格林函数
半圆区域狄利克雷问题的格林函数
半圆区域狄利克雷问题的格林函数格林函数是半圆区域狄利克雷问题的常用数学工具，它以其准确而灵活的特点吸引了许多研究者的注意。
本文将主要介绍半圆区域狄利克雷问题的格林函数的定义及用途，并以此为基础对格林函数特性进行详细的研究和分析。
一、定义及用途1.格林函数的定义格林函数G(x)是一种椭圆分类函数，它是由狄利克雷函数（D(x)）与非狄利克雷函数（S(x)）混合组合而成的。
确切地说，格林函数G(x)可以由以下分段定义表达式来定义：G(x)=当0≤ x ≤π 时，G(x)=D(x)当π< x ≤2π 时，G(x)=S(x)2.格林函数的用途格林函数在半圆区域狄利克雷问题中具有重要的用处，主要用于解决形状变化的复杂场景背景椭圆函数的运算问题，特别是在基于格林函数的半圆区域介质系统之间的渐变。
此外，格林函数也可以被应用到圆形边界乃至一般非二维圆形边界条件中。
二、格林函数特性格林函数G(x)是一个复杂的椭圆性函数，它具有灵活的变化特性和准确的精度，它的特性主要有如下几点：1. 极点分多个格林函数G(x)在特定的参数范围内，边缘穹窿的位置是多存在的，并且在将参数变化的过程中，极点的位置可以显著的移动，从而影响椭圆分类的准确程度。
2. 精确分类格林函数G(x)可以有效的模拟真实形状、实现精确的围绕围裁，这是由于G（x）具有误差小，特殊性能强，可调性强等特点，它可以迅速的响应环境变化对形状分析、场景椭圆函数模拟等研究中的精确识别和分类需求。
3.准确高效格林函数G(x)具有良好的精度，可以在复杂的场景椭圆函数的运算中输出准确的结果，同时具有良好的计算性能，并可以在有限的时间内得到准确的模拟结果。
三、结语半圆区域狄利克雷问题的格林函数G（x）是一种椭圆分类函数，它拥有良好的灵活性及准确性，可以有效的模拟真实形状，是来解决半圆区域狄利克雷问题的常用数学工具。
本文主要介绍了格林函数定义及用途，并以此为基础结合相关数据做出了简要的分析，为了进一步深入研究格林函数的特点，建议今后继续对它的应用进行深入的研究与分析。
格林函数
在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。
在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。
它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。
电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。
标量格林函数在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程(1)式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程(2)式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。
此方程的解是(3)由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分(4)当媒质为分区均匀时,在分界面上G应满足与φ相同的连续性条件。
设G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影响，且在r→r′时应为有限值。
例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为(5)式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。
如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围,应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得(6)为了消除面积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定例如，V是无限大平面S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点r i=r，有和于是(7)并矢格林函数以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。
对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。
于是对于电场和磁场矢量，共有6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。
设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为(8)则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为(9)记电场和磁场的电并矢格林函数分别是(10)则(9)式可写成并矢的形式(11)一般情况下，沿e媴方向的电偶极矩所产生的电场E e(e媴)应满足方程(12)对应有电并矢格林函数的方程(13)和关系式(14)在无界均匀媒质中(15)对应有电并矢格林函数(16)式中是单位并矢，当r→r′时,E e为|r→r′|-3的量级,所以当J(r)厵0时,在数学上不收敛,应当取其主值。
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数量子力学中的格林函数（Green's function）是一种重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
格林函数是量子力学中时间和空间演化的基本对象，具有广泛的应用。
本文将介绍格林函数的基本定义、性质以及在量子力学中的应用。
格林函数最早由英国数学家格林（George Green）在19世纪中叶提出，用于求解泊松方程。
在量子力学中，格林函数用于求解薛定谔方程、波动方程和狄拉克方程等线性偏微分方程。
