含三角函数的导数问题

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例析含三角函数导数问题的解答策略

近几年来，高考题和高考模拟题的命题者为了创设新的问题情境，开始尝试命制含三角函数的导数压轴题。由于对含三角函数的函数无论求几阶导，导函数中仍会含有三角函数，因此导函数的表达式往往比较复杂，从而给判断导函数的符号、求极值及零点个数等后续问题带来困难。下面笔者通过对含三角函数的导数压轴题进行深人、系统的分析，总结此类题型的几种解题策略，以繪读者。
丄卞 *2：
一个增函数 f 和一个减函数 + ，以及一个不单调
的函数一 a + sin x 相加而成，较为复杂，不容易直接说明当 ^ < 1 时，/(工 )>〇。因此，我们考虑对其进行放缩。由常见函数型不等式 # > 1 + 1 ，故 / 〇 ) >
士：T( _ + < X < 0 ) 。于是便得到如下关于 “左负，，的
另外两种简便证法。
证法 1:当 (—
时，/ ’（1 ) = # + ^ ^ —
2 + sin
+
^1 一:r+ 吾;r2 ) — 2 + 音 =
2_r2+ f < 0 。
1
_ 1 _ 1 0 0 丄 1 — 67
1 + X + 1+JC — a + sin 工。而 1 + x + 1~\~x

高中数学导数带有三角函数的题型

高中数学导数带有三角函数的题型高中数学中，导数是一个非常重要的概念。

在实际应用中，我们常常会遇到一些带有三角函数的导数题目。

下面，我们将为大家介绍一些常见的带有三角函数的导数题型。

1. y = sin x这是最简单的带有三角函数的导数题型。

根据导数的定义，我们可以将其求导得到：y' = cos x2. y = cos x同样地，我们可以根据导数的定义求出 y = cos x 的导数：y' = -sin x3. y = tan xy = tan x 的导数需要用到求商法则。

我们可以将其写成：y = sin x / cos x然后求导：y' = (cos x * cos x + sin x * (-sin x)) / cos^2 xy' = 1 / cos^2 x4. y = cot xy = cot x 的导数同样需要用到求商法则。

我们可以将其写成： y = cos x / sin x然后求导：y' = (-sin x * sin x + cos x * cos x) / sin^2 xy' = -1 / sin^2 x5. y = sec xy = sec x 的导数也需要用到求商法则。

我们可以将其写成： y = 1 / cos x然后求导：y' = sin x / cos^2 x6. y = csc x同样地，y = csc x 的导数也需要用到求商法则。

我们可以将其写成：y = 1 / sin x然后求导：y' = -cos x / sin^2 x以上就是常见的带有三角函数的导数题型。

当然，还有其他一些比较复杂的题型，需要用到三角函数的求导公式。

在学习数学的过程中，我们应该多加练习，掌握各种题型的求导方法，以便更好地应用于实际问题的解决。

三角函数与导数练习题

三角函数与导数练习题在微积分学习的过程中，三角函数与导数是非常重要的概念。

理解和掌握它们对于解决各种微积分问题至关重要。

本文将为你提供一些与三角函数和导数相关的练习题，帮助你巩固这些知识点。

练习题一：三角函数的导数计算计算下列函数的导数：1. y = sin(x)2. y = cos(x)3. y = tan(x)4. y = cot(x)解答：1. y = sin(x)y' = cos(x)2. y = cos(x)y' = -sin(x)3. y = tan(x)y' = sec^2(x)4. y = cot(x)y' = -csc^2(x)练习题二：三角函数与导数的应用1. 求函数 y = sin(x) 在点x = π/2 处的导数值，并说明其物理意义。

2. 设 y = cos(x)，求函数 y' 的最小正周期是多少？3. 对函数 y = atan(x) ，求其在点 x = 0 处的导数，并说明其物理意义。

解答：1. 在点x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的导数为y' = cos(x) = cos(π/2) = 0。

这表示在x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的变化率为零。

物理上，这可以理解为在该点附近，物体的运动速度不再发生变化。

2. 函数 y = cos(x) 的最小正周期是2π。

这是因为在区间[0, 2π] 内，cos(x) 展现出了与整个函数图像相似的特征。

3. 求函数 y = atan(x) 在点 x = 0 处的导数：y' = 1 / (1 + x^2)当 x = 0 时，函数的导数为 y' = 1 / (1 + 0^2) = 1。

物理上，这表示函数 y = atan(x) 在 x = 0 处的变化率为1。

练习题三：三角函数与导数的求解1. 求函数 y = 3sin(2x) 的导数。

2. 求函数 y = 2cos(3x) 的导数。

三角函数的导数和积分练习题

三角函数的导数和积分练习题练习一：求下列函数的导数。

1. $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$$2. $g(x) = 3\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$g'(x) = 3\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$$3. $h(x) = \tan(x) + \cot(x)$解析：根据求导法则，可得$$h'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)$$4. $k(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$解析：根据求导法则，可得$$k'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} $$练习二：求下列函数的积分。

1. $F(x) = \sin(x) + C$解析：由于$\sin(x)$的积分是$-\cos(x)$，所以可得$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$其中$C$为积分常数。

2. $G(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + C$解析：由于$\cos(x)$的积分是$\sin(x)$，所以可得$$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$$其中$C$为积分常数。

3. $H(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$解析：根据换元积分法，令$u = \sec(x) + \tan(x)$，则$du = (\sec(x) + \tan(x))\tan(x) \, dx$。

将其代入原积分式，可得$$\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$$其中$C$为积分常数。

ppt模板-含三角函数的导数问题(高三数学)

6．设函数 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数 f(x) 的单调区间与极值．
解析由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1， π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ )． 4 π 2 3π 令 f′(x)＝0，从而 sin(x＋ )＝－，得 x＝π，或 x＝ . 4 2 2 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 3π 3π 3π x π (0，π) (π， 2 ) ( 2 ，2π) 2 0 0 f′(x) ＋－＋ 3 f(x) 单调递增 π＋2 单调递减单调递增 π 2 3π 因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，π)与( ，2π)，单调递 2 3π 3π 3π 减区间是(π， 2 )，极小值为 f( 2 )＝ 2 ，极大值为 f(π)＝π＋2.
x
π (0, ) 2
π 2
0 0 ---------13 分
π ( , π) 2
x a
cos x f '( x ) f ( x)ຫໍສະໝຸດ
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , π) ，单调减区间为 (0, ) .
π 2
π 2
a
0 0
( a , π)
xa
cos x f '( x ) f ( x)

0 0

-------9 分所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , a) ，单调减区间为 (0, ) 和 ( a, π) ②当 a π 时， f ( x), f '( x) 的情况如下
π 2
π 2

---4 分因为 f (0) 1 ， f ( π) 1 ，所以函数 f ( x) 的值域为 ( 1,1) . ----5 分

学霸专题：含三角函数的导数压轴题(学生版)

附： 1 0.367 ， sin1 0.841， cos1 0.540 . e
19．已知函数 f x ln x ax sin x ，其中 x 0, ；
（l）判断函数 f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（2）讨论在
2
,
上函数
f
x
的零点个数.
（1）若曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线的斜率为 1.
（ⅰ）求 a 的值；
（ⅱ）证明：函数 f x 在区间 0, 内有唯一极值点；（2）当 a 1时，证明：对任意 x 0, ， f x 0 .
11．已知函数
f
x
sinx e x 1
，
g
x 为
f
x
的导函数．
（1）证明：当
（2）若

a
1，不等式
f
x
bx cos
x
对任意
x
0,
2 3
恒成立，求满足条件的最大整数
b.
8．已知函数 f (x) x a sin x(a R) .
（1）当 a 0 时，证明： f x 0 ；
（2）若
a
1 4
，证明：
f
x
在
0,
π 2
有唯一的极值点
x0 ，且
f
x0
1 π 2x0
14．已知函数 f x eax1 cos x a 0 ．（其中常数 e 2.71828，是自然对数的底数）
3
（1）若 a
3
，求
f
x
在
0,
2
上的极大值点；
（2）（ i
）证明
f
x

三角函数与导数的综合问题剖析(新高考热点问题)

三角函数与导数的综合问题例题已知f(x)=ln(x+1),g(x)=sin x cos x（1）求证：对∀x∈[0,+∞),g(x)≤x恒成立；（2）求证：函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有且只有两个零点；（3）若f(x)+g(x)≤ax恒成立，求a的值。

解决此类问题的思路○1多利用si n x、co s x的有界性进行放缩。

注意到对∀x∈[0,+∞),si n x≤x恒成立，于是si n x co s x≤si n x≤x。

即g(x)≤x○2第2问ℎ(x)是一个自然对数函数与三角函数相减形成的函数，其中对数函数是无界且单调的，而三角函数具有有界性，那么此时一般存在一个较大的数ε，使得x∈[ε,+∞)时，函数表现出确定的正负性，即在此区间上没有零点。

但我们应该尽量使ε更小一些，这样我们后面的工作会更简洁。

接下来就只需要讨论剩下的区间的零点了。

解决此类问题一般是对区间进行分段，然后分类讨论各区间的零点情况。

划分区间的方法，一般以三角函数的!"个周期为基准进行划分。

因为这样三角函数，导函数，二阶导函数一般都会都表现出确定的单调性或正负性。

便于我们进行讨论和研究。

接下来我们以此题为例来进行说明.ℎ(x)=ln(x+1)−12sin2x令ε=πℎ(π)=ln(1+π)>0我们大胆猜测此时函数已经表现出大于零的性质，继续缩小区间令ε=#$ℎ(π2)=ln(1+π2)>0 此时ℎ(x)仍然大于0于是我们可以将定义域分为(−1，#$),(#$，+∞)两个部分进行讨论，先证明x ∈(#$，+∞)时，ℎ(x)≥0.ℎ(x)=ln(x +1)−12sin2x ≥ln(x +1)−12≥ln(1+π2)−12≥0 所以x ∈(#$，+∞)时，ℎ(x)无零点。

接下来先讨论x ∈(−1，0)时的情况ℎ%(x)=11+x−cos2x ℎ&(x)=−1(1+x)$+2sin2x x ∈(−1，0)时, !!'(>1，cos2x ≤1。

三角函数的导数练习题

三角函数的导数练习题在微积分中，三角函数的导数是基础中的基础。

它们在计算机图形学、物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

掌握三角函数的导数对于解决问题和理解数学概念至关重要。

本文将提供一些三角函数导数相关的练习题，并提供详细的解答过程。

1. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。

解答：首先，我们需要知道sin(x)的导数是cos(x)。

根据导数的定义，我们可以得到：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将f(x) = sin(x)代入，得到：f'(π/2) = lim(h→0) [sin(π/2+h) - sin(π/2)] / h根据三角函数的性质，我们可以简化这个表达式：f'(π/2) = lim(h→0) [cos(h)] / h使用极限的性质和恒等变换，我们可以得到：f'(π/2) = 1所以，函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数为1。

