偶函数的定义与性质演示课件
合集下载
函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
偶函数的定义与性质PPT课件
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
f (x) x
f x x2
特征 1.定义域关于原点对称；
： 2. f x f x
一、偶函数
1、偶函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)的定
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶
函数（even function）。
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1) f x 2x2 1; x [2,2); (2) f x x3 x2.
解：(1)由于f x 2x2 1的定义域为 2,2
§1.3.2 偶函数的定义与性质
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f (x) | x |
y f (x) 1
| x|
x O
(1) y f (x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y f x x 1
x O
P1 (1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
函数的奇偶性ppt
奇函数定义
偶函数定义：如果一个函数$f(x)$满足条件$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
偶函数定义偶函数在y轴对称，即对于所有实数$x$，当$x$取反号时，函数值不变。
偶函数定义
1
奇偶性的性质
2
3
如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其定义域关于原点对称。
奇偶性的性质1
如果一个函数的定义域关于原点对称，那么该函数要么是奇函数，要么是偶函数。
函数的奇偶性ppt
Hale Waihona Puke xx年xx月xx日奇偶性定义奇偶函数的图形表示奇偶函数的应用奇偶函数与对称性奇偶函数实例及解析总结与展望
contents
目录
01
奇偶性定义
奇函数定义：如果一个函数$f(x)$满足条件$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数定义奇函数在原点对称，即对于所有实数$x$，当$x$取反号时，函数值取反。
偶函数的图像性质
偶函数的图像关于$y$轴对称，即如果点$(x,y)$是函数$f(x)$的图像上的点，那么点$(x,-y)$也是函数$f(x)$的图像上的点。
偶函数的性质
偶函数在$x=0$处有定义时，满足$f(0)=0$。
01
02
03
对称性的应用
通过对称性，我们可以将函数的性质和图像进行简化和记忆，例如对于奇函数和偶函数，我们只需要记住一个函数的一半图像就可以推导出整个函数的图像。
周期性的应用
周期性可以让我们更好地理解和记忆函数的性质和图像，例如三角函数和正弦余弦函数等都具有周期性。
对称性与周期性
05
奇偶函数实例及解析
$\sin(x)$，$\tan(x)$，$\cos(-x)$
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
奇函数和偶函数ppt课件
16
探讨题：
如果f(x)是既奇又偶函数，求它的解 析式
解析式：f(x)=0 既奇又偶函数有பைடு நூலகம்少个？无数个
只要定义域关于原点对称即可
17
按照奇偶性的不同，函数可以分为： 偶函数 奇函数
非奇非偶函数 既奇又偶函数
18
例2判断函数f(x)=a (a R)的奇偶性 解：当a=0时，f(x)=a为既奇又偶函数
23
小结
定义：
函数f(x),对定义域内的任意一个x 若f(-x)= f(x),则f(x)叫偶函数 若f(-x)=-f(x),则f(x)叫奇函数
判断函数奇偶性的方法:
判断定义域是否关于原点
对称
判断f(x),f(-x)的关系
24
图象特征
奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于y轴对称 数学与生活是紧密联系的,数 学来源生活,生活离不开数学 用数学知识解决实际问题 探究、解决问题的一种方法 体验数学中的对称美，简洁美
当a≠0时，f(x)=a为偶函数
19
课后拓展：
变式1： 判断函数f(x)=ax (a ∈ R)的奇偶性 变式2： 判断函数f(x)=a x-b (a ∈ R)的奇偶性
20
偶函数的图象以f(x)=x2为例
y
o
x
偶 函 数 的 图 像 关 于
Y 轴 对 称
21
奇函数的图象(以f(x)=x3为例)
y
28
f(x)=x3 ... -27 -8 -1 1 8 27 ...
? 从这个表格中大家发现了什么规律? 自变量为一对相反数,对应的函数值也为相反数
8
探究函数f(x)=x3的性质特征:
探究1:结合图象,从”形”上观察有什么特征?
探讨题：
如果f(x)是既奇又偶函数，求它的解 析式
解析式：f(x)=0 既奇又偶函数有பைடு நூலகம்少个？无数个
只要定义域关于原点对称即可
17
按照奇偶性的不同，函数可以分为： 偶函数 奇函数
非奇非偶函数 既奇又偶函数
18
例2判断函数f(x)=a (a R)的奇偶性 解：当a=0时，f(x)=a为既奇又偶函数
23
小结
定义：
函数f(x),对定义域内的任意一个x 若f(-x)= f(x),则f(x)叫偶函数 若f(-x)=-f(x),则f(x)叫奇函数
判断函数奇偶性的方法:
判断定义域是否关于原点
对称
判断f(x),f(-x)的关系
24
图象特征
奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于y轴对称 数学与生活是紧密联系的,数 学来源生活,生活离不开数学 用数学知识解决实际问题 探究、解决问题的一种方法 体验数学中的对称美，简洁美
当a≠0时，f(x)=a为偶函数
19
课后拓展：
变式1： 判断函数f(x)=ax (a ∈ R)的奇偶性 变式2： 判断函数f(x)=a x-b (a ∈ R)的奇偶性
20
偶函数的图象以f(x)=x2为例
y
o
x
偶 函 数 的 图 像 关 于
Y 轴 对 称
21
奇函数的图象(以f(x)=x3为例)
y
28
f(x)=x3 ... -27 -8 -1 1 8 27 ...
