初中培优竞赛含详细解析 第7讲 一次方程和一次方程组

若k为整数，则使得方程k−1999χ=2001−2000χ的解也是整数的k的值有（）A.4个 B. 8个 C.12个 D.16个

分析：将方程进行整理得到x=2001

k+1

，要使解为整数，k+1整除2001即可.又因为

2001=1×3×23×29,k+1可取±1，±3，±23，±29,± (3 ×23) ,±(3×29), ± (23×29), ±2001共 16 个值. 答案：D

技巧：先将方程得根用k表示出来，在来讨论它为整数的情况.

易错点：容易遗漏可能性.

2.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、浓度问题、一次方程、应用题、选择题）

从100升纯酒精中取出1升倒入100升水中，混合均匀后取出1升倒回纯酒精中.若这时酒精含水的比是x，水中含酒精的比是y.则

A.x>y⋅

B.x=y

C.x

D.x，y大小无法确定

分析：易求出x=1

101,y=1

101

,所以x=y⋅

答案：B

技巧：画图分析或者直接模拟分析，发现这个水和酒精是对等的.

易错点：容易陷入水和酒精的误区，导致得出水比酒精多，或水比酒精少的错误结论.

3.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元一次方程、选择题）

关于x的一元一次方程. 21+6x

7−621−6x

7+6

=23的根是( )

A.− 2

B.− 3

C.7

D.6

分析：先进行分母有理化得到12χ=−123，所以χ=−3. 答案：B

技巧：分母有理化.

易错点：进行有理化时很容易出现化简和计算的错误.

问题、一元一次方程、填空题）

某种商品的进货价是每件a元，零售价是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），a= _____.

分析：由题意知：1100×80% −a=10%∙ a解得a=800

答案：800

技巧：成本+利润=零售价.

易错点：注意计算方面的问题.这是众多学生的一个通病.

5. （2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、绝对值方程、填空题）

若0

分析：当0

|x−3|=x−3=a,a的值为0，1，2，3，4，5，6.

答案：7,21.

技巧：以3分界，进行去绝对值讨论.

易错点：去绝对值最容易出错的是符号问题.

6.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一次方程、无穷多解问题、填空题）

If the equation m(x−1)=2001−n x−2for x has infinite（无穷、无限）roots, then

m2001+n2001=

分析：该题的意思是，不论χ取何值，方程均成立，那么就需要将方程进行变形，原方程化为(m+n)x=2001+m+2n，得m=2001,n=−2001.

答案：0.

技巧：方程有无穷多解，就需要将未知数表示出来，然后令其系数为0即可。

易错点：容易出现思路紊乱.

对值方程、解答题）

设a，b为有理数，且|a|>0，方程||x−a|−b|=3⋅有三个不相等的解，求b的值.

分析：由题意知a≠0，然后去绝对值，知道b±3≥0，最后解出方程有四个跟，而由题意知，其中必有两根相等，从而求解.

详解：去绝对值知道b+3，b-3都是非负数，而且如果其中一个为0，则得3个解；如果都不是0，则得4个解，故b=3.

技巧：去绝对值，而后对各值进行分别讨论.

易错点：b±3≥0这个隐藏条件容易被忽略，最后求得错误结果为±3.

8. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元一次方程、解答题）

如果a，b为定值，关于x的方程2kx+a

3=2+x−bk

6

，无论k为何值它的根总是1，求a，b的

值.

分析：将方程变形得k4χ+b+2a−χ=12, 令4χ+b=0将χ=1代入即可.

详解：把x=1代入方程，得(b+4)k=13−2a，所以b+4=0且13−2a=0,解

得 a=13

2

,b=−4.

答：a、b的值分别为13

2

、−4 .

技巧：把k分离出来，令系数为0.

易错点：容易出现思路紊乱.

9. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、绝对值方程、解答题）

已知|x+2|+|1−x|=9−|y−5|−|1+y|，求x+y的最大值与最小值.

分析：已知等式可化为|x+2|+|x−1|+|y+1|+|y−5|=9.由绝对值的几何意

义可求解.

详解：|x+2|+|1−x|=9−|y−5|−|1+y|x+2+x−1+y+1+y−5=9

由绝对值的几何意义可知，当−2≤x≤1且−1≤y≤5时，上式成立，故当x=−2,y=−1时，x+y有最小值-3；当x=1,y=5时，x+y的最大值为6.

答：x+y的最大值与最小值分别为6、-3.

技巧：利用绝对值的几何意义.

易错点：将绝对值放到数轴上时对应点容易出错.