2. 求函数g(x) = cos(2x)在点x = π/4处的导数。

解答：我们可以利用链式法则来求解这个问题。

根据链式法则，如果h(x) = f(g(x))，那么h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。

将f(u) = cos(u)和g(x) = 2x代入，可以得到：g'(x) = 2f'(u) = -sin(u)所以，根据链式法则：h'(x) = -sin(g(x)) * g'(x)将g(x) = 2x代入，可以得到：h'(π/4) = -sin(2 * π/4) * 2化简得到：h'(π/4) = -sin(π/2) * 2根据三角函数的性质，我们知道sin(π/2) = 1，所以：h'(π/4) = -1 * 2h'(π/4) = -2所以，函数g(x) = cos(2x)在点x = π/4处的导数为-2。

三角函数的求导法则与相关应用实例

三角函数的求导法则与相关应用实例三角函数在数学中是一类重要的函数，其求导法则是微积分中的基础知识之一。

本文将探讨三角函数的求导法则以及一些相关的实际应用实例。

一、三角函数的求导法则1. 正弦函数的求导法则正弦函数的求导法则可以通过导数的定义和极限的性质来推导。

设函数y = sin(x)，其中x为自变量，y为因变量。

根据导数的定义，我们有：dy/dx = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)]/h利用三角恒等式sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)以及sin(0) = 0，我们可以将式子进行化简：dy/dx = lim(h→0) [sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)]/h= lim(h→0) [sin(x)(cos(h) - 1)/h + cos(x)sin(h)/h]观察化简后的式子可以发现，当h趋近于0时，第一项分子部分为0，第二项分子部分为1。

因此，我们可以得出正弦函数的导数公式：dy/dx = cos(x)即正弦函数的导数等于其自身对应的余弦函数。

2. 余弦函数的求导法则与正弦函数类似，我们可以通过类似的推导过程得出余弦函数的导数公式。

设函数y = cos(x)，其中x为自变量，y为因变量。

根据导数的定义，我们有：dy/dx = lim(h→0) [cos(x+h) - cos(x)]/h利用三角恒等式cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)以及cos(0) = 1，我们可以将式子进行化简：dy/dx = lim(h→0) [cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)]/h= lim(h→0) [cos(x)(cos(h) - 1)/h - sin(x)sin(h)/h]观察化简后的式子可以发现，当h趋近于0时，第一项分子部分为0，第二项分子部分为0。

导数压轴题2 三角函数与导数(1)

导数压轴题导数与三角函数专题一．试题（共21小题）1．设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）为f （x ）的导函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当x ∈[π4，π2]时，证明f （x ）+g （x ）（π2−x ）≥0；（Ⅲ）设x n 为函数u （x ）＝f （x ）﹣1在区间（2n π+π4，2n π+π2）内的零点，其中n ∈N ，证明2n π+π2−x n ＜e −2nπsinx 0−cosx 0．2．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ，（a ∈R ），g （x ）=sinx 2+cosx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若g （x ）≤kx 在x ∈[0，+∞）恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）当a ＝1，x ≥0时，证明：（2+cos x ）f ′（x ）≥3sin x ．3．已知函数f（x）＝e x﹣ax+sin x﹣1．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当1≤a＜2时，证明：函数f（x）有2个零点．4．设函数f（x）＝e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a＝2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cos x恒成立，求实数a的取值范围．5．设函数f（x）＝x sin x+cos x−12ax2．（1）当a=12时，讨论f（x）在（﹣π，π）内的单调性；（2）当a＞13时，证明：f（x）有且仅有两个零点．6．已知函数f（x）＝sin x+aln（x+b），g（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，当b＝1时，函数g（x）在（π，4）内有唯一的极小值，求a的取值范围；（2）若a＝﹣1，1＜b＜e−π2，试研究f（x）的零点个数．7．已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点8．已知函数f（x）＝a sin x+sin2x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）在（0，π）上的单调区间；（2）若a＝1，不等式f（x）≥bx cos x对任意x∈(0，2π3)恒成立，求满足条件的最大整数b．9．已知函数f（x）=√x−a−sin x（a∈R）．（1）当a＝0时，证明：f（x）≥0；（2）若a＜−14，证明：f（x）在(0，π2)有唯一的极值点x0，且f（x0）＞1π−2x0−x0．10．已知f（x）＝e x−12x2﹣x﹣1，g（x）＝cos2x+2x2﹣1．（1）证明：x≥0时，f（x）≥0；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）证明：x≥0时，xe x+12sin2x≥2sin x+sin2x．。

专题25 导数中的三角函数问题(解析版)

专题25导数中的三角函数问题1．已知函数()e (sin cos )x f x x x kx =++，R k ∈，()(),()().g x f x h x g x ''==(1)已知(0)(0)f h =，求k 的值；(2)是否存在k ，使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立？说明理由.【解析】(1)因为()()()e 2cos x g x f x x kx k '==++，()()()e 2cos 2sin 2xh x g x x x kx k '==-++，所以()022h k =+，而()01f =，由221k +=解得12k =-．(2)对任意R x ∈，()2()2()0h x g x f x -+=恒成立，即()()e 2cos 2sin 22e 2cos 2e (sin cos )0x x x x x kx k x kx k x x kx -++-+++++=，化简可得，0kx =，所以0k =时，可使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立．2．设函数()sin x f x e a x b =++.（1）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值；（2）当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围.【解析】（1）由()sin x f x e a x b =++得：()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得：()001f e a '=+=，即0a =，又()0,1b +在切线10x y --=上.∴0110b ---=，得2b =-.（2）当1a =时，()sin x f x e x b =++，得()cos xf x e x '=+，当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时e 1x >.∴()0f x ¢>，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，则()()min 01f x f b ==+，要使()0f x ≥恒成立，即10b +≥，∴1b ≥-.3．设函数()2cos ,x f x e a x a =+∈R ．（1）若()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当[]1,2,0,2a x π⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭时，()23f x x +．【解析】（1）设()2,()cos x g x e h x a x ==，因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x 为增函数，当0a ≥时，0()h x a ≤≤，22()2g x e π<<，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒大于零，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不存在零点，当0a <时，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上若有零点，则仅有1个，所以(0)()02f f π<，即2(2)20a e π+⋅<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围(,2)-∞-（2）证明：设()()232cos 23x G x f x x e a x x =--=+--，则'()2sin 2x G x e a x =--，则'0(0)2sin 020G e a =--=，所以''()2cos xG x e a x ⎡⎤=-⎣⎦，因为[1,2]a ∈，所以''()0G x ⎡⎤≥⎣⎦，所以'()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，'()0G x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()G x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，而(0)231G a a =+-=-，因为[1,2]a ∈，所以(0)0G ≥，所以()0G x ≥恒成立，所以当[1,2]a ∈时，()23f x x +4．已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<.（1）证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值；（2）当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）证明：()e cos 1x f x a x '=++，因为[]0,x π∈，所以1cos 0x +≥，当1a =-时，()cos 1x f x e x '=-++，令()e cos 1,()e sin 0x x g x x g x x '=-++=--<，()g x 在区间[]0,π上单调递减；(0)121,()e 0g g ππ=-+==-<，存在()00,π∈x ，使得()00f x '=，所以函数()f x 递增区间是[]00,x ，递减区间是[]0,x π.所以函数()f x 存在唯一的极大值()0f x .（2）由()21f x x <-，即令()e sin 10,0,()e cos 10'=+-+<<∴=+-<x x h x a x x a h x a x ，()h x ∴在区间[]0,π上单调减函数，()(0)1≤=+h x h a ，只要10a +<即可，即1a <-.5．已知函数()cos x f x e x ax =--．（1）当a=2时，证明：()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）若对任意x≥0，()cos f x x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：当a=2时，函数()cos 2x f x e x x =--，()sin 2x f x e x '=+-，若0x <，则1x e <，．因为sin 1x <，所以()sin 20x f x e x '=+-<，故()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）解：当0x =时，()01f x =≥-，对a ∈R 恒成立；当x>0时，由()cos f x x x >-，整理得1xea x≤-．设()1xe g x x=-，则2(1)()x e x g x x -'=．令()0g x '>，得1x >，则()g x 在()1,+∞上单调递增令()0g x '<，得01x <<，则()g x 在(0，1)上单调递减．所以min ()(1)1g x g e ==-，1a e -≤．综上，实数a 的取值范围是(],1e -∞-．6．已知函数()()e cos xf x a x x a R =--∈(1)若2a =，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在()0,π上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()2e cos xf x x x =--，()2e sin 1x f x x '∴=+-，()002e sin 011f '∴=+-=，()02e cos0010f --== ，∴()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为()110y x -=⨯-，即10x y -+=；（2）()f x 在()0,π上有两个极值点等价于()e sin 10xf x a x '=+-=在()0,π上有两个不同的实数根，即1sin e x x a -=在()0,π上有两个不同的实数根，令()1sin e xxh x -=，()0,πx ∈，()π1sin cos 14ee xxx x x h x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'∴==令()0h x '=，解得π2x =，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；又()01sin 001e h -==，π2π1sin π202e h -⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()πππ1sin π1πe 0,1e e h --===∈，∴当()π0,e a -∈时，方程1sin exx a -=在()0,π上有两个不同的实数根，∴实数a 的取值范围为()π0,e -.7．已知函数()e sin xf x x ax=+(1)若1a =，判断f （x ）在（2π-，0）的单调性；(2)()f x 在[0，2π]上有且只有2个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()e sin ,(,0)2xf x x ax x π=+∈-()e sin e cos 1sin 14x x x f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'.当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以sin 112424x x ππ⎛⎫⎛⎫-<+<-<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0e 1x <<，sin 14xx π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，从而()0f x '>，所以，f （x ）在（2π-，0）上单调递增；（2）由函数()e sin 0,2xf x x axx π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，可知()00f =，则f （x ）在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有且只有1个零点.()e sin e cos x x f x x x a +'=+，令()e sin e cos x x h x x x a =++，则()2e cos 0xh x x '=≥在[0.2π]上恒成立.即()f x '在[0，2π]上单调递，()201e 2f a f aππ⎛'⎫=+=⎪⎭'+ ⎝，当1a ≥-时，()()00f x f '≥'≥，f （x ）在[0.2π]上单调递增.则f （x ）在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当π2e a ≤-时，()02f x f π⎛⎫'≤'≤ ⎪⎝⎭，()f x 在[0，2π]上单调递减，则()f x 在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当2e 1a π-<<-时，2(0)10,()e 02f a f a ππ'=+<'=+≥则()f x '在（0，2π）上只有1个零点，设为0x .且当0(0,)x x ∈时，()0f x <′；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >′所以当()00x x ∈，时，()f x 在（0，0x ）上单调递减，在（0x ，2π）上单调递增，又()200e 22f f a πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，因此只需2e 022f a ππ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭即可，即22e 1a ππ-≤<-综上所述：22e 1παπ-≤<-8．已知函数()sin cos f x x ax x =-，a ∈R(1)若()f x 在0x =处的切线为y x =，求实数a 的值；(2)当13a ≥，[0,)x ∈+∞时，求证：()2.f x ax ≤【解析】(1)∵()cos cos sin f x x a x ax x '=-+，∴(0)11f a '=-=，∴0a =(2)要证()2f x ax ≤，即证sin cos 2x ax x ax -≤，只需证sin (2cos )x ax x ≤+，因为2cos 0x +>，也就是要证sin 02cos x ax x -≤+，令sin ()2cos xg x ax x =-+，22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x g x a a x x +--+'=-=-++∵13a ≥，∴2222cos 11(cos 1)()0(2cos )33(2cos )x x g x x x +--'≤-=≤++∴()g x 在[0,)+∞为减函数，∴()(0)0g x g ≤=，∴sin cos 2x ax x ax -≤，得证9．已知函数()ln f x x x =.(1)求()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程，并证明()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)若函数()()()ln 1sin cos g x x x f x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，证明：()11cos e e g x ≥.（其中e 为自然对数的底数）【解析】(1)()ln f x x x = ，则()1ln f x x '=+，()()11,10f f '∴==.()f x ∴的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-.设()ln 1h x x x x =-+，则()ln h x x '=，令()0h x '<，得()0,1x ∈；令()0h x '>，得()1,x ∈+∞.()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴当0x >且1x ≠时，()()10h x h >=，()f x ∴的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)由题可知，()()ln 1sin ln cos g x x x x x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.()()sin 1ln 1cos ln cos cos ln sin ln sin ,xg x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫'∴=++--+=+ ⎪⎝⎭1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，sin 0x ∴>，由（1）知ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时，等号成立，11ln 1110x x x x x ∴+≥+-≥-=>.()0g x '∴>，函数()g x 在区间1π,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数。