首先，我们来介绍格林函数的基本定义。
假设有一个线性偏微分方程：\[Lx(y)=f(y)\]其中L是一个微分算符，x是未知函数，f是已知函数。
那么格林函数G(x,y)定义为满足以下条件的函数：当y满足方程Ly(y)=δ(x-y)时（其中δ(x-y)是狄拉克δ函数），有：\[x(y) = \int G(x, y) f(y) dy\]这样，通过求解方程Ly(y)=δ(x-y)再求解x(y)，我们就可以得到未知函数x的表达式。
格林函数的性质非常重要。
首先，格林函数是一个关于x和y的函数，具有连续性和可导性。
其次，格林函数满足方程：\[L_xG(x,y)=δ(x-y)\]这是由定义可得的。
另外，格林函数还满足以下对称性：\[G(x,y)=G(y,x)\]这是因为δ函数的对称性。
另一个重要的应用是在凝聚态物理学中的格林函数理论。
格林函数理论可以用来研究电子在晶格中的行为，描述电子的传导性质以及其他物理量的计算。
格林函数可以描述凝聚态系统中的激发态和物理过程，如电子-电子相互作用、激发态的衰减等。
格林函数理论在材料科学、纳米技术等领域有广泛的应用。
除上述应用外，格林函数还在量子场论、统计物理、凝聚态物理学等领域有深入研究和应用。
利用格林函数的方法，我们可以推导许多量子系统的性质和行为，为理解和解释微观世界提供了有力的工具。
总结一下，格林函数是量子力学中重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
它的基本定义以及性质使得我们可以求解各种量子系统的动力学行为，并研究诸如粒子传播、响应函数等物理量。
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数格林函数是量子力学中一种重要的数学工具，用于描述一个系统中的时间演化过程。
它是波动方程的解析解，可以提供关于系统中各种物理量的信息。
在量子力学中，哈密顿量（描述系统的能量和相互作用）可以通过波函数的时间演化来得到。
格林函数是波函数的时间演化操作的逆运算，它可以反演哈密顿量并得到波函数的解析解。
格林函数的定义是通过两个算符之间的关联函数来给出的。
假设我们有两个算符A和B，那么它们的关联函数定义为G(t) = ⟨A(t)B(0)⟨其中⟨...⟨表示对系统所有可能状态的平均。
格林函数G(t)可以看作是A和B之间的相关程度，它描述了一个算符在时间t上的作用对另一个算符的影响。
对于一个具体的系统，我们可以通过求解波动方程和使用卷积定理来得到格林函数的解析表达式。
格林函数是一个二阶张量，可以表示为一个矩阵，在时间和空间上都有特定的依赖性。
量子力学中最常见的格林函数是时间格林函数和频率格林函数。
时间格林函数描述了系统在不同时间点上的行为，它可以用来计算系统的能量谱和激发态。
频率格林函数则描述了系统在不同频率上的响应，可以用来计算各种物理量的频谱。
格林函数还有许多重要的应用。
例如，在凝聚态物理中，格林函数可以用来计算电子在晶格中的传输性质，如电导率和热传导率。
在量子场论中，格林函数用于计算粒子的相互作用过程。
格林函数在计算机模拟和数值算法中也有广泛的应用。
格林函数在量子力学中具有重要的地位和作用。
它提供了描述系统行为的数学工具，可以用来计算各种物理量的性质和行为。
通过求解波动方程和使用卷积定理，我们可以得到格林函数的解析表达式，并用它来研究系统的时间和频率行为。
格林函数不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际计算和模拟中也具有重要的价值。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数常微分方程的格林函数是求解一类线性常微分方程的有力工具。
常微分方程是描述自然界中许多物理过程的数学模型，例如振动系统、电路和流体力学中的运动方程等。
在这些问题中，格林函数是求解边界值问题的一种方法，可以将边界条件转化为内部源项的形式。
格林函数方法在物理学、工程学和应用数学中都有广泛的应用。
格林函数的概念最早由乔治·格林在19世纪中叶提出。
格林函数是常微分方程的一个特殊解，其定义为满足以下条件的函数：当微分方程的源项为一个单位脉冲函数时，格林函数的解是该单位脉冲函数所对应的方程的解。
格林函数的定义可以用数学形式表示为：G(x,ξ) = 0, x ≠ ξD[x]G(x,ξ)|ξ -> x=ξ = δ(x-ξ)其中G(x,ξ)是格林函数，x和ξ是变量，δ(x-ξ)是单位脉冲函数。
格林函数的求解方法通常涉及到使用边界条件或初始条件，以及特定的微分方程形式。
以下是一些常见的常微分方程的格林函数：1. 二阶常微分方程：对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶常微分方程，可以使用格林函数方法进行求解。
格林函数可以表示为一个双曲正弦函数和一个双曲余弦函数的线性组合。
2. 亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程是一个二阶常微分方程，常见于电磁学和声学中。
格林函数的求解方法可以通过将亥姆霍兹方程转化为一个特征值问题，然后使用特征值和特征函数来计算格林函数。
3. 泊松方程：泊松方程是一个二阶偏微分方程，常见于电势和引力场的求解中。
格林函数方法可以将泊松方程转化为一个积分方程，然后使用格林函数的性质求解。
4. 热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的演化。
格林函数方法可以通过寻找满足初始条件的格林函数来求解热传导方程。
格林函数方法的优势在于可以将边界值问题转化为内部源项的形式，从而简化求解过程。
然而，格林函数方法的应用也存在一些限制，例如求解非线性常微分方程时的困难。
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
电动力学电动力学二五(格林函数)
a RdR
0
2 0
d1
3 2
R2
