高三数学三角函数与函数导数专题训练(含解析)

三角函数与函数导数单元测试
一、选择题1、函数()()m n
f x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是
（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==
2、已知函数()x
f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐
标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形
③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ）
A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•
B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•
C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =
D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••
4、已知函数
2
()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．
[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C ．[1,3] D ．(1,3)
5、设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值
为（ ）A ．1 B ．1
2 C ．52 D ．22
6、设函数
⎩⎨
⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'
x f ，则42)(+>x x f 的解集为
A ．（1-，1）
B ．（1-，+∞）
C ．（∞-，1-）
D ．（∞-，+∞）
8、函数
1
1y x =
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于
（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
9、函数
2sin 2x
y x =
-的图象大致是
10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,
3
()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
11、设函数()()21
2log ,0log ,0
x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）．
Ａ．
()()1001,,-
Ｂ．
()()11,,-∞-+∞
Ｃ．
()()101,,-+∞
Ｄ．
()()101,,-∞-
12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨
-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）． Ａ．()
9,01,4⎡⎤-+∞⎢
⎥⎣⎦
Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()
9,02,4⎡⎤
-+∞⎢⎥⎣⎦
13、若
02π
α＜＜
，02πβ-＜＜，
1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2β
α+=
A ．33
B ．3
3-
C ．39
D ．69-
y
0.
1
x
O
0.
14已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若
()()
6f x f π
≤对x R ∈恒成立，且
()()2f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是
（A ）,()
36k k k Z ππππ⎧
⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()
2k k k Z πππ⎧
⎫+∈⎨⎬⎩⎭
（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()
2k k k Z πππ⎧⎫
-∈⎨⎬⎩⎭
15）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)
2π
ωϕ><
的最小正周期为π，且()()f x f x -=则
（A ）()y f x =在
(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)
44ππ单调递减 （C ）()y f x =在
(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)
44ππ单调递增 二、填空题
16\如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

17、已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.
18若实数,,满足
,
，则的最大值是
.,19、设函数
()1
f x x x =-
．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
20、设函数()21f x x =-．对任意
3,2x ⎡⎫∈+∞⎪
⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，
则实数m 的取值范围是 ．
21、函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x+1(x ∈R )是单函数．下列命题：
①函数2
()f x x =（x ∈R ）是单函数；
②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
22、设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为
[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .
23、设
20lg 0()30
a
x x f x x t dt x
>⎧⎪
=⎨+⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = ．
24、已知函数f x （）=
log (0a 1).
a x x
b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点
*0(,1),,n=
x n n n N ∈+∈则 .
三、解答题
25、在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作
n
T ，再令
,lg n n a T =1n ≥.
（Ⅰ）求数列{}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列
{}
n b 的前n 项和
n
S .
26已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=13
3。

（I ）求数列{an}的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在
6x π
=
处取得最大值，且最大值为a3，求
函数f （x ）的解析式。

27、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；
（B+4π
）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小。

28、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b ． （I ）求sin sin C A 的值； （II ）若cosB=1
4，b=2，ABC ∆的面积S 。

29、在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14ac b =．
（Ⅰ）当5
,14p b =
=时，求,a c 的值；（Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；
30、设0>a ,讨论函数
x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2
---+=的单调性．
31、设函数1
()ln ().
f x x a x a R x =--∈(I)讨论()f x 的单调性；
（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())
A x f x
B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否
存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
32、设ax
x x x f 221
31)(23++-=.
（1）若)(x f 在)
,32
(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316
-
，求)(x f 在该区间上的最大值.
33、）已知函数
ln ()1a x b
f x x x =
+
+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x >
+
-，求k 的取值范围。

34已知函数
()e x f x x -=()x ∈R ．（Ⅰ）求函数
()
f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数()
y g x =的图象与函数
()
y f x =的图象关于直线1x =对称．证明当1x >时，
()()
f x
g x >．
（Ⅲ）如果12
x x ≠，且
()()
12f x f x =，证明
122
x x +>．
参考答案ABBBD ，DBDCA ，
CDCCA ,
315，22log 3-，(),1-∞-
，3,,22⎛⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝
⎦⎣⎭，②③，[15,11]-，1 ，5 25、 解：（I ）设
2
21,,,+n l l l 构成等比数列，其中
,
100,121==+n t t 则
,
2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①
,
1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②
①×②并利用
得
),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n
.
1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n
（II ）由题意和（I ）中计算结果，知
.
1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n
另一方面，利用
,
tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k
k k k ⋅++-+=
-+=
得.
11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==2
31tan )1tan(n k n
k k n k k b S
.
1tan 3tan )3tan()
11tan tan )1tan((
2
3
n n k
k n k --+=--+=∑+= 26 解：（I ）由313(13)13133,,3133a q S -===-得解得11.3a =所以121
33.
3n n n a --=⨯=
（II ）由（I ）可知
233, 3.
n n a a -==所以因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3。

