格林函数在输运中的应用

G
< m, β k
R < < a (t , t ) = ∑ ∫ dt1Vn∗, β k (t1 )[Gmn (t , t1 ) g β k (t1 , t ) + Gmn (t , t1 ) g β k (t1 , t )] n −∞
∞
∞ 2e < < R a I β (t ) = Re{∫ dt1 ∑ [Vn∗, β k (t1 )Vβ k , m (t )Gmn (t , t1 ) g β k (t1 , t ) + Gmn (t , t1 ) g β k (t1 , t )]} −∞ h kmn
I(t)的傅立叶变换
∞ dEdE ' 2e R I β (ω ) = Re{∫ ∑ [Gmn ( E + ω , E ')Σ T<,β nm ( E ', E ) −∞ (2π ) 2 h mn < + Gmn ( E + ω , E ')Σ Ta, β nm ( E ', E )]}
∞ dEdE ' 2e I β (ω ) = Re{∫ Tr[G R ( E + ω , E ')Σ T<, β ( E ', E ) −∞ (2π ) 2 h
G R ,< ( E , E ') = 2πδ ( E − E ')G R ,< ( E ); Σ A,< ( E , E ') = 2πδ ( E − E ')Σ A,< ( E )
I (ω ) = 2πδ (ω ) I
∞ dE 2e I β = Re{∫ Tr[G R ( E )Σ T<, β ( E ) + G < ( E )Σ Ta, β ( E )]} −∞ 2π h
§20.2 电流公式 在β导线上自旋为σ 的粒子数是：
+ N βσ = ∑ aβ kσ aβ kσ k
I βσ (t ) = −e〈
d N βσ (t )〉 = ie〈[ N βσ (t ), H ]〉 dt
e e + I βσ (t ) = i 〈[ N βσ , H ]〉 = i ∑ 〈 ∑ Vβ*kiσ aβ kσ ciσ + h.c.〉 h h k i e e + = i ∑ [Vβ ikσ (t )〈 aβ kσ (t )ciσ (t )〉 − Vβ∗ikσ (t )〈ci† (t ) aβ kσ (t )〉 ] = ∑ [Vβ ikσ (t )Gi<β k ,σ (t , t ) + c.c.] σ , h ki h ki
第二十一章 介观热输运
H=
∑ α
= L , R ,C
Hα + H C + H T
HT =
H C = H n (u )
C
比如：
类似电子输运。按照Heisenberg方程可有：
G r = G a† =
J-S Wang, J. Wang, and N. Zeng，PHYSICAL REVIEW B 74, 033408 （2006）
§20.3 二端输运问题
IL
L
C
R
无相互作用 的自由电子
−i t dt ε (t ) Σ (t , t ') = miθ (±t m t ')∑ V (t )Vα k ,n (t ') exp ∫ 1 α k 1 t' k 0 < ∗ −i t dt ε (t ) Σ T ,mnα (t , t ') = i ∑ f (ε α k )Vm,α k (t )Vα k ,n (t ') exp ∫ 1 α k 1 t' k
R A −∞
<
+∞
<
<
C R (t1 , t2 ) = ∫ dtAR (t1 , t ) B R (t , t2 )
C (t1 , t2 ) = ∫ dt[ A (t1 , t ) B (t , t2 ) + A (t1 , t ) B (t , t2 )]
> R > > A −∞
+∞
C (t1 , t2 ) = ∫ dtA A (t1 , t ) B A (t , t2 )
这里注意到：
+ < Gi<β k ,σ (t , t ) = i〈 aβ kσ (t )ciσ (t )〉 and Gβ k ,i ,σ (t , t ) = −[Gi<β k ,σ (t , t )]∗ , ,
如果HT与自选无关，可以把电流写为：
2e < I β (t ) = Re{∑ Vβ k ,m (t )Gm , β k (t , t )} h ki
∞ dE 2e I β = Re{∫ Tr[G R ( E )Σ T<, β ( E ) + G < ( E )Σ Ta, β ( E )]} −∞ 2π h
