，由cos x =12，得x =±π3，当x ∈-π3,π3 时，12-cos x <0，当x ∈π3,π ∪-π,-π3时，12-cos x >0，则当x >0时，若f (x )>0，则x ∈π3,π ；若f (x )<0，则x ∈0,π3，当x <0时，若f (x )>0，则x ∈-π3,0 ；若f (x )<0，则x ∈-π,-π3 ，所以函数y =f (x )在[-π,π]内的单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3.(2)因为f (-x )=a (-x )2-cos (-x )-(-x )sin (-x )+a =f (x )，于是函数f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R )为偶函数，则f (x )≥2对任意x ∈R 恒成立，等价于对任意的x ∈[0,+∞)，恒有f (x )≥2成立，求导得f (x )=2ax -x cos x =x (2a -cos x )，当x ∈[0,+∞)时，当2a ≥1，a ≥12成立时，2a -cos x ≥0恒成立，即f (x )≥0恒成立，函数f (x )在[0,+∞)内单调递增，则有f x min =f 0 =a -1，因此a -1≥2，解得a ≥3，则a ≥3；当2a <1，a <12时，函数y =cos x 在[0,π]上单调递减，且-1≤cos x ≤1，因此存在x 0>0，使得当x ∈(0,x 0)时，2a -cos x <0，f (x )<0，函数f (x )在(0,x 0)上递减，此时x ∈0,x 0 ，f x <f 0 =a -1<2，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[3,+∞).7已知函数f (x )=e x -a -x -cos x ，x ∈(-π,π)其中e =2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a =0时，证明：f x ≥0;(2)当a =1时，求函数y =f x 零点个数．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【详解】(1)当a =0时，f (x )=e x -x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1+sin x ，显然f (0)=0，当-π<x <0时，e x -1<0,sin x <0，则f (x )<0，当0<x <π时，e x -1>0,sin x >0，则f (x )>0，因此函数f (x )在(-π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当x ∈(-π,π)时，f (x )≥f (0)=0，所以f x ≥0.(2)当a =1时，f (x )=e x -1-x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1-1+sin x ，当-π<x <0时，e x -1-1<0,sin x <0，则f (x )<0，当1<x <π时，e x -1-1>0,sin x >0，则f (x )>0，当0≤x ≤1时，函数y =e x -1-1,y =sin x 都递增，即函数f (x )在(0,1)上单调递增，而f (0)=e -1-1<0,f (1)=sin1>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)=0，当0≤x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x ≤1时，f (x )>0，从而当-π<x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x <π时，f (x )>0，即有函数f (x )在(-π,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增，f (x 0)<f (0)=e -1-1<0，而f -π2 =e -π2-1+π2>0,f π2 =e π2-1-π2>e -π2>0，于是函数f (x )在(-π,x 0)，(x 0,π)各存在一个零点，所以函数y =f x 零点个数是2.8已知函数f x =x -1 e x +ax +1.(1)若a =-e ，求f x 的极值；(2)若x ≥0，f x ≥2sin x ，求a 的取值范围.【答案】(1)f x 极小值=1-e ，无极大值.(2)2,+∞【详解】(1)当a =-e 时f x =x -1 e x -ex +1，则f x =xe x -e ，令g x =f x =xe x -e ，则g 1 =0，gx =x +1 ex，所以当x <-1时g x <0，g x 单调递减且g x <0，当x >-1时g x >0，g x 单调递增，所以当x <1时g x <0，即f x <0，当x >1时g x >0，即f x >0，所以f x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1处取得极小值，即f x 极小值=f 1 =1-e ，无极大值.(2)令h x =f x -2sin x =x -1 e x +ax -2sin x +1，x ∈0,+∞ ，则原不等式即为h x ≥0，可得h 0 =0，h x =xe x +a -2cos x ，h 0 =a -2，令u x =h x =xe x +a -2cos x ，则u x =x +1 e x +2sin x ，令t x =x +1 e x ，x ∈0,+∞ ，则t x =x +2 e x >0，所以t x 在0,+∞ 上单调递增，则t x ≥t 0 =1，则x ∈0,π 时x +1 e x >0，sin x ≥0，所以u x >0，当x ∈π,+∞ 时x +1 e x ≥π+1 e π>2，所以u x >0，所以u x >0在0,+∞ 上恒成立，所以u x 即h x 在0,+∞ 上单调递增，当a -2≥0，即a ≥2时h x ≥h 0 ≥0，所以h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0恒成立，所以a ≥2符合题意，当a -2<0，即a <2时h 0 <0，h 3-a =3-a e 3-a+a -2cos 3-a ≥3-a +a -2cos 3-a >0，所以存在x 0∈0,3-a 使得h x 0 =0，当0<x <x 0时h x <0，则h x 单调递减，所以h x <h 0 =0，与题意不符，综上所述，a 的取值范围是2,+∞ .9已知函数f x =2sin x -ln 1+x 0<x <π ．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)2α>β，证明见解析【详解】(1)当π2<x <π时，由于y =2sin x 单调递减，y =ln 1+x 单调递增，所以f x 单调递减，又f π2=2-ln 1+π2 >0,f π =-ln 1+π <0，所以f x 只有一个零点(设为x 0)，无极值点；当0<x <π2时，由f x =2sin x -ln 1+x 得f x =2cos x -1x +1，设g x =2cos x -1x +1，则g x =-2sin x +1x +1 2，由于y =-2sin x 和y =1x +12在0,π2 上均单调递减，所以g x 单调递减，又g 0 =1>0,g π2=-2+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得g x 1 =0，当0<x <x 1时，g x >0，g x 单调递增，即f x 单调递增，当x 1<x <π2时，g x <0，g x 单调递减，即f x 单调递减，又f π3=1-11+π3>0,f π2 =-1π2+1<0，所以当0<x <x 1时，f x >0恒成立，且存在x 2∈π3,π2 ，使得fx 2 =0，当0<x <x 2时，fx >0，f x 单调递增，当x 2<x <π2时，fx <0，f x 单调递减，所以x 2是f x 的极值点，又f 0 =0,f π2=2-ln 1+π2 >0，所以当0<x <π2时，f x >0恒成立，即函数f x 无零点；综上，函数f x 有唯一的极值点α(α=x 2)，及唯一的零点β(β=x 0).(2)2α>β，证明如下：由(1)知α∈π3,π2，2α,β∈π2,π ，由于α为f x 的极值点，所以f α =2cos α-1α+1=0，即2cos α=11+α，所以f 2α =2sin2α-ln 1+2α =4sin αcos α-ln 1+2α =2sin α1+α-ln 1+2α ，设y =x -sin x 0<x <π2，则y =1-cos x >0，所以y =x -sin x 单调递增，所以x -sin x >0，即x >sin x ，所以f2α=2sinα1+α-ln1+2α<2α1+α-ln1+2α，令φ(x)=2x1+x-ln(1+2x)0<x<π2，则φ (x)=-2x21+x21+2x<0，所以φ(x)在0,π2上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0，所以f2α <0=fβ ，又f x在π2,π递减，所以2α>β.10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)a≥0；(2)0<a<1【详解】(1)由题得f x =2ax+1-1x，因为f x 在1,+∞上单调递增，所以f x =2ax+1-1x≥0在1,+∞上恒成立，即2a≥1x2-1x在1,+∞上恒成立，因为1x2-1x=1x-122-14≤0，所以a≥0.(2)因为g x =ax-sin x，则g x =a-cos x，注意到：g0 =0，g 0 =a-1，若a≥1，则g x =a-cos x≥0，所以g x 在0,π上单调递增，所以g x >g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若a≤-1，则g x =a-cos x≤0，所以g x 在0,π上单调递减，所以g x <g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若-1≤a≤0，显然g x =ax-sin x<0，在0,π上不存在零点，若0<a<1，显然存在t∈0,π，使得g t =0，且g x 在0,π上单调递增，注意到：g 0 =a-1<0，g π =a+1>0，所以g x 在0,t上小于零，在t,π上大于零，所以g x 在0,t上单调递减，在t,π上单调递增，注意到：g0 =0，g t <0，且gπ >0，所以存在唯一β∈t,π使得gβ =0，综上，所以0<a<1.11已知函数f x =ln x+sin x.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.【答案】(1)sin1；(2)f x 有1个零点，证明见解析【详解】(1)f(x)=ln x+sin x的定义域为0,+∞，故f (x)=1x+cos x，令g x =f (x)=1x+cos x，g x =-1 x2-sin x，当x∈1,e时，g x =-1x2-sin x<0，所以g x 在1,e上单调递减，且g1 =1+cos1>0，g e =1e +cos e<1e+cos2π3=1e-12<0，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a，使g a =f a =0，又当x∈1,a时，g x =f x >0；当x∈a,e时，g x =f x <0；所以f x 在x∈1,a上单调递增，在x∈a,e上单调递减，又因为f1 =ln1+sin1=sin1，f e =ln e+sin e=1+sin e >f1 ，所以函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为f1 =sin1.(2)f x 有1个零点，证明如下：因为f(x)=ln x+sin x，x∈0,+∞，若0<x≤1，f (x)=1x+cos x>0，所以f(x)在区间0,1上单调递增，又f1 =sin1>0，f1e=-1+sin1e<0，结合零点存在定理可知，。