三角函数与导数结合破解方法

三角函数与导数结合破解方法导数和三角函数的关系很密切，它是研究函数性质及其应用中常用的一个重要思想，对探索三角函数的基本性质，发展数学方法具有重要意义。

因此，三角函数与导数结合解答题具有广阔的应用前景。

下面我们就具体介绍一下如何进行结合解答。

在学习中应该掌握下列两个基本方法。

一、求出被研究的函数或方程(1)设函数y=(x+1)π/2,且 r (x)与 a (1)关系式为 a (x+1)=(3+1)3,求出函数 y= u (u*1)的值，求解出的结果与原函数的值一致，可得方程。

(2)求出方程 a (x)的值：求解方程所用的函数 a (x+1)= a (u*1)。

(3)求解方程 x的值：求出方程的解与原函数的解具有相同的意义；若解得的结果与原函数的值一致，可说明方程具有相同的解与原函数的解相同；若解得此值，则说明方程具有相同的解与原函数的解相同；若解得此值，说明方程具有相同于原函数的解不同之处；若能进一步证明原函数就不具有同解相同之处；若能进一步证明原函数为非零，则证明方程存在未解性。

" x+1"等于 y," x+1"等于x-2," x+1"等于 y+2 x。

" x+1"等于 l (1)~ l (1)式中任意两个顶点分别为0、1.2 (1).2等值时有什么特点?"(1)=0"" y+1"" x+2"" x+2"都与函数原题关系密切。

注意：求出原函数的值时还必须对定义域进行详细研究，从而得出相应的解题结论。

" x+1"等于-1, y=2,' x+2'> y+2。

" x"=0或为0时，求出该函数和方程的数值都容易得多。

”解题技巧解析与结论总结：见下面解答题例（解析 A).二、根据所求命题的意义确定解的取值范围根据求出的三角函数导数值的意义，就可以把三角函数的解理解为求函数的解与不等式之数关系的数。

三角函数的导数与导数的应用

三角函数的导数与导数的应用三角函数是数学中的基础概念之一，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨三角函数的导数以及导数的应用。

通过深入了解三角函数的导数，我们可以更好地理解三角函数的性质和特点，并能够应用导数解决实际问题。

一、正弦函数的导数正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。

我们先来了解正弦函数的导数。

根据求导法则，我们可以得到正弦函数的导数公式：d/dx[sin(x)] = cos(x)这个结果告诉我们，对于任意一个正弦函数，它的导数是其自身对应的余弦函数。

这意味着正弦函数的导数是一种周期性变化的函数，它的变化规律与正弦函数自身相似，但相位相差π/2。

二、余弦函数的导数余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。

我们来看一下余弦函数的导数。

根据求导法则，我们可以得到余弦函数的导数公式：d/dx[cos(x)] = -sin(x)根据这个结果，我们可以发现余弦函数的导数也是一个三角函数，而且与原函数相比有一个负号。

这意味着余弦函数的导数在函数图像上表现为与余弦函数相位相差π/2 而且峰值相反的函数。

三、正切函数的导数正切函数是三角函数中的另一个重要函数，用tan(x)表示。

我们来看一下正切函数的导数。

根据求导法则，我们可以得到正切函数的导数公式：d/dx[tan(x)] = sec^2(x)这个结果告诉我们，正切函数的导数是一个与之相关的函数sec^2(x)，它叫做正切函数的二次割函数。

正切函数的导数在函数图像上表现为一个带有垂直渐近线的函数。

四、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用。

接下来我们来探讨一些导数在实际问题中的应用。

1. 曲线的切线导数可以用来求曲线上某一点处的切线。

给定一个函数 f(x)，我们可以通过计算f(x) 在某一点处的导数来确定曲线在该点处的切线斜率。

这个斜率可以帮助我们了解曲线在该点的变化情况。

2. 极值点导数可以帮助我们找到函数的极值点，即最大值和最小值。

导数与三角函数结合问题的研究(解析版)