? 从这个表格中大家发现了什么规律? 自变量为一对相反数,对应的函数值也为相反数
8
探究函数f(x)=x3的性质特征:
探究1:结合图象,从”形”上观察有什么特征?
高中数学奇函数和偶函数的概念微课精品ppt课件
探究函数f(x)=x3的性质特征:
探究1:结合解析式,从”数”上观察有什么特征?
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
f(x)=x3 ... -27 -8 -1 1 8 27 ... ? 从这个表格中大家发现了什么规律?
自变量为一对相反数,对应的函数值也为相反数
探究1:结合图象,从”形”上观察有什么特征? f(-1)= -f(1) f(-2)= -f(2) f(-3)= -f(3) … … 结论: 对任意的x,都有f(-x)= -f(x)
-3
-2 -1
y
。 。 。 。 。
1 2 3 x
。
函数奇偶性的定义:
1 偶函数的定义:
如果对于函数定义域内的任意实数x,都有 f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数
2 奇函数的定义:
如果对于函数定义域内的任意实数x,都有 f(-x)= -f(x),则f(x)叫做偶函数
3 如果一函数f(x)是奇函数或偶函数,则f(x)具 有奇偶性
如果对于函数定义域内的任意实数x,都有 f(-x)= -f(x),则f(x)叫做偶函数 若函数具有奇偶性，定义域必须关于原点对称。
THANK YOU
对奇函数、偶函数定义的理解： 若函数具有奇偶性，那么f(x)与f(-x)
都要有意义，x, -x必须同时在定义域内，
因此定义域必须关于原点对称。
课堂小结
本节课我们学了奇函数与偶函数的概念
1 偶函数的定义:
如果对于函数定义域内的任意实数x,都 f(-x)=f(x),则f(x)叫做偶函数
2 奇函数的定义:
探究1:结合图象,从”形”上观察有什么特 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-3)=f(3) … … 结论: 对任意的x,都有f(-x)=f(x)
函数的奇偶性ppt课件
例4.1若函数f x ax21 bx 3x b是偶函数，定义域
a 1，2a，则实数a _3__，b _-_3_.
2已知函数f x x 1x a为奇函数，则实数a _-_1_.
x
例5.已知函数y=f(x) 在R上是奇函数,而且在 (0,+∞)上是增函数,判断y=f(x)在(-∞,0)的单调 性，并证明你的判断.
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图像回答问题
（1）这两个函数图象有什么共同特征？ （2）填函数值对应表
x f(x)=x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
-3 -2 -1 1 2 3
f(x)=
1 x
13
1 2
-1
1
11 23
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
练习：已知函数y=f(x)是偶函数，它在y 轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左 边的图象.
解:
y
O
x
变式：若f(x)是奇函数呢？
例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) y x2(2 x 3);
2 f x x3 2x
3 f x 2x4 3x2
4 f x x 2
(5)
f
x
x x
1, 1,
x x
0 0
注：奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，
若函数的定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性。
判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法:
(2)图象法:
利用函数的奇偶性求解析式
课堂篇 究学习
例3. 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
《奇函数偶函数》课件
偶函数在其定义域内可导 或不可导，但偶函数在y轴 两侧的导数符号相反。
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
新人教版高中数学必修第一册教学课件3.2.2函数的奇偶性课件
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
代数特征 图像关于y轴对称 几何特征
定义中，
的常见变形有：
奇函数 画出函数
同的特征？
和函数
的图像并视察，你能发现什么共
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】 （1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
对于
，有
对于
，有
奇函数
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 所以不一定是奇函数.
，若 并不能保证所有的
，那么这个 ，
奇函数 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
常见的偶函数有
，
等等
【思考】对于定义在R上的函数 是偶函数吗？
，若
，那么这个函数
【答】不一定.因为 以不一定是偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
代数特征 图像关于y轴对称 几何特征
定义中，
的常见变形有：
奇函数 画出函数
同的特征？
和函数
的图像并视察，你能发现什么共
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为 相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
函数是奇函数.
