第3章-流体力学基本方程组
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其中 u 是速度，δs 是流动方向的微元弧长。 证明： m =
∫
l
ρ Aδ s
d ( ρ A) dm d =∫ δ s + ∫ ρ A δs = 0 l l dt dt dt
d ∂u δs 其中：∫ ρ A δ s = ∫ ρ Aδ s ⋅∇u = ∫ ρ Aes ⋅∇u δ s = ∫ ρ A l l l l dt ∂s d ( ρ A) ∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A) = + V ⋅∇ ρ A = + ues ⋅∇ρ A dt ∂t ∂t ∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A) ∂u ∂ ( ρ A) ⇒ +u + ρA = 0 =u ∂t ∂s ∂s ∂s ∂ ( ρ A ) ∂ ( ρ Au ) ⇒ + =0 ∂t ∂s
du τ rx = μ = −2cμ r dr
单位长度圆管管 壁对流体的阻力
Fr0 = −2cμ r r = r 2π r0 = −4π cμ r02
0
(2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦：
Fr0
2
= −2 cμ r
r = r0 2
r0 2π = − π c μ r02 2
p−
∂p dy ∂y 2
x
习题四
5、如图所示的管流是定常不可压缩流动，它的进口断面是1和2，出口 断面是3，各断面参数如图所示，流体密度为ρ，求管子对流体的总的 作用力。（忽略质量力） A2,V2, p2 解： 选取各断面和管壁组成的封闭空间 作为控制体，忽略质量力后其定常 流动积分形式的动量方程为：
υ1方向与图中所示y方向相反。将坐标系建立在 平板上，方向设置如图所示，在平板上选择如图 所示的薄层为控制体，此时控制体内的流动就可 看作定常流动，根据积分形式的动量方程：
qV
υ0
y
υ
x
F
θ
∑F
S
=
CS
∫ ρυυ ⋅ ndA ⇒ ∑ F
qV
S
= ∑ Fy j
2
∑ Fy = ∫ υ y ρυ ⋅ ndA = ρ (υ0 sin θ + υ sin θ ) qV (υ0 sin θ ) = F sin θ
来自百度文库
CS
∫ ρυυ ⋅ ndA
A ,V1, p1 1
A3,V3, p3
习题四
6、如图所示，已知不可压射流初速为 υ0，流量为 qV ，平板向着射流以 等速 υ 运动，试推导出平板运动所需要的功率 N 的表达式。 解： 假设射流全部打击到平板且无飞溅，则打击 平板的射流速度 υ1 为： qV = υ0 A0 = υ1 A1 ⎫ ⎧υ1 = υ0 sin θ ⎪ ⎬⇒⎨ A0 A1 = sin θ ⎭ ⎪ A1 = qV (υ0 sin θ ) ⎩
CS
⇒F=ρ
υ0
(υ0 + υ )
υ0
qV
2
sin 2 θ
2
⇒ N = Fυ = ρ
υ (υ0 + υ ) sin 2 θ
y
p+
∂p dx ∂x 2
m 在y方向：
∂p dy ∂y 2
p−
fy
fx p+
∂p dx ∂x 2
∂υ x ∂υ ∂υ 1 ∂p ⎫ + υx x + υ y x = f x − ρ ∂x ⎪ ∂t ∂x ∂y ⎪ ⎬ 理想流体平面运动二维欧拉微分方程 ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⎪ + υx +υy = fy − ρ ∂y ⎪ ∂t ∂x ∂y ⎭
习题四
1、一不可压缩流体的流动，在x 方向的速度分量是 u = ax2 +by，其中a与 b为常数, z 方向的速度分量为零，已知 y = 0 时 v = 0，求 y 方向的速度分 量v。 解：因为流体不可压，所以：
∇ ⋅V = 0 ⇒
∂u ∂v ∂v ∂u + =0⇒ =− ∂x ∂y ∂y ∂x u = ax 2 + by
(
)
习题四
3、粘性流体在圆管中做层流流动时的速度分布为
y r0 o
u = c r02 − r 2
(
)
其中 c 为常数，r0 为圆管半径。 求：(1) 单位长度圆管对流体的阻力； (2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦。 （1）半径 r 处的切应力为： 解：
r =
r0 2
x
∂v ⇒ = −2ax ∂y
积分
v = −2axy + vc ( x)
y=0 v=0
⇒ vc ( x) = 0
⇒ v = −2axy
习题四