2RRcos
R2 z2
15 8
R2
2RRcos
R2 z2 2
2
V0a2 2
R2
z z2
32
1
3 4
a2 R2
z2
15R 2a 2 8 R2 z2
2
21
17
例 在无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘 环绝缘。设圆内电势为V0，导体板 其余部分电势为0，求上半空间的电 势。
18
解
以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板 垂直，R为空间点到z轴的距离。上 半空间的格林函数用柱坐标表出为
G
x,
x
1
1
4 0 R2 z2 R2 z2 2zz 2RRcos -
R2 R2 2RRcos
1
RR R0 2 R02 2RRcos
13
三、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分 布ρ，边界S上给定电势|s ，求V内的电势 (x)。
设区域内有两个函数(x) 和 (x) ，有格林公式
2 2 dV dS
x
dS
对第二类边值问题，由于 G(x,x’)是点上单位点电荷 所产生的电势，其电场通 量在边界面S上应等于1/0 ，即
S
n
G x ,
x dS
1
0
满足上式的最简单的 边界条件是
Gx, x 1
n
xS
0S
第二类边值问题的解
x
V
G
x,
x
x
dV
0
S
G
x,
x
格林函数一维基本解
格林函数一维基本解格林函数是一种常用的数学函数，它可以用来描述一维欧拉方程的基本解。
在本文中，我们将介绍格林函数的一维基本解，并讨论它的性质和应用。
一、格林函数的定义格林函数是一种常用的数学函数，它可以用来描述一维欧拉方程的基本解。
它由著名的德国数学家威廉·格林提出，公式为：G(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt其中， G(x)表示格林函数，e 表示自然对数底数，t^2表示t的平方，而[0,x]表示从0到x的积分区间。
二、格林函数的基本性质1、格林函数的定义域是实数集R，值域也是实数集R。
2、格林函数的增减性：当x>0时，G(x)逐渐增大；而当x<0时，G(x)逐渐减少。
3、格林函数在x=0处取得极值，即G(0)=0。
4、格林函数的导数：G'(x)=-xe^(-x^2)5、格林函数的积分：∫G(x)dx=-e^(-x^2)/2+C三、格林函数的一维基本解1、一维欧拉方程的定义一维欧拉方程是描述物理系统中变量随时间变化的常微分方程，它的一般形式为：dy/dx+P(x)y=Q(x)其中，P(x)和Q(x)都是x的函数，而y是方程中的未知变量。
2、一维欧拉方程的基本解一维欧拉方程的基本解是一种特殊的解，它可以用格林函数来描述。
一般来说，基本解的形式为：y=A(x)G(x)+B(x)G'(x)其中，A(x)和B(x)都是x的函数，A(x)和B(x)是可以通过特定的条件确定的常数。
3、格林函数的一维基本解应用格林函数的一维基本解可以用于计算一维欧拉方程的解。
在很多物理系统中，我们可以通过解决一维欧拉方程来研究物理系统的特性，格林函数的基本解可以提供一种有效的数学工具，从而帮助我们更好地理解物理系统的运动规律。
四、总结本文介绍了格林函数的一维基本解，并讨论了它的性质和应用。
格林函数的一维基本解可以用来描述一维欧拉方程的基本解，它可以提供一种有效的数学工具，从而帮助我们更好地理解物理系统的运动规律。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数是常微分方程领域一个重要的概念，它在求解一些特殊的边值问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍常微分方程格林函数的概念、性质和应用。
1.概念：格林函数是常微分方程的一个解，在给定一些边界条件下，格林函数可以通过线性叠加得到问题的解。
对于一个n阶线性齐次常微分方程：$$L(y)=f(x)$$其中L是一个线性微分算子，f(x)是给定的函数，问题的边界条件可以表示为y(a)=y(b)=0。
2.小欧拉公式：对于一个线性微分算子L，小欧拉公式给出了一个特殊解的形式。
设y(x)是L(y)=f(x)的特殊解，如果f(x)是连续的，那么y(x)可以表示为：$$y(x) = \int_a^b G(x, t) f(t) dt$$其中G(x,t)是L的格林函数，满足下面两个条件：$$L_x(G(x, t)) = \delta(x - t)$$$$G(a,t)=G(b,t)=0$$其中δ(x-t)是狄拉克函数。
3.格林函数的性质：-线性性质：设L是一个线性微分算子，对于任意的常数c和函数f(x)，有：$$L(cG)=cL(G)$$$$L(G_1+G_2)=L(G_1)+L(G_2)$$即格林函数的线性组合也是L的格林函数。
-对称性质：由于小欧拉公式中x和t的对称性，格林函数也具有对称性：$$G(x,t)=G(t,x)$$-积分性质：对于一个n阶线性微分算子L和它的格林函数G(x,t)，有：$$\int_a^b L_x(G(x, t)) dt = 1$$$$\int_a^b L_t(G(x, t)) dt = 0$$4.格林函数的求解：求解一个线性微分方程的格林函数需要根据具体的微分算子L来进行。
一般情况下，可以通过变换法或者分离变量法得到格林函数。
对于一些特殊的微分算子，如一维波动方程的算子和一维热传导方程的算子，格林函数的求解可以通过傅里叶变换来得到。
5.格林函数的应用：格林函数在常微分方程领域有广泛的应用。
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
什么是格林函数(Green's function)
一般地，点源作用产生的场就是格林函数。
在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。
集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。