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数
在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】 （1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
对于
，有
对于
，有
奇函数
【定义】一般地，设函数
的定义域为A，如果对于
，都有
，
且
，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称
为奇函数.
常见的偶函数有
，
,
等等
【思考】对于定义在R上的函数 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 所以不一定是奇函数.
，若 并不能保证所有的
，那么这个 ，
奇函数 【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
常见的偶函数有
，
等等
【思考】对于定义在R上的函数 是偶函数吗？
，若
，那么这个函数
【答】不一定.因为 以不一定是偶函数.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
6
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1 )fx 2 x 2 1 ;x [ 2 ,2 );(2)fxx3x2.
解：(1 )由f于 x2x2 1 的定 义 2 ,2 域为
x 2 1 0 1 2
f (x) x
210 1 2
f 1 1 f1
f 2 2f2
fxxfx
y
P'(x, x) P'22,2 P1' 1,1
x
P(x, x ) 2
1
P22,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x
x
当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
3
作出f函 xx2 数 的图像，再 你观 看察 出表 了
x 2 1 0
fxx2
4 1 0
1 2 1 4
y
f11f1
f24f2
fxx2fx
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1(1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'(x,x2)
4
P2(2,4)
x2
P(x ,x2)
4
y
P'(x, x) P'22,2 P1' 1,1
x
P(x, x ) 2
书上第36页
练习 1、2
11
一看
二找
三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于 原点对称
f x是否等 于f x
f x是否是
偶函数
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关 于y轴对称。
9
四、课时小结：
奇偶性 定义
偶函数
设函y数 fx的定义域内任 x,都意有一 fxfx成立
图像性质
关于y轴对称
判断步骤
一看；二找；三下结论
10
五、布置作业
因为函数定义域不关于原点对称
所以 fx 函 2x数 21在 x 2,2上不
偶函 . 数
7
(2)由f于 xx3x2的定义 R 域为
所以函 fx数 的定义域关于原点 因 f x 为 x 3 x 2 x 3 x 2 所 f 以 x fx
所以f函 xx数 3x2不是偶函
8
判断或证明函数是否为偶函数的基本步骤：
1
P22,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x
x
y
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1(1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'(x,x2)
4
P2(2,4)
x2
P(x ,x2)
f (x) x
fxx2
特征：1 .定义域关于原点对称；
2 .fxfx
5
一、偶函数
1、偶函数的定义一：般地，如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶 函数（even function）。
§1.3.2 偶函数的定义与性质
1
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f(x)| x|
y f (x) 1
|x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y fxx1
x O
(6)
2
作出函 f(x)数 x的图像，再观 你察 看表 出格 了， 什么
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
6
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1 )fx 2 x 2 1 ;x [ 2 ,2 );(2)fxx3x2.
解：(1 )由f于 x2x2 1 的定 义 2 ,2 域为
x 2 1 0 1 2
f (x) x
210 1 2
f 1 1 f1
f 2 2f2
fxxfx
y
P'(x, x) P'22,2 P1' 1,1
x
P(x, x ) 2
1
P22,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x
x
当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
3
作出f函 xx2 数 的图像，再 你观 看察 出表 了
x 2 1 0
fxx2
4 1 0
1 2 1 4
y
f11f1
f24f2
fxx2fx
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1(1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'(x,x2)
4
P2(2,4)
x2
P(x ,x2)
4
y
P'(x, x) P'22,2 P1' 1,1
x
P(x, x ) 2
书上第36页
练习 1、2
11
一看
二找
三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于 原点对称
f x是否等 于f x
f x是否是
偶函数
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关 于y轴对称。
9
四、课时小结：
奇偶性 定义
偶函数
设函y数 fx的定义域内任 x,都意有一 fxfx成立
图像性质
关于y轴对称
判断步骤
一看；二找；三下结论
10
五、布置作业
因为函数定义域不关于原点对称
所以 fx 函 2x数 21在 x 2,2上不
偶函 . 数
7
(2)由f于 xx3x2的定义 R 域为
所以函 fx数 的定义域关于原点 因 f x 为 x 3 x 2 x 3 x 2 所 f 以 x fx
所以f函 xx数 3x2不是偶函
8
判断或证明函数是否为偶函数的基本步骤：
1
P22,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x
x
y
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1(1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'(x,x2)
4
P2(2,4)
x2
P(x ,x2)
f (x) x
fxx2
特征：1 .定义域关于原点对称；
2 .fxfx
5
一、偶函数
1、偶函数的定义一：般地，如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶 函数（even function）。
§1.3.2 偶函数的定义与性质
1
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f(x)| x|
y f (x) 1
|x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y fxx1
x O
(6)
2
作出函 f(x)数 x的图像，再观 你察 看表 出格 了， 什么