2、假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上 的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式：
∂ ∂ ρ A ) + ( ρ Au ) = 0 ( ∂t ∂s
θ
y x
∑F
S
=
⎧ Fsx = p1 A1 + p2 A2 cos θ − p3 A3 + Fpx ⎪ 假设各断面上液流均匀，则有：⎨ ⎪ Fsy = − p2 A2 sin θ + Fpy ⎩ ⎧ 2 2 2 ⎪ ∫ ρυυ ⋅ ndA = ∫ υ x ρυ ⋅ ndA = − ρ AV1 − ρ A2V2 cos θ + ρ A3V3 1 C .S . ⎪CS x ⎨ ⎪ ρυυ ⋅ ndA = υ ρυ ⋅ ndA = ρ A V 2 sin θ 2 2 ∫ y ⎪∫ CS y ⎩CS ⎧ Fpx = p3 A3 − p2 A2 cos θ − p1 A1 + ρ A3V32 − ρ A2V22 cos θ − ρ AV12 1 ⎪ 管子对流体的总的作用力： ⎨ 2 ⎪ Fpy = p2 A2 sin θ + ρ A2V2 sin θ ⎩
习题四
4、试推导理想流体平面二维运动欧拉微分方程式。 推导： 平面二维理想流动微元dxdy上的应力及单位质量力分布如图所示 dυ F =m 根据动量定律： ∑
dt ⎡ ⎛ ∂p dx ⎞ ∂p dx ⎞ ⎤ ∂p ⎛ Fx = ⎢ − ⎜ p + dy + ⎜ p − dy ⎥ + f x ρ dxdy = − dxdy + f x ρ dxdy 在x方向： ∑ ⎣ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎦ ∂x ⎠ ⎠ ⎛ ∂υ ∂υ ∂υ ⎞ dυ m x = ρ dxdy ⎜ x + υ x x + υ y x ⎟ ∂υ x ∂υ x ∂υ x 1 ∂p ∂x ∂y ⎠ dt ⇒ + υx +υy = fx − ⎝ ∂t ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂υ y ∂υ y ⎞ ⎫ ⎛ ∂υ y = ρ dxdy ⎜ + υx +υy ⎟⎪ dt ∂t ∂x ∂y ⎠ ⎪ ⎝ ⎬ ∂p ∑ Fy = − ∂y dydx + f y ρ dxdy ⎪ ⎪ ⎭ ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⇒ + υx +υy = fy − ∂t ∂x ∂y ρ ∂y dυ y
∫
l
ρ Aδ s
d ( ρ A) dm d =∫ δ s + ∫ ρ A δs = 0 l l dt dt dt
d ∂u δs 其中：∫ ρ A δ s = ∫ ρ Aδ s ⋅∇u = ∫ ρ Aes ⋅∇u δ s = ∫ ρ A l l l l dt ∂s d ( ρ A) ∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A) = + V ⋅∇ ρ A = + ues ⋅∇ρ A dt ∂t ∂t ∂ ( ρ A) ∂ ( ρ A) ∂u ∂ ( ρ A) ⇒ +u + ρA = 0 =u ∂t ∂s ∂s ∂s ∂ ( ρ A ) ∂ ( ρ Au ) ⇒ + =0 ∂t ∂s
du τ rx = μ = −2cμ r dr
单位长度圆管管 壁对流体的阻力
Fr0 = −2cμ r r = r 2π r0 = −4π cμ r02
0
(2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦：
Fr0
2
= −2 cμ r
r = r0 2
r0 2π = − π c μ r02 2
p−
∂p dy ∂y 2
x
习题四
5、如图所示的管流是定常不可压缩流动，它的进口断面是1和2，出口 断面是3，各断面参数如图所示，流体密度为ρ，求管子对流体的总的 作用力。（忽略质量力） A2,V2, p2 解： 选取各断面和管壁组成的封闭空间 作为控制体，忽略质量力后其定常 流动积分形式的动量方程为：
υ1方向与图中所示y方向相反。将坐标系建立在 平板上，方向设置如图所示，在平板上选择如图 所示的薄层为控制体，此时控制体内的流动就可 看作定常流动，根据积分形式的动量方程：
qV
υ0
y
υ
x
F
θ
∑F
S
=
CS
∫ ρυυ ⋅ ndA ⇒ ∑ F
qV
S
= ∑ Fy j
2
∑ Fy = ∫ υ y ρυ ⋅ ndA = ρ (υ0 sin θ + υ sin θ ) qV (υ0 sin θ ) = F sin θ
来自百度文库
CS
∫ ρυυ ⋅ ndA