导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x>0时,x>sin x>x−12x2. ②余弦函数:cos x≥1−12x2.③正切函数:当x∈0,π2时,sin x<x<tan x. ④数值域:sin x∈-1,1,cos x∈-1,1.3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x-ax，a∈R，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x>2x；(2)若函数g x =f x -x cos x在区间0,+∞内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)a≥1【详解】(1)因为f x =e x-ax，所以f x =e x-a，当a≤0时，f x =e x-a>0，则f x =e x-ax在R上单调递增，当a>0时，令f x =e x-a>0得x>ln a，令f x =e x-a<0得x<ln a，所以函数f x 的增区间为(ln a,+∞)，减区间为(-∞,ln a)，令F x =e x-2x，则F x =e x-2，令F x =e x-2>0得x>ln2，令F x =e x-2<0得x<ln2，所以函数F x 的增区间为(ln2,+∞)，减区间为(-∞,ln2)，所以当x=ln2时，F x 取得最小值为F ln2=e ln2-2ln2=2-2ln2>0，所以e x>2x，得证；(2)由(1)知，g x =e x-a-x cos x，因为函数g x 在区间0,+∞内有唯一的零点，所以方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，令h(x)=e x-x cos x,x≥0，则函数h(x)=e x -x cos x与y=a在0,+∞上只有一个交点，记m x =e x-x-1,(x≥0)，则m x =e x-1≥0，所以m x 在0,+∞上单调递增，所以m x =e x-x-1≥e0-1=0，即e x≥x+1，故h (x)=e x-cos x+x sin x≥1-cos x+x(1+sin x)≥0，所以h(x)=e x-x cos x在0,+∞上单调递增，又h(0)=1，如图：要使方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.2已知函数f x =sin x -x -ae x ,其中a 为实数,e 是自然对数的底数.(1)若a =-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π 上有唯一的极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:a =-1时,f x =sin x -x +e x ,令g x =e x -x ,则g x =e x -1,当x <0时,g x <0,g x 在-∞,0 上为减函数,当x >0时,g x >0,g x 在0,+∞ 上为增函数,函数g x 的极小值也是最小值为g 0 =1,所以g x ≥g 0 =1,而-sin x ≤1,所以e x -x ≥-sin x ,即f x ≥0.(2)f x 在0,π 上有唯一的极值点等价于f x =cos x -1-ae x =0在0,π 上有唯一的变号零点,f x =0等价于a =cos x -1e x ,设h x =cos x -1e x,x ∈0,π ,h x =-sin x -cos x +1e x =1-2sin x +π4 e x,因为x ∈0,π,所以x +π4∈π4,5π4 ,当0<x <π2时,x +π4∈π4,3π4 ,sin x +π4 >22,h x <0,h x 在0,π2 上为减函数,当π2<x <π时,x +π4∈3π4,5π4 ,sin x +π4 22,h x 0,h x 在π2,π 上为增函数,所以函数h x 的极小值也是最小值为h π2=-1e π2,又h 0 =0,h π =-2e π,所以当-2e π≤a <0时,方程a =cos x -1ex 在0,π 上有唯一的变号零点,所以a 的取值范围是-2e π,0.3已知函数f x =e x ，g x =sin x +cos x .(1)求证：f x ≥x +1；(2)若x ≥0，问f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若不恒成立，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)a ≤2【详解】(1)令F x =e x -x -1，F x =e x -1，当x ∈-∞,0 ，F x <0，所以此时F x 单调递减；当x ∈0,+∞ ，F x >0，所以此时F x 单调递增；即当x =0时，F x 取得极小值也是最小值F 0 =0，所以F x ≥0，得证；(2)设h x =f x +g x -2-ax ，即证h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，易得hx =ex+cos x -sin x -a ，当x =0时，若h 0 =2-a ≥0⇒a ≤2，下面证明：当a ≤2时，h x =e x +sin x+cos x -2-ax ≥0，在0,+∞ 上恒成立，因为h x =e x +cos x -sin x -a ，设u x =h x ，令v x =x -sin x ,v x =1-cos x ≥0，所以v x 在0,+∞ 上是单调递增函，所以v x ≥v 0 =0，又因为1-cos x ≥0，则u x =e x -sin x -cos x ≥x +1-sin x -cos x =x -sin x +1-cos x ≥0所以h x 在0,+∞ 上是单调递增函数，所以h x ≥h 0 =2-a ≥0，所以h x 在0,+∞ 上是严格增函数，若a >2时，h 0 <0，即h x 在x =0右侧附近单调递减，此时必存在h x 0 <h 0 =0，不满足f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 恒成立，故当a ≤2时，不等式恒成立.4已知函数f (x )=e x +cos x -a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，e x +sin x ≥ax +1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f (x )在[-π,+∞)上的单调递增；(2)(-∞,2]【详解】(1)f (x )=e x -sin x ，当-π≤x ≤0时，e x >0，sin x <0，∴f (x )=e x -sin x >0，当x >0时，e x >1，sin x ≤1，∴f (x )=e x -sin x >0，即：f (x )>0在[-π,+∞)上恒成立，所以f (x )在[-π,+∞)上的单调递增.(2)方法一：由e x +sin x ≥ax +1得：e x +sin x -ax -1≥0当x =0时，e x +sin x -ax -1≥0恒成立，符合题意令g (x )=e x +sin x -ax -1，x >0g (x )=e x +cos x -a =f (x )，由(1)得：g (x )在(0,+∞)上的单调递增，∴g (x )>2-a ，①当a ≤2时，g (x )>2-a ≥0，所以g (x )在(0,+∞)上的单调递增，所以g (x )>g (0)=0，符合题意②当a >2时，g (0)=2-a <0，g (ln (2+a ))=2+cos (ln (2+a ))>0，∴存在x 0∈(0,ln (2+a ))，使得g (x 0)=0,当0<x <x 0时，g (x )<g (x 0)=0；所以g (x )在(0,x 0)上的单调递减，当0<x <x 0时，g (x )<g (0)=0，这不符合题意综上，a 的取值范围是(-∞,2].方法二：令h (x )=e x +sin x ，s (x )=ax +1，x ≥0则h (0)=s (0)=1，符合题意h (x )=e x +cos x =f (x )+a ，f (x )=e x -sin x 由(1)得：f (x )>0在(0,+∞)上恒成立，h (x )在(0,+∞)上单调递增所以，h (x )>h (0)>0，所以h (x )在(0,+∞)上单调递增，其图象是下凸的，如图： ∵h (0)=2，所以，曲线h (x )在点(0,1)处的切线方程为：y =2x +1，要使得h (x )≥s (x )在[0,+∞)上恒成立，只需a ≤2所以，a 的取值范围是(-∞,2].5已知函数f x =a sin x ，其中a >0.(1)若f x ≤x 在0,+∞ 上恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .【答案】(1)0,1 ；(2)证明见解析【详解】(1)令h x =x -a sin x ，x ∈0,+∞ ，则h x =1-a cos x ，当a ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0，当a ∈1,+∞ 时，令m x =h x =1-a cos x ，则m x =a sin x ，所以对∀x ∈0,π2 ，mx >0，则hx 在0,π2 上单调递增，又因为h0 =1-a <0，hπ2=1>0，所以由零点存在定理可知，∃x 0∈0,π2使得h x 0 =0，所以当x ∈0,x 0 时，h x <0，h x 单调递减，h x <h 0 =0，与题意矛盾，综上所述，a ∈0,1 .(2)由(1)知，当a =1时，sin x ≤x ，∀x ∈0,+∞ . 先证ln x +1 ≤x ，x ∈0,+∞ ，令φx =x -ln x +1 ，则φ x =1-1x +1≥0，所以φx 单调递增，φx >φ0 =0，即ln x +1 ≤x . 所以当x ∈0,+∞ 时，ln x +1 +sin x ≤2x ，x +1xln x +1 +sin x ≤2x 2+1 .要证∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x ，只需证e x>x 2+1. 令g x =x 2+1 e -x-1，x ∈0,+∞ ，则g x =2x -x 2-1 e -x=-x -1 2e -x≤0.所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以g x <g 0 =0，即e x>x 2+1.综上可得∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .6已知函数f x =ae x +4sin x -5x .(1)若a =4，判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)设函数p x =3sin x -2x +2，若关于x 的方程f x =p x 有唯一的实根，求a 的取值范围.【答案】(1)函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)a ≤0或a =2【详解】(1)当a =4时，f x =4e x +4sin x -5x ,f x =4e x +4cos x -5，令g x =f x =4e x +4cos x -5,则g x =4e x -4sin x .当x ∈0,+∞ 时，4e x ≥4(x =0时等号成立)；-4sin x ≥-4(x =π2+2k π,k ∈Z 时等号成立)，所以g x =4e x -4sin x >0，即函数f x =4e x +4cos x -5在0,+∞ 上递增，所以f x ≥f 0 =3>0，即函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)方程f x =p x 即ae x +4sin x -5x =3sin x -2x +2有唯一的实根，则a =3x +2-sin xe x只有一个解，等价于直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x 的图象只有一个交点.令h x =3x +2-sin xex，则h x =sin x -cos x +1-3x e x ，因为e x >0，所以hx=sin x -cos x +1-3x e x 的符号由分子决定，令m x =sin x -cos x +1-3x ，则m x =cos x +sin x -3=22sin x +π4-3<0.所以m x =sin x -cos x +1-3x 在R 上递减，因为m 0 =0，所以当x ∈-∞,0 时，m x >m 0 =0；当x ∈0,+∞ 时，m x <m 0 =0.即当x ∈-∞,0 时，h x >0；当x ∈0,+∞ 时，h x <0.所以函数h x =3x +2-sin xe x在-∞,0上递增，在0,+∞ 上递减，当x 趋于-∞时，e x 趋于0且大于0，分子3x +2-sin x 趋于-∞，则3x +2-sin xe x趋于-∞；当x =0时，h max x =h 0 =2；当x 趋于+∞时，e x 趋于+∞，分子3x +2-sin x 也趋于+∞，令φx =e x -3x +2-sin x ，则φ x =e x -3+cos x ，当x >2时，φ x =e x -3+cos x >0，则x 趋于+∞时，e x 增长速率大于3x+2-sin x 的增长速率，故x 趋于+∞时，3x +2-sin x e x趋于0.画出函数h x =3x +2-sin x e x的草图，并画出直线y =a ，要使直线y =a 与函数y =3x +2-sin xe x 的图象只有一个交点.则a ≤0或a =2.所以当a ≤0或a =2时，方程f x =p x 有唯一的实根.7已知函数f x =e x ，g x =2-sin x -cos x ．(1)求证：当x ∈0,+∞ ，x >sin x ；(2)若x ∈0,+∞ ，f x >g x +ax 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)-∞,2【详解】(1)证明：设F x =x -sin x ，x >0，则F x =1-cos x >0，所以F x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以F x >F 0 =0，即x >sin x .(2)由f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立，即e x +sin x +cos x -ax -2>0在区间0,+∞ 上恒成立，设φx =e x +sin x +cos x -ax -2，则φx >0在区间0,+∞ 上恒成立，而φ x =e x +cos x -sin x -a ，令m x =φ x ，则m x =e x -sin x -cos x ，设h x =e x -x -1，则h x =e x -1，当x >0时，h x >0，所以函数h x 在区间0,+∞ 上单调递增，故在区间0,+∞ 上，h x >h 0 =0，即在区间0,+∞ 上，e x >x +1，由(1)知：在区间0,+∞ 上，e x >x +1>sin x +cos x ，即m x =e x -sin x -cos x >0，所以在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，当a ≤2时，φ 0 =2-a ≥0，故在区间0,+∞ 上函数φ x >0，所以函数φx 在区间0,+∞ 上单调递增，又φ0 =0，故φx >0，即函数f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立.当a >2时，φ 0 =2-a ，φ ln a +2 =a +2+cos ln a +2 -sin ln a +2 -a =2-2sin ln a +2 -π4>0，故在区间0,ln a +2 上函数φ x 存在零点x 0，即φ x 0 =0，又在区间0,+∞ 上函数φx 单调递增，故在区间0,x 0 上函数φx <φx 0 =0，所以在区间0,x 0 上函数φx 单调递减，由φ0 =0，所以在区间0,x 0 上φx <φ0 =0，与题设矛盾.综上，a 的取值范围为-∞,2 .8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)3【详解】(1)a =-1时，设g (x )=f (x )+2x =-sin x -ln (1+x )+2x ，则g (x )=-cos x -11+x+2，∵x >0∴x +1>1∴-1x +1∈(-1,0)∵cos x ∈[-1,1]∴-cos x -1x +1+2>0，即g (x )>0在(0,+∞)上恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调增，又g (0)=0∴g (x )>g (0)=0，即∀x >0,f (x )+2x >0；(2)a =1时，当k =4时，f (2)=sin2-ln3<0，所以k <4．下证k =3符合．k =3时，当x ∈0,32时，sin x >0，所以当a ≥1时，f (x )=a sin x -ln (1+x )≥sin x -ln (1+x )．记h (x )=sin x -ln (1+x )，则只需证h (x )=sin x -ln (1+x )≥0对x ∈0,32恒成立．h (x )=cos x -1x +1，令ϕ(x )=cos x -1x +1，则ϕ (x )=-sin x +1(x +1)2在0,π2 递减，又ϕ (0)=1>0,ϕ π2=-1+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得ϕ x 1 =0，则x ∈0,x 1 ,ϕ x 1 >0,ϕ(x )在0,x 1 递增，x ∈x 1,π2 ,ϕx 1 <0,ϕ(x )在x 1,π2 递减；又ϕ(0)=0,ϕπ2 =-1π2+1<0，所以存在x 2∈x 1,π2 使得ϕx 2 =0，且x ∈0,x 2 ,ϕ(x )>0,x ∈x 2,π2,ϕ(x )<0，所以h (x )在0,x 2 递增，在x 2,π2递减，又h (0)=0,h π2 =1-ln 1+π2 >0，所以h (x )≥0对x ∈0,π2 恒成立，因为0,32 ⊆0,π2 ，所以k =3符合．综上，整数k 的最大值为3．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(2)若x≥0，f(x)≥2sin x，求a的取值范围．【答案】(1)0,1 e；(2)2,+∞．【详解】(1)由f(x)=(x-1)e x+ax+1，得f (x)=xe x+a，因为f(x)有两个极值点，则f (x)=0，即方程-a= xe x有两个不等实数根，令g(x)=xe x，则g (x)=(x+1)e x，知x<-1时，g (x)<0，g(x)单调递减，x>-1时，g (x)>0，g(x)单调递增，则x=-1时，g(x)取得极小值g(-1)=-1e，也即为最小值，且x<0时，g(x)<0，x→-∞时，g(x)→0，x>0时，g(x)>0，x→∞时，g(x)→+∞，故-1e<-a<0，即0<a<1e时，方程-a=xe x有两个实数根，不妨设为x1，x2x1<x2．可知x<x1时，f (x)>0，x1<x<x2时，f (x)< 0，x>x2时，f (x)>0，即x1，x2分别为f(x)的极大值和极小值点．所以f(x)有两个极值点时，a的取值范围是0,1 e．(2)令h(x)=(x-1)e x+ax-2sin x+1，原不等式即为h(x)≥0，可得h(0)=0，h (x)=xe x+a-2cos x，h (0)=a-2，令u(x)=h (x)=xe x+a-2cos x，则u (x)=(x+1)e x+2sin x，又设t(x)=(x+1)e x，则t (x)= (x+2)e x，x≥0时，t (x)>0，可知t(x)在0,+∞单调递增，若x∈0,π，有(x+1)e x>0，sin x>0，则u (x)>0；若x∈π,+∞，有(x+1)e x>(π+1)eπ>2，则u (x)>0，所以，x≥0，u (x)>0，则u(x)即h (x)单调递增，①当a-2≥0即a≥2时，h (x)≥h (0)≥0，则h(x)单调递增，所以，h(x)≥h(0)=0恒成立，则a≥2符合题意．