【高考数学】含有三角函数的导数大题

（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．

2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f （x ）＝x cos x ﹣2sin x +1，g （x ）＝x 2e ax （a ∈R ）．

（1）证明：f （x ）的导函数f '（x ）在区间（0，π）上存在唯一零点；

（2）若对任意x 1∈[0，2]，均存在x 2∈[0，π]，使得g （x 1）≤f （x 2），求实数a 的取值范围．

注：复合函数y ＝e ax 的导函数y '＝ae ax ．

3．（2020•开封一模）已知函数，a ∈R ，e 为自然对数的底数．

（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；

（2）若函数f （x

）在

上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．

4．（2020•遂宁模拟）已知函数

（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

（2）若函数g （x ）＝a （lnx ﹣x ）+f （x ）﹣e x sin x ﹣1有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2）．且不等式g （x 1）+g （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围．

5．（2018秋•济宁期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）cos x ﹣sin x ，g （x ）＝x 3

﹣ax 2，a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）在区间（0，）上零点的个数；（Ⅱ）令F （x ）＝f （x ）+g （x ），试讨论函数y ＝F （x ）极值点的个数．

6．（2019

秋•五华区校级月考）已知函数

，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f （x ）在定义域上存在唯一的极大值点；

（2）若存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2），证明：x 1x 2＜4．

7．（2019秋•五华区校级月考）定义在[﹣π，+∞）的函数f （x ）＝e x ﹣cos x 的导函数为g （x ）．证明：

（1）g （x ）在区间（﹣π，0）存在唯一极小值点；

（2）f （x ）有且仅有2个零点．

（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；

1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣

x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．二．解答题（共10小题）

含有三角函数的导数题目

8．（2019秋•遂宁月考）已知函数，（1）讨论f（x）在上的单调性．

（2）当a＞0时，若f（x）在上的最大值为π﹣1，讨论：函数f（x）在（0，π）内的零点个数．

9．（2019秋•肇庆月考）设函数f（x）＝sin x﹣ax+x3（a∈R）．

（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；

（2）若对任意的x≥0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

10．（2019秋•江岸区校级月考）已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．

（1）证明：当m＝2时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；

（2）若存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），证明：．

一．选择题

二．解答题（共10小题）

1．（2020•开封一模）已知函数f （x ）＝a •e ﹣

x +sin x ，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，证明：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；

（2）若函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点，求实数a 的取值范围．

【分析】（1）求出f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，得出f ′（x ）≤0，则f （x ）在（﹣∞，0]上

单调递减，结论可证．

（2）函数f （x ）在（0，）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0，

）上有两个不等实数根，分离参数得a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；设g （x ）＝

e x cos x ，讨论函数g （x ）的单调性即可解决；

【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e ﹣

x +sin x ，f ′（x ）＝﹣e ﹣x +cos x ，当x ≤0时，﹣e ﹣x ≤﹣1，则f ′（x ）≤0（x ≤0）

所以f （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，f （x ）≥f （0）＝1；

所以：∀x ∈（﹣∞，0]，f （x ）≥1；

（2）函数f （x ）在（0，

）上存在两个极值点；则f ′（x ）＝0在（0

，

）上有两个不等实数根；即f ′（x ）＝﹣ae ﹣x +cos x ＝0在（0，

）上有两个不等实数根；即a ＝e x cos x 在（0，）上有两个不等实数根；

设g （x ）＝e x cos x ，则g ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）；当

时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；

又g （0）＝1，，

；

故实数a的取值范围为：

【点评】本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．

2．（2019秋•汕头校级期末）已知函数f（x）＝x cos x﹣2sin x+1，g（x）＝x2e ax（a∈R）．（1）证明：f（x）的导函数f'（x）在区间（0，π）上存在唯一零点；

（2）若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得g（x1）≤f（x2），求实数a的取值范围．

注：复合函数y＝e ax的导函数y'＝ae ax．

【分析】（1）设h（x）＝f′（x），然后对h（x）求导，结合导数与单调性的关系可判断h（x）的单调性，然后结合零点判定定理可证，

（2）依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，结合导数可分别求解最值，即可求解．

【解答】解：（1）设h（x）＝f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣2cos x＝﹣cos x﹣x sin x，

∴h′（x）＝sin x﹣sin x﹣x cos x＝﹣x cos x

当x时，h′（x）＜0；当x时，h′（x）＞0；

所以h（x）在（0，）单调递减，在（）单调递增．

又h（0）＝﹣1＜0lh（）＝﹣，h（π）＝1＞0，

故f′（x）在区间（0，π）上存在唯一零点．

（2）记f（x）在区间[0，π]上的最大值为f（x）max，g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（x）max．

依题意，“对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，π]，使得得g（x1）≤f（x2），等价于“g（x）max≤f（x）max”，

由（Ⅰ）知，f′（x）在（0，π）只有一个零点，设为x0，

且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0；，

所以f（x）在（0，x0）单调递减，在当（x0，π）时单调递增．

又f（0）＝1，f（π）＝1﹣π＜0，所以当x∈[0，π]时，f（x）max＝1．

故应满足g（x）max≤1．

因为g（x）＝x2e ax，所以g′（x）＝（ax2+2x）e ax＝x（ax+2）e ax．