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.5．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________7．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 8．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.9．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.10．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．15．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1616．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.25．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．26．已知函数()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.27．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值28．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.29．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,22BC AB AD ==，求b ．30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．2 3．1008或10094．8156．12(,)369-7 8．()135,2169．1π-##1π-+ 10．25二、单选题 11．D 12．C 13．A 14．B 15．C 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C 三、解答题21．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题. 23．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.24．（1）2）c = 【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．25．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．26．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()13sin 2322sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．27．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.28．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．29．（1）13； （2 【解析】【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B, 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=, (2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠ 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=, ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．2．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()333f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________3．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________. 4．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________. 5．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______． 6．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.7．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．8．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称；②函数|()|g x 的最小正周期是2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8π个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________ 9．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（ ）A B C D ．3412．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ）A B C D 13．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1114．已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x ､y .现有两个结论：①若13λ=，则2a b =；②22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断是（ ） A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立 C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立15．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C ．105D ．25516．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C ．32D ．3317．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．918．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π=，且()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1419．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且3sin cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A ．(6,23⎤⎦B ．(0,43⎤⎦C ．(23,43⎤⎦D ．(6,43⎤⎦20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.22．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.23．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.24．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.25．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域.26．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 27．已知函数()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+.（1）若对任意,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有4f x m π⎛⎫- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数()132262g x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.28．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.29．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac 的值．30．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.【参考答案】一、填空题1．6π2．π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，3．⎛ ⎝⎭4 5．①③6．[ 78．②③④9．12+10．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．C 12．D 13．A 14．C 15．C 16．C 17．A 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论.（3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题. 22．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合,所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.23．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥, ∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.24．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.25．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==， 所以333coscos sin sin cos()cos 2222222x a x x b x x xx -=+==⋅， ()2222212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 26．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案. 【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a-+-=+-=>， 则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 27．