②当a-2<0即a<2时，h (0)<0，h (3-a)=(3-a)e(3-a)+a-2cos(3-a)≥3-a+a-2cos(2-a)> 0，存在x0∈(0,3-a)，使得h (x0)=0，当0<x<x0时，h (x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是2,+∞．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．【答案】(1)a=1；(2)证明见解析【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f (x)=1-π2cosπ2x-a x，依题意得f (1)=1-a=0，得a=1，此时f (x)=1-π2cosπ2x-1x，当0<x<1时，0<π2x<π2，0<π2cosπ2x<π2，1x>1，故f (x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减，当1<x<2时，π2<π2x<π，π2cosπ2x<0，1x<1，故f (x)>0，f(x)在(1,2)内单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.(2)由(1)知，f(x)=x-sinπ2x-ln x，不妨设0<x1<x2，当1≤x1<x2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，x2≥2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，0<x2<2时，由(1)知f(x)在(0,1)内单调递减，因为存在x 1≠x 2，使得f x 1 =f x 2 ，所以1<x 2<2，要证x 1+x 2>2，只要证x 1>2-x 2，因为1<x 2<2，所以0<2-x 2<1，又f (x )在(0,1)内单调递减，所以只要证f (x 1)<f (2-x 2)，又f x 1 =f x 2 ，所以只要证f (x 2)<f (2-x 2)，设F (x )=f (x )-f (2-x )(1<x <2)，则F (x )=f (x )+f (2-x )=1-π2cos π2x -1x +1-π2cos π2(2-x ) -12-x =2-1x +12-x -π2cos π2x +cos π-π2x =2-1x +12-x-π2cos π2x -cos π2x =2-1x +12-x，令g (x )=2-1x +12-x(1<x <2)，则g (x )=1x 2-1(2-x )2=4-4x x 2(2-x )2，因为1<x <2，所以g(x )<0，g (x )在(1,2)上为减函数，所以g (x )<g (1)=0，即F (x )<0，所以F (x )在(1,2)上为减函数，所以F (x )<F (1)=0，即f (x 2)<f (2-x 2).综上所述：x 1+x 2>2.11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x <1时，x -x 2<sin x <x ；(2)已知函数f x =cos ax -ln 1-x 2 ，若x =0是f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)-∞,-2 ∪2,+∞【详解】(1)构建F x =x -sin x ,x ∈0,1 ，则F x =1-cos x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则F x 在0,1 上单调递增，可得F x >F 0 =0，所以x >sin x ,x ∈0,1 ；构建G x =sin x -x -x 2 =x 2-x +sin x ,x ∈0,1 ，则G x =2x -1+cos x ,x ∈0,1 ，构建g x =G x ,x ∈0,1 ，则g x =2-sin x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则g x 在0,1 上单调递增，可得g x >g 0 =0，即G x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则G x 在0,1 上单调递增，可得G x >G 0 =0，所以sin x >x -x 2,x ∈0,1 ；综上所述：x -x 2<sin x <x .(2)令1-x 2>0，解得-1<x <1，即函数f x 的定义域为-1,1 ，若a =0，则f x =1-ln 1-x 2 ,x ∈-1,1 ，因为y =-ln u 在定义域内单调递减，y =1-x 2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，则f x =1-ln 1-x 2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故x =0是f x 的极小值点，不合题意，所以a ≠0.当a ≠0时，令b =a >0因为f x =cos ax -ln 1-x 2 =cos a x -ln 1-x 2 =cos bx -ln 1-x 2 ，且f -x =cos -bx -ln 1--x 2 =cos bx -ln 1-x 2 =f x ，所以函数f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：f x =-b sin bx -2x x 2-1,x ∈-1,1 ，(i )当0<b 2≤2时，取m =min 1b ,1 ，x ∈0,m ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得fx =-b sin bx -2x x 2-1>-b 2x -2x x 2-1=x b 2x 2+2-b 2 1-x2，且b 2x 2>0,2-b 2≥0,1-x 2>0，所以fx >x b 2x 2+2-b 21-x2>0，即当x ∈0,m ⊆0,1 时，f x >0，则f x 在0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：f x 在-m ,0 上单调递减，所以x =0是f x 的极小值点，不合题意；(ⅱ)当b 2>2时，取x ∈0,1b ⊆0,1 ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得f x =-b sin bx -2x x 2-1<-b bx -b 2x 2 -2x x 2-1=x 1-x2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 ，构建h x =-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2,x ∈0,1b ，则h x =-3b 3x 2+2b 2x +b 3,x ∈0,1b，且h 0 =b 3>0,h 1b=b 3-b >0，则hx >0对∀x ∈0,1b 恒成立，可知h x 在0,1b 上单调递增，且h 0 =2-b 2<0,h 1b=2>0，所以h x 在0,1b 内存在唯一的零点n ∈0,1b ，当x ∈0,n 时，则h x <0，且x >0,1-x 2>0，则f x <x1-x 2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 <0，即当x ∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则f x 在0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：f x 在-n ,0 上单调递增，所以x =0是f x 的极大值点，符合题意；综上所述：b 2>2，即a 2>2，解得a >2或a <-2，故a 的取值范围为-∞,-2 ∪2,+∞ .【跟踪训练】1已知函数f x =xe -x +a sin x ，e 是自然对数的底数，若x =0恰为f (x )的极值点.(1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间-∞,π4上零点的个数.【答案】(1)-1；(2)1【详解】(1)由题意得f x =1-xex+a cos x ，因为x =0为f (x )的极值点，故f (0)=1+a =0,∴a =-1，此时f x =1-x e x-cos x ，则x <0时，1-xe x >1，故f (x )>0，则f (x )在(-∞,0)上单调递增；由f x =1-x e x -cos x =1-x -e x cos x e x，令g x =1-x -e x cos x ,∴g x =-1-e x cos x -sin x ，当0<x <π4时，cos x -sin x >0，则g (x )<0，则g (x )在0,π4上单调递减，故g (x )<g (0)=0，即f(x )<0，故f (x )在0,π4 上单调递减，则x =0为f (x )的极大值点，符合题意，故a =-1.(2)由(1)知f x =xe -x -sin x ，f x =1-xex-cos x ，x <0时，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)上单调递增，则f (x )<f (0)=0，故f x 在(-∞,0)上不存在零点；当0<x <π4时，f (x )<0，故f (x )在0,π4上单调递减，则f (x )<f (0)=0，故f x 在0,π4上不存在零点；当x =0时，f (0)=0，即x =0为f x 的零点，综合上述，f (x )在区间-∞,π4上零点的个数为1.2已知函数f x =2cos x +ln 1+x -1．(1)判断函数f x 在区间0,π2上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若x ≥0时，不等式f x <ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数f x 在区间0,π2上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；(2)实数a 的取值范围是1,+∞【详解】(1)函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点，证明如下，f x =-2sin x +1x +1，设t x =f x =-2sin x +1x +1，t x =-2cos x -1x +12，当x ∈0,π2 时，t x <0，所以f x 单调递减，又f 0 =1>0，f π2=-2+1π2+1=-2+2π+2<0，所以存在唯一的α∈0,π2 ，使得f α =0，所以当x ∈0,α 时，f x >0，当x ∈α,π2 时，f x <0，所以f x 在0,α 单调递增，在α,π2单调递减，所以α是f x 的一个极大值点，因为f 0 =2-1=1>0，f α >f 0 >0，f π2=ln 1+π2 -1<0，所以f x 在0,α 无零点，在α,π2上有唯一零点，所以函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点；(2)由f x ≤ax +1，得2cos x +ln 1+x -ax -2≤0，令g x =2cos x +ln 1+x -ax -2，x >0 ，则g 0 =0，g x =-2sin x +11+x-a ，g 0 =1-a ，①若a ≥1，则-a ≤-1，当x ≥0时，-ax ≤-x ，令h x =ln x +1 -x ，则h x =1x +1-1=-xx +1，当x ≥0时，h x ≤0，所以h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x ≤h 0 ，所以ln x +1 -x ≤0，即ln x +1 ≤x ，又cos x ≤1，所以g x ≤2+x -x -2=0，即当x ≥0时，f x ≤ax +1恒成立，②若0≤a <1，因为当x ∈0,π2 时，g x 单调递减，且g 0 =1-a >0，g π2 =-2+11+π2-a <0，所以存在唯一的β∈0,π2，使得g β =0，当x ∈0,β 时，g x >0，g x 在0,β 上单调递增，不满足g x ≤0恒成立，③若a <0，因为g e 4-1 =2cos e 4-1 +ln e 4 -a e 4-1 -2=2-2cos e 4-1 -a e 4-1 >0不满足g x ≤0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞ .3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立. (1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)【答案】(1)a =1；(2)证明见解析【详解】(1)因为f x -g x ≥0恒成立，所以xe x -a (ln x +x )≥1恒成立，令h (x )=xe x -a (ln x +x )，则h (x )=e x+xe x-a 1x +1 =(x +1)⋅xe x -ax(x >0)，当a <0时，h (x )>0，所以h (x )在(0,+∞)上递增，当x→0时，xe x →0,ln x →-∞，所以h (x )→-∞，不合题意，当a =0时，h 12=e2<1，不合题意，当a >0时，令xe x -a =0，得a =xe x ，令p (x )=xe x ，则p (x )=(x +1)e x >0，所以p (x )=xe x 在(0,+∞)上递增，且p (0)=0，所以a =xe x 有唯一实根，即h (x )=0有唯一实根，设为x 0，即a =x 0e x 0，且x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，x ∈x 0,+∞ 时，h(x )>0,所以h (x )在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，所以h (x )min =f x 0 =x 0e x 0-a ln x0+x 0 =a -a ln a ，所以只需a -a ln a ≥1，令t =1a ，则上式转化为ln t ≥t -1，设φ(t )=ln t -t +1，则φ (t )=1t -1=1-tt，当0<t <1时，φ (t )>0，当t >1时，φ (t )<0，所以φ(t )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以φ(t )≤φ(1)=0，所以ln t ≤t -1，所以ln t =t -1，得t =1，所以t =1a=1，得a =1，(2)证明：由(1)知，当a =1时，f x ≥g x 对任意x >0恒成立，所以∀x ∈0,+∞ ，xe x ≥x +ln x +1(当且仅当x =1时取等号)，则x 3e x ≥x 3+x 2ln x +x 2(x >0)，所以要证明x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x ，只需证明x 3+x 2ln x +x 2>(x 2+3)ln x +2sin x (x >0)，即证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，设t (x )=ln x -x +1,m (x )=sin x -x ，则由(1)可知ln x ≤x -1(x >0)，m (x )=cos x -1≤0在(0,+∞)上恒成立，所以m (x )在(0,+∞)上递减，所以∀x ∈0,+∞ ，m (x )<m (0)=0，所以sin x <x (x >0)，所以要证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，只要证x 3+x 2≥3(x -1)+2x (x >0)，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)，令H (x )=x 3+x 2-5x +3，则H (x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1)，当0<x <1时，H (x )<0，当x >1时，H (x )>0，所以H (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以当x ∈0,+∞ 时，H (x )≥H (1)=0，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)恒成立，所以原命题成立.4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1)x =2π3+2k π(k ∈Z )；(2)(0,2].【详解】(1)函数g (x )=12x +sin x ，求导得g (x )=12+cos x ，由g (x )=0，得cos x =-12，当-2π3+2k π<x<2π3+2k π(k ∈Z )时，cos x >-12，即g (x )>0，函数g (x )单调递增；当2π3+2k π<x <4π3+2k π(k ∈Z )时，cos x <-12，即g (x )<0，函数g (x )单调递减，因此函数g (x )在x =2π3+2k π(k ∈Z )处有极大值，所以函数g (x )的极大值点为x =2π3+2k π(k ∈Z ).(2)依题意，m >0，∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x ⇔x +sin x -mx cos x ≥0，当x =π2时，π2+1≥0成立，则m >0，当x ∈0,π2时，cos x >0，x +sin x -mx cos x ≥0⇔x +sin x cos x-mx ≥0，令h (x )=x +sin x cos x -mx ，x ∈0,π2 ，求导得h(x )=(1+cos x )cos x +(x +sin x )sin x cos 2x -m =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，令φx =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，x ∈0,π2 ，求导得φ (x )=x cos 2x +2x sin 2x +sin2x +2sin x cos 3x >0，因此φ(x )在0,π2 上单调递增，即有φx ≥φ0 =2-m ，而cos x +x sin x +1cos 2x ≥cos x +1cos 2x >1cos 2x，又函数y =1cos 2x在x ∈0,π2 上的值域是[1,+∞)，则函数φ(x )，即h x 在0,π2 上的值域是2-m ,+∞ ,当0<m ≤2时，h (x )≥0，当且仅当m =0,x =0时取等号，于是函数h (x )在0,π2上单调递增，对x ∈0,π2 ，h (x )≥h (0)=0，因此0<m ≤2，当m >2时，存在x 0∈0,π2，使得h (x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，函数h (x )在(0,x 0)上单调递减，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<h (0)=0，不符合题意，所以m 的取值范围为(0,2].5已知函数f (x )=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a (x >0)．(1)当a =1时，(I )求(π,f (π))处的切线方程；(II )判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)(I )y =3πx -2π2+1；(II )f x 单调递增，证明见解析；(2)a ≥1【详解】(1)当a =1时，f (x )=x 2-x sin x +1，可得f (x )=2x -sin x -x cos x .(I )f (π)=π2+1,f (π)=3π，所以在(π,f (π))处的切线方程为y -π2+1 =3πx -π ，即y =3πx -2π2+1.(II )f (x )=2x -sin x -x cos x =x -sin x +x (1-cos x )，设m (x )=x -sin x (x >0)，则m (x )=1-cos x ≥0,m (x )单调递增，所以m (x )>m (0)=0，即x >sin x ，所以当x >0时，f (x )>0,f (x )单调递增.