含三角函数的导数问题精编版

1．已知函数f(x)＝－cos x＋ln x，则f′(1)的值为() A．sin1－1 B．1－sin1

C．1＋sin1 D．－1－sin1

答案 C

解析∵f(x)＝－cos x＋ln x，∴f′(x)＝1 x＋

sin x，∴f′(1)＝1＋sin1.

2．曲线y＝tan x在x＝－

π

4处的切线方程为______

答案y＝2x＋

π

2－1

解析y′＝(

sin x

cos x )′＝

cos2x＋sin2x

cos2

x＝

1

cos2x，所以在x＝－

π

4处的斜率为2，曲线y＝

tan x在x＝－

π

4处的切线方程为y＝2x＋

π

2－1.

3．函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________．

答案(

π

3，

5π

3)

∴函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的

增区间为(

π

3，

5π

3)．

4. 函数()2sin

f x x x

=+的部分图象可能是

A B C D

5．已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，f(－4)，f(

4π

3)，f(－

5π

4)的大小关系为______(用“<”连接)．

答案f(

4π

3)

5π

4)．

解析f′(x)＝sin x＋x cos x，当x∈[

5π

4，

4π

3]时，sin x<0，cos x<0，∴f′(x)＝sin x＋x cos x<0，则函数f(x)在x∈[

5π

4，

4π

3]时为减函数，∴f(

4π

3)

5π

4)，又函数f(x)为偶函数，

∴f(

4π

3)

5π

4)．

6．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．解析由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，

知f′(x)＝cos x＋sin x＋1，

O

y

x O

y

x O

y

x O

y

x

于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π

4)．

令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π

2.

因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π

2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.

7． 已知函数2

()sin cos f x x x x x =++

（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。 （2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。 解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+

因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =

所以'()0()f a f a b =⎧⎨

=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b

+=⎧⎨++=⎩，解得0

1a b =⎧⎨=⎩

（2）因为2cos 0x +>

所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增 当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减 所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =， 所以b 的取值范围是(1,)+∞

8.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数值域； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

解：（Ⅰ）当时， ()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈π

2a =()f x π

2

a >()f x π

2a =

π()()sin cos ,(0,)2

f x x x x x π=-+∈

--------------------------------1分

由得 --------------------------------------2分

的情况如下

--------------------------------------------------4分

因为，，

所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）， ①当

时，的情况如下

-------------------------------------------------9分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为和 ②当时，的情况如下

------------------------------------------------13分 所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

π

'()()cos 2

f x x x =-'()0f x =π

2

x =(),'()f x f x (0)1f =(π)1f =-()f x (1,1)-'()()cos f x x a x =-π

π2

a <<(),'()f x f x ()f x π(,)2a π(0,)2

(,π)a πa ≥(),'()f x f x -+()f x π(,π)2π(0,)2