中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析

中考数学专题复习二次函数的综合题及答案解析

一、二次函数

1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2

y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．

【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.

（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD 长度的最大值为

94

. 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．

②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0

=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.

∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.

∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=

⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=

⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴

3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，

∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：

3k b 0b 3

-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.

∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).

又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).

∴()222

39QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-

∴线段QD 长度的最大值为94

.

2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，

解得：x ＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w ，

根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000

＝﹣10（x ﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =-

-+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值

503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】

分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．

详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩

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