在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。
（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。
注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。
1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。
不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。
如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。
郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。
知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。
”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。
利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。
格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。
我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。
我们想要找到方程的解u(某)。
为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。
2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。
为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。
然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。
对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。
具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。
2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。
3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。
4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。
格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。
例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。
总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
第12章_格林函数法
电磁场的源场关系
源量： (r , t ) 或 q(r , t )
场量： E (r , t ) D(r , t )
电场
J (r , t ) 或 I (r , t )
B(r , t ) H (r , t )
磁场
比如：静电场
源量： (r )
场量： E (r ) D(r )
全电流定律：传导电流和时变的 电场都能产生磁场 电磁感应定律：电荷和时变的磁 场都能产生电场（库仑电场(有源 无旋场)和感应电场(无旋有源场)） 磁通连续性原理：磁场是无散度 场，磁力线总是闭合曲线 高斯定理：电荷是产生电场的源
WangChengyou © Shandong University, Weihai
全电流定律：磁场强度沿任意闭合曲线的环 量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲 面的传导电流与位移电流之和。 电磁感应定律：电场强度沿任意闭合曲线的 环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意 曲面的磁通量变化率的负值。 磁通连续性原理：穿过任意闭合曲面的磁感 应强度的通量恒为0。 高斯定理：穿过任意闭合曲面的电位移的通 量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数 和。
T T
同理 vu dS vudV u vdV T T 两式相减有 uv dS vu dS (uv vu )dV
T
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数学物理方法
第12章 格林函数法
第六章格林函数
25
一、半空间上的格林函数 上半空间区域上的格林函数满足
⎧ΔG = −δ (r − r0 ), ⎨ ⎩G z =0 = 0 z>0
在半空间 z > 0 上取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 令 r0 = x + y + z 表示自原点到该点的距离， 并在该点放置一个单位正电荷，它所形成的静电场 在任何一点 M ( x, y, z ) 处的电位函数为 1 1 1 = ⋅ 4π rM0M 4π (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫
S
∂G f dσ＋∫∫∫ Gϕ dω. ∂n Ω
对于拉普拉斯第一边值问题， 如果ϕ = 0,
22
上式可写为
∂G dσ u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫ f ∂n S 其中G也可称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数.