(2)设g (x )=f (x )-1=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a -1，由题意g (x )>0恒成立.①当a ≤0时，g π2=a π2π2-1 +a -1<0,g (x )>0不恒成立，不合题意；②当0<a <1时，设h (x )=g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，h (0)=0，h (x )=2a -a cos x +ax sin x -cos x ，h (0)=a -1<0，h π2=2a +π2a >0，设r (x )=h (x )，x ∈0,π2，r (x )=2a sin x +ax cos x +sin x >0，h (x )单调递增，由零点存在定理得∃t ∈0,π2，使得h (t )=0.h (x )在(0,t )上h (x )<0，h (x )<h (0)=0，即g (x )<0，所以g (x )在(0,t )上单调递减，g (x )<g (0)=0，g (x )>0不恒成立，不合题意；③当a ≥1时，g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，则g (x )x =2a -a cos x -sin x x =a (1-cos x )+a -sin x x，当x>0时，1-cos x ≥0,x >sin x ，即sin xx <1，则g (x )x >0，所以当x >0时，g (x )>0,g (x )单调递增.可得：g (x )>g (0)=0，即f (x )>1，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为1,+∞ ．6已知f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R ).(1)当a =14时，求y =f (x )在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x ∈R 时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3 ；(2)[3,+∞).【详解】(1)当a =14时，f (x )=14x 2-cos x -x sin x +14，求导得f (x )=12x -x cos x =x 12-cos x ，而x ∈[-π,π]，由cos x =12，得x =±π3，当x ∈-π3,π3 时，12-cos x <0，当x ∈π3,π ∪-π,-π3时，12-cos x >0，则当x >0时，若f (x )>0，则x ∈π3,π ；若f (x )<0，则x ∈0,π3，当x <0时，若f (x )>0，则x ∈-π3,0 ；若f (x )<0，则x ∈-π,-π3 ，所以函数y =f (x )在[-π,π]内的单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3.(2)因为f (-x )=a (-x )2-cos (-x )-(-x )sin (-x )+a =f (x )，于是函数f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R )为偶函数，则f (x )≥2对任意x ∈R 恒成立，等价于对任意的x ∈[0,+∞)，恒有f (x )≥2成立，求导得f (x )=2ax -x cos x =x (2a -cos x )，当x ∈[0,+∞)时，当2a ≥1，a ≥12成立时，2a -cos x ≥0恒成立，即f (x )≥0恒成立，函数f (x )在[0,+∞)内单调递增，则有f x min =f 0 =a -1，因此a -1≥2，解得a ≥3，则a ≥3；当2a <1，a <12时，函数y =cos x 在[0,π]上单调递减，且-1≤cos x ≤1，因此存在x 0>0，使得当x ∈(0,x 0)时，2a -cos x <0，f (x )<0，函数f (x )在(0,x 0)上递减，此时x ∈0,x 0 ，f x <f 0 =a -1<2，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[3,+∞).7已知函数f (x )=e x -a -x -cos x ，x ∈(-π,π)其中e =2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a =0时，证明：f x ≥0;(2)当a =1时，求函数y =f x 零点个数．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【详解】(1)当a =0时，f (x )=e x -x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1+sin x ，显然f (0)=0，当-π<x <0时，e x -1<0,sin x <0，则f (x )<0，当0<x <π时，e x -1>0,sin x >0，则f (x )>0，因此函数f (x )在(-π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当x ∈(-π,π)时，f (x )≥f (0)=0，所以f x ≥0.(2)当a =1时，f (x )=e x -1-x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1-1+sin x ，当-π<x <0时，e x -1-1<0,sin x <0，则f (x )<0，当1<x <π时，e x -1-1>0,sin x >0，则f (x )>0，当0≤x ≤1时，函数y =e x -1-1,y =sin x 都递增，即函数f (x )在(0,1)上单调递增，而f (0)=e -1-1<0,f (1)=sin1>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)=0，当0≤x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x ≤1时，f (x )>0，从而当-π<x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x <π时，f (x )>0，即有函数f (x )在(-π,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增，f (x 0)<f (0)=e -1-1<0，而f -π2 =e -π2-1+π2>0,f π2 =e π2-1-π2>e -π2>0，于是函数f (x )在(-π,x 0)，(x 0,π)各存在一个零点，所以函数y =f x 零点个数是2.8已知函数f x =x -1 e x +ax +1.(1)若a =-e ，求f x 的极值；(2)若x ≥0，f x ≥2sin x ，求a 的取值范围.【答案】(1)f x 极小值=1-e ，无极大值.(2)2,+∞【详解】(1)当a =-e 时f x =x -1 e x -ex +1，则f x =xe x -e ，令g x =f x =xe x -e ，则g 1 =0，gx =x +1 ex，所以当x <-1时g x <0，g x 单调递减且g x <0，当x >-1时g x >0，g x 单调递增，所以当x <1时g x <0，即f x <0，当x >1时g x >0，即f x >0，所以f x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1处取得极小值，即f x 极小值=f 1 =1-e ，无极大值.(2)令h x =f x -2sin x =x -1 e x +ax -2sin x +1，x ∈0,+∞ ，则原不等式即为h x ≥0，可得h 0 =0，h x =xe x +a -2cos x ，h 0 =a -2，令u x =h x =xe x +a -2cos x ，则u x =x +1 e x +2sin x ，令t x =x +1 e x ，x ∈0,+∞ ，则t x =x +2 e x >0，所以t x 在0,+∞ 上单调递增，则t x ≥t 0 =1，则x ∈0,π 时x +1 e x >0，sin x ≥0，所以u x >0，当x ∈π,+∞ 时x +1 e x ≥π+1 e π>2，所以u x >0，所以u x >0在0,+∞ 上恒成立，所以u x 即h x 在0,+∞ 上单调递增，当a -2≥0，即a ≥2时h x ≥h 0 ≥0，所以h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0恒成立，所以a ≥2符合题意，当a -2<0，即a <2时h 0 <0，h 3-a =3-a e 3-a+a -2cos 3-a ≥3-a +a -2cos 3-a >0，所以存在x 0∈0,3-a 使得h x 0 =0，当0<x <x 0时h x <0，则h x 单调递减，所以h x <h 0 =0，与题意不符，综上所述，a 的取值范围是2,+∞ .9已知函数f x =2sin x -ln 1+x 0<x <π ．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)2α>β，证明见解析【详解】(1)当π2<x <π时，由于y =2sin x 单调递减，y =ln 1+x 单调递增，所以f x 单调递减，又f π2=2-ln 1+π2 >0,f π =-ln 1+π <0，所以f x 只有一个零点(设为x 0)，无极值点；当0<x <π2时，由f x =2sin x -ln 1+x 得f x =2cos x -1x +1，设g x =2cos x -1x +1，则g x =-2sin x +1x +1 2，由于y =-2sin x 和y =1x +12在0,π2 上均单调递减，所以g x 单调递减，又g 0 =1>0,g π2=-2+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得g x 1 =0，当0<x <x 1时，g x >0，g x 单调递增，即f x 单调递增，当x 1<x <π2时，g x <0，g x 单调递减，即f x 单调递减，又f π3=1-11+π3>0,f π2 =-1π2+1<0，所以当0<x <x 1时，f x >0恒成立，且存在x 2∈π3,π2 ，使得fx 2 =0，当0<x <x 2时，fx >0，f x 单调递增，当x 2<x <π2时，fx <0，f x 单调递减，所以x 2是f x 的极值点，又f 0 =0,f π2=2-ln 1+π2 >0，所以当0<x <π2时，f x >0恒成立，即函数f x 无零点；综上，函数f x 有唯一的极值点α(α=x 2)，及唯一的零点β(β=x 0).(2)2α>β，证明如下：由(1)知α∈π3,π2，2α,β∈π2,π ，由于α为f x 的极值点，所以f α =2cos α-1α+1=0，即2cos α=11+α，所以f 2α =2sin2α-ln 1+2α =4sin αcos α-ln 1+2α =2sin α1+α-ln 1+2α ，设y =x -sin x 0<x <π2，则y =1-cos x >0，所以y =x -sin x 单调递增，所以x -sin x >0，即x >sin x ，所以f2α=2sinα1+α-ln1+2α<2α1+α-ln1+2α，令φ(x)=2x1+x-ln(1+2x)0<x<π2，则φ (x)=-2x21+x21+2x<0，所以φ(x)在0,π2上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0，所以f2α <0=fβ ，又f x在π2,π递减，所以2α>β.10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)a≥0；(2)0<a<1【详解】(1)由题得f x =2ax+1-1x，因为f x 在1,+∞上单调递增，所以f x =2ax+1-1x≥0在1,+∞上恒成立，即2a≥1x2-1x在1,+∞上恒成立，因为1x2-1x=1x-122-14≤0，所以a≥0.(2)因为g x =ax-sin x，则g x =a-cos x，注意到：g0 =0，g 0 =a-1，若a≥1，则g x =a-cos x≥0，所以g x 在0,π上单调递增，所以g x >g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若a≤-1，则g x =a-cos x≤0，所以g x 在0,π上单调递减，所以g x <g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若-1≤a≤0，显然g x =ax-sin x<0，在0,π上不存在零点，若0<a<1，显然存在t∈0,π，使得g t =0，且g x 在0,π上单调递增，注意到：g 0 =a-1<0，g π =a+1>0，所以g x 在0,t上小于零，在t,π上大于零，所以g x 在0,t上单调递减，在t,π上单调递增，注意到：g0 =0，g t <0，且gπ >0，所以存在唯一β∈t,π使得gβ =0，综上，所以0<a<1.11已知函数f x =ln x+sin x.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.【答案】(1)sin1；(2)f x 有1个零点，证明见解析【详解】(1)f(x)=ln x+sin x的定义域为0,+∞，故f (x)=1x+cos x，令g x =f (x)=1x+cos x，g x =-1 x2-sin x，当x∈1,e时，g x =-1x2-sin x<0，所以g x 在1,e上单调递减，且g1 =1+cos1>0，g e =1e +cos e<1e+cos2π3=1e-12<0，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a，使g a =f a =0，又当x∈1,a时，g x =f x >0；当x∈a,e时，g x =f x <0；所以f x 在x∈1,a上单调递增，在x∈a,e上单调递减，又因为f1 =ln1+sin1=sin1，f e =ln e+sin e=1+sin e >f1 ，所以函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为f1 =sin1.(2)f x 有1个零点，证明如下：因为f(x)=ln x+sin x，x∈0,+∞，若0<x≤1，f (x)=1x+cos x>0，所以f(x)在区间0,1上单调递增，又f1 =sin1>0，f1e=-1+sin1e<0，结合零点存在定理可知，lnπ>1≥-sin x ，所以f x >0，综上，函数f (x )在0,+∞ 有且仅有一个零点.12已知函数f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x .(1)当a =2时，证明：f x >sin x .(2)讨论f x 的单调性.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【详解】(1)当a =2时，f (x )=x 2-2ln x (x >0)，f (x )=2x -2x，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)=1，当且仅当x =1时，等号成立，而当x =1时，sin x <1，当x >0且x ≠1时，sin x ≤1，所以f x >sin x .(2)f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x 的定义域为(0,+∞)，f (x )=ax -(a -2)-2x =(x -1)ax +2 x，当a ≥0时，ax +2>0，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数.当a <0时，令f (x )=0，得x =1或x =-2a ，若1<-2a，即-2<a <0时，令f (x )<0，得0<x <1或x >-2a ；令f (x )>0，得1<x <-2a ，所以f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；若1=-2a ，即a =-2时，f (x )≤0在(0,+∞)上恒成立，所以f (x )在(0,+∞)上为减函数；若1>-2a ，即a <-2时，令f (x )<0，得0<x <-2a 或x >1，令f (x )>0，得-2a <x <1，所以f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；当-2<a <0时，f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；当a =-2时，f (x )在(0,+∞)上为减函数；当a <-2时，f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.13(1)证明：当x <1时，x +1≤e x ≤11-x；(2)是否存在正数a ，使得f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x 在R 上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，a =1【详解】(1)设g x =e x -x -1，其中x <1，则g x =e x -1，由g x <0可得x <0，由g x >0可得0<x <1，所以，函数g x 在-∞,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，所以，当x <1时，g x ≥g 0 =0，即x +1≤e x (*)，由(*)可知e -x ≥1-x ，当x <1时，得e x ≤11-x，原不等式得证；(2)f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x ，则f x =2e x +a cos x -2ax -a -2，设h x =2e x +a cos x -2ax -a -2，则h x =2e x -a sin x -2a ，f x 在R 上单调递增⇔f x ≥0在R 上恒成立，注意到f 0 =0，只需f x 在x =0处取得最小值，易知其必要条件为h0 =2-2a =0，则a =1，下面证明充分性：令p x =x -sin x ，则p x =1-cos x ≥0且p x 不恒为零，所以，函数p x 在R 上单调递增，当x >0时，p x =x -sin x >p 0 =0，即x >sin x ，当x <0时，p x =x -sin x <p 0 =0，即x <sin x ，当a =1时，f x =2e x +sin x -x 2-3x ，则f x =2e x +cos x -2x -3=h x ，故h x =2e x -sin x -2，①当x >0时，h x >2x +2-sin x -2>2x -sin x >2x -x =x >0，所以h x 在0,+∞ 上单调递增，即f x 在0,+∞ 上单调递增；②当x <0时，若x ∈-1,0 ，则h x =2e x -sin x -2<21-x -sin x -2<21-x -x -2=x 1+x 1-x<0，若x ∈-∞,-1 ，则h x =2e x -sin x -2≤2e+1-2<0，所以h x 在-∞,0 上单调递减，即f x 在-∞,0 上单调递减.由①②可知，fx ≥f0 =0，故当a =1时，f x 在R 上单调递增.当0<a <1时，由(1)知当x <1时，f x =2e x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a -2ax -2-a =2ax x -1-1a 1-x，当x ∈1-1a,0 时，f x <0，f x 单调递减，不合题意；当a >1时，同理可得当x <1时，f x ≤2ax x -1-1a 1-x ，当x ∈0,1-1a时，f x <0，f x 单调递减，不合题意.综上所述：当a =1时，函数f x 在R 上单调递增.。

