含三角函数的导数问题
例析含三角函数导数问题的解答策略
近 几 年 来 ，高 考 题 和 高 考 模 拟 题 的 命 题 者 为 了 创 设 新 的 问 题 情 境 ，开 始 尝 试 命 制 含 三 角 函 数 的 导 数 压 轴 题 。 由 于 对 含 三 角 函 数 的 函 数 无 论 求 几 阶 导 ，导函 数 中 仍 会 含 有 三 角 函 数 ，因此导函数的 表 达 式 往 往 比 较 复 杂 ，从 而 给 判 断 导 函 数 的 符 号 、求 极 值 及 零 点 个 数 等 后 续 问 题 带 来 困 难 。下 面 笔 者 通 过 对 含 三 角 函 数 的 导 数 压 轴 题 进 行 深 人 、系 统 的 分 析 ，总 结 此 类 题 型 的 几 种 解 题 策 略 ，以 繪 读 者 。
丄 卞 *2：
一 个 增 函 数 f 和 一 个 减 函 数 + ，以 及 一 个 不 单 调
的 函 数 一 a + sin x 相 加 而 成 ，较 为 复 杂 ，不 容 易 直 接 说 明 当 ^ < 1 时 ，/(工 )>〇 。因 此 ，我 们 考 虑 对 其 进 行 放 缩 。 由 常 见 函 数 型 不 等 式 # > 1 + 1 ，故 / 〇 ) >
士：T( _ + < X < 0 ) 。 于 是 便 得 到 如 下 关 于 “左 负 ，，的
另外两种简便证法。
证法 1:当 (—
时 ，/ ’（1 ) = # + ^ ^ —
2 + sin
+
^1 一:r+ 吾;r2 ) — 2 + 音 =
2_r2+ f < 0 。
1
_ 1 _ 1 0 0 丄 1 — 67
1 + X + 1+JC — a + sin 工。 而 1 + x + 1~\~x
高中数学导数带有三角函数的题型
高中数学导数带有三角函数的题型高中数学中，导数是一个非常重要的概念。
在实际应用中，我们常常会遇到一些带有三角函数的导数题目。
下面，我们将为大家介绍一些常见的带有三角函数的导数题型。
1. y = sin x这是最简单的带有三角函数的导数题型。
根据导数的定义，我们可以将其求导得到：y' = cos x2. y = cos x同样地，我们可以根据导数的定义求出 y = cos x 的导数：y' = -sin x3. y = tan xy = tan x 的导数需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = sin x / cos x然后求导：y' = (cos x * cos x + sin x * (-sin x)) / cos^2 xy' = 1 / cos^2 x4. y = cot xy = cot x 的导数同样需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = cos x / sin x然后求导：y' = (-sin x * sin x + cos x * cos x) / sin^2 xy' = -1 / sin^2 x5. y = sec xy = sec x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = 1 / cos x然后求导：y' = sin x / cos^2 x6. y = csc x同样地，y = csc x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = 1 / sin x然后求导：y' = -cos x / sin^2 x以上就是常见的带有三角函数的导数题型。
当然，还有其他一些比较复杂的题型，需要用到三角函数的求导公式。
在学习数学的过程中，我们应该多加练习，掌握各种题型的求导方法，以便更好地应用于实际问题的解决。
三角函数与导数练习题
三角函数与导数练习题在微积分学习的过程中，三角函数与导数是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种微积分问题至关重要。
本文将为你提供一些与三角函数和导数相关的练习题，帮助你巩固这些知识点。
练习题一：三角函数的导数计算计算下列函数的导数：1. y = sin(x)2. y = cos(x)3. y = tan(x)4. y = cot(x)解答：1. y = sin(x)y' = cos(x)2. y = cos(x)y' = -sin(x)3. y = tan(x)y' = sec^2(x)4. y = cot(x)y' = -csc^2(x)练习题二：三角函数与导数的应用1. 求函数 y = sin(x) 在点x = π/2 处的导数值，并说明其物理意义。
2. 设 y = cos(x)，求函数 y' 的最小正周期是多少？3. 对函数 y = atan(x) ，求其在点 x = 0 处的导数，并说明其物理意义。
解答：1. 在点x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的导数为y' = cos(x) = cos(π/2) = 0。
这表示在x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的变化率为零。
物理上，这可以理解为在该点附近，物体的运动速度不再发生变化。
2. 函数 y = cos(x) 的最小正周期是2π。
这是因为在区间[0, 2π] 内，cos(x) 展现出了与整个函数图像相似的特征。
3. 求函数 y = atan(x) 在点 x = 0 处的导数：y' = 1 / (1 + x^2)当 x = 0 时，函数的导数为 y' = 1 / (1 + 0^2) = 1。
物理上，这表示函数 y = atan(x) 在 x = 0 处的变化率为1。