三、格林函数的物理意义
把区域 Ω 的边界考虑为一个金属壳体， 并把它用导线接地， 并在 Ω 内一点 P (ξ ,η , ζ ) 放置一个单位正电荷，令 V ( P, Q ) = V ( x − ξ , y − η , z − ζ ) 表示这个静电场的电位函数，由于现在电荷是 集中在一点的，可用 δ 函数来表示电荷分布密度，
3
k k Δu + f ( x, y , z ) = 0 cρ cρ
或
Δu = − f .
其中 f 为已知函数，这是泊松方程。 如果没有热源，即 f ≡ 0 则
Δu = 0,
我们得到拉普拉斯方程。 例二： 设在一真空空间区域 Ω 中存在一个
4
静电场 E ( x, y , z ), 电荷的密度分布函数为 ρ ( x, y, z ), 根据静电学中的基本定律，有 ρ divE = ∇ • E = (高斯定理) ε0 且 rotE = ∇ × E = 0. (斯托克斯定理) 这个静电场是无旋的，那么必定是有势的， 即存在一个电位函数： u = u ( x, y, z ) 使得
格林函数公式
格林函数公式格林函数是一种数学工具，用于求解偏微分方程问题。
他们被广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域中。
在此文档中，我们将介绍格林函数的基本概念，并讨论它们在求解偏微分方程中的重要作用。
基本概述格林函数是一个数学函数，用于求解关于某个特定系统的线性偏微分方程的解。
这个函数在数学上被定义为下面的积分：G(x, y) = ∫K(x, y, ξ)F(ξ)dξ其中，K代表一个所谓的内核函数，它可以被视为系统对某个点源触发产生的响应函数。
F(ξ)是一个给定的受迫项函数，它表示了在系统中产生的激励效应。
G(x,y)代表了任意两个点x和y之间的影响函数，它表达了一个点受另一个点影响的程度。
格林函数的重要性格林函数在求解偏微分方程中体现了它特殊的重要性。
在PDE中，我们经常需要求解由某个系统的激励效应所引起的响应。
例如，在热传导问题中，激励项F(ξ)可以表示为热源的转移率。
在流体力学中，它可以表示为质量和能量输入的源。
在声学中，它可以表示为声音源的振动。
无论哪种情况，我们都需要找到一个函数G(x,y)，它可以很好地反映出在当前系统下，如何将激励函数在某个点上转发到系统中的其他点上。
在这个过程中，格林函数的具体形式和性质显得尤为重要。
具体应用接下来我们将介绍两个具体的例子，它们分别显示出了格林函数在解决实际问题中体现出的价值。
例子一：热传导问题假设我们在一个矩形的平面内部有一热源，并且这个矩形的四周的边界是冷却的。
现在，我们要求出在矩形平面中任意一个点的温度变化情况。
为此，我们需要考虑如下的偏微分方程：∇²u - κu = q其中，u表示温度变化的值，κ表示热扩散性质的参数，q是热源的转移率。
这个方程的解可以被表示为下面的积分：u(x) = ∫K(x, y)F(y)dy在这里，K(x,y)是格林函数，它可以表示为热对某一点的效应；F(y)是热源在某一点上的转移率。
例子二：波动方程假设我们需要模拟一个灵敏的声学系统。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数一、常微分方程格林函数的定义和性质1.定义：常微分方程格林函数是指满足下列条件的函数G(x,ξ)：(1) 在区间[a, b]内满足方程L[G(x, ξ)] = δ(x - ξ)，其中L是一个线性常微分方程算子，δ(x - ξ)是Dirac函数。
(2)在区间[a,b]的边界条件满足G(a,ξ)=0和G(b,ξ)=0。
2.性质：(1)格林函数满足齐次线性常微分方程，即L[G(x,ξ)]=0。
(2)格林函数对自变量x，线性非齐次项f(x)和边界条件的依赖关系是线性的，即G(x,ξ)=C1(x)G1(x,ξ)+C2(x)G2(x,ξ)+···+Ct(x)Gt(x,ξ)，其中G1(x,ξ),G2(x,ξ),···,Gt(x,ξ)是齐次方程L[u]=0的基本解，并且C1(x),C2(x),···,Ct(x)是待定系数。
二、求解常微分方程格林函数的方法1. 变量分离法：对于一些特殊的线性常微分方程，可以通过变量分离法来求解其格林函数。
例如，对于一阶齐次线性常微分方程Lu = u' + p(x)u = 0，我们可以通过变量分离法得到格林函数为G(x, ξ) = Ce^{-\int p(x')dx'}。
2.分段函数法：对于一些特殊的线性常微分方程，可以使用分段函数法来求解其格林函数。
例如，对于二阶齐次线性常微分方程Lu=u''+p(x)u'+q(x)u=0，我们可以将格林函数分为三个区域（x<ξ，x>ξ以及x=ξ），然后分别求解，并利用边界条件进行匹配。
3.利用变分法：对于一般的线性常微分方程，可以利用变分法来求解其格林函数。