A ,V1, p1 1
A3,V3, p3
习题四
6、如图所示，已知不可压射流初速为 υ0，流量为 qV ，平板向着射流以 等速 υ 运动，试推导出平板运动所需要的功率 N 的表达式。 解： 假设射流全部打击到平板且无飞溅，则打击 平板的射流速度 υ1 为： qV = υ0 A0 = υ1 A1 ⎫ ⎧υ1 = υ0 sin θ ⎪ ⎬⇒⎨ A0 A1 = sin θ ⎭ ⎪ A1 = qV (υ0 sin θ ) ⎩
CS
⇒F=ρ
υ0
(υ0 + υ )
υ0
qV
2
sin 2 θ
2
⇒ N = Fυ = ρ
υ (υ0 + υ ) sin 2 θ
y
p+
∂p dx ∂x 2
m 在y方向：
∂p dy ∂y 2
p−
fy
fx p+
∂p dx ∂x 2
∂υ x ∂υ ∂υ 1 ∂p ⎫ + υx x + υ y x = f x − ρ ∂x ⎪ ∂t ∂x ∂y ⎪ ⎬ 理想流体平面运动二维欧拉微分方程 ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⎪ + υx +υy = fy − ρ ∂y ⎪ ∂t ∂x ∂y ⎭
习题四
1、一不可压缩流体的流动，在x 方向的速度分量是 u = ax2 +by，其中a与 b为常数, z 方向的速度分量为零，已知 y = 0 时 v = 0，求 y 方向的速度分 量v。 解：因为流体不可压，所以：
∇ ⋅V = 0 ⇒
∂u ∂v ∂v ∂u + =0⇒ =− ∂x ∂y ∂y ∂x u = ax 2 + by
(
)
习题四
3、粘性流体在圆管中做层流流动时的速度分布为
y r0 o
u = c r02 − r 2
(
)
其中 c 为常数，r0 为圆管半径。 求：(1) 单位长度圆管对流体的阻力； (2) 在管内 r = r0 / 2 处沿圆管单位长流体的内摩擦。 （1）半径 r 处的切应力为： 解：
r =
r0 2
x
∂v ⇒ = −2ax ∂y
积分
v = −2axy + vc ( x)
y=0 v=0
⇒ vc ( x) = 0
⇒ v = −2axy
习题四
2、假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上 的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式：
∂ ∂ ρ A ) + ( ρ Au ) = 0 ( ∂t ∂s
θ
y x
∑F
S
=
⎧ Fsx = p1 A1 + p2 A2 cos θ − p3 A3 + Fpx ⎪ 假设各断面上液流均匀，则有：⎨ ⎪ Fsy = − p2 A2 sin θ + Fpy ⎩ ⎧ 2 2 2 ⎪ ∫ ρυυ ⋅ ndA = ∫ υ x ρυ ⋅ ndA = − ρ AV1 − ρ A2V2 cos θ + ρ A3V3 1 C .S . ⎪CS x ⎨ ⎪ ρυυ ⋅ ndA = υ ρυ ⋅ ndA = ρ A V 2 sin θ 2 2 ∫ y ⎪∫ CS y ⎩CS ⎧ Fpx = p3 A3 − p2 A2 cos θ − p1 A1 + ρ A3V32 − ρ A2V22 cos θ − ρ AV12 1 ⎪ 管子对流体的总的作用力： ⎨ 2 ⎪ Fpy = p2 A2 sin θ + ρ A2V2 sin θ ⎩
习题四
4、试推导理想流体平面二维运动欧拉微分方程式。 推导： 平面二维理想流动微元dxdy上的应力及单位质量力分布如图所示 dυ F =m 根据动量定律： ∑
dt ⎡ ⎛ ∂p dx ⎞ ∂p dx ⎞ ⎤ ∂p ⎛ Fx = ⎢ − ⎜ p + dy + ⎜ p − dy ⎥ + f x ρ dxdy = − dxdy + f x ρ dxdy 在x方向： ∑ ⎣ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎝ ∂x 2 ⎟ ⎦ ∂x ⎠ ⎠ ⎛ ∂υ ∂υ ∂υ ⎞ dυ m x = ρ dxdy ⎜ x + υ x x + υ y x ⎟ ∂υ x ∂υ x ∂υ x 1 ∂p ∂x ∂y ⎠ dt ⇒ + υx +υy = fx − ⎝ ∂t ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂υ y ∂υ y ⎞ ⎫ ⎛ ∂υ y = ρ dxdy ⎜ + υx +υy ⎟⎪ dt ∂t ∂x ∂y ⎠ ⎪ ⎝ ⎬ ∂p ∑ Fy = − ∂y dydx + f y ρ dxdy ⎪ ⎪ ⎭ ∂υ y ∂υ y ∂υ y 1 ∂p ⇒ + υx +υy = fy − ∂t ∂x ∂y ρ ∂y dυ y