带三角函数的导数应用题

带三角函数的导数应用题引言在微积分学中，我们学习了导数的意义和求解方法。

导数不仅可以帮助我们求函数在某一点的斜率，还可以应用于各种实际问题的解决。

本文将介绍一些带有三角函数的导数应用题，通过这些例题的解析，我们可以更好地理解导数在实际问题中的应用。

问题一：弹簧质点振动一个弹簧上系着一个质点，质点在弹簧的下方做简谐振动，其运动规律可以用方程$y=A\s i n(\o me ga t+\v arp h i)$表示，其中$A$是振幅，$\om eg a$是角频率，$\v ar ph i$是初相位，$t$是时间。

现给定振幅$A=0.02$m，角频率$\om eg a=10$ra d/s，初相位$\va rp hi=\fr ac{\p i}{4}$r ad。

求质点的速度和加速度。

解答：首先求速度：$$v(t)=\fr ac{d y}{dt}=A\o me ga\c os(\o m eg at+\va rp hi)$$代入已知条件$A=0.02$m，$\o me ga=10$r ad/s，$\va rp hi=\fr ac{\p i}{4}$r ad，得到速度函数：$$v(t)=0.02\ti me s10\ti me s\co s(10t+\f ra c{\p i}{4})$$其次求加速度：$$a(t)=v'(t)=\fr ac{d v}{d t}=-A\om ega^2\si n(\o me ga t+\v ar ph i)$$代入已知条件得到加速度函数：$$a(t)=-0.02\t im es10^2\t im es\s in(10t+\fr ac{\pi}{4})$$问题二：天体运动一个行星绕其恒星公转，行星的轨道可以近似地由方程$r=a(1-e\co s\th et a)$描述，其中$r$是行星与恒星之间的距离，$a$是半长轴，$e$是离心率，$\the t a$是极坐标中的角度。

已知某行星的半长轴$a=2$A U，离心率$e=0.3$。

学霸专题：含三角函数的导数压轴题(答案版)

论参数的范围，构造恰当的函数讨论单调性，考查学生的计算能力和转化能力.
3．（1）在
3
,
0
或
3
,
上单调递减，在
,
3
或
0,
3
上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为 f (x) 在 (0, ) 有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性
2
4a
1
0
，
∴ x ln 1 2a
28a2 4a
4a
1
时，
g(x)
g
ln
1
2a
28a 2 4a
4a
1
0
，
2
从而，由零点存在定理知，存在
x0
0,
ln
1
2
a
28a 4a
2
4a
1
，使得
gx0ຫໍສະໝຸດ 0.当 x 0, x0 时， g(x) 0 ，此时， g(x) g 0 0 ，不合题意.
学霸专题：含三角函数的导数压轴题答案 1．（Ⅰ） f x 在 , 0 单调递减，在 0, 单调递增；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）代入 a 的值，求出函数的导数，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）x 0 是 f x 的一个零点，通过讨论 x 的范围，结合 a 的取值范围，求出 f x 的单调性，得到 f x 在 , 0 上有 1 个零点，从而证明结论. 【解析】（Ⅰ）当 a 2 时， f x ex 2x sin x 1，则 f x ex 2 cos x ，可得 f x ex sin x . 当 x 0, 时，ex 1， f x 1 sin x 0 ， f x 在 0, 单调递增， f x f 0 0 ， f x 在 0, 单调递增. 当 x , 0 时，可得 ex 1， f x ex 2 cos x 1 cos x 0 ， f x 在 , 0 单调递减；综上， f x 在 , 0 单调递减，在 0, 单调递增. （Ⅱ）当 x 0 时， f 0 e0 0 1 sin 0 0 ， x 0 是 f x 的一个零点，由 f x ex a cos x ，可得 f x ex sin x .