变分法的基本思想是利用勒贝格定理和部分积分法将变分问题转化为一系列变分方程，进而求解。
这种方法适用于一般情况下的线性常微分方程。
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x
T Kε
∫∫∫ (vu uv )dV =
= ∫∫ (v
Σ
Σ + Σε
∫∫
(v
u v u ) dS n n
u v u v u ) dS + ∫∫ (v u ) dS n n n n Σε
δ 在 T K ε ， (r r0 ) = 0 。
u (r ) 和 v(r )
=
T Kε
∫∫∫ vf dV
1 a r 2 r0 r0
2
=
1 a2 a4 r 2r cos θ + 2 r0 r0
2
[ n
1 a2 r 2 r0 r0
r0 ar0 cos θ ]Σ = 2 2 2 a (a 2ar0 cos θ + r0 ) 3 / 2
3 2
1 a a cos θ a 1 r0 ar0 cos θ [ G (r , r0 )] Σ = 2 2 3/ 2 n 4π (a 2ar0 cos θ + r0 ) r0 4π a 2 (a 2 2ar0 cos θ + r0 2 )3 / 2
z0 1 2π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]3 / 2
G ( r0 , r ) u ( x, y ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ( r0 ) dS 0 . n n T Σ
z0 = 2π
∫∫
Σ
1 f ( x, y ) dx 0 dy 0 . 2 2 2 3/ 2 [( x x0 ) + ( y y 0 ) + ( z + z 0 ) ]
[
G (r , r0 )] Σ = [ G (r , r0 )] z =0 n z
法线方向与z轴方向相反
= =
0 z0 0 + z0 1 1 + 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 ]3 / 2 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]3 / 2
4. 泊松方程的基本积分公式 基本积分公式 点源泊松方程
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
单位负电荷在 r0
∫∫∫ (v u u v ) dV
T
z
=
T
Kε
∫∫∫ vfdV ∫∫∫ u δ ( r r )dV
0 T T
δ (r r0 )
Σ
y
奇异，不能化为
r0
Σε
0
面积分。在 T 中挖掉半 径 ε ，在 r0 的小球 Kε 。 小球边界 Σε 。 边界条件无法带入积分之中！
T Σ
第三边值问题
[α
u + β u ] Σ = (Σ ) n
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
[α v + βv] Σ = 0 n
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
第三边值问 题格林函数
G [α
u + βu ] Σ = G n
u [α G + βG ] Σ = 0
n
u G α [G u ] Σ = G n n
u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
∫∫ (r )G (r , r )dS . α
0 Σ
1
δ (r r0 ) 在 r0 ，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，
v(r0 , r ) = δ (r0 r )
具有同一个解，可作变换： r r0
1 a 4π r 2 r0 r0
2
1 1 = r r0 r 2 2rr0 cos θ + r02
在球面上
n
Σ
=
r
r =a
[
1 1 2r 2r cos θ ]Σ = n r r0 2 (r 2 2rr0 cos θ + r02 )3 / 2
r =a=Fra biblioteka a cos θ (a 2 2ar0 cos θ + r02 ) 3 / 2
1 = 4π
1 2 ∫∫ u r 2 r d Σε
= u ( r0 )
u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
u ( r ) v ( r , r0 ) ]dS . ∫∫ [v ( r , r0 ) u (r ) n n Σ
这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。 基本积分公式。 基本积分公式