因为当
6x π
=
时()f x 取得最大值，所以
sin(2) 1.
6
π
ϕ⨯
+=又
0,.6π
ϕπϕ<<=
故
所以函数()f x 的解析式为
()3sin(2)
6f x x π
=+ 27、解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =
因为0,A π<<所以
sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π
>=≠==从而
又所以则
（II
）由（I ）知
3
.4B A π
=
-于是
cos()cos()
4
cos 2sin().
6
3110,,,,46612623
A B A A A A A A A A A π
ππ
πππππππ-+=--=+=+<<∴<+<
+==从而当即时2sin()
6A π
+取最大值2． cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.
312A B ππ
== 28、解： （I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c
k A B C ===
则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A
B B --=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin().A B B C +=+
又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin C A = （II ）由sin 2
sin C
A =得2.c a =由余弦定理
2222221
2cos cos ,2,
4
144.4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a 解得a=1。

因此c=2又因为1
cos ,.
4B G B π=<<且所以
sin 4B =
因此11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=
29、 （I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得
1,1,41, 1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 （II ）解：由余弦定理，222
2cos b a c ac B =+-
222222()22cos 11
cos ,
22
31
cos ,
22a c ac ac B
p b b b B p B =+--=--=+即因为230cos 1,(,2)2B p <<∈得
，由题设知0,2p p ><<
30、
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）
2
2
1212122(1)2(1)1
'(),
1
12(1)2(1)1012(1)()
3
1
0,'()23
11
0,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x
a a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=
≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点
且当或时，在与
内为增函数121212'()0,(),)1
10,'()0,()(0,)31
1'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x
a x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=>=+；当时，在(内为减函数
当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；
当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；
（其中
121122x x a a =
=）
31、解析：（I ）()f x 的定义域为(0,).+∞ 22211
'()1a x ax f x x
x x -+=+
-=
令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．
当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．
当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12x x ==
，
当
1
0x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2
x x >时， '()0f x >，故()f x 分
别在
12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在
12(,)
x x 上单调递减．
（II ）由（I ）知，2a >．因为
12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+
--，所以
1212121212()()ln ln 1
1f x f x x x k a
x x x x x x --=
=+---又由(I)知，121x x =．于是
1212ln ln 2x x k a x x -=-- 若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1
x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=>再由（I ）知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -
->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得
32【解析】（1）)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间)
,32
(),(+∞⊆n m 使得
0)('>x f .由a x a x x x f 241)21(2)(22
'++--=++-=，)('
x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可。

由0
292)32('>+=a f 解得
91
->a ， 所以，当
91-
>a 时，)(x f 在)
,32
(+∞上存在单调递增区间.
（2）令0)('
=x f ，得两根
28111a x +-=
，28111a x +-=，28112a
x ++=
.
所以)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增 当20<<a 时，有4121<<<x x ，所以)(x f 在]4,1[上的最大值为)(2x f
又0
6227)1()4(<+-=-a f f ，即)1()4(f f <所以)(x f 在]4,1[上的最小值为3163408)4(-=-=a f ，得1=a ，22=x ，从而)(x f 在]4,1[上的最大值为310
)2(=
f .
33、解：（Ⅰ）
221
(ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-
，且过点(1,1)， 故(1)1,
1
'(1),2f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x =++，所以2
2
ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。

(i)设0k ≤，由22
2(1)(1)'()k x x h x x +--=
知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故
当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x >-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2
11
x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k .
（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k -11
）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故'
h (x ）>0,而 h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2
11
x - h （x ）
<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0] 34、【解】（Ⅰ）()()1e x
f x x -'=-．令
()()1e 0
x f x x -'=-=，则1x =．
当x 变化时，
()()
,f x f x '的变化情况如下表：
所以
()f x 在区间
(),1-∞内是增函数，在区间()1,+∞内是减函数．
函数
()
f x 在1x =处取得极大值
()
1f ．且
()1
1e f =
．
（Ⅱ）因为函数()
y g x =的图象与函数
()
y f x =的图象关于直线1x =对称，
所以()()
2g x f x =-，于是()()2
2e x g x x -=-．
记
()()()F x f x g x =-，则
()()2
e 2e x x F x x x --=+-，
()()()221e 1e x x
F x x --'=--，
当1x >时，220x ->，从而22
e
10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，
于是函数()
F x 在区间
[)1,+∞上是增函数．
因为
()111e e 0F --=-=，所以，当1x >时，
()()10
F x F >=．因此
()()
f x
g x >．
（Ⅲ）(1) 若()()12110x x --=，由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；
(2) 若
()()12110x x -->，由由（Ⅰ）及()()12f x f x =,得12x x =,与12x x ≠矛盾；
根据(1)，(2)可得()()12110x x --<．不妨设121,1x x <>．
由（Ⅱ）可知()()()
2222f x g x f x >=-，所以
()()()()12222f x f x g x f x =>=-．
因为
21
x >，所以
221
x -<，又
11
x <，由（Ⅰ），
()
f x 在区间
(),1-∞内是增函数，
所以
12
2x x >-，即
122
x x +>．。