三角函数导数练习题及解答

三角函数导数练习题及解答在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

而三角函数是数学中常见的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

本文将提供一些三角函数导数的练习题及其解答，帮助读者加深对三角函数导数的理解。

练习题一：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin(x)$2. $f(x)=\cos(x)$3. $f(x)=\tan(x)$4. $f(x)=\sin^2(x)$5. $f(x)=\cos^2(x)$6. $f(x)=\sin(2x)$7. $f(x)=\cos(2x)$解答一：1. $f'(x)=\cos(x)$2. $f'(x)=-\sin(x)$3. $f'(x)=\sec^2(x)$4. $f'(x)=2\sin(x)\cos(x)$5. $f'(x)=-2\sin(x)\cos(x)$7. $f'(x)=-2\sin(2x)$练习题二：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin^3(x)$2. $f(x)=\cos^3(x)$3. $f(x)=\sin(x)\cos(x)$4. $f(x)=\tan^2(x)$5. $f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$解答二：1. $f'(x)=3\sin^2(x)\cos(x)$2. $f'(x)=-3\cos^2(x)\sin(x)$3. $f'(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$4. $f'(x)=2\tan(x)\sec^2(x)$5. $f'(x)=\sec^2(x)$练习题三：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin(x^2)$2. $f(x)=\cos(x^2)$3. $f(x)=\tan(x^2)$4. $f(x)=\sin^2(x^2)$6. $f(x)=\sin(2x^2)$7. $f(x)=\cos(2x^2)$解答三：1. $f'(x)=2x\cos(x^2)$2. $f'(x)=-2x\sin(x^2)$3. $f'(x)=\frac{2x}{\cos^2(x^2)}$4. $f'(x)=2x\sin(2x^2)$5. $f'(x)=-2x\sin(2x^2)$6. $f'(x)=4x\cos(2x^2)$7. $f'(x)=-4x\sin(2x^2)$练习题四：求下列函数的导数。

2025高考数学一轮复习导数与三角函数问题

(2)若 x∈0，π2，求证：当 a≤3 时.f(x)＋12x3＋3≥0.
令 h(x)＝f(x)＋12x3＋3，则 h′(x)＝f′(x)＋32x2＝3sin x－ax＋23x2， ∵a≤3，∴h′(x)≥3sin x－3x＋32x2，令 p(x)＝3sin x－3x＋32x2，则 p′(x)＝3cos x－3＋3x，令 m(x)＝3cos x－3＋3x，则 m′(x)＝－3sin x＋3≥0， ∴m(x)在0，π2上单调递增，即 m(x)≥m(0)＝0，∴p′(x)≥0，
∴∃x0∈(0，π) ，使h′(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)>h(0)＝0， g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上单调递增，∴g(x)>g(0)＝0，不符合题意；综上，a 的取值范围是13，＋∞.
规律方法
导数与三角函数问题的解法 (1)利用三角函数的有界性：在含参数的问题中，往往需要分类讨论，若能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解. (2)利用三角函数的周期性：涉及零点问题时，可根据三角函数的周期性分段来研究. (3)利用分隔直线法：常见的一些不等式如：当 x∈0，π2时，sin x<x<tan x， ln(x＋1)≤x 等，可利用这些不等式放缩再解决问题.
②当 3a≥1，即 a≥31时，h′(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，符合题意； ③当－1<3a<1，即－31<a<13时，由h′(0)＝1－3a>0，h′(π)＝－1－3a<0，

含三角函数的导数问题

fxxxf′(1)的值为( ln．已知函数)(，则)＝－cos＋1A．sin1－1 B．1－sin1
C．1＋sin1 D．－1－sin1
答案C
1fxxxfxxf′(1)＝1＋，∴′(sin1.)解析∵＝(＋)＝－cossin＋ln，∴ xπxyx处的切线方程为______在2．曲线＝tan＝－ 4πxy－12答案＋＝ 222xxπx1cos＋sinsinyx＝－处的斜率为2，，′＝()′＝＝解析所以在 22xxx4coscoscosππxxyyx－1.2＝tan＝在＝－＋处的切线方程为曲线 24yxxπ)内的单调增区间为________(0,2．＝－2sin在3．函数ππ5，()答案 33
(2xf＋)－0＋0′(
3πxfπ＋2单调递增()单调递增单调递减2π3fxππ)，单调递减区(，(0，2)因此，由上表知与()的单调递增区间是 2πππ333πffππ＋2.))，，极小值为＝()＝，极大值为间是(( 2222x?cosx?x?sin(fx)已知函数．7
))(aax()(,ffy?b?yba的值。与相切，求处与直线在点）若曲线1（．
ππ5πxxy，)．在(0,2)内的增区间为(∴函数＝－2sin 33
xsinx?xf()2?的部分图象可能是4.函数
A B C D
ππ54ffxfxxfx(－))，，－R．已知函数5()＝sin，∈，(4)(的大小关系为 43．)用“<”连接______(
ππ54fff．()<－答案((－4)<) 43ππ45xxxxfxxx[＋，当sin<0，cos解析<0，cos′(∈)，]时，sin＝ 34ππ45xxfxfxxx[<0，则函数′(在)＝sin(＋，]时为减函数，∈cos)∴ 34ππ54xffff()()∴，又函数)<为偶函数，(4)<( 43ππ54fff)∴－(4)<．()<－( 43xπfxxxxxf的单调区间与，＋求函数＋1,0＜)6．设函数＜(2)＝sin－cos(极值．πxxfxxx＜－cos2＋，＋解析由1,0(＜)＝sinxxfxsin，′(＋)＝cos1＋知πxfx．＋′()＝1)＋于是2sin( 4ππ32xxπfxx＝－，得令＝′(＝)＝0，从而sin(，或＋). 224xfxfx(，当的变化情况如下表：变化时，)′()

三角函数的求导

三角函数的求导1. 三角函数的概念三角函数是研究三角形的基本工具之一，是数学中一个重要分支。

三角函数分为正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数四种，它们在数学中具有广泛的应用。

2. 三角函数的导数公式正弦函数的导数公式为cos(x)，余弦函数的导数公式为-sin(x)，正切函数的导数公式为sec²(x)，余切函数的导数公式为-csc²(x)。

3. 三角函数的求导规则（1）对于三角函数，求导公式直接套用即可。

（2）对于三角函数的组合，需要根据公式进行化简，然后求导。

（3）特别地，对于tan²x这种形式，可以利用tanx的导数公式和求导链式法则来求导。

4. 三角函数的求导步骤（1）利用公式进行化简，将三角函数的组合简化为基本的三角函数形式。

（2）将简化后的三角函数直接套用导数公式，计算出导数。

（3）对于特殊的三角函数组合形式，利用求导链式法则进行计算。

5. 三角函数的应用三角函数在物理学、工程学、计算机科学等领域具有重要应用。

在物理学中，三角函数可以用于描述波动、振动等现象。

在工程学中，三角函数可以用于设计机械、建筑等结构。

在计算机科学中，三角函数可以用于图形处理、游戏开发等方面。

6. 三角函数的求导例题例题：求y=sin(x)cos(x)的导数。

解：y=sin(x)cos(x)可以化简为1/2sin(2x)，则y' = cos(2x)。

7. 三角函数的注意事项（1）求导时要特别注意符号的转换。

（2）三角函数的组合形式比较复杂，需要经常化简和计算，加强练习能够提高求导的能力。

（3）三角函数在具体应用场景中需要结合实际问题进行分析和处理。

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1．已知函数f (x )＝－cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．sin1－1 B ．1－sin1 C ．1＋sin1 D ．－1－sin1 答案 C
解析 ∵f (x )＝－cos x ＋ln x ，∴f ′(x )＝1
x
＋sin x ，∴f ′(1)＝1＋sin1.
2．曲线y ＝tan x 在x ＝－π4
处的切线方程为______
答案 y ＝2x ＋
π
2－1 解析 y ′＝(sin x cos x )′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，
所以在x ＝－π
4处的斜率为2，曲线y ＝tan x 在x ＝－
π
4处的切线方程为y ＝2x ＋
π
2
－1.
3．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．
答案 (π3，5π
3)
∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(
π3，5π3
)．
4. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是
A B C D
5．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π
4
)的大小关系为______(用“<”连接)．
答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π
4
)．
解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[
5π4，4π3
]时，sin x <0，cos x <0， ∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π
3
]时为减函数，
∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，
∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．
6．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与
极值．
解析由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，
于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π
4
)．
令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π
4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π
2
.
因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2
，2π)，单调递减区
间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π
2
，极大值为f (π)＝π＋2.
7．已知函数2
()sin cos f x x x x x =++
（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+
因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =
所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b
+=⎧⎨++=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩
（2）因为2cos 0x +>
所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞ 8.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数值域；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间. 解：（Ⅰ）当时，
--------------------------------1分
由得 --------------------------------------2分
--------------------------------------------------4分
因为，，
所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分
（Ⅱ），
-------------------------------------------------9分
所以函数的单调增区间为，单调减区间为和
------------------------------------------------13分
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.。