练习题三：三角函数与导数的求解1. 求函数 y = 3sin(2x) 的导数。
2. 求函数 y = 2cos(3x) 的导数。
三角函数的导数和积分练习题
三角函数的导数和积分练习题练习一：求下列函数的导数。
1. $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$$2. $g(x) = 3\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$g'(x) = 3\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$$3. $h(x) = \tan(x) + \cot(x)$解析：根据求导法则，可得$$h'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)$$4. $k(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$解析：根据求导法则，可得$$k'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} $$练习二：求下列函数的积分。
1. $F(x) = \sin(x) + C$解析：由于$\sin(x)$的积分是$-\cos(x)$，所以可得$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$其中$C$为积分常数。
2. $G(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + C$解析：由于$\cos(x)$的积分是$\sin(x)$，所以可得$$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$$其中$C$为积分常数。
3. $H(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$解析：根据换元积分法，令$u = \sec(x) + \tan(x)$，则$du = (\sec(x) + \tan(x))\tan(x) \, dx$。
将其代入原积分式，可得$$\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$$其中$C$为积分常数。
ppt模板-含三角函数的导数问题(高三数学)
6．设函数 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数 f(x) 的单调区间与极值．
解析 由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π， 知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1， π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ )． 4 π 2 3π 令 f′(x)＝0，从而 sin(x＋ )＝－ ，得 x＝π，或 x＝ . 4 2 2 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 3π 3π 3π x π (0，π) (π， 2 ) ( 2 ，2π) 2 0 0 f′(x) ＋ － ＋ 3 f(x) 单调递增 π＋2 单调递减 单调递增 π 2 3π 因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，π)与( ，2π)，单调递 2 3π 3π 3π 减区间是(π， 2 )，极小值为 f( 2 )＝ 2 ，极大值为 f(π)＝π＋2.
x
π (0, ) 2
π 2
0 0 ---------13 分
π ( , π) 2
x a
cos x f '( x ) f ( x)ຫໍສະໝຸດ
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , π) ，单调减区间为 (0, ) .
π 2
π 2
a
0 0
( a , π)
xa
cos x f '( x ) f ( x)
0 0
-------9 分 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , a) ，单调减区间为 (0, ) 和 ( a, π) ②当 a π 时， f ( x), f '( x) 的情况如下
π 2
π 2
---4 分 因为 f (0) 1 ， f ( π) 1 ， 所以函数 f ( x) 的值域为 ( 1,1) . ----5 分
学霸专题：含三角函数的导数压轴题(学生版)
附： 1 0.367 ， sin1 0.841， cos1 0.540 . e
19．已知函数 f x ln x ax sin x ，其中 x 0, ；
（l）判断函数 f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（2）讨论在
2
,
上函数
f
x
的零点个数.
（1）若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线的斜率为 1.
（ⅰ）求 a 的值；
（ⅱ）证明：函数 f x 在区间 0, 内有唯一极值点； （2）当 a 1时，证明：对任意 x 0, ， f x 0 .
11．已知函数
f
x
sinx e x 1
，
g
x 为
f
x
的导函数．
（1）证明：当
（2）若
a
1，不等式
f
x
bx cos
x
对任意
x
0,
2 3
恒成立，求满足条件的最大整数
b.
8．已知函数 f (x) x a sin x(a R) .