Σ
A, R T , β mn V
(E) = ∑V
k
* β km
Vβ kn
1 E − εα k ± 0
0 +
= Rβ , mn miΓ β mn ( E ) / 2
G R , A = [ E − ε 0 − Σ R , A ]−1
Σ R , A, < = Σ L R , A, < + Σ R R , A, < 注意这里的 Σ β R , A,< 不同于上边的 Σ T , β R , A,<
相互作用 自能
只有在没有相互作用时它们才相等。通常 Σ R , A,< = Σ T R , A,< + Σ I R , A,<
e ∞ dE IL = ∫ Tr[G R Γ R G AΓ L ]( f L ( E ) − f R ( E )] h −∞ 2π
e ∞ = ∫ dETr[G R Γ R G AΓ L ]( f L ( E ) − f R ( E )] h −∞
e ∞ = ∫ dETr[Γ LG R Γ R G A ]( f L ( E ) − f R ( E )] h −∞
•无相互作用的直流输运情况 无相互作用的直流输运情况
G < ( E ) = G R Σ T <G A
Σ T<, β ( E ) = iΓ β ( E ) f β ( E )
Σ TA,,βR ( E ) = Rβ m iΓ β ( E ) / 2
G R , A = [ E − ε 0 − Σ T R , A ]−1
β kn Γ β ( E )=2π |V |2 ρ ( E ) →
为常数
0 0 Σ T<, β mn ( E ) = i ∑ 2π f (ε β k )Vβ*kmVβ knδ ( E − ε β k ) =iΓ β mn ( E ) f β ( E ) k
G < ( E ) = G R Σ <G A
j C
非平衡统计的微扰论必须建立在复编时格林函数上，而可观察量则与 实时格林函数相联系. 连接二者的桥梁是Lengreth定理.
如果复编时格林函数满足： C (t1 , t2 ) = ∫ dtA(t1 , t ) B(t , t2 )
C
则
+∞ −∞
C (t1 , t2 ) = ∫ dt[ A (t1 , t ) B (t , t2 ) + A (t1 , t ) B (t , t2 )]
R< ∗ 定义自能 Σ TA,,mn,α (t , t ') = ∑ Vm,α k (t )Vα k ,n (t ') gα k (t , t ') k
∞ 2e R < I β (t ) = Re{∫ dt1 ∑ [Gmn (t , t1 )Σ T<, β nm (t1 , t ) + Gmn (t , t1 )Σ Ta, β nm (t1 , t )]} −∞ h mn
Σ T< ( E ) = iΓ L ( E ) f L ( E ) + iΓ R ( E ) f R ( E )
Σ TA, R ( E ) = RL + RR m i [ Γ L ( E ) + Γ R ( E )] / 2
G < ( E ) = iG R [ Γ L ( E ) f L ( E ) + Γ R ( E ) f R ( E ) ] G A
A −∞
+∞
2e < I β (t ) = Re{∑ Vβ k ,m (t )Gm , β k (t ') = ∑ ∫ dτ 1Gmn (τ ,τ 1 )Vn∗, β k (τ 1 ) g β ,k (τ 1 ,τ ')
n C
Lengreth定理
为求电流公式，考虑下面Keldysh 非平衡态格林函数，
+ Gi , β k (τ ,τ ') = −i 〈TC {ciσ (τ )aβ kσ (τ ')}〉
= −i 〈TC {Sciσ (τ )aβ kσ (τ ')}〉
+
其中：
% H T (τ )为相互作用绘景下的耦合哈密顿
Gm , β k (τ ,τ ') = ∑ ∫ dτ 1Gmn (τ ,τ 1 )Vn∗, β k (τ 1 ) g β ,k (τ 1 ,τ ')
β
+ H β = ∑ ε β kσ (t )aβ kσ aβ kσ kσ 0 + = ∑ (ε β kσ − eVβ (t ))aβ kσ aβ kσ kσ
C
HC = ∑εiσ ci+ ciσ + H 'C{niσ } σ