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）2π【解析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围； （2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】解：（1）因为()sin 2coscos 2sin33f x x x ππ=+()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 所以sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即min 142f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12m， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由（1）得()1122sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令()0g x =，得sin x =sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得1222x x π+=-，34322x x π+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题. 28．（1）OA 、OB 都为50m ；（2）8sin 64sin cos S θθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8153)m +. 【解析】 【分析】对于（1），设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在△OAB 中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，整理得222(503)m n mn =++，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形，过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，625(83cos 8sin 64sin cos 3)S θθθθ=-+- ，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()83cos 8sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+-，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值． 【详解】解：（1）设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在OAB ∆中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅， 即222(503)m n mn =++.所以22222()3(503)()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+.所以m n 100+，当且仅当m n 50==时，m n +取得最大值， 此时OAB ∆周长取得最大值.答：当OA 、OB 都为50m 时，OAB ∆的周长最大. （2）当AOB ∆的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=. 又在AOE ∆中，OE OAcos253π==，故EF 200cos 25θ=-.所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=-625(38sin )(8cos 1)θθ=-8sin 64sin cos θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()8cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数，故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.因1()164062f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数.所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8+.答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8m +.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题.29．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果. 【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知：c a =ABC ∆∴为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+2222b b ac a ∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识. 30．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.。
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三角函数与函数导数单元测试一、选择题1、函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==2、已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••4、已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3)5、设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1 B ．12 C ．52 D ．226、设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）8、函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)89、函数2sin 2xy x =-的图象大致是10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）911、设函数()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）．Ａ．()()1001,,-Ｂ．()()11,,-∞-+∞Ｃ．()()101,,-+∞Ｄ．()()101,,-∞-12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）． Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦13、若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A ．33B ．33-C ．39D ．69-y0.1xO0.14已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭15）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 二、填空题16\如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。
17、已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.18若实数,,满足,，则的最大值是.,19、设函数()1f x x x =-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ．20、设函数()21f x x =-．对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ．21、函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x+1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）22、设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .23、设20lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = ．24、已知函数f x （）=log (0a 1).a x xb a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题25、在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作nT ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和nS .26已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=133。
（I ）求数列{an}的通项公式；（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为a3，求函数f （x ）的解析式。
27、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；（B+4π）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。
28、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b ． （I ）求sin sin C A 的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
29、在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =．（Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；30、设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性．31、设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈(I)讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f xB x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．32、设axx x x f 22131)(23++-=.（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.33、）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围。
34已知函数()e x f x x -=()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．证明当1x >时，()()f xg x >．（Ⅲ）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>．参考答案ABBBD ，DBDCA ，CDCCA ,315，22log 3-，(),1-∞-，3,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，②③，[15,11]-，1 ，5 25、 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k nk k n k k b S.1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n kk n k --+=--+=∑+= 26 解：（I ）由313(13)13133,,3133a q S -===-得解得11.3a =所以12133.3n n n a --=⨯=（II ）由（I ）可知233, 3.n n a a -==所以因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3。