G ( r0 , r ) u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0 + ∫∫ ( r0 ) dS 0 . n T Σ u ( r ) = ∫∫∫ G ( r0 , r ) f ( r0 ) dV0
T
∫∫ (r )G (r , r )dS . α
0 0 0 Σ
1
12.2
电像法求格林函数 第一边值问 题格林函数
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
v(r , r0 ) Σ = 0
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
r r0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。 将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
T
T
=
∫∫∫ u vdV + ∫∫∫ u vdV
T
第二格林公式：
交换 u (r ) 和
v(r ) ：
∫∫ v u d S = ∫∫∫ v udV + ∫∫∫ v udV
Σ T T
与上式相减
∫∫ (u v v u ) d S = ∫∫∫ (u v v u ) dV
Σ T
即
n
v u ∫∫ (u n v n ) dS = Σ
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) = M 1 ( x0 , y0 , z0 )
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
G (r , r0 ) =
1 1 1 1 + 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 ]1/ 2 4π [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z + z0 ) 2 ]1/ 2
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u Σ = (Σ)
v(r , r0 ) = δ (r r0 )
v(r , r0 ) Σ = 0
v(r , r0 ) = G (r , r0 )
G ( r , r0 ) dS . n
第一边值问 题格林函数
u ( r0 ) = ∫∫∫ G ( r , r0 ) f ( r ) dV + ∫∫ ( r )
r r '
ρ (r ')
边界上可能出现感应电荷
r
r
r'
处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。 感应电荷是源电荷的结果。 计算变成
+++++++
由
ρ (r ')
计算感应电荷，然后
φ (r ) =
1 4πε 0
[ ∫∫∫
ρ (r ')
r r '
dr '+ ∫∫∫
ρ g (r ')
r r '
dr ']
是否能一次解决
连续。
ε →0
T Kε
∫∫∫ vf dV → ∫∫∫ vf dV
T
u 1 2 u ∫∫ v n dS = ∫∫ ( 4πε )ε n d Σε Σε
ε = 4π
u ∫∫ n d Σε
=
ε u ∫∫ d 4π n Σ ε
= ε
u n
→0
1 v ∫∫ u n dS = ∫∫ u[ r ( 4πr )]dS Σε Σε
法向导数
∫∫∫ (u v v u ) dV
T
Σ
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u = f (r )
(Σ) 定义在 Σ
u [α + β u ] Σ = (Σ ) n
α = 0, β ≠ 0 α ≠ 0, β = 0 α ≠ 0, β ≠ 0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
t
τ =0
∫ξ
l =0
f (ξ ,τ )G ( x, t ,τ )d ξ dτ .
u ( r0 ) = ∫∫∫ v ( r , r0 ) f ( r ) dV
T
∫∫ [v ( r , r0 )
Σ
u ( r ) v ( r , r0 ) u (r ) ]dS . n n
5. 边值问题的格林函数 格林函数 第一边值问题(狄里希利问题)
T Σ
2
G ( r0 , r ) dS 0 . n
f (r ) = 0
= ∫∫
Σ
a 2 r0 1 f (θ , ) a 2 sin θ 0 dθ 0 d 0 . 4π a ( a 2 2 ar0 cos θ 0 + r02 ) 3 / 2
a = 4π
∫∫
Σ
a 2 r0 f (θ , ) 2 sin θ 0 dθ 0 d 0 . 2 3/ 2 ( a 2 ar0 cos θ 0 + r0 )