（1）当 a 0 时，证明： f x 0 ；
（2）若
a
1 4
，证明：
f
x
在
0,
π 2
有唯一的极值点
x0 ，且
f
x0
1 π 2x0
14．已知函数 f x eax1 cos x a 0 ．（其中常数 e 2.71828，是自然对数的底数）
3
（1）若 a
3
，求
f
x
在
0,
2
上的极大值点；
（2）（ i
）证明
f
x
三角函数与导数的综合问题剖析(新高考热点问题)
三角函数与导数的综合问题例题 已知f(x)=ln(x+1),g(x)=sin x cos x（1）求证：对∀x∈[0,+∞),g(x)≤x恒成立；（2）求证：函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有且只有两个零点；（3）若f(x)+g(x)≤ax恒成立，求a的值。
解决此类问题的思路○1多利用si n x、co s x的有界性进行放缩。
注意到对∀x∈[0,+∞),si n x≤x恒成立，于是si n x co s x≤si n x≤x。
即g(x)≤x○2第2问ℎ(x)是一个自然对数函数与三角函数相减形成的函数，其中对数函数是无界且单调的，而三角函数具有有界性，那么此时一般存在一个较大的数ε，使得x∈[ε,+∞)时，函数表现出确定的正负性，即在此区间上没有零点。
但我们应该尽量使ε更小一些，这样我们后面的工作会更简洁。
接下来就只需要讨论剩下的区间的零点了。
解决此类问题一般是对区间进行分段，然后分类讨论各区间的零点情况。
划分区间的方法，一般以三角函数的!"个周期为基准进行划分。
因为这样三角函数，导函数，二阶导函数一般都会都表现出确定的单调性或正负性。
便于我们进行讨论和研究。
接下来我们以此题为例来进行说明.ℎ(x)=ln(x+1)−12sin2x令ε=πℎ(π)=ln(1+π)>0我们大胆猜测此时函数已经表现出大于零的性质，继续缩小区间令ε=#$ℎ(π2)=ln(1+π2)>0 此时ℎ(x)仍然大于0于是我们可以将定义域分为(−1，#$),(#$，+∞)两个部分进行讨论，先证明x ∈(#$，+∞)时，ℎ(x)≥0.ℎ(x)=ln(x +1)−12sin2x ≥ln(x +1)−12≥ln(1+π2)−12≥0 所以x ∈(#$，+∞)时，ℎ(x)无零点。
接下来先讨论x ∈(−1，0)时的情况ℎ%(x)=11+x−cos2x ℎ&(x)=−1(1+x)$+2sin2x x ∈(−1，0)时, !!'(>1，cos2x ≤1。
三角函数的导数练习题
三角函数的导数练习题在微积分中，三角函数的导数是基础中的基础。
它们在计算机图形学、物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。
掌握三角函数的导数对于解决问题和理解数学概念至关重要。
本文将提供一些三角函数导数相关的练习题，并提供详细的解答过程。
1. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。
解答：首先，我们需要知道sin(x)的导数是cos(x)。
根据导数的定义，我们可以得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将f(x) = sin(x)代入，得到：f'(π/2) = lim(h→0) [sin(π/2+h) - sin(π/2)] / h根据三角函数的性质，我们可以简化这个表达式：f'(π/2) = lim(h→0) [cos(h)] / h使用极限的性质和恒等变换，我们可以得到：f'(π/2) = 1所以，函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数为1。
2. 求函数g(x) = cos(2x)在点x = π/4处的导数。
解答：我们可以利用链式法则来求解这个问题。
根据链式法则，如果h(x) = f(g(x))，那么h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
将f(u) = cos(u)和g(x) = 2x代入，可以得到：g'(x) = 2f'(u) = -sin(u)所以，根据链式法则：h'(x) = -sin(g(x)) * g'(x)将g(x) = 2x代入，可以得到：h'(π/4) = -sin(2 * π/4) * 2化简得到：h'(π/4) = -sin(π/2) * 2根据三角函数的性质，我们知道sin(π/2) = 1，所以：h'(π/4) = -1 * 2h'(π/4) = -2所以，函数g(x) = cos(2x)在点x = π/4处的导数为-2。
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1．已知函数f (x )＝－cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B ．1－sin1 C ．1＋sin1 D ．－1－sin1 答案 C
解析 ∵f (x )＝－cos x ＋ln x ，∴f ′(x )＝1
x
＋sin x ，∴f ′(1)＝1＋sin1.
2．曲线y ＝tan x 在x ＝－π4
处的切线方程为______
答案 y ＝2x ＋
π
2－1 解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，
所以在x ＝－π
4处的斜率为2，曲线y ＝tan x 在x ＝－
π
4处的切线方程为y ＝2x ＋
π
2
－1.
3．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．
答案 (π3，5π
3)
∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(
π3，5π3
)．
4. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是
A B C D
5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π
4
)的大小关系为______(用“<”连接)．
答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π
4
)．
解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[
5π4，4π3
]时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π
3
]时为减函数，
∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，
∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．
6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与
极值．
解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，
于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π
4
)．
令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π
4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π
2
.
因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2
，2π)，单调递减区
间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π
2
，极大值为f (π)＝π＋2.
7． 已知函数2
()sin cos f x x x x x =++
（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。
解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+
因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =
所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b
+=⎧⎨++=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩
（2）因为2cos 0x +>
所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增 当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =， 所以b 的取值范围是(1,)+∞ 8.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数值域；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间. 解：（Ⅰ）当时，
--------------------------------1分
由得 --------------------------------------2分
--------------------------------------------------4分
因为，，
所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分
（Ⅱ），
-------------------------------------------------9分
所以函数的单调增区间为，单调减区间为和
------------